AP Thống kê

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.A: Xác định các câu hỏi cần trả lời, dựa trên sự biến thiên của dữ liệu một biến. [Kỹ năng 1.A]

• VAR-1.A.1 Các con số có thể truyền tải thông tin có ý nghĩa, khi được đặt trong ngữ cảnh.

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.B: Xác định các biến số trong một bộ dữ liệu. [Kỹ năng 2.A]

• VAR-1.B.1 Một biến số là một đặc điểm thay đổi từ cá thể này sang cá thể khác.

Mục tiêu học tập VAR-1.C: Phân loại các loại biến số. [Kỹ năng 2.A]

• VAR-1.C.1 Một biến số phân loại nhận các giá trị là tên phân loại hoặc nhãn nhóm.
• VAR-1.C.2 Một biến số định lượng là biến số nhận các giá trị số học cho một đại lượng được đo lường hoặc đếm được.
  • Ví dụ minh họa cho VAR-1.C:
    • Biến số phân loại:
      • Tay chủ yếu
      • Nhóm tuổi (trẻ hoặc già)
      • Trình độ học vấn cao nhất đạt được
    • Các biến định lượng:
      • Tuổi của một công trình
      • Chiều cao của một đứa trẻ
      • Nồng độ của một mẫu thử

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.A: Biểu diễn dữ liệu định tính bằng bảng tần số hoặc tần số tương đối. [Kỹ năng 2.B]

• UNC-1.A.1 Bảng tần số cho biết số trường hợp落入 vào mỗi danh mục. Bảng tần số tương đối cho biết tỷ lệ phần trăm các trường hợp落入 vào mỗi danh mục.

Mục tiêu học tập UNC-1.B: Mô tả dữ liệu định tính được biểu diễn trong bảng tần số hoặc bảng tần số tương đối. [Kỹ năng 2.A]

• UNC-1.B.1 Phần trăm, tần số tương đối và tốc độ đều cung cấp cùng thông tin với tỷ lệ phần trăm.
• UNC-1.B.2 Số lượng và tần số tương đối của dữ liệu định tính tiết lộ thông tin có thể được sử dụng để biện minh cho các tuyên bố về dữ liệu trong ngữ cảnh.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.C: Biểu diễn dữ liệu định tính bằng đồ thị. [Kỹ năng 2.B]

• UNC-1.C.1 Biểu đồ cột (hoặc biểu đồ thanh) được sử dụng để hiển thị tần số (số lượng) hoặc tần số tương đối (tỷ lệ phần trăm) cho dữ liệu định tính.
• UNC-1.C.2 Chiều cao hoặc chiều dài của mỗi cột trong biểu đồ cột tương ứng với số lượng hoặc tỷ lệ phần trăm các quan sát落入 trong mỗi danh mục.
• UNC-1.C.3 Có rất nhiều cách khác để biểu diễn tần số (số lượng) hoặc tần số tương đối (tỷ lệ phần trăm) cho dữ liệu định tính.

Mục tiêu học tập UNC-1.D: Mô tả dữ liệu định tính được biểu diễn bằng đồ thị. [Kỹ năng 2.A]

• UNC-1.D.1 Các biểu diễn đồ thị của biến định tính tiết lộ thông tin có thể được sử dụng để biện minh cho các tuyên bố về dữ liệu trong ngữ cảnh.

Mục tiêu học tập UNC-1.E: So sánh nhiều bộ dữ liệu định tính. [Kỹ năng 2.D]

• UNC-1.E.1 Bảng tần số, biểu đồ cột hoặc các biểu diễn khác có thể được sử dụng để so sánh hai hoặc nhiều bộ dữ liệu theo cùng một biến định tính.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.F: Phân loại các loại biến định lượng. [Kỹ năng 2.A]

• UNC-1.F.1 Biến rời rạc có thể nhận một số giá trị đếm được. Số giá trị có thể hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, ví dụ như các số đếm.
• UNC-1.F.2 Biến liên tục có thể nhận vô số giá trị, nhưng những giá trị đó không thể đếm được. Bất kể khoảng cách giữa hai giá trị của biến liên tục nhỏ đến đâu, luôn có thể xác định được một giá trị khác nằm giữa chúng.
  • Ví dụ minh họa cho UNC-1.F:
    • Một biến rời rạc:
      • Số học sinh trong một lớp
    • Một biến liên tục:
      • Chiều cao của một đứa trẻ

Mục tiêu học tập UNC-1.G: Biểu diễn dữ liệu định lượng bằng đồ thị. [Kỹ năng 2.B]

• UNC-1.G.1 Trong biểu đồ tần số (histogram), chiều cao của mỗi cột cho biết số lượng hoặc tỷ lệ phần trăm các quan sát落入 trong khoảng tương ứng với cột đó. Thay đổi độ rộng khoảng có thể làm thay đổi hình dáng của biểu đồ tần số.
• UNC-1.G.2 Trong biểu đồ thân lá, mỗi giá trị dữ liệu được chia thành "thân" (chữ số đầu tiên hoặc các chữ số đầu) và "lá" (thường là chữ số cuối).
• UNC-1.G.3 Biểu đồ chấm biểu diễn mỗi quan sát bằng một chấm, với vị trí trên trục hoành tương ứng với giá trị dữ liệu của quan sát đó, với các giá trị gần giống nhau xếp chồng lên nhau.
• UNC-1.G.4 Biểu đồ tích lũy biểu diễn số lượng hoặc tỷ lệ phần trăm của bộ dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng một số đã cho.
• UNC-1.G.5 Có rất nhiều cách khác để biểu diễn đồ thị phân phối của dữ liệu định lượng.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.H: Mô tả các đặc điểm của phân phối dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.A]

• UNC-1.H.1 Mô tả phân phối của dữ liệu định lượng bao gồm hình dạng, trung tâm và độ biến thiên (phân tán), cũng như bất kỳ đặc điểm bất thường nào như giá trị ngoại lai, khoảng trống, cụm dữ liệu, hoặc nhiều đỉnh.
• UNC-1.H.2 Giá trị ngoại lai cho dữ liệu một biến là các điểm dữ liệu bất thường nhỏ hoặc lớn so với phần còn lại của dữ liệu.
• UNC-1.H.3 Phân phối lệch về bên phải (lệch dương) nếu đuôi bên phải dài hơn đuôi bên trái. Phân phối lệch về bên trái (lệch âm) nếu đuôi bên trái dài hơn đuôi bên phải. Phân phối đối xứng nếu nửa bên trái là ảnh phản chiếu của nửa bên phải.
• UNC-1.H.4 Đồ thị một biến với một đỉnh chính được gọi là đơn modal. Đồ thị với hai đỉnh nổi bật là song modal. Đồ thị mà chiều cao của mỗi cột xấp xỉ bằng nhau (không có đỉnh nổi bật) là xấp xỉ đồng đều.
• UNC-1.H.5 Khoảng trống là một vùng của phân phối giữa hai giá trị dữ liệu nơi không có dữ liệu quan sát nào.
• UNC-1.H.6 Cụm dữ liệu là sự tập trung của dữ liệu thường được tách biệt bởi các khoảng trống.
• UNC-1.H.7 Thống kê mô tả không gán các thuộc tính của bộ dữ liệu cho quần thể lớn hơn, nhưng có thể cung cấp cơ sở cho các phỏng đoán để kiểm tra tiếp theo.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.I: Tính toán các thước đo trung tâm và vị trí cho dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.C]

• UNC-1.I.1 Một số liệu thống kê là một bản tóm tắt số học của dữ liệu mẫu.
• UNC-1.I.2 Trung bình cộng là tổng của tất cả các giá trị dữ liệu chia cho số lượng giá trị. Đối với mẫu, trung bình cộng được ký hiệu là $x$-bar: $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$, trong đó $x_i$ đại diện cho $i^{\text{th}}$ điểm dữ liệu trong mẫu và $n$ đại diện cho số lượng giá trị dữ liệu trong mẫu.
• UNC-1.I.3 Median (trung vị) của một tập dữ liệu là giá trị ở giữa khi dữ liệu đã được sắp xếp. Khi số lượng điểm dữ liệu là số chẵn, median có thể nhận bất kỳ giá trị nào nằm giữa hai giá trị ở giữa. Trong AP Statistics, giá trị thường dùng nhất cho median của tập dữ liệu có số lượng giá trị chẵn là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.
• UNC-1.I.4 Tứ phân vị thứ nhất, Q1, là median của nửa tập dữ liệu đã sắp xếp từ giá trị tối thiểu đến vị trí của median. Tứ phân vị thứ ba, Q3, là median của nửa tập dữ liệu đã sắp xếp từ vị trí của median đến giá trị tối đa. Q1 và Q3 tạo thành ranh giới cho 50% giá trị ở giữa trong một tập dữ liệu đã sắp xếp.
• UNC-1.I.5 P $p^{\text{th}}$ phần trăm được hiểu là giá trị mà $p\%$ của dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó.

Mục tiêu học tập UNC-1.J: Tính toán các Measures of variability (đo lường độ phân tán) cho dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.C]

• UNC-1.J.1 Ba Measures of variability (hoặc spread - độ trải rộng) thường dùng trong phân phối là khoảng biến thiên (range), khoảng tứ phân vị (interquartile range), và độ lệch chuẩn.
• UNC-1.J.2 Khoảng biến thiên (range) được định nghĩa là hiệu giữa giá trị dữ liệu lớn nhất và giá trị dữ liệu nhỏ nhất. Khoảng tứ phân vị (IQR) được định nghĩa là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: $Q3 - Q1$. Cả khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị đều là những cách đo lường độ phân tán hợp lý của phân phối một biến định lượng.
• UNC-1.J.3 Độ lệch chuẩn là một cách để đo lường độ phân tán của phân phối một biến định lượng. Đối với mẫu, độ lệch chuẩn được ký hiệu là $s$: $s_x = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2}$. Bình phương của độ lệch chuẩn mẫu, $s^2$, được gọi là phương sai mẫu.
• UNC-1.J.4 Thay đổi đơn vị đo lường sẽ ảnh hưởng đến các giá trị thống kê đã tính toán.

Mục tiêu học tập UNC-1.K: Giải thích việc lựa chọn một Measure of center (đo lường trung tâm) và/hoặc Measure of variability (đo lường độ phân tán) cụ thể để mô tả một tập dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-1.K.1 Có nhiều phương pháp xác định giá trị ngoại lai. Hai phương pháp thường được sử dụng trong khóa học này là:
  • UNC-1.K.1.i Một giá trị ngoại lai là giá trị lớn hơn $1.5 \times \text{IQR}$ trên tứ phân vị thứ ba hoặc nhỏ hơn $1.5 \times \text{IQR}$ dưới tứ phân vị thứ nhất.
  • UNC-1.K.1.ii Một giá trị ngoại lai là giá trị nằm cách 2 hoặc nhiều độ lệch chuẩn hơn lên trên, hoặc xuống dưới, trung bình cộng.
• UNC-1.K.2 Trung bình cộng, độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên được coi là không kháng cự (nonresistant hoặc non-robust) vì chúng bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai. Median và IQR được coi là kháng cự (resistant hoặc robust), vì các giá trị ngoại lai không làm thay đổi đáng kể (nếu có) giá trị của chúng.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.L: Biểu diễn đồ thị các Thống kê Tóm tắt cho dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.B]

• UNC-1.L.1 Kết hợp lại, giá trị dữ liệu tối thiểu, tứ phân vị thứ nhất (Q1), median, tứ phân vị thứ ba (Q3), và giá trị dữ liệu tối đa tạo thành bộ năm số tóm tắt (five-number summary).
• UNC-1.L.2 Một boxplot (biểu đồ hộp) là biểu diễn đồ thị của bộ năm số tóm tắt (tối thiểu, tứ phân vị thứ nhất, median, tứ phân vị thứ ba, tối đa). Phần hộp đại diện cho 50% dữ liệu ở giữa, với đường kẻ tại vị trí median và hai đầu hộp tương ứng với các tứ phân vị. Các đường thẳng ("mũi") kéo dài từ các tứ phân vị đến điểm cực đoan nhất không phải là giá trị ngoại lai, và các giá trị ngoại lai được chỉ báo bằng ký hiệu riêng biệt bên ngoài điểm này.

Mục tiêu học tập UNC-1.M: Mô tả các Thống kê Tóm tắt của dữ liệu định lượng được biểu diễn đồ thị. [Kỹ năng 2.A]

• UNC-1.M.1 Các Thống kê Tóm tắt của dữ liệu định lượng, hoặc các tập dữ liệu định lượng, có thể được sử dụng để biện minh cho các tuyên bố về dữ liệu trong ngữ cảnh cụ thể.
• UNC-1.M.2 Nếu một phân phối khá đối xứng, thì trung bình cộng và median sẽ tương đối gần nhau. Nếu một phân phối lệch phải, thì trung bình cộng thường nằm bên phải của median. Nếu phân phối lệch trái, thì trung bình cộng thường nằm bên trái của median.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.N: So sánh các biểu diễn đồ thị cho nhiều tập dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.D]

• UNC-1.N.1 Bất kỳ loại biểu diễn đồ thị nào, ví dụ: histogram, boxplot đặt cạnh nhau, v.v., đều có thể được sử dụng để so sánh hai hoặc nhiều mẫu độc lập về trung tâm, độ phân tán, cụm, khoảng trống, giá trị ngoại lai và các đặc điểm khác.

Mục tiêu học tập UNC-1.O: So sánh các Thống kê Tóm tắt cho nhiều tập dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.D]

• UNC-1.O.1 Bất kỳ loại tóm tắt số nào (ví dụ: trung bình cộng, độ lệch chuẩn, tần suất tương đối, v.v.) đều có thể được sử dụng để so sánh hai hoặc nhiều mẫu độc lập.

