Piensa en dos engranajes unidos. Gira el primero, y acciona al segundo. Si el segundo gira tres veces más rápido que el primero, y el primero gira…
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3.1
The Chain Rule · La Regla de la Cadena
Syllabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.C: Calculate derivatives of compositions of differentiable functions.
FUN-3.C.1 The chain rule provides a way to differentiate composite functions.
Español
Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de Aprendizaje FUN-3.C: Calcular derivadas de composiciones de funciones diferenciables.
FUN-3.C.1 La regla de la cadena proporciona un método para derivar funciones compuestas.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fuente: College Board AP Course and Exam Description
English
The chain rule
Unit 2 differentiated single functions. Unit 3 differentiates functions built inside other functions. The chain rule 链式法则 differentiates a composite function 复合函数$f\big(g(x)\big)$:
"Derivative of the outer function (leaving the inside alone), times the derivative of the inside." The inner derivative $g'(x)$ is the piece students forget, so always ask "what is the inside, and what is its derivative?" Example:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
In Leibniz notation, with $y=f(u)$ and $u=g(x)$, the rule reads $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – the intermediate $du$ appears to "cancel." Exam questions often give a table for $f$, $g$, $f'$, $g'$ and ask for $h'(a)$ where $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evaluate $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ by reading values.
Worked example. Differentiate $h(x)=(2x^2+1)^5$. The outer function is "(something)$^5$" and the inner is $2x^2+1$:
$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$
Español
Un camino de montaña: las funciones compuestas anidan tasas de cambio (regla de la cadena)La regla de la cadena
La Unidad 2 diferencia funciones simples diferenciadas. La Unidad 3 diferencia funciones construidas dentro de otras funciones. La regla de la cadena 链式法则 diferencia una función compuesta 复合函数$f\big(g(x)\big)$:
"Derivada de la función externa (dejando el interior intacto), multiplicada por la derivada del interior." La derivada interna $g'(x)$ es la parte que los estudiantes suelen olvidar, así que siempre pregúntese "¿qué es lo interno y cuál es su derivada?". Ejemplo:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
En notación leibniziana, con $y=f(u)$ y $u=g(x)$, la regla se escribe $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ — el término intermedio $du$ parece "cancelarse". Las preguntas de examen a menudo proporcionan una tabla para $f$, $g$, $f'$, $g'$ y solicitan $h'(a)$ donde $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evalúe $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ leyendo los valores.
Ejemplo resuelto. Diferencia $h(x)=(2x^2+1)^5$. La función externa es "(algo)$^5$" y la interna es $2x^2+1$:
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.D: Calculate derivatives of implicitly defined functions.
FUN-3.D.1 The chain rule is the basis for implicit differentiation.
Español
Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de aprendizaje FUN-3.D: Calcular derivadas de funciones definidas implícitamente.
FUN-3.D.1 La regla de la cadena es la base de la diferenciación implícita.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fuente: College Board AP Course and Exam Description
English
Some curves are defined implicitly – by an equation in $x$ and $y$ that is not solved for $y$, such as $x^2+y^2=25$. Implicit differentiation 隐函数求导 finds $\dfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$ first. It is just the chain rule, treating $y$ as a function of $x$.
The method: differentiate both sides with respect to $x$; every time you differentiate a $y$-term, multiply by $\dfrac{dy}{dx}$ (the chain rule); then solve algebraically for $\dfrac{dy}{dx}$. For $x^2+y^2=25$:
Worked example. Find the tangent to $x^2+y^2=25$ at $(3,4)$. Here $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, so the tangent line is $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendicular to the radius, as geometry predicts.
Exam skill – "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". This exact prompt appears most years (e.g. "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Because the target is given, you must show every algebra step cleanly: differentiate both sides, use the product/chain rules on mixed $xy$ terms, collect all $\dfrac{dy}{dx}$ terms on one side, factor, and divide. A correct final line that skips the algebra earns little. Follow-up parts then ask for a tangent line, or where the tangent is horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, so the numerator is $0$) or vertical (the denominator is $0$).
Español
Algunas curvas están definidas implícitamente — mediante una ecuación en $x$ e $y$ que no está despejada para $y$, como $x^2+y^2=25$. La diferenciación implícita 隐函数求导 encuentra $\dfrac{dy}{dx}$ sin despejar $y$ previamente. Es simplemente la regla de la cadena, tratando a $y$ como una función de $x$.