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.D: Xác định các câu hỏi cần trả lời về các mối quan hệ tiềm năng trong dữ liệu. [Kỹ năng 1.A]

• VAR-1.D.1 Các mẫu hình và mối liên hệ rõ ràng trong dữ liệu có thể mang tính ngẫu nhiên hoặc không.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.P: So sánh các biểu diễn số và đồ thị cho hai biến định tính. [Kỹ năng 2.D]

• UNC-1.P.1 Biểu đồ cột đặt cạnh nhau, biểu đồ cột phân đoạn, và biểu đồ mosaic là các ví dụ về biểu đồ cột cho một biến định tính, được phân tách theo các danh mục của một biến định tính khác.
• UNC-1.P.2 Các biểu diễn đồ thị của hai biến định tính có thể được sử dụng để so sánh các phân phối và/hoặc xác định xem các biến có liên quan với nhau hay không.
• UNC-1.P.3 Bảng hai chiều, còn gọi là bảng liên hệ, được sử dụng để tóm tắt hai biến phân loại. Các ô trong bảng có thể chứa số liệu tần suất hoặc tần suất tương đối.
• UNC-1.P.4 Tần suất tương đối chung là tần suất của một ô chia cho tổng số của toàn bộ bảng.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.Q: Tính toán thống kê cho hai biến phân loại. [Kỹ năng 2.C]

• UNC-1.Q.1 Tần suất tương đối biên là tổng các hàng và cột trong bảng hai chiều chia cho tổng số của toàn bộ bảng.
• UNC-1.Q.2 Tần suất tương đối điều kiện là tần suất tương đối của một phần cụ thể trong bảng liên hệ (ví dụ: tần suất ô trong một hàng chia cho tổng số của hàng đó).

Mục tiêu học tập UNC-1.R: So sánh thống kê cho hai biến phân loại. [Kỹ năng 2.D]

• UNC-1.R.1 Các thống kê tóm tắt cho hai biến phân loại có thể được sử dụng để so sánh phân phối và/hoặc xác định xem các biến có liên quan với nhau hay không.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.S: Biểu diễn dữ liệu định lượng hai biến bằng biểu đồ phân tán. [Kỹ năng 2.B]

• UNC-1.S.1 Một tập dữ liệu định lượng hai biến bao gồm các quan sát của hai biến định lượng khác nhau trên các cá thể trong một mẫu hoặc quần thể.
• UNC-1.S.2 Biểu đồ phân tán hiển thị hai giá trị số cho mỗi quan sát, một giá trị tương ứng với giá trị trên trục $x$ và một giá trị tương ứng với giá trị trên trục $y$.
• UNC-1.S.3 Biến giải thích là biến mà các giá trị của nó được sử dụng để giải thích hoặc dự đoán các giá trị tương ứng của biến phản hồi.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.A: Mô tả các đặc điểm của biểu đồ phân tán. [Kỹ năng 2.A]

• DAT-1.A.1 Một mô tả về biểu đồ phân tán bao gồm hình dạng, hướng, độ mạnh và các đặc điểm bất thường.
• DAT-1.A.2 Hướng của mối liên hệ được hiển thị trong biểu đồ phân tán, nếu có, có thể được mô tả là dương tính hoặc âm tính.
• DAT-1.A.3 Mối liên hệ dương tính có nghĩa là khi giá trị của một biến tăng lên, giá trị của biến kia cũng có xu hướng tăng lên. Mối liên hệ âm tính có nghĩa là khi giá trị của một biến tăng lên, giá trị của biến kia có xu hướng giảm xuống.
• DAT-1.A.4 Hình dạng của mối liên hệ được hiển thị trong biểu đồ phân tán, nếu có, có thể được mô tả là tuyến tính hoặc phi tuyến tính ở mức độ khác nhau.
• DAT-1.A.5 Độ mạnh của mối liên hệ là mức độ các điểm riêng lẻ tuân theo một mẫu cụ thể, ví dụ như tuyến tính, và có thể được thể hiện trong biểu đồ phân tán. Độ mạnh có thể được mô tả là mạnh, trung bình hoặc yếu.
• DAT-1.A.6 Các đặc điểm bất thường của biểu đồ phân tán bao gồm các cụm điểm hoặc các điểm có sự chênh lệch tương đối lớn giữa giá trị của biến phản hồi và giá trị dự đoán cho biến phản hồi đó.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.B: Xác định hệ số tương quan cho mối quan hệ tuyến tính. [Kỹ năng 2.C]

• DAT-1.B.1 Hệ số tương quan, $r$, cho biết hướng và định lượng độ mạnh của mối liên hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng.
• DAT-1.B.2 Hệ số tương quan có thể được tính bằng: $r = \dfrac{1}{n-1} \sum \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)$. Tuy nhiên, cách phổ biến nhất để xác định $r$ là sử dụng công nghệ.
• DAT-1.B.3 Một hệ số tương quan gần 1 hoặc $-1$ không nhất thiết có nghĩa là mô hình tuyến tính là phù hợp.

Mục tiêu học tập DAT-1.C: Giải thích hệ số tương quan cho mối quan hệ tuyến tính. [Kỹ năng 4.B]

• DAT-1.C.1 Hệ số tương quan, $r$, không có đơn vị và luôn nằm trong khoảng từ $-1$ đến 1, bao gồm cả hai giá trị biên. Giá trị $r = 0$ cho thấy không có mối liên hệ tuyến tính. Giá trị $r = 1$ hoặc $r = -1$ cho thấy có mối liên hệ tuyến tính hoàn hảo.
• DAT-1.C.2 Một mối quan hệ cảm nhận hoặc thực tế giữa hai biến không có nghĩa là sự thay đổi của một biến gây ra sự thay đổi của biến kia. Nói cách khác, tương quan không nhất thiết ngụ ý nguyên nhân - kết quả.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.D: Tính toán giá trị dự đoán bằng mô hình hồi quy tuyến tính. [Kỹ năng 2.C]

• DAT-1.D.1 Một mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản là một phương trình sử dụng biến giải thích, $x$, để dự đoán biến phản hồi, $y$.
• DAT-1.D.2 Giá trị dự đoán, ký hiệu bởi $\hat{y}$, được tính bằng $\hat{y} = a + bx$, trong đó $a$ là giao điểm trên trục $y$ và $b$ là độ dốc của đường hồi quy, và $x$ là giá trị của biến giải thích.
• DAT-1.D.3 Ngoại suy là dự đoán một giá trị phản hồi bằng cách sử dụng một giá trị của biến giải thích nằm ngoài khoảng các giá trị $x$ được sử dụng để xác định đường hồi quy. Giá trị dự đoán kém đáng tin cậy hơn như một ước lượng khi chúng ta ngoại suy càng xa.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.E: Biểu diễn sự khác biệt giữa các giá trị đo lường và giá trị dự đoán bằng biểu đồ phần dư. [Kỹ năng 2.B]

• DAT-1.E.1 Phần dư là sự khác biệt giữa giá trị thực tế và giá trị dự đoán: $\text{residual} = y - \hat{y}$.
• DAT-1.E.2 Biểu đồ phần dư là biểu đồ của các phần dư theo các giá trị của biến giải thích hoặc các giá trị phản hồi dự đoán.

Mục tiêu học tập DAT-1.F: Mô tả hình dạng của mối liên hệ trong dữ liệu hai biến bằng biểu đồ phần dư. [Kỹ năng 2.A]

• DAT-1.F.1 Sự ngẫu nhiên rõ ràng trong biểu đồ phần dư của một mô hình tuyến tính là bằng chứng cho thấy hình dạng tuyến tính của mối liên hệ giữa các biến.
• DAT-1.F.2 Biểu đồ phần dư có thể được sử dụng để kiểm tra tính phù hợp của một mô hình đã chọn.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.G: Ước lượng tham số cho mô hình đường hồi quy bình phương tối thiểu. [Kỹ năng 2.C]

• DAT-1.G.1 Mô hình hồi quy bình phương tối thiểu tối thiểu hóa tổng bình phương phần dư và chứa điểm $(\bar{x}, \bar{y})$.
• DAT-1.G.2 Hệ số góc, $b$, của đường hồi quy có thể được tính theo công thức $b = r \left( \dfrac{s_y}{s_x} \right)$, trong đó $r$ là hệ số tương quan giữa $x$ và $y$, $s_y$ là độ lệch chuẩn mẫu của biến phản ứng, $y$, và $s_x$ là độ lệch chuẩn mẫu của biến giải thích, $x$.
• DAT-1.G.3 Đôi khi, $y$-trục (trục tung) của đường thẳng không có ý nghĩa thực tế trong ngữ cảnh.
• DAT-1.G.4 Trong hồi quy tuyến tính đơn giản, $r^2$ là bình phương của hệ số tương quan, $r$. Nó còn được gọi là hệ số xác định. $r^2$ là tỷ lệ biến thiên của biến phản ứng được giải thích bởi biến giải thích trong mô hình.

Mục tiêu học tập DAT-1.H: Giải thích các hệ số của mô hình đường hồi quy bình phương tối thiểu. [Kỹ năng 4.B]

• DAT-1.H.1 Các hệ số của mô hình hồi quy bình phương tối thiểu là độ dốc ước lượng và $y$-trục (trục tung).
• DAT-1.H.2 Hệ số góc là mức thay đổi của giá trị dự báo $y$ đối với mỗi đơn vị gia tăng của $x$.
• DAT-1.H.3 Giá trị $y$-trục (trục tung) là giá trị dự báo của biến phản hồi khi biến giải thích bằng $0$. Công thức cho $y$-trục (trục tung), $a$, là $a = \bar{y} - b\bar{x}$.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.I: Xác định các điểm ảnh hưởng trong hồi quy. [Kỹ năng 2.A]

• DAT-1.I.1 Một điểm ngoại lai trong hồi quy là một điểm không tuân theo xu hướng chung được thể hiện ở phần dữ liệu còn lại và có phần dư lớn khi Đường hồi quy bình phương tối thiểu (LSRL) được tính toán.
• DAT-1.I.2 Một điểm có sức nặng cao (high-leverage point) trong hồi quy có giá trị $x$ lớn hơn hoặc nhỏ hơn đáng kể so với các quan sát khác.
• DAT-1.I.3 Một điểm ảnh hưởng trong hồi quy là bất kỳ điểm nào mà nếu bị loại bỏ sẽ làm thay đổi mối quan hệ đáng kể. Ví dụ bao gồm độ dốc khác biệt nhiều, $y$-trục (trục tung), và/hoặc tương quan. Điểm ngoại lai và điểm có lực cao thường mang tính ảnh hưởng.

Mục tiêu học tập DAT-1.J: Tính giá trị dự báo sử dụng đường hồi quy bình phương tối thiểu cho bộ dữ liệu đã được biến đổi. [Kỹ năng 2.C]

• DAT-1.J.1 Việc biến đổi các biến, chẳng hạn như tính logarit tự nhiên của từng giá trị của biến phản ứng hoặc bình phương từng giá trị của biến giải thích, có thể được sử dụng để tạo ra các bộ dữ liệu đã biến đổi, vốn có dạng tuyến tính hơn so với dữ liệu chưa biến đổi.
• DAT-1.J.2 Sự tăng lên của tính ngẫu nhiên trong biểu đồ phần dư sau khi biến đổi dữ liệu và/hoặc việc di chuyển $r^2$ đến một giá trị gần 1 hơn cung cấp bằng chứng cho thấy đường hồi quy bình phương tối thiểu của dữ liệu đã biến đổi là mô hình phù hợp hơn để dự báo các phản ứng đối với biến giải thích so với đường hồi quy của dữ liệu chưa biến đổi.

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.E: Xác định các câu hỏi cần trả lời về phương pháp thu thập dữ liệu. [Kỹ năng 1.A]

• VAR-1.E.1 Các phương pháp thu thập dữ liệu không dựa trên yếu tố ngẫu nhiên dẫn đến kết luận không đáng tin cậy.

Hiểu biết bền vững (DAT-2): Cách chúng ta thu thập dữ liệu ảnh hưởng đến những gì chúng ta có thể và không thể nói về một quần thể.

Mục tiêu học tập DAT-2.A: Xác định loại hình nghiên cứu. [Kỹ năng 1.C]

• DAT-2.A.1 Một quần thể bao gồm tất cả các đối tượng hoặc chủ thể quan tâm.
• DAT-2.A.2 Một mẫu được chọn để nghiên cứu là một tập con của quần thể.
• DAT-2.A.3 Trong nghiên cứu quan sát, các điều trị không được áp đặt. Các nhà nghiên cứu xem xét dữ liệu từ một mẫu cá nhân (hồi cứu) hoặc theo dõi một mẫu cá nhân vào tương lai để thu thập dữ liệu (tiên tiến) nhằm khám phá một chủ đề quan tâm về quần thể. Khảo sát mẫu là một loại nghiên cứu quan sát thu thập dữ liệu từ một mẫu nhằm tìm hiểu về quần thể mà mẫu đó được抽取 từ.
• DAT-2.A.4 Trong thí nghiệm, các điều kiện khác nhau (điều trị) được gán cho các đơn vị thí nghiệm (tham gia viên hoặc chủ thể).

Mục tiêu học tập DAT-2.B: Xác định các khái quát hóa và kết luận thích hợp dựa trên các nghiên cứu quan sát. [Kỹ năng 4.A]

• DAT-2.B.1 Chỉ thích hợp khi đưa ra các khái quát hóa về một quần thể dựa trên các mẫu được chọn ngẫu nhiên hoặc đại diện cho quần thể đó.
• DAT-2.B.2 Một mẫu chỉ có thể khái quát hóa sang quần thể mà từ đó mẫu được chọn.
• DAT-2.B.3 Không thể xác định các mối quan hệ nguyên nhân - kết quả giữa các biến sử dụng dữ liệu thu thập được từ một nghiên cứu quan sát.

Hiểu biết bền vững (DAT-2): Cách chúng ta thu thập dữ liệu ảnh hưởng đến những gì chúng ta có thể và không thể nói về một quần thể.

Mục tiêu học tập DAT-2.C: Xác định phương pháp lấy mẫu, dựa trên mô tả về một nghiên cứu. [Kỹ năng 1.C]

• DAT-2.C.1 Khi một đối tượng từ quần thể chỉ có thể được chọn một lần, điều này được gọi là lấy mẫu không hoàn lại. Khi một đối tượng từ quần thể có thể được chọn nhiều lần, điều này được gọi là lấy mẫu hoàn lại.
• DAT-2.C.2 Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản (SRS) là một mẫu trong đó mọi nhóm có kích thước cho trước đều có cơ hội ngang nhau để được chọn. Phương pháp này là nền tảng cho nhiều loại cơ chế lấy mẫu. Một vài ví dụ về các cơ chế dùng để thu được SRSs bao gồm đánh số các cá nhân và sử dụng máy phát số ngẫu nhiên để chọn những ai được đưa vào mẫu, bỏ qua các trường hợp trùng lặp, sử dụng bảng số ngẫu nhiên, hoặc rút một lá bài từ bộ bài mà không hoàn lại.
• DAT-2.C.3 Mẫu ngẫu nhiên phân tầng bao gồm việc chia một tổng thể thành các nhóm riêng biệt, gọi là các tầng, dựa trên các thuộc tính hoặc đặc điểm chung (sự phân nhóm đồng nhất). Trong mỗi tầng, một mẫu ngẫu nhiên đơn được chọn, và các đơn vị được chọn được kết hợp để tạo thành mẫu.
• DAT-2.C.4 Mẫu cụm bao gồm việc chia một tổng thể thành các nhóm nhỏ hơn, gọi là các cụm. Lý tưởng nhất, có sự khác biệt bên trong mỗi cụm, và các cụm tương tự nhau về cấu trúc của chúng. Một mẫu ngẫu nhiên đơn các cụm được chọn từ tổng thể để tạo thành mẫu cụm. Dữ liệu được thu thập từ tất cả các quan sát trong các cụm đã chọn.
• DAT-2.C.5 Mẫu ngẫu nhiên hệ thống là phương pháp mà các thành viên mẫu từ tổng thể được chọn theo một điểm bắt đầu ngẫu nhiên và một khoảng cách định kỳ cố định.
• DAT-2.C.6 Tổng điều tra chọn tất cả các mục/đối tượng trong một tổng thể.

Mục tiêu học tập DAT-2.D: Giải thích tại sao một phương pháp lấy mẫu cụ thể là phù hợp hoặc không phù hợp cho một tình huống cho trước. [Kỹ năng 1.C]

• DAT-2.D.1 Mỗi phương pháp lấy mẫu đều có ưu điểm và nhược điểm tùy thuộc vào câu hỏi cần trả lời và tổng thể từ đó mẫu sẽ được抽取.

Hiểu biết bền vững (DAT-2): Cách chúng ta thu thập dữ liệu ảnh hưởng đến những gì chúng ta có thể và không thể nói về một quần thể.

Mục tiêu học tập DAT-2.E: Xác định các nguồn thiên lệch tiềm tàng trong các phương pháp lấy mẫu. [Kỹ năng 1.C]

• DAT-2.E.1 Thiên lệch xảy ra khi một số phản ứng được ưu tiên có hệ thống so với những phản ứng khác.
• DAT-2.E.2 Khi một mẫu chỉ bao gồm những người tình nguyện hoặc những người chọn tham gia, mẫu thường sẽ không đại diện cho tổng thể (thiên lệch phản hồi tự nguyện).
• DAT-2.E.3 Khi một phần của tổng thể có cơ hội thấp hơn để được đưa vào mẫu, mẫu thường sẽ không đại diện cho tổng thể (thiên lệch che phủ dưới).
• DAT-2.E.4 Những cá nhân được chọn cho mẫu nhưng không thể thu thập dữ liệu (hoặc từ chối trả lời) có thể khác biệt so với những cá nhân mà dữ liệu có thể thu thập được (thiên lệch không phản hồi).
• DAT-2.E.5 Các vấn đề trong dụng cụ hoặc quy trình thu thập dữ liệu dẫn đến thiên lệch phản hồi. Ví dụ bao gồm các câu hỏi gây nhầm lẫn hoặc mang tính dẫn dắt (thiên lệch cách đặt câu hỏi) và các phản hồi do chính người trả lời cung cấp.
• DAT-2.E.6 Các phương pháp lấy mẫu phi ngẫu nhiên (ví dụ: mẫu chọn theo tiện lợi hoặc phản hồi tự nguyện) làm tăng khả năng xuất hiện thiên lệch vì chúng không sử dụng may mắn để chọn các cá nhân.

Hiểu biết dai dẳng (VAR-3): Các thực nghiệm được thiết kế tốt có thể thiết lập bằng chứng về mối quan hệ nhân quả.

Mục tiêu học tập VAR-3.A: Xác định các thành phần của một thực nghiệm. [Kỹ năng 1.C]

• VAR-3.A.1 Các đơn vị thực nghiệm là các cá nhân (có thể là con người hoặc các đối tượng nghiên cứu khác) được gán các điều trị. Khi các đơn vị thực nghiệm bao gồm con người, đôi khi họ được gọi là người tham gia hoặc đối tượng.
• VAR-3.A.2 Một biến giải thích (hoặc yếu tố) trong một thực nghiệm là một biến mà các mức độ của nó được thao tác chủ ý. Các mức độ hoặc sự kết hợp các mức độ của biến giải thích được gọi là các điều trị.
• VAR-3.A.3 Một biến phản hồi trong một thực nghiệm là một kết quả từ các đơn vị thực nghiệm được đo sau khi các điều trị đã được áp dụng.
• VAR-3.A.4 Một biến nhiễu trong một thực nghiệm là một biến liên quan đến biến giải thích và ảnh hưởng đến biến phản hồi, có thể tạo ra cảm giác sai lầm về mối liên hệ giữa hai biến.

Mục tiêu học tập VAR-3.B: Mô tả các yếu tố của một thực nghiệm được thiết kế tốt. [Kỹ năng 1.B]

• VAR-3.B.1 Một thực nghiệm được thiết kế tốt nên bao gồm các yếu tố sau:
  • a. So sánh ít nhất hai nhóm điều trị, trong đó một nhóm có thể là nhóm đối chứng.
  • b. Gán/ngân sách ngẫu nhiên các điều trị cho các đơn vị thực nghiệm.
  • c. Lặp lại (nhiều hơn một đơn vị thực nghiệm trong mỗi nhóm điều trị).
  • d. Kiểm soát các biến nhiễu tiềm tàng khi phù hợp.

Mục tiêu học tập VAR-3.C: So sánh các thiết kế và phương pháp thực nghiệm. [Kỹ năng 1.C]

• VAR-3.C.1 Trong thiết kế hoàn toàn ngẫu nhiên, các điều trị được gán cho các đơn vị thực nghiệm hoàn toàn ngẫu nhiên. Việc gán ngẫu nhiên có xu hướng cân bằng các hiệu ứng của các biến không được kiểm soát (biến nhiễu) để các khác biệt trong phản hồi có thể được quy cho các điều trị.
• VAR-3.C.2 Các phương pháp để gán ngẫu nhiên các điều trị cho các đơn vị thực nghiệm trong thiết kế hoàn toàn ngẫu nhiên bao gồm sử dụng bộ phát số ngẫu nhiên, bảng giá trị ngẫu nhiên, rút thẻ không thay thế, v.v.
• VAR-3.C.3 Trong thực nghiệm một mù, các đối tượng không biết điều trị nào họ đang nhận, nhưng các thành viên trong đội ngũ nghiên cứu thì biết, hoặc ngược lại.
• VAR-3.C.4 Trong thực nghiệm hai mù, cả các đối tượng lẫn các thành viên trong đội ngũ nghiên cứu tương tác với họ đều không biết điều trị nào một đối tượng đang nhận.
• VAR-3.C.5 Nhóm đối chứng là một tập hợp các đơn vị thực nghiệm không được giao điều trị quan tâm hoặc được giao điều trị với chất vô hiệu (placebo) nhằm xác định xem điều trị quan tâm có tác động hay không.
• VAR-3.C.6 Hiệu ứng placebo xảy ra khi các đơn vị thực nghiệm có phản hồi với một chất placebo.
• VAR-3.C.7 Đối với thiết kế khối ngẫu nhiên hoàn chỉnh, các điều trị được gán hoàn toàn ngẫu nhiên trong từng khối.
• VAR-3.C.8 Khối đảm bảo rằng ở đầu thực nghiệm, các đơn vị trong mỗi khối giống nhau với nhau về ít nhất một biến khối. Thiết kế khối ngẫu nhiên giúp tách biệt biến đổi tự nhiên khỏi các khác biệt do biến khối.
• VAR-3.C.9 Thiết kế cặp tương ứng là một trường hợp đặc biệt của thiết kế khối ngẫu nhiên. Sử dụng biến khối, các đơn vị thực nghiệm (dù là con người hay không) được sắp xếp thành từng cặp được phân loại dựa trên các yếu tố liên quan. Các cặp tương ứng có thể hình thành tự nhiên hoặc do nhà thí nghiệm tạo ra. Mỗi cặp đều nhận cả hai điều trị bằng cách gán ngẫu nhiên một điều trị cho một thành viên trong cặp và sau đó gán điều trị còn lại cho thành viên thứ hai của cặp. Thay vào đó, mỗi đơn vị thực nghiệm có thể nhận cả hai điều trị.

Hiểu biết dai dẳng (VAR-3): Các thực nghiệm được thiết kế tốt có thể thiết lập bằng chứng về mối quan hệ nhân quả.

Mục tiêu Học tập VAR-3.D: Giải thích tại sao một thiết kế thực nghiệm cụ thể là phù hợp. [Kỹ năng 1.C]

• VAR-3.D.1 Mỗi thiết kế thực nghiệm đều có những ưu điểm và nhược điểm tùy thuộc vào câu hỏi nghiên cứu, nguồn lực sẵn có và bản chất của các đơn vị thực nghiệm.

Hiểu biết dai dẳng (VAR-3): Các thực nghiệm được thiết kế tốt có thể thiết lập bằng chứng về mối quan hệ nhân quả.

Mục tiêu Học tập VAR-3.E: Giải thích kết quả của một thực nghiệm được thiết kế tốt. [Kỹ năng 4.B]

• VAR-3.E.1 Suy luận thống kê quy các kết luận dựa trên dữ liệu cho phân phối từ đó dữ liệu được thu thập.
• VAR-3.E.2 Việc gán ngẫu nhiên các điều trị cho các đơn vị thực nghiệm cho phép các nhà nghiên cứu kết luận rằng những thay đổi quan sát được quá lớn đến mức khó có thể xảy ra do ngẫu nhiên. Những thay đổi này được gọi là có ý nghĩa thống kê.
• VAR-3.E.3 Sự khác biệt có ý nghĩa thống kê giữa hoặc trong các nhóm điều trị thực nghiệm là bằng chứng cho thấy các điều trị đã gây ra hiệu ứng.
• VAR-3.E.4 Nếu các đơn vị thực nghiệm được sử dụng trong một thực nghiệm đại diện cho một nhóm đơn vị lớn hơn, kết quả của thực nghiệm có thể được ngoại suy hóa cho nhóm lớn hơn. Việc chọn ngẫu nhiên các đơn vị thực nghiệm mang lại cơ hội tốt hơn để các đơn vị này là đại diện.

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu Học tập VAR-1.F: Xác định các câu hỏi gợi ý từ các mẫu trong dữ liệu. [Kỹ năng 1.A]

• VAR-1.F.1 Các mẫu trong dữ liệu không nhất thiết có nghĩa là sự biến thiên không phải là ngẫu nhiên.

Hiểu biết Bền vững (UNC-2): Mô phỏng cho phép chúng ta dự đoán các mẫu trong dữ liệu.

Mục tiêu Học tập UNC-2.A: Ước lượng xác suất bằng mô phỏng. [Kỹ năng 3.A]

• UNC-2.A.1 Một quá trình ngẫu nhiên tạo ra các kết quả được quyết định bởi may mắn.
• UNC-2.A.2 Một kết quả là hệ quả của một lần thử nghiệm của quá trình ngẫu nhiên.
• UNC-2.A.3 Một sự kiện là một tập hợp các kết quả.
• UNC-2.A.4 Mô phỏng là một cách để mô hình hóa các sự kiện ngẫu nhiên, sao cho các kết quả mô phỏng khớp chặt chẽ với các kết quả thực tế. Tất cả các kết quả có thể xảy ra đều được gắn với một giá trị sẽ được quyết định bởi may mắn. Ghi lại số lần xuất hiện của các kết quả mô phỏng và tổng số lần.
• UNC-2.A.5 Tần suất tương đối của một kết quả hoặc sự kiện trong dữ liệu mô phỏng hoặc thực nghiệm có thể được sử dụng để ước lượng xác suất của kết quả hoặc sự kiện đó.
• UNC-2.A.6 Định luật số lớn phát biểu rằng các xác suất mô phỏng (thực nghiệm) có xu hướng tiến gần hơn đến xác suất thực tế khi số lần thử tăng lên.
  • Ví dụ minh họa cho UNC-2.A:
    • Một kết quả: Lăn ra một giá trị cụ thể trên một xúc xắc sáu mặt là một trong sáu kết quả có thể xảy ra.
    • Một sự kiện: Khi gieo hai xúc xắc sáu mặt, một sự kiện có thể là tổng bằng bảy. Tập hợp các kết quả tương ứng sẽ là $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, và $(6, 1)$, trong đó các cặp thứ tự biểu thị (giá trị mặt trên xúc xắc này, giá trị mặt trên xúc xắc kia).

Hiểu biết bền vững (VAR-4): Mức độ khả dĩ của một sự kiện ngẫu nhiên có thể được định lượng hóa.