El método: derive ambos lados con respecto a $x$; cada vez que derive un término con $y$, multiplique por $\dfrac{dy}{dx}$ (la regla de la cadena); luego despeje algebraicamente $\dfrac{dy}{dx}$. Para $x^2+y^2=25$:
Ejemplo resuelto. Encuentra la tangente a $x^2+y^2=25$ en $(3,4)$. Aquí $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, así que la línea tangente es $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendicular al radio, como predice la geometría.
Diferenciación implícita proporciona la tangente a un círculo, perpendicular al radio
Habilidad de examen – "Demuestre que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Este enunciado exacto aparece casi todos los años (por ejemplo, "Demuestre que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Dado que el objetivo está dado, debe mostrar cada paso algebraico con claridad: derive ambos lados, aplique las reglas del producto/cadena a los términos mixtos $xy$, agrupe todos los términos $\dfrac{dy}{dx}$ en un lado, factorice y divida. Una línea final correcta que omita el álgebra obtiene pocos puntos. Las partes subsiguientes suelen pedir la recta tangente, o dónde la tangente es horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, por lo tanto el numerador es $0$) o vertical (el denominador es $0$).
3.3
Differentiating Inverse Functions · Diferenciación de Funciones Inversas
Syllabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.1 The chain rule and definition of an inverse function can be used to find the derivative of an inverse function, provided the derivative exists.
Español
Comprensión perdurable (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de aprendizaje FUN-3.E: Calcular derivadas de funciones inversas y trigonométricas inversas.
FUN-3.E.1 La regla de la cadena y la definición de una función inversa pueden utilizarse para encontrar la derivada de una función inversa, siempre que dicha derivada exista.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fuente: College Board AP Course and Exam Description
English
If $g$ is the inverse function 反函数 of $f$ (so $f(g(x))=x$), the chain rule links their derivatives:
In words: the derivative of the inverse at a point is the reciprocal 倒数 of the derivative of the original function at the matching point. A common exam setup gives a table and a point $(a,b)$ on $f$ (so $(b,a)$ is on $g$), then asks for $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Worked example. If $f(2)=5$ and $f'(2)=3$, and $g$ is the inverse of $f$, then $(5,2)$ lies on $g$ and $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
Español
Si $g$ es la función inversa 反函数 de $f$ (es decir, $f(g(x))=x$), la regla de la cadena vincula sus derivadas:
En palabras: la derivada de la inversa en un punto es el recíproco 倒数 de la derivada de la función original en el punto correspondiente. Un escenario de examen común proporciona una tabla y un punto $(a,b)$ en $f$ (por lo tanto $(b,a)$ está en $g$), y luego pide $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Ejemplo resuelto. Si $f(2)=5$ y $f'(2)=3$, y $g$ es la inversa de $f$, entonces $(5,2)$ yace en $g$ y $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
La función inversa es la imagen especular de la función en la recta y = x
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Una exponencial y su inversa el log
y = a·e^(bx) + c
Las funciones inversas se reflejan a través de $y=x$ y sus pendientes son recíprocas. Donde una es pronunciada, su inversa es suave.
3.4
Differentiating Inverse Trigonometric Functions · Diferenciación de Funciones Trigonométricas Inversas
Syllabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.2 The chain rule applied with the definition of an inverse function, or the formula for the derivative of an inverse function, can be used to find the derivatives of inverse trigonometric functions.
Español
Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de aprendizaje FUN-3.E: Calcular derivadas de funciones inversas y funciones trigonométricas inversas.
FUN-3.E.2 La regla de la cadena aplicada junto con la definición de una función inversa, o la fórmula para la derivada de una función inversa, pueden utilizarse para encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fuente: College Board AP Course and Exam Description
English
The same idea gives the derivatives of the inverse trigonometric functions 反三角函数. The three you should know:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combine these with the chain rule when the input is itself a function, e.g. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
Español
La misma idea da las derivadas de las funciones trigonométricas inversas 反三角函数. Las tres que debe conocer:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combine estas con la regla de la cadena cuando la entrada sea ella misma una función, por ejemplo $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
Selecting Procedures for Calculating Derivatives · Selección de Procedimientos para Calcular Derivadas
Syllabus
English
This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for calculating derivatives. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to calculating derivatives.
Español
Este tema está destinado a centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento adecuado para el cálculo de derivadas. Se debe brindar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con el cálculo de derivadas.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fuente: College Board AP Course and Exam Description
English
A skill topic: real derivatives mix several rules, so read the structure of the expression first, from the outside in.