Mục tiêu học tập VAR-4.A: Tính xác suất cho các sự kiện và phần bù của chúng. [Kỹ năng 3.A]

• VAR-4.A.1 Không gian mẫu của một quá trình ngẫu nhiên là tập hợp tất cả các kết quả không chồng chéo lẫn nhau.
• VAR-4.A.2 Nếu tất cả các kết quả trong không gian mẫu đều có khả năng xảy ra như nhau, thì xác suất một sự kiện E sẽ xảy ra được định nghĩa là tỷ lệ: $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
• VAR-4.A.3 Xác suất của một sự kiện là một số nằm trong khoảng từ 0 đến 1, bao gồm cả hai đầu mút.
• VAR-4.A.4 Xác suất của biến cố đối (bổ túc) của một biến cố E, $E'$ hoặc $E^{C}$ (tức là không phải E), bằng với $1 - P(E)$.

Mục tiêu học tập VAR-4.B: Giải thích ý nghĩa của các xác suất cho các sự kiện. [Kỹ năng 4.B]

• VAR-4.B.1 Xác suất của các sự kiện trong các tình huống có thể lặp lại có thể được giải thích là tần suất tương đối mà sự kiện đó sẽ xảy ra trong dài hạn.

Hiểu biết bền vững (VAR-4): Mức độ khả dĩ của một sự kiện ngẫu nhiên có thể được định lượng hóa.

Mục tiêu học tập VAR-4.C: Giải thích tại sao hai sự kiện là (hoặc không phải là) not/Set disjoint. [Kỹ năng 4.B]

• VAR-4.C.1 Xác suất để cả hai biến cố $A$ và $B$ cùng xảy ra, đôi khi được gọi là xác suất đồng thời, là xác suất của giao của $A$ và $B$, ký hiệu là $P(A \cap B)$.
• VAR-4.C.2 Hai sự kiện được gọi là not/Set disjoint hoặc rời nhau nếu chúng không thể xảy ra cùng lúc. Do đó $P(A \cap B) = 0$.

Hiểu biết bền vững (VAR-4): Mức độ khả dĩ của một sự kiện ngẫu nhiên có thể được định lượng hóa.

Mục tiêu học tập VAR-4.D: Tính xác suất có điều kiện. [Kỹ năng 3.A]

• VAR-4.D.1 Xác suất để sự kiện $A$ xảy ra, biết rằng sự kiện $B$ đã xảy ra, được gọi là xác suất có điều kiện và ký hiệu là $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• VAR-4.D.2 Quy tắc nhân phát biểu rằng xác suất để hai sự kiện $A$ và $B$ cùng xảy ra bằng xác suất để sự kiện $A$ xảy ra nhân với xác suất để sự kiện $B$ xảy ra, biết rằng $A$ đã xảy ra. Điều này được ký hiệu là $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Hiểu biết bền vững (VAR-4): Mức độ khả dĩ của một sự kiện ngẫu nhiên có thể được định lượng hóa.

Mục tiêu học tập VAR-4.E: Tính xác suất cho các sự kiện độc lập và hợp của hai sự kiện. [Kỹ năng 3.A]

• VAR-4.E.1 Hai sự kiện $A$ và $B$ độc lập nếu và chỉ nếu việc biết sự kiện $A$ đã xảy ra (hoặc sẽ xảy ra) không làm thay đổi xác suất để sự kiện $B$ xảy ra.
• VAR-4.E.2 Nếu và chỉ nếu hai sự kiện $A$ và $B$ độc lập, thì $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$ và $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• VAR-4.E.3 Xác suất để sự kiện $A$ hoặc sự kiện $B$ (hoặc cả hai) xảy ra là xác suất của hợp của $A$ và $B$, ký hiệu là $P(A \cup B)$.
• VAR-4.E.4 Quy tắc cộng phát biểu rằng xác suất để sự kiện $A$ hoặc sự kiện $B$ hoặc cả hai xảy ra bằng xác suất để sự kiện $A$ xảy ra cộng với xác suất để sự kiện $B$ xảy ra trừ đi xác suất để cả hai sự kiện $A$ và $B$ cùng xảy ra. Điều này được ký hiệu là $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Hiểu biết bền vững (VAR-5): Các phân phối xác suất có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên trong các quần thể.

Mục tiêu học tập VAR-5.A: Biểu diễn phân phối xác suất cho một biến ngẫu nhiên rời rạc. [Kỹ năng 2.B]

• VAR-5.A.1 Các giá trị của một biến ngẫu nhiên là các kết quả số học của hành vi ngẫu nhiên.
• VAR-5.A.2 Một biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến chỉ có thể nhận một số lượng giá trị đếm được. Mỗi giá trị đều có một xác suất tương ứng gắn liền. Tổng các xác suất trên tất cả các giá trị có thể phải bằng 1.
• VAR-5.A.3 Một phân phối xác suất có thể được biểu diễn dưới dạng đồ thị, bảng hoặc hàm số hiển thị các xác suất liên quan đến các giá trị của một biến ngẫu nhiên.
• VAR-5.A.4 Một phân phối xác suất lũy tích có thể được biểu diễn dưới dạng bảng hoặc hàm số hiển thị xác suất nhỏ hơn hoặc bằng mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên.
  • Ví dụ minh họa cho VAR-5.A: Kết quả của các lần thử của một quá trình ngẫu nhiên:
    • Tổng các kết quả khi lăn hai xúc xắc
    • Số con chó con trong một lứa sinh ngẫu nhiên của một giống chó nhất định

Mục tiêu học tập VAR-5.B: Giải thích một phân phối xác suất. [Kỹ năng 4.B]

• VAR-5.B.1 Việc giải thích một phân phối xác suất cung cấp thông tin về hình dạng, trung tâm và độ phân tán của một quần thể và cho phép người ta đưa ra kết luận về quần thể quan tâm.

Hiểu biết bền vững (VAR-5): Các phân phối xác suất có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên trong các quần thể.

Mục tiêu học tập VAR-5.C: Tính toán các tham số cho một biến ngẫu nhiên rời rạc. [Kỹ năng 3.B]

• VAR-5.C.1 Một giá trị số đo lường một đặc trưng của một quần thể hoặc phân phối của một biến ngẫu nhiên được gọi là tham số, đây là một giá trị cố định đơn lẻ.
• VAR-5.C.2 Trung bình, hay giá trị kỳ vọng, cho một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ là $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
• VAR-5.C.3 Độ lệch chuẩn cho một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ là $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Mục tiêu học tập VAR-5.D: Giải thích các tham số cho một biến ngẫu nhiên rời rạc. [Kỹ năng 4.B]

• VAR-5.D.1 Các tham số cho một biến ngẫu nhiên rời rạc nên được giải thích bằng đơn vị phù hợp và trong bối cảnh của một quần thể cụ thể.

Hiểu biết bền vững (VAR-5): Các phân phối xác suất có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên trong các quần thể.

Mục tiêu học tập VAR-5.E: Tính toán các tham số cho tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên. [Kỹ năng 3.B]

• VAR-5.E.1 Đối với các biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$ và các số thực $a$ và $b$, kỳ vọng (trung bình) của $aX + bY$ là $a\mu_x + b\mu_y$.
• VAR-5.E.2 Hai biến ngẫu nhiên độc lập nếu việc biết thông tin về một biến không làm thay đổi phân phối xác suất của biến kia.
• VAR-5.E.3 Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập $X$ và $Y$ và các số thực $a$ và $b$, kỳ vọng (trung bình) của $aX + bY$ là $a\mu_x + b\mu_y$, và phương sai của $aX + bY$ là $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Mục tiêu học tập VAR-5.F: Mô tả tác động của các phép biến đổi tuyến tính lên các tham số của biến ngẫu nhiên. [Kỹ năng 3.C]

• VAR-5.F.1 Đối với $Y = a + bX$, phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đã biến đổi, $Y$, có cùng hình dạng với phân phối xác suất của $X$, miễn là $a > 0$ và $b > 0$. Kỳ vọng (trung bình) của $Y$ là $\mu_y = a + b\mu_x$. Độ lệch chuẩn của $Y$ là $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Hiểu biết Bền vững (UNC-3): Lập luận xác suất cho phép chúng ta dự đoán các mẫu trong dữ liệu.

Mục tiêu Học tập UNC-3.A: Ước lượng xác suất của biến ngẫu nhiên nhị thức bằng dữ liệu từ mô phỏng. [Kỹ năng 3.A]

• UNC-3.A.1 Một phân phối xác suất có thể được xây dựng bằng các quy tắc xác suất hoặc ước lượng bằng mô phỏng sử dụng bộ phát số ngẫu nhiên.
• UNC-3.A.2 Biến ngẫu nhiên nhị thức, $X$, đếm số lần thành công trong $n$ thử nghiệm độc lập lặp lại, mỗi thử nghiệm có hai kết quả có thể xảy ra (thành công hoặc thất bại), với xác suất thành công là $p$ và xác suất thất bại là $1 - p$.

Mục tiêu Học tập UNC-3.B: Tính toán xác suất cho phân phối nhị thức. [Kỹ năng 3.A]

• UNC-3.B.1 Xác suất để một biến ngẫu nhiên nhị thức, $X$, có đúng $x$ lần thành công trong $n$ thử nghiệm độc lập, khi xác suất thành công là $p$, được tính theo công thức $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. Đây là hàm xác suất nhị thức.

Hiểu biết Bền vững (UNC-3): Lập luận xác suất cho phép chúng ta dự đoán các mẫu trong dữ liệu.

Mục tiêu Học tập UNC-3.C: Tính toán các tham số cho phân phối nhị thức. [Kỹ năng 3.B]

• UNC-3.C.1 Nếu một biến ngẫu nhiên là nhị thức, trung bình của nó, $\mu_x$, là $np$ và độ lệch chuẩn, $\sigma_x$, là $\sqrt{np(1 - p)}$.

Mục tiêu Học tập UNC-3.D: Giải thích xác suất và tham số cho phân phối nhị thức. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-3.D.1 Xác suất và tham số cho phân phối nhị thức nên được giải thích bằng các đơn vị thích hợp và trong bối cảnh của một quần thể hoặc tình huống cụ thể.

Hiểu biết Bền vững (UNC-3): Lập luận xác suất cho phép chúng ta dự đoán các mẫu trong dữ liệu.

Mục tiêu Học tập UNC-3.E: Tính toán xác suất cho biến ngẫu nhiên hình học. [Kỹ năng 3.A]

• UNC-3.E.1 Đối với một chuỗi các thử nghiệm độc lập, biến ngẫu nhiên hình học, $X$, chỉ ra số thứ tự của thử nghiệm mà lần thành công đầu tiên xảy ra. Mỗi thử nghiệm có hai kết quả có thể xảy ra (thành công hoặc thất bại) với xác suất thành công là $p$ và xác suất thất bại là $1 - p$.
• UNC-3.E.2 Xác suất để lần thành công đầu tiên trong các thử nghiệm độc lập lặp lại với xác suất thành công $p$ xảy ra ở thử nghiệm thứ $x$ được tính theo công thức $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. Đây là hàm xác suất hình học.

Mục tiêu Học tập UNC-3.F: Tính toán các tham số của phân phối hình học. [Kỹ năng 3.B]

• UNC-3.F.1 Nếu một biến ngẫu nhiên là hình học, trung bình của nó, $\mu_x$, là $\dfrac{1}{p}$ và độ lệch chuẩn, $\sigma_x$, là $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Mục tiêu Học tập UNC-3.G: Giải thích xác suất và tham số cho phân phối hình học. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-3.G.1 Xác suất và tham số cho phân phối hình học nên được giải thích bằng các đơn vị thích hợp và trong bối cảnh của một quần thể hoặc tình huống cụ thể.

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.G: Xác định các câu hỏi gợi ý từ sự biến thiên trong thống kê đối với các mẫu thu thập từ cùng một quần thể. [Kỹ năng 1.A]

• VAR-1.G.1 Sự biến thiên trong thống kê của các mẫu lấy từ cùng một quần thể có thể do ngẫu nhiên hoặc không.

Hiểu biết Bền vững (UNC-3): Lập luận xác suất cho phép chúng ta dự đoán các mẫu trong dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-3.H: Ước lượng phân phối mẫu bằng cách mô phỏng. [Kỹ năng 3.C]

• UNC-3.H.1 Phân phối mẫu của một thống kê là phân phối các giá trị của thống kê đó đối với tất cả các mẫu có kích thước cho trước từ một quần thể cho trước.
• UNC-3.H.2 Định lý giới hạn trung tâm (CLT) phát biểu rằng khi kích thước mẫu đủ lớn, phân phối mẫu của trung bình một biến ngẫu nhiên sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn.
• UNC-3.H.3 Định lý giới hạn trung tâm yêu cầu các giá trị mẫu phải độc lập với nhau và $n$ phải đủ lớn.
• UNC-3.H.4 Phân phối ngẫu nhiên hóa là tập hợp các thống kê được sinh ra từ quá trình mô phỏng dựa trên giả thiết các giá trị tham số đã biết. Đối với thí nghiệm ngẫu nhiên hóa, điều này có nghĩa là lặp lại việc phân bổ lại/gián phân ngẫu nhiên các giá trị phản hồi vào các nhóm xử lý.
• UNC-3.H.5 Phân phối mẫu của một thống kê có thể được mô phỏng bằng cách tạo ra các mẫu ngẫu nhiên lặp lại từ một quần thể.

Hiểu biết Bền vững (UNC-3): Lập luận xác suất cho phép chúng ta dự đoán các mẫu trong dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-3.I: Giải thích tại sao một ước lượng viên là không thiên hoặc có thiên. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-3.I.1 Khi ước lượng tham số quần thể, một ước lượng viên được coi là không thiên nếu, về mặt trung bình, giá trị của ước lượng viên bằng với tham số quần thể.

Mục tiêu học tập UNC-3.J: Tính toán các ước lượng cho một tham số quần thể. [Kỹ năng 3.B]

• UNC-3.J.1 Khi ước lượng tham số của quần thể, một ước lượng viên thể hiện sự biến thiên có thể được mô hình hóa bằng xác suất.
• UNC-3.J.2 Một thống kê mẫu là một ước lượng điểm cho tham số tương ứng của quần thể.

Hiểu biết Bền vững (UNC-3): Lập luận xác suất cho phép chúng ta dự đoán các mẫu trong dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-3.K: Xác định các tham số của phân phối mẫu cho tỷ lệ mẫu. [Kỹ năng 3.B]

• UNC-3.K.1 Đối với mẫu độc lập (lấy mẫu có hoàn lại) của một biến phân loại từ một quần thể có tỷ lệ quần thể $p$, phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu, $\hat{p}$, có trung bình $\mu_{\hat{p}} = p$ và độ lệch chuẩn $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
• UNC-3.K.2 Nếu lấy mẫu không hoàn lại, độ lệch chuẩn của tỷ lệ mẫu sẽ nhỏ hơn so với công thức trên. Nếu kích thước mẫu nhỏ hơn 10% kích thước quần thể, sự chênh lệch này là không đáng kể.

Mục tiêu học tập UNC-3.L: Xác định xem phân phối mẫu cho tỷ lệ mẫu có thể được mô tả xấp xỉ theo phân phối chuẩn hay không. [Kỹ năng 3.C]

• UNC-3.L.1 Đối với một biến phân loại, phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu, $\hat{p}$, sẽ có phân phối chuẩn xấp xỉ, miễn là kích thước mẫu đủ lớn: $np \geq 10$ và $n(1-p) \geq 10$

Mục tiêu học tập UNC-3.M: Giải thích xác suất và tham số cho phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-3.M.1 Xác suất và tham số cho phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu nên được giải thích sử dụng đơn vị phù hợp và trong ngữ cảnh của một quần thể cụ thể.

Hiểu biết Bền vững (UNC-3): Lập luận xác suất cho phép chúng ta dự đoán các mẫu trong dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-3.N: Xác định các tham số của phân phối mẫu cho hiệu số tỷ lệ mẫu. [Kỹ năng 3.B]

• UNC-3.N.1 Đối với một biến phân loại, khi lấy mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại từ hai quần thể độc lập có tỷ lệ quần thể $p_1$ và $p_2$, phân phối mẫu của hiệu số tỷ lệ mẫu $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ có trung bình $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ và độ lệch chuẩn $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
• UNC-3.N.2 Nếu lấy mẫu không hoàn lại, độ lệch chuẩn của hiệu số tỷ lệ mẫu sẽ nhỏ hơn so với công thức trên. Nếu kích thước mẫu nhỏ hơn 10% kích thước quần thể, sự chênh lệch này là không đáng kể.

Mục tiêu học tập UNC-3.O: Xác định xem phân phối mẫu cho hiệu số tỷ lệ mẫu có thể được mô tả xấp xỉ theo phân phối chuẩn hay không. [Kỹ năng 3.C]

• UNC-3.O.1 Phân phối mẫu của hiệu số tỷ lệ mẫu $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ sẽ có phân phối chuẩn xấp xỉ, miễn là kích thước mẫu đủ lớn: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Mục tiêu học tập UNC-3.P: Giải thích xác suất và tham số cho phân phối mẫu của hiệu số tỷ lệ. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-3.P.1 Tham số cho phân phối mẫu của hiệu số tỷ lệ nên được giải thích sử dụng đơn vị phù hợp và trong ngữ cảnh của các quần thể cụ thể.

Hiểu biết Bền vững (UNC-3): Lập luận xác suất cho phép chúng ta dự đoán các mẫu trong dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-3.Q: Xác định các tham số cho phân phối mẫu của trung bình mẫu. [Kỹ năng 3.B]

• UNC-3.Q.1 Đối với một biến định lượng, khi lấy mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại từ một quần thể có trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$, phân phối mẫu của trung bình mẫu có trung bình $\mu_{\bar{x}} = \mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
• UNC-3.Q.2 Nếu lấy mẫu không hoàn lại, độ lệch chuẩn của trung bình mẫu sẽ nhỏ hơn so với công thức trên. Nếu kích thước mẫu nhỏ hơn 10% kích thước quần thể, sự chênh lệch này là không đáng kể.

Mục tiêu học tập UNC-3.R: Xác định xem phân phối mẫu của trung bình mẫu có thể được mô tả xấp xỉ theo phân phối chuẩn hay không. [Kỹ năng 3.C]

• UNC-3.R.1 Đối với một biến định lượng, nếu phân phối quần thể có thể được mô hình hóa bằng phân phối chuẩn, thì phân phối mẫu của trung bình mẫu, $\bar{x}$, cũng có thể được mô hình hóa bằng phân phối chuẩn.
• UNC-3.R.2 Đối với một biến định lượng, nếu phân phối quần thể không thể được mô hình hóa bằng phân phối chuẩn, thì phân phối mẫu của trung bình mẫu, $\bar{x}$, có thể được mô hình hóa xấp xỉ bởi phân phối chuẩn, miễn là kích thước mẫu đủ lớn, ví dụ: lớn hơn hoặc bằng 30.

Mục tiêu học tập UNC-3.S: Giải thích xác suất và tham số cho phân phối mẫu của trung bình mẫu. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-3.S.1 Xác suất và tham số cho phân phối mẫu của trung bình mẫu nên được giải thích sử dụng đơn vị phù hợp và trong ngữ cảnh của một quần thể cụ thể.

Hiểu biết Bền vững (UNC-3): Lập luận xác suất cho phép chúng ta dự đoán các mẫu trong dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-3.T: Xác định các tham số của phân phối mẫu cho hiệu số trung bình mẫu. [Kỹ năng 3.B]

• UNC-3.T.1 Đối với một biến định lượng, khi lấy mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại từ hai quần thể độc lập có trung bình quần thể $\mu_1$ và $\mu_2$ cùng độ lệch chuẩn quần thể $\sigma_1$ và $\sigma_2$, phân phối mẫu của hiệu số trung bình mẫu $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ có trung bình $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ và độ lệch chuẩn $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
• UNC-3.T.2 Nếu lấy mẫu không hoàn lại, độ lệch chuẩn của hiệu số trung bình mẫu sẽ nhỏ hơn so với công thức trên. Nếu kích thước mẫu nhỏ hơn 10% kích thước quần thể, sự chênh lệch này là không đáng kể.

Mục tiêu học tập UNC-3.U: Xác định xem phân phối mẫu của hiệu số trung bình mẫu có thể được mô tả xấp xỉ theo phân phối chuẩn hay không. [Kỹ năng 3.C]

• UNC-3.U.1 Phân phối lấy mẫu của hiệu số trung bình mẫu $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ có thể được mô hình hóa bằng phân phối chuẩn nếu hai phân phối tổng thể đều có thể được mô hình hóa bằng phân phối chuẩn.
• UNC-3.U.2 Phân phối lấy mẫu của hiệu số trung bình mẫu $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ có thể được xấp xỉ bởi một phân phối chuẩn nếu hai phân phối tổng thể không thể được mô hình hóa bằng phân phối chuẩn nhưng cả hai kích thước mẫu đều lớn hơn hoặc bằng 30.

Mục tiêu học tập UNC-3.V: Giải thích xác suất và tham số cho phân phối lấy mẫu của hiệu số trung bình mẫu. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-3.V.1 Xác suất và tham số cho phân phối lấy mẫu của hiệu số trung bình mẫu cần được giải thích sử dụng đơn vị phù hợp và trong ngữ cảnh của các tổng thể cụ thể.

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.H: Xác định các câu hỏi gợi ý từ sự biến đổi trong hình dạng của các phân phối mẫu được抽取 từ cùng một tổng thể. [Kỹ năng 1.A]

• VAR-1.H.1 Sự biến đổi trong hình dạng của phân phối dữ liệu có thể là ngẫu nhiên hoặc không.

Hiểu biết bền vững (UNC-4): Một khoảng giá trị nên được sử dụng để ước lượng tham số, nhằm tính đến sự không chắc chắn.

Mục tiêu học tập UNC-4.F: Giải thích khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-4.F.1 Một khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể hoặc chứa tỷ lệ tổng thể hoặc không, bởi vì mỗi khoảng dựa trên dữ liệu mẫu ngẫu nhiên, vốn thay đổi từ mẫu này sang mẫu khác.
• UNC-4.F.2 Chúng ta có độ tin cậy C% rằng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể đã bao gồm tỷ lệ tổng thể.
• UNC-4.F.3 Trong các lần lấy mẫu ngẫu nhiên lặp lại với cùng kích thước mẫu, khoảng C% các khoảng tin cậy được tạo ra sẽ bao gồm tỷ lệ tổng thể.
• UNC-4.F.4 Việc giải thích khoảng tin cậy cho tỷ lệ một mẫu cần bao gồm đề cập đến mẫu đã lấy và các chi tiết về tổng thể mà nó đại diện.
  • Ví dụ minh họa cho UNC-4.F.4: Khi diễn giải một khoảng tin cậy 99% từ (0.268, 0.292), dựa trên tỷ lệ học sinh lớp mười hai trong mẫu đại diện quốc gia trả lời đúng một câu hỏi trắc nghiệm cụ thể: "Chúng ta tự tin 99 phần trăm rằng khoảng từ 0.268 đến 0.292 chứa tỷ lệ tổng thể của tất cả học sinh lớp mười hai Hoa Kỳ sẽ trả lời đúng câu hỏi này" (2011 FRQ 6(a)).

Mục tiêu học tập UNC-4.G: Chứng minh một tuyên bố dựa trên khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể. [Kỹ năng 4.D]

• UNC-4.G.1 Một khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể cung cấp một khoảng giá trị có thể cung cấp bằng chứng đủ mạnh để hỗ trợ một tuyên bố cụ thể trong ngữ cảnh.

Mục tiêu học tập UNC-4.H: Xác định mối quan hệ giữa kích thước mẫu, độ rộng của khoảng tin cậy, mức độ tin cậy và sai số biên cho tỷ lệ tổng thể. [Kỹ năng 4.A]

• UNC-4.H.1 Khi mọi yếu tố khác không đổi, độ rộng của khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể có xu hướng giảm khi kích thước mẫu tăng lên. Đối với tỷ lệ tổng thể, độ rộng của khoảng tỷ lệ thuận với $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
• UNC-4.H.2 Đối với một mẫu cho trước, độ rộng của khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể tăng lên khi mức độ tin cậy tăng.
• UNC-4.H.3 Độ rộng của khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể chính bằng hai lần sai số biên.

Hiểu biết bền vững (VAR-6): Phân phối chuẩn có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên.

Mục tiêu học tập VAR-6.G: Tính toán thống kê kiểm định và $p$-value phù hợp cho tỷ lệ tổng thể. [Kỹ năng 3.E]

• VAR-6.G.1 Phân phối của thống kê kiểm định giả sử giả thuyết không là đúng (phân phối không) có thể là phân phối ngẫu nhiên hoặc, khi một mô hình xác suất được giả định là đúng, là một phân phối lý thuyết ($z$).
• VAR-6.G.2 Khi sử dụng một $z$-test, thống kê kiểm định được chuẩn hóa có thể được viết: $\text{test statistic} = \dfrac{\text{sample statistic} - \text{null value of the parameter}}{\text{standard deviation of the statistic}}$. Đây được gọi là $z$-statistic cho tỷ lệ.
• VAR-6.G.3 Thống kê kiểm định cho tỷ lệ tổng thể là: $z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$.
  • Phát biểu làm rõ: Các công thức cho thống kê kiểm định không xuất hiện rõ ràng trong Bảng Công thức AP Statistics đi kèm với kỳ thi AP Statistics. Tuy nhiên, các công thức này không cần phải học thuộc lòng, vì chúng có thể được xây dựng dựa trên công thức thống kê kiểm định chung và các công thức sai số chuẩn liên quan được cung cấp trong bảng công thức.
• VAR-6.G.4 Một $p$-value là xác suất thu được một thống kê kiểm định cực đoan hoặc cực đoan hơn so với thống kê kiểm định quan sát được khi giả thuyết không và mô hình xác suất được giả định là đúng. Mức ý nghĩa có thể được给出 hoặc do nhà nghiên cứu xác định.

Hiểu biết bền vững (DAT-3): Kiểm định ý nghĩa giúp chúng ta đưa ra quyết định về các giả thuyết trong một ngữ cảnh cụ thể.

Mục tiêu học tập DAT-3.A: Giải thích $p$-value của một kiểm định ý nghĩa cho tỷ lệ tổng thể. [Kỹ năng 4.B]

• DAT-3.A.1 $p$-value là tỷ lệ các giá trị của phân phối không cực đoan hoặc cực đoan hơn so với giá trị quan sát được của thống kê kiểm định. Điều này là:
  • a. Tỷ lệ ở mức hoặc cao hơn giá trị quan sát được của thống kê kiểm định, nếu giả thuyết thay thế là >.
  • b. Tỷ lệ ở mức hoặc thấp hơn giá trị quan sát được của thống kê kiểm định, nếu giả thuyết thay thế là <.
  • c. Tỷ lệ nhỏ hơn hoặc bằng âm của giá trị tuyệt đối của thống kê kiểm định cộng với tỷ lệ lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của thống kê kiểm định, nếu giả thuyết thay thế là ≠.
• DAT-3.A.2 Một cách giải thích $p$-value của một kiểm định ý nghĩa cho tỷ lệ một mẫu phải nhận ra rằng $p$-value được tính toán bằng cách giả định rằng mô hình xác suất và giả thuyết không là đúng, tức là bằng cách giả định rằng tỷ lệ tổng thể thực tế bằng với giá trị cụ thể được nêu trong giả thuyết không.

Hiểu Biết Bền Vững (UNC-5): Xác suất của lỗi loại I và loại II ảnh hưởng đến suy luận.