Is it a sum? Differentiate term by term.
A product or quotient? Apply that rule, and expect to use the chain rule inside.
A composite (something inside something)? Chain rule.
Given implicitly? Implicit differentiation.
Name the outermost operation, apply its rule, and recurse inward. Neatness prevents the sign and bookkeeping errors that cost marks.
Español
Un tema de habilidad: las derivadas reales mezclan varias reglas, así que lea primero la estructura de la expresión, de afuera hacia adentro.
¿Es una suma? Derive término a término.
¿Un producto o cociente? Aplique esa regla, y espere usar la regla de la cadena internamente.
¿Una compuesta (algo dentro de algo)? Regla de la cadena.
¿Dada implícitamente? Diferenciación implícita.
Nombre la operación más externa, aplique su regla y recorra hacia adentro. El orden evita errores de signo y de contabilidad que cuestan puntos.
3.6
Calculating Higher-Order Derivatives · Cálculo de Derivadas de Orden Superior
Syllabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.F: Determine higher order derivatives of a function.
FUN-3.F.1 Differentiating $f'$ produces the second derivative $f''$, provided the derivative of $f'$ exists; repeating this process produces higher-order derivatives of $f$.
FUN-3.F.2 Higher-order derivatives are represented with a variety of notations. For $y = f(x)$, notations for the second derivative include $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, and $y''$. Higher-order derivatives can be denoted $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ or $f^{(n)}(x)$.
Español
Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de aprendizaje FUN-3.F: Determinar derivadas de orden superior de una función.
FUN-3.F.1 Derivar $f'$ produce la segunda derivada $f''$, siempre que exista la derivada de $f'$; repetir este proceso genera derivadas de orden superior de $f$.
FUN-3.F.2 Las derivadas de orden superior se representan mediante diversas notaciones. Para $y = f(x)$, las notaciones para la segunda derivada incluyen $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ e $y''$. Las derivadas de orden superior pueden denotarse como $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ o $f^{(n)}(x)$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fuente: College Board AP Course and Exam Description
English
Differentiating $f'$ produces the second derivative 二阶导数$f''$; repeating gives higher-order derivatives. The notations:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
The second derivative measures how the slope is changing; it drives concavity 凹凸性 and acceleration in later units. To find $f''$ implicitly, differentiate the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ again (with the quotient and chain rules), then substitute $\dfrac{dy}{dx}$ back in.
Español
Derivar $f'$ produce la segunda derivada 二阶导数$f''$; repetir esto genera derivadas de orden superior. Las notaciones:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
La segunda derivada mide cómo cambia la pendiente; impulsa la concavidad 凹凸性和 aceleración en unidades posteriores. Para encontrar $f''$ implícitamente, derive nuevamente la expresión para $\dfrac{dy}{dx}$ (con las reglas del cociente y la cadena), y luego sustituya $\dfrac{dy}{dx}$ de vuelta.
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La segunda derivada es la pendiente de la pendiente
y = ax³ + bx² + cx + d
Diferenciar nuevamente da $f''$, la tasa a la que cambia la pendiente. Donde la pendiente está aumentando, la curva se curva hacia arriba.
3.6
Exam tips · Consejos para el examen
English
Use the chain rule for composite functions — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside (the most-forgotten factor).
For implicit differentiation, differentiate both sides with respect to $x$ and attach $\tfrac{dy}{dx}$ each time $y$ is differentiated, then solve.
Get the second derivative by differentiating twice (velocity → acceleration).
Combine rules carefully in layered expressions (chain inside product, etc.).
The inverse function's graph is the reflection in $y=x$; its slope is the reciprocal of the original's at the matching point.
Español
Use la regla de la cadena para funciones compuestas — derive la parte exterior, luego multiplique por la derivada de la parte interna (el factor más olvidado).
Para la diferenciación implícita, derive ambos lados con respecto a $x$ y adjunte $\tfrac{dy}{dx}$ cada vez que se derive $y$, luego despeje.
Obtenga la segunda derivada derivando dos veces (velocidad → aceleración).
Combine las reglas cuidadosamente en expresiones anidadas (cadena dentro de producto, etc.).
La gráfica de la función inversa es el reflejo en $y=x$; su pendiente es el recíproco de la original en el punto correspondiente.
Interactive lessons on this topic · Lecciones interactivas sobre este tema
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