Mục Tiêu Học Tập UNC-5.A: Xác định lỗi loại I và loại II. [Kỹ năng 1.B]

• UNC-5.A.1 Lỗi loại I xảy ra khi giả thuyết không đúng nhưng bị bác bỏ (dương tính giả).
• UNC-5.A.2 Lỗi loại II xảy ra khi giả thuyết không sai nhưng không bị bác bỏ (âm tính giả).
  • Bảng Lỗi: Với Giá trị Thực tế của Tổng thể ở hàng đầu ($H_0$ đúng; $H_a$ đúng) và Quyết định ở cột bên trái (Bác bỏ $H_0$; Không bác bỏ $H_0$): Bác bỏ $H_0$ khi $H_0$ đúng = Lỗi loại I; Bác bỏ $H_0$ khi $H_a$ đúng = Quyết định đúng; Không bác bỏ $H_0$ khi $H_0$ đúng = Quyết định đúng; Không bác bỏ $H_0$ khi $H_a$ đúng = Lỗi loại II.

Mục Tiêu Học Tập UNC-5.B: Tính xác suất của lỗi loại I và loại II. [Kỹ năng 3.A]

• UNC-5.B.1 Mức ý nghĩa, $\alpha$, là xác suất mắc lỗi loại I, nếu giả thuyết không đúng.
• UNC-5.B.2 Công suất của một bài kiểm định là xác suất mà bài kiểm định sẽ bác bỏ đúng một giả thuyết không sai.
• UNC-5.B.3 Xác suất mắc lỗi loại II $= 1 - power$.

Mục Tiêu Học Tập UNC-5.C: Xác định các yếu tố ảnh hưởng đến xác suất lỗi trong kiểm định ý nghĩa. [Kỹ năng 4.A]

• UNC-5.C.1 Xác suất của lỗi loại II giảm đi khi bất kỳ điều nào sau đây xảy ra, miễn là các yếu tố khác không thay đổi:
  • i. Kích thước mẫu tăng lên.
  • ii. Mức ý nghĩa ($\alpha$) của một bài kiểm định tăng lên.
  • iii. Sai số chuẩn giảm xuống.
  • iv. Giá trị tham số thực tế nằm xa hơn so với giá trị của giả thuyết không.

Mục Tiêu Học Tập UNC-5.D: Giải thích lỗi loại I và loại II. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-5.D.1 Việc lỗi loại I hay loại II nghiêm trọng hơn phụ thuộc vào tình huống cụ thể.
• UNC-5.D.2 Vì mức ý nghĩa, $\alpha$, là xác suất của lỗi loại I, nên hậu quả của lỗi loại I sẽ ảnh hưởng đến các quyết định về mức ý nghĩa.

Hiểu biết bền vững (UNC-4): Một khoảng giá trị nên được sử dụng để ước lượng tham số, nhằm tính đến sự không chắc chắn.

Mục Tiêu Học Tập UNC-4.I: Xác định thủ tục khoảng tin cậy phù hợp cho việc so sánh tỷ lệ tổng thể. [Kỹ năng 1.D]

• UNC-4.I.1 Thủ tục khoảng tin cậy phù hợp cho việc so sánh hai mẫu tỷ lệ đối với một biến phân loại là khoảng $z$ hai mẫu cho sự chênh lệch giữa các tỷ lệ tổng thể.

Mục Tiêu Học Tập UNC-4.J: Kiểm tra các điều kiện để tính toán khoảng tin cậy cho sự chênh lệch giữa các tỷ lệ tổng thể. [Kỹ năng 4.C]

• UNC-4.J.1 Để tính toán khoảng tin cậy nhằm ước lượng sự chênh lệch giữa các tỷ lệ, chúng ta phải kiểm tra tính độc lập và đảm bảo rằng phân phối mẫu xấp xỉ phân phối chuẩn:
  • a. Để kiểm tra tính độc lập:
    • i. Dữ liệu nên được thu thập bằng cách sử dụng hai mẫu ngẫu nhiên độc lập hoặc một thí nghiệm gán ngẫu nhiên.
    • ii. Khi抽取 mẫu không hoàn hồi, hãy kiểm tra rằng $n_1 \leq 10\%N_1$ và $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Để kiểm tra rằng phân phối mẫu của $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ xấp xỉ phân phối chuẩn (hình dạng).
    • i. Đối với các biến phân loại, hãy kiểm tra rằng $n_1\hat{p}_1$, $n_1(1-\hat{p}_1)$, $n_2\hat{p}_2$, và $n_2\left(1-\hat{p}_2\right)$ đều lớn hơn hoặc bằng một giá trị quy trước, thường là 5 hoặc 10.

Mục Tiêu Học Tập UNC-4.K: Tính toán khoảng tin cậy phù hợp cho việc so sánh tỷ lệ tổng thể. [Kỹ năng 3.D]

• UNC-4.K.1 Đối với việc so sánh tỷ lệ, ước lượng khoảng là $(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \dfrac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$.
  • Câu làm rõ: Các công thức cho ước lượng khoảng không xuất hiện trực tiếp trong Bảng Công thức AP Statistics đi kèm Bài thi AP Statistics. Tuy nhiên, các công thức này không cần phải học thuộc lòng vì chúng có thể được xây dựng dựa trên công thức thống kê kiểm định chung và các công thức sai số chuẩn liên quan được cung cấp trong bảng công thức.

Mục Tiêu Học Tập UNC-4.L: Tính toán ước lượng khoảng dựa trên khoảng tin cậy cho sự chênh lệch tỷ lệ. [Kỹ năng 3.D]

• UNC-4.L.1 Khoảng tin cậy cho sự chênh lệch tỷ lệ có thể được sử dụng để tính toán ước lượng khoảng với các đơn vị cụ thể.

Hiểu biết bền vững (UNC-4): Một khoảng giá trị nên được sử dụng để ước lượng tham số, nhằm tính đến sự không chắc chắn.

Mục Tiêu Học Tập UNC-4.M: Giải thích khoảng tin cậy cho sự chênh lệch tỷ lệ. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-4.M.1 Trong các lần lấy mẫu ngẫu nhiên lặp lại với cùng kích thước mẫu, khoảng C% các khoảng tin cậy tạo thành sẽ bao hàm sự chênh lệch tỷ lệ tổng thể.
• UNC-4.M.2 Việc giải thích khoảng tin cậy cho sự chênh lệch tỷ lệ tổng thể cần bao gồm tham chiếu đến mẫu đã lấy và chi tiết về tổng thể mà nó đại diện.

Mục Tiêu Học Tập UNC-4.N: Chứng minh một tuyên bố dựa trên khoảng tin cậy cho sự chênh lệch tỷ lệ. [Kỹ năng 4.D]

• UNC-4.N.1 Một khoảng tin cậy cho sự chênh lệch tỷ lệ tổng thể cung cấp một khoảng giá trị có thể cung cấp bằng chứng đủ để hỗ trợ một tuyên bố cụ thể trong ngữ cảnh.

Hiểu biết bền vững (VAR-6): Phân phối chuẩn có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên.

Mục tiêu học tập VAR-6.H: Xác định giả thuyết không và giả thuyết đối với hiệu số tỉ lệ tổng thể. [Kỹ năng 1.F]

• VAR-6.H.1 Đối với kiểm định hai mẫu để so sánh hiệu số tỉ lệ, giả thuyết không quy định một giá trị $0$ cho hiệu số tỉ lệ tổng thể, biểu thị không có sự khác biệt hay tác động nào.
• VAR-6.H.2 Giả thuyết không cho hiệu số tỉ lệ là: $H_0 : p_1 = p_2$, hoặc $H_0 : p_1 - p_2 = 0$.
• VAR-6.H.3 Một giả thuyết đối một phía cho hiệu số tỉ lệ là $H_a : p_1 < p_2$, hoặc, $H_a : p_1 > p_2$. Một giả thuyết đối hai phía cho hiệu số tỉ lệ là $H_a : p_1 \neq p_2$.

Mục tiêu học tập VAR-6.I: Xác định phương pháp kiểm định phù hợp cho hiệu số tỉ lệ tổng thể. [Kỹ năng 1.E]

• VAR-6.I.1 Đối với một biến phân loại duy nhất, phương pháp kiểm định phù hợp cho hiệu số tỉ lệ tổng thể là kiểm định $z$-hai mẫu cho hiệu số giữa hai tỉ lệ tổng thể.

Mục tiêu học tập VAR-6.J: Kiểm tra các điều kiện để thực hiện suy luận thống kê khi kiểm định hiệu số tỉ lệ tổng thể. [Kỹ năng 4.C]

• VAR-6.J.1 Để thực hiện suy luận thống kê khi kiểm định hiệu số giữa các tỉ lệ tổng thể, chúng ta phải kiểm tra tính độc lập và đảm bảo rằng phân phối lấy mẫu xấp xỉ phân phối chuẩn:
  • a. Để kiểm tra tính độc lập:
    • i. Dữ liệu nên được thu thập bằng cách sử dụng hai mẫu ngẫu nhiên độc lập hoặc một thí nghiệm gán ngẫu nhiên.
    • ii. Khi抽取 mẫu không hoàn hồi, hãy kiểm tra rằng $n_1 \leq 10\%N_1$ và $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Để kiểm tra rằng phân phối lấy mẫu của $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ xấp xỉ phân phối chuẩn (hình dạng):
    • i. Đối với mẫu kết hợp, hãy định nghĩa tỷ lệ kết hợp (hoặc tỷ lệ gộp), $\hat{p}_c = \dfrac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2}$. Giả sử rằng $H_0$ đúng, $(p_1 - p_2 = 0$ hoặc $p_1 = p_2)$, hãy kiểm tra rằng $n_1\hat{p}_c$, $n_1\left(1-\hat{p}_c\right)$, $n_2\hat{p}_c$, và $n_2\left(1-\hat{p}_c\right)$ đều lớn hơn hoặc bằng một giá trị đã được quy định trước, thường là 5 hoặc 10.

Hiểu biết bền vững (VAR-6): Phân phối chuẩn có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên.

Mục tiêu học tập VAR-6.K: Tính toán thống kê kiểm định phù hợp cho hiệu số tỉ lệ tổng thể. [Kỹ năng 3.E]

• VAR-6.K.1 Thống kê kiểm định cho hiệu số tỉ lệ là: $z = \dfrac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - 0}{\sqrt{\hat{p}_c(1-\hat{p}_c)}\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}$, trong đó $\hat{p}_c = \dfrac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2}$.
  • Câu làm rõ: Các công thức cho thống kê kiểm định không xuất hiện trực tiếp trên Bảng Công thức AP Statistics đi kèm với Kỳ thi AP Statistics. Tuy nhiên, các công thức này không cần phải học thuộc lòng, vì chúng có thể được xây dựng dựa trên công thức thống kê kiểm định chung và các công thức sai số chuẩn cho từng thống kê kiểm định liên quan được cung cấp trên bảng công thức.

Hiểu biết bền vững (DAT-3): Kiểm định ý nghĩa giúp chúng ta đưa ra quyết định về các giả thuyết trong một ngữ cảnh cụ thể.

Mục tiêu học tập DAT-3.C: Giải thích giá trị $p$ của một kiểm định ý nghĩa cho hiệu số tỉ lệ tổng thể. [Kỹ năng 4.B]

• DAT-3.C.1 Một lời giải thích về giá trị $p$ của một kiểm định ý nghĩa cho hiệu số tỉ lệ tổng thể cần nhận ra rằng giá trị $p$ được tính toán bằng cách giả thiết rằng giả thuyết không là đúng, tức là bằng cách giả thiết rằng các tỉ lệ tổng thể thực tế bằng nhau.

Mục tiêu học tập DAT-3.D: Chứng minh một tuyên bố về tổng thể dựa trên kết quả của một kiểm định ý nghĩa cho hiệu số tỉ lệ tổng thể. [Kỹ năng 4.E]

• DAT-3.D.1 Một quyết định chính thức so sánh rõ ràng giá trị $p$ với mức ý nghĩa $\alpha$. Nếu $p\text{-value} \leq \alpha$, thì bác bỏ giả thuyết không, $H_0 : p_1 = p_2$, hoặc $H_0 : p_1 - p_2 = 0$. Nếu giá trị $p$ $> \alpha$, thì không đủ cơ sở để bác bỏ giả thuyết không.
• DAT-3.D.2 Kết quả của một kiểm định ý nghĩa cho hiệu số tỉ lệ tổng thể có thể đóng vai trò là lập luận thống kê để hỗ trợ câu trả lời cho một câu hỏi nghiên cứu về hai tổng thể đã được抽取 mẫu.

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.I: Xác định các câu hỏi gợi ý từ xác suất sai số trong suy luận thống kê. [Kỹ năng 1.A]

• VAR-1.I.1 Biến thiên ngẫu nhiên có thể dẫn đến sai số trong suy luận thống kê.

Hiểu biết bền vững (UNC-4): Một khoảng giá trị nên được sử dụng để ước lượng tham số, nhằm tính đến sự không chắc chắn.

Mục tiêu học tập UNC-4.S: Diễn giải khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể, bao gồm độ chênh lệch trung bình giữa các giá trị trong cặp ghép. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-4.S.1 Một khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể hoặc chứa trung bình tổng thể hoặc không chứa, vì mỗi khoảng dựa trên dữ liệu từ một mẫu ngẫu nhiên, vốn biến động từ mẫu này sang mẫu khác.
• UNC-4.S.2 Chúng ta có C% sự tin tưởng rằng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể bao hàm trung bình tổng thể.
• UNC-4.S.3 Một diễn giải khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể bao gồm tham chiếu đến mẫu đã thu thập và chi tiết về tổng thể mà nó đại diện.
  • Ví dụ minh họa cho UNC-4.S.3: Khi diễn giải một khoảng tin cậy 96% cho chiều dài chân trung bình của tất cả các dấu chân tìm thấy trong hang dựa trên một mẫu ngẫu nhiên các dấu chân trong hang: "Chúng ta tự tin 96% rằng chiều dài chân trung bình của tất cả các dấu chân tìm thấy trong hang nằm trong khoảng tin cậy" (dựa trên 2000 FRQ 2).

Mục tiêu học tập UNC-4.T: Justify a claim based on a confidence interval for a population mean, including the mean difference between values in matched pairs. [Kỹ năng 4.D]

• UNC-4.T.1 Một khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể cung cấp một khoảng giá trị có thể cung cấp đủ bằng chứng để hỗ trợ một tuyên bố cụ thể trong ngữ cảnh.

Mục tiêu học tập UNC-4.U: Xác định mối quan hệ giữa kích thước mẫu, độ rộng của khoảng tin cậy, mức độ tin cậy và sai số biên cho trung bình tổng thể. [Kỹ năng 4.A]

• UNC-4.U.1 Khi tất cả các yếu tố khác không đổi, độ rộng của khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể có xu hướng giảm khi kích thước mẫu tăng lên.
• UNC-4.U.2 Đối với một trung bình đơn lẻ, độ rộng của khoảng tin cậy tỷ lệ thuận với $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
• UNC-4.U.3 Đối với một mẫu xác định, độ rộng của khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể tăng khi mức độ tin cậy tăng.

Hiểu biết bền vững (UNC-4): Một khoảng giá trị nên được sử dụng để ước lượng tham số, nhằm tính đến sự không chắc chắn.

Mục tiêu Học tập UNC-4.V: Xác định quy trình khoảng tin cậy phù hợp cho độ chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể. [Kỹ năng 1.D]

• UNC-4.V.1 Xét một mẫu ngẫu nhiên đơn giản từ tổng thể 1 có kích thước $n_1$, trung bình $\mu_1$, và độ lệch chuẩn $\sigma_1$ và một mẫu ngẫu nhiên đơn giản thứ hai từ tổng thể 2 có kích thước $n_2$, trung bình $\mu_2$, và độ lệch chuẩn $\sigma_2$. Nếu phân phối của tổng thể 1 và 2 là chuẩn hoặc nếu cả $n_1$ và $n_2$ đều lớn hơn 30, thì phân phối mẫu của độ chênh lệch trung bình, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ cũng là chuẩn. Trung bình của phân phối mẫu của $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ là $\mu_1 - \mu_2$. Độ lệch chuẩn của $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ là $\sqrt{\dfrac{(\sigma_1)^2}{n_1} + \dfrac{(\sigma_2)^2}{n_2}}$.
• UNC-4.V.2 Quy trình khoảng tin cậy phù hợp cho một biến định lượng từ hai mẫu độc lập là khoảng tin cậy hai mẫu $t$ cho hiệu giữa các trung bình tổng thể.

Mục tiêu Học tập UNC-4.W: Kiểm tra các điều kiện để tính toán khoảng tin cậy cho độ chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể. [Kỹ năng 4.C]

• UNC-4.W.1 Để tính toán khoảng tin cậy nhằm ước lượng độ chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể, chúng ta phải kiểm tra tính độc lập và phân phối mẫu xấp xỉ chuẩn:
  • a. Để kiểm tra tính độc lập:
    • i. Dữ liệu nên được thu thập bằng cách sử dụng hai mẫu ngẫu nhiên độc lập hoặc một thí nghiệm gán ngẫu nhiên.
    • ii. Khi抽取 mẫu không hoàn hồi, hãy kiểm tra rằng $n_1 \leq 10\%N_1$ và $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Để kiểm tra xem phân phối mẫu của $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2)$ có xấp xỉ chuẩn (hình dạng) hay không:
    • i. Nếu các phân phối quan sát được bị lệch, cả $n_1$ và $n_2$ đều phải lớn hơn 30.

Mục tiêu Học tập UNC-4.X: Xác định sai số biên cho độ chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể. [Kỹ năng 3.D]

• UNC-4.X.1 Đối với độ chênh lệch giữa hai trung bình mẫu, sai số biên là giá trị tới hạn ($t^*$) nhân với sai số chuẩn ($SE$) của độ chênh lệch giữa hai trung bình.
• UNC-4.X.2 Sai số chuẩn cho sự chênh lệch giữa hai trung bình mẫu với độ lệch chuẩn mẫu là $s_1$ và $s_2$, sai số chuẩn là $\sqrt{\dfrac{(s_1)^2}{n_1} + \dfrac{(s_2)^2}{n_2}}$.

Mục tiêu học tập UNC-4.Y: Tính khoảng tin cậy phù hợp cho sự chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể. [Kỹ năng 3.D]

• UNC-4.Y.1 Ước lượng điểm cho sự chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể là sự chênh lệch giữa hai trung bình mẫu, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$.
• UNC-4.Y.2 Đối với hiệu của hai trung bình tổng thể khi độ lệch chuẩn tổng thể chưa biết, khoảng tin cậy là $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) \pm t^* \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}$ trong đó $\pm t^*$ là các giá trị tới hạn cho phần C% ở trung tâm của phân phối $t$ với bậc tự do thích hợp có thể tìm thấy bằng công cụ kỹ thuật số.

Tuyên bố biên: Các công thức cho ước lượng khoảng không xuất hiện rõ ràng trên Bảng Công thức AP Thống kê được cung cấp kèm theo kỳ thi AP Thống kê. Tuy nhiên, các công thức này không cần phải thuộc lòng, vì chúng có thể được xây dựng dựa trên công thức thống kê kiểm định chung và các công thức sai số chuẩn liên quan được cung cấp trên bảng công thức.

Hiểu biết bền vững (UNC-4): Một khoảng giá trị nên được sử dụng để ước lượng tham số, nhằm tính đến sự không chắc chắn.

Mục tiêu học tập UNC-4.Z: Giải thích khoảng tin cậy cho sự chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-4.Z.1 Trong các lần lấy mẫu ngẫu nhiên lặp lại với cùng kích thước mẫu, khoảng C% các khoảng tin cậy được tạo ra sẽ bao gồm sự chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể.
• UNC-4.Z.2 Một lời giải thích cho khoảng tin cậy cho sự chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể cần tham chiếu đến các mẫu đã lấy và cung cấp chi tiết về các tổng thể mà chúng đại diện.
  • Ví dụ minh họa cho UNC-4.Z.2: Khi diễn giải khoảng tin cậy cho hiệu giữa thời gian phản ứng trung bình của hai trạm cứu hỏa (phía bắc - phía nam): "Dựa trên các mẫu này, ta có thể tự tin 95 phần trăm rằng hiệu của thời gian phản ứng trung bình tổng thể (bắc - nam) nằm trong khoảng từ -2.37 phút đến 0.37 phút" (2009 FRQ 4).

Mục tiêu học tập UNC-4.AA: Chứng minh một tuyên bố dựa trên khoảng tin cậy cho sự chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể. [Kỹ năng 4.D]

• UNC-4.AA.1 Khoảng tin cậy cho sự chênh lệch giữa hai trung bình tổng thể cung cấp một khoảng giá trị có thể cung cấp bằng chứng đủ để hỗ trợ một tuyên bố cụ thể trong ngữ cảnh.

Mục tiêu học tập UNC-4.AB: Xác định tác động của kích thước mẫu lên độ rộng của khoảng tin cậy cho sự chênh lệch giữa hai trung bình. [Kỹ năng 4.A]

• UNC-4.AB.1 Khi giữ nguyên mọi yếu tố khác không đổi, độ rộng của khoảng tin cậy cho sự chênh lệch giữa hai trung bình có xu hướng giảm khi kích thước mẫu tăng lên.

Chủ đề này nhằm tập trung vào kỹ năng lựa chọn quy trình suy luận phù hợp, khi sinh viên đã có sẵn một loạt các tùy chọn. Sinh viên nên được tạo cơ hội thực hành về thời điểm và cách thức áp dụng tất cả các mục tiêu học tập liên quan đến suy luận involving tỷ lệ hoặc trung bình.

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.J: Identify questions suggested by variation between observed and expected counts in categorical data. [Skill 1.A]

• VAR-1.J.1 Sự biến thiên giữa những gì chúng ta tìm thấy và những gì chúng ta mong đợi có thể mang tính ngẫu nhiên hoặc không.

Hiểu biết bền vững (VAR-8): Phân phối chi-square có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên.

Mục tiêu học tập VAR-8.A: Describe chi-square distributions. [Skill 3.C]

• VAR-8.A.1 Số lượng kỳ vọng của dữ liệu phân loại là số lượng phù hợp với giả thuyết không. Nói chung, số lượng kỳ vọng là kích thước mẫu nhân với xác suất.

  Thống kê chi-square đo khoảng cách giữa số lượng quan sát và số lượng kỳ vọng tương đối với số lượng kỳ vọng.

  Các phân phối chi-square có giá trị dương và bị lệch về bên phải. Trong cùng một họ đường cong mật độ, độ lệch trở nên ít rõ rệt hơn khi bậc tự do tăng lên.

Mục tiêu học tập VAR-8.B: Identify the null and alternative hypotheses in a test for a distribution of proportions in a set of categorical data. [Skill 1.F]

• VAR-8.B.1 Đối với bài kiểm tra độ phù hợp chi-square, giả thuyết không chỉ định các tỷ lệ không cho mỗi danh mục, và giả thuyết thay thế là ít nhất một trong những tỷ lệ này không như đã chỉ định trong giả thuyết không.

Mục tiêu học tập VAR-8.C: Identify an appropriate testing method for a distribution of proportions in a set of categorical data. [Skill 1.E]

• VAR-8.C.1 Khi xem xét phân phối tỷ lệ cho một biến phân loại, bài kiểm tra thích hợp là bài kiểm tra chi-square cho độ phù hợp.

Mục tiêu học tập VAR-8.D: Calculate expected counts for the chi-square test for goodness of fit. [Skill 3.A]

• VAR-8.D.1 Số lượng kỳ vọng cho bài kiểm tra độ phù hợp chi-square là (kích thước mẫu)(tỷ lệ không).

Mục tiêu học tập VAR-8.E: Verify the conditions for making statistical inferences when testing goodness of fit for a chi-square distribution. [Skill 4.C]

• VAR-8.E.1 Để đưa ra suy luận thống kê cho bài kiểm tra độ phù hợp chi-square, chúng ta phải kiểm tra các điều kiện sau:
  • a. Để kiểm tra tính độc lập:
    • i. Dữ liệu nên được thu thập bằng cách sử dụng mẫu ngẫu nhiên hoặc thí nghiệm gán ngẫu nhiên.
    • ii. Khi lấy mẫu không thay thế, hãy kiểm tra rằng $n \leq 10\%N$.
  • b. Bài kiểm tra độ phù hợp chi-square trở nên chính xác hơn với nhiều quan sát, vì vậy nên sử dụng các số lượng lớn (hình dạng).
    • i. Một phép kiểm tra thận trọng cho các số lượng lớn là tất cả các số lượng kỳ vọng đều lớn hơn 5.

Hiểu biết bền vững (VAR-8): Phân phối chi-square có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên.

Mục tiêu học tập VAR-8.F: Calculate the appropriate statistic for the chi-square test for goodness of fit. [Skill 3.E]

• VAR-8.F.1 Thống kê kiểm tra cho bài kiểm tra độ phù hợp chi-square là
  • Phương trình: $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$, với $degrees\ of\ freedom = number\ of\ categories - 1$.
• VAR-8.F.2 Phân phối của thống kê kiểm tra khi giả thuyết không là đúng (phân phối không) có thể là phân phối gán ngẫu nhiên hoặc, khi một mô hình xác suất được coi là đúng, là phân phối lý thuyết (chi-square).

Mục tiêu học tập VAR-8.G: Determine the $p$-value for chi-square test for goodness of fit significance test. [Skill 3.E]

• VAR-8.G.1 Giá trị $p$ cho bài kiểm tra độ phù hợp chi-square với một số bậc tự do được tìm thấy bằng bảng phù hợp hoặc kết quả tạo bởi máy tính.

Hiểu biết bền vững (DAT-3): Kiểm định ý nghĩa giúp chúng ta đưa ra quyết định về các giả thuyết trong một ngữ cảnh cụ thể.

Mục tiêu học tập DAT-3.I: Diễn giải giá trị $p$ cho kiểm tra chi-squared cho độ phù hợp. [Kỹ năng 4.B]

• DAT-3.I.1 Một cách diễn giải giá trị $p$ cho bài kiểm tra độ phù hợp chi-square là xác suất, với giả thuyết không và mô hình xác suất là đúng, của việc thu được thống kê kiểm tra giống hoặc cực đoan hơn giá trị quan sát.

Mục tiêu học tập DAT-3.J: Justify a claim about the population based on the results of a chi-square test for goodness of fit. [Skill 4.E]

• DAT-3.J.1 Việc quyết định bác bỏ hay không bác bỏ giả thuyết không dựa trên sự so sánh giữa giá trị $p$ và mức ý nghĩa, $\alpha$.
• DAT-3.J.2 Kết quả của một bài kiểm tra độ phù hợp chi-square có thể làm cơ sở lập luận thống kê để hỗ trợ câu trả lời cho một câu hỏi nghiên cứu về tổng thể đã được lấy mẫu.

Hiểu biết bền vững (VAR-8): Phân phối chi-square có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên.

Mục tiêu học tập VAR-8.H: Calculate expected counts for two-way tables of categorical data. [Skill 3.A]

• VAR-8.H.1 Số lượng kỳ vọng trong một ô cụ thể của bảng hai chiều dữ liệu phân loại có thể được tính bằng công thức:
  • Phương trình: $expected\ count = \dfrac{(row\ total)(column\ total)}{table\ total}$.

Hiểu biết bền vững (VAR-8): Phân phối chi-square có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên.

Mục tiêu học tập VAR-8.I: Xác định giả thuyết không và giả thuyết thay thế cho kiểm định chi-squared về tính đồng nhất hoặc độc lập. [Kỹ năng 1.F]

• VAR-8.I.1 Các giả thuyết phù hợp cho kiểm định chi-squared về tính đồng nhất là:

  $H_0$: Không có sự khác biệt trong phân phối của một biến phân loại giữa các quần thể hoặc điều trị.

  $H_a$: Có sự khác biệt trong phân phối của một biến phân loại giữa các quần thể hoặc điều trị.

• VAR-8.I.2 Các giả thuyết phù hợp cho kiểm định chi-squared về tính độc lập là:

  $H_0$: Không có mối liên hệ nào giữa hai biến phân loại trong một quần thể xác định, hoặc hai biến phân loại là độc lập với nhau.

  $H_a$: Hai biến phân loại trong một quần thể có mối liên hệ hoặc phụ thuộc vào nhau.

Mục tiêu học tập VAR-8.J: Xác định phương pháp kiểm tra phù hợp để so sánh phân phối trong bảng số liệu chéo của dữ liệu phân loại. [Kỹ năng 1.E]

• VAR-8.J.1 Khi so sánh phân phối để xác định xem tỷ lệ trong từng danh mục đối với dữ liệu phân loại thu thập từ các quần thể khác nhau có giống nhau hay không, phép kiểm tra phù hợp là kiểm định chi-squared về tính đồng nhất.
• VAR-8.J.2 Để xác định xem các biến hàng và cột trong bảng số liệu chéo của dữ liệu phân loại có thể có mối liên hệ trong quần thể được lấy mẫu hay không, phép kiểm tra phù hợp là kiểm định chi-squared về tính độc lập.

Mục tiêu học tập VAR-8.K: Kiểm chứng các điều kiện để đưa ra suy luận thống kê khi kiểm định phân phối chi-squared về tính độc lập hoặc tính đồng nhất. [Kỹ năng 4.C]

• VAR-8.K.1 Để thực hiện suy luận thống kê cho kiểm định chi-squared đối với bảng số liệu chéo (tính đồng nhất hoặc tính độc lập), chúng ta phải kiểm chứng những điều sau:
  • a. Để kiểm tra tính độc lập:
    • i. Đối với kiểm định độc lập: Dữ liệu nên được thu thập bằng cách sử dụng mẫu ngẫu nhiên đơn giản.
    • ii. Đối với kiểm định đồng nhất: Dữ liệu nên được thu thập bằng cách sử dụng mẫu phân tầng ngẫu nhiên hoặc thí nghiệm gán ngẫu nhiên.
    • iii. Khi lấy mẫu không hoàn lại, hãy kiểm tra rằng $n \leq 10\%N$.
  • b. Các kiểm định chi-squared về tính độc lập và tính đồng nhất trở nên chính xác hơn khi có nhiều quan sát hơn, do đó cần sử dụng các giá trị đếm lớn (hình dạng).
    • i. Một phép kiểm tra thận trọng cho các số lượng lớn là tất cả các số lượng kỳ vọng đều lớn hơn 5.

Chủ đề này nhằm tập trung vào kỹ năng chọn quy trình suy luận phù hợp khi học sinh đã có sẵn một loạt các lựa chọn. Học sinh nên được tạo cơ hội thực hành khi nào và làm thế nào để áp dụng tất cả các mục tiêu học tập liên quan đến suy luận cho dữ liệu phân loại.

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.K: Xác định các câu hỏi gợi ý từ sự biến thiên trong biểu đồ phân tán. [Kỹ năng 1.A]

• VAR-1.K.1 Sự biến thiên trong vị trí của các điểm so với đường lý thuyết có thể là ngẫu nhiên hoặc không ngẫu nhiên.

Hiểu biết bền vững (UNC-4): Một khoảng giá trị nên được sử dụng để ước lượng tham số, nhằm tính đến sự không chắc chắn.

Mục tiêu học tập UNC-4.AC: Xác định quy trình khoảng tin cậy phù hợp cho hệ số góc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 1.D]

• UNC-4.AC.1 Xét một biến phản hồi, $y$, có quan hệ tuyến tính với một biến giải thích, $x$. Đối với một mẫu ngẫu nhiên đơn gồm $n$ quan sát, đường hồi quy mẫu, $\hat{y} = a + bx$, là ước lượng của đường hồi quy tổng thể, $\mu_y = \alpha + \beta x$. Đối với một quan sát cụ thể, $(x_i, y_i)$, phần dư từ đường hồi quy mẫu, $y_i - \hat{y}_i = y_i - (a + bx_i)$, là ước lượng của $y_i - (\alpha + \beta x_i)$, độ lệch của biến phản hồi so với đường hồi quy tổng thể. Đối với tất cả các điểm $(x, y)$ trong tổng thể, độ lệch chuẩn của tất cả các độ lệch của biến phản hồi so với đường hồi quy tổng thể, $\sigma$, có thể được ước lượng bởi độ lệch chuẩn của các phần dư từ đường hồi quy mẫu, $s = \sqrt{\dfrac{\sum\left(y_i - \hat{y}_i\right)^2}{n-2}}$. (Lưu ý: Công thức này sử dụng $n-2$ ở mẫu số thay vì $n-1$ vì hai tham số, $\alpha$ và $\beta$, phải được ước lượng để thu được các giá trị dự đoán từ đường hồi quy bình phương tối thiểu.)
• UNC-4.AC.2 Đối với mẫu ngẫu nhiên đơn gồm $n$ quan sát, gọi $b$ là hệ số góc của đường hồi quy mẫu. Khi đó, trung bình của phân phối lấy mẫu cho $b$ bằng hệ số góc tổng thể: $\mu_b = \beta$. Độ lệch chuẩn của phân phối lấy mẫu cho $b$ là $\sigma_b = \dfrac{\sigma}{\sigma_x \sqrt{n}}$, trong đó $\sigma_x = \sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n}}$.
• UNC-4.AC.3 Khoảng tin cậy phù hợp cho độ dốc của mô hình hồi quy là khoảng $t$ cho độ dốc.

Mục tiêu học tập UNC-4.AD: Kiểm tra các điều kiện để tính khoảng tin cậy cho độ dốc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 4.C]

• UNC-4.AD.1 Để tính khoảng tin cậy nhằm ước lượng độ dốc của đường hồi quy, chúng ta cần kiểm tra các điều sau:
  • a. Quan hệ thực tế giữa $x$ và $y$ là tuyến tính. Phân tích phần dư có thể được sử dụng để xác minh tính tuyến tính.
  • b. Độ lệch chuẩn của $y$, $\sigma_y$, không thay đổi theo $x$. Phân tích phần dư có thể được sử dụng để kiểm tra xem độ lệch chuẩn xấp xỉ bằng nhau cho tất cả các $x$ hay không.
  • c. Để kiểm tra tính độc lập:
    • i. Dữ liệu nên được thu thập bằng cách sử dụng mẫu ngẫu nhiên hoặc thí nghiệm được gán ngẫu nhiên.
    • ii. Khi lấy mẫu không thay thế, hãy kiểm tra rằng $n \le 10\% N$.
  • d. Đối với một giá trị cụ thể của $x$, các phản hồi (các giá trị $y$) phân phối xấp xỉ theo phân phối chuẩn. Phân tích các biểu diễn đồ thị của phần dư có thể được sử dụng để kiểm tra tính chuẩn.
    • i. Nếu phân phối quan sát bị lệch, $n$ nên lớn hơn 30.

Mục tiêu học tập UNC-4.AE: Xác định biên độ sai số đã cho cho độ dốc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 3.D]

• UNC-4.AE.1 Đối với độ dốc của đường hồi quy, biên độ sai số là giá trị tới hạn $\left(t^*\right)$ nhân với sai số chuẩn ($SE$) của độ dốc.
• UNC-4.AE.2 Sai số chuẩn cho độ dốc của đường hồi quy với độ lệch chuẩn mẫu, $s$, là $SE = \dfrac{s}{s_x \sqrt{n-1}}$, trong đó $s$ là ước lượng của $\sigma$ và $s_x$ là độ lệch chuẩn mẫu của các giá trị $x$.

Mục tiêu học tập UNC-4.AF: Tính toán khoảng tin cậy phù hợp cho độ dốc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 3.D]

• UNC-4.AF.1 Ước lượng điểm cho độ dốc của mô hình hồi quy là độ dốc của đường拟合 tốt nhất (đường hồi quy), $b$.
• UNC-4.AF.2 Đối với độ dốc của mô hình hồi quy, ước lượng khoảng là $b \pm t^* \left(SE_b\right)$.

Hiểu biết bền vững (UNC-4): Một khoảng giá trị nên được sử dụng để ước lượng tham số, nhằm tính đến sự không chắc chắn.

Mục tiêu học tập UNC-4.AG: Giải thích khoảng tin cậy cho độ dốc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 4.B]

• UNC-4.AG.1 Trong các lần lấy mẫu ngẫu nhiên lặp lại với cùng kích thước mẫu, khoảng C% các khoảng tin cậy được tạo ra sẽ bao gồm độ dốc của mô hình hồi quy, tức là độ dốc thực tế của đường hồi quy tổng thể.
• UNC-4.AG.2 Một cách giải thích cho khoảng tin cậy cho độ dốc của đường hồi quy nên bao gồm tham chiếu đến mẫu đã lấy và các chi tiết về tổng thể mà nó đại diện.

Mục tiêu học tập UNC-4.AH: Chứng minh một tuyên bố dựa trên khoảng tin cậy cho độ dốc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 4.D]

• UNC-4.AH.1 Một khoảng tin cậy cho độ dốc của mô hình hồi quy cung cấp một khoảng các giá trị có thể cung cấp bằng chứng đủ mạnh để hỗ trợ một tuyên bố cụ thể trong ngữ cảnh.

Mục tiêu học tập UNC-4.AI: Xác định ảnh hưởng của kích thước mẫu lên độ rộng của khoảng tin cậy cho độ dốc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 4.A]

• UNC-4.AI.1 Khi mọi thứ khác không đổi, độ rộng của khoảng tin cậy cho độ dốc của mô hình hồi quy có xu hướng giảm khi kích thước mẫu tăng lên.

Hiểu biết bền vững (VAR-7): Phân phối $t$ có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên.

Mục tiêu học tập VAR-7.J: Xác định sự lựa chọn phương pháp kiểm tra phù hợp cho độ dốc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 1.E]

• VAR-7.J.1 Bài kiểm tra phù hợp cho độ dốc của mô hình hồi quy là bài kiểm tra $t$ cho độ dốc.

Mục tiêu học tập VAR-7.K: Xác định giả thuyết không và giả thuyết đối phù hợp cho độ dốc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 1.F]

• VAR-7.K.1 Giả thuyết không cho bài kiểm tra $t$ cho độ dốc là: $H_0 : \beta = \beta_0$, trong đó $\beta_0$ là giá trị được giả định từ giả thuyết không. Giả thuyết đối là $H_0 : \beta < \beta_0$ hoặc $H_0 : \beta > \beta_0$, hoặc $H_0 : \beta \neq \beta_0$.

Mục tiêu học tập VAR-7.L: Xác minh các điều kiện cho bài kiểm tra ý nghĩa cho độ dốc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 4.C]

• VAR-7.L.1 Để đưa ra suy luận thống kê khi kiểm tra độ dốc của mô hình hồi quy, chúng ta cần kiểm tra các điều sau:
  • a. Quan hệ thực tế giữa $x$ và $y$ là tuyến tính. Phân tích phần dư có thể được sử dụng để xác minh tính tuyến tính.
  • b. Độ lệch chuẩn của $y$, $\sigma_y$, không thay đổi theo $x$. Phân tích phần dư có thể được sử dụng để kiểm tra xem độ lệch chuẩn xấp xỉ bằng nhau cho tất cả các $x$ hay không.
  • c. Để kiểm tra tính độc lập:
    • i. Dữ liệu nên được thu thập bằng cách sử dụng mẫu ngẫu nhiên hoặc thí nghiệm được gán ngẫu nhiên.
    • ii. Khi lấy mẫu không thay thế, hãy kiểm tra rằng $n \le 10\% N$.
  • d. Đối với một giá trị cụ thể của $x$, các phản hồi (các giá trị $y$) phân phối xấp xỉ theo phân phối chuẩn. Phân tích các biểu diễn đồ thị của phần dư có thể được sử dụng để kiểm tra tính chuẩn.
    • i. Nếu phân phối quan sát bị lệch, $n$ nên lớn hơn 30.
    • ii. Nếu kích thước mẫu nhỏ hơn 30, phân phối dữ liệu mẫu nên không có độ lệch mạnh và ngoại lệ.

Hiểu biết bền vững (VAR-7): Phân phối $t$ có thể được sử dụng để mô hình hóa sự biến thiên.

Mục tiêu học tập VAR-7.M: Tính toán thống kê kiểm tra phù hợp cho độ dốc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 3.E]

• VAR-7.M.1 Phân phối của độ dốc của mô hình hồi quy khi giả thiết tất cả các điều kiện được thỏa mãn và giả thuyết không đúng (phân phối không) là phân phối $t$.
• VAR-7.M.2 Đối với hồi quy tuyến tính đơn giản khi lấy mẫu ngẫu nhiên từ một quần thể cho biến phản hồi có thể được mô hình hóa bằng phân phối chuẩn cho mỗi giá trị của biến giải thích, phân phối mẫu của $t = \dfrac{b - \beta}{SE_b}$ có phân phối $t$ với bậc tự do bằng $n - 2$. Khi kiểm tra hệ số góc trong mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản với một tham số, hệ số góc, bài kiểm tra cho hệ số góc có $df = n - 1$.

Hiểu biết bền vững (DAT-3): Kiểm định ý nghĩa giúp chúng ta đưa ra quyết định về các giả thuyết trong một ngữ cảnh cụ thể.

Mục tiêu học tập DAT-3.M: Diễn giải giá trị $p$ của phép kiểm tra ý nghĩa cho hệ số góc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 4.B]

• DAT-3.M.1 Một diễn giải giá trị $p$ của phép kiểm tra ý nghĩa cho hệ số góc của mô hình hồi quy cần lưu ý rằng giá trị $p$ được tính toán bằng cách giả định giả thuyết không đúng, tức là giả định rằng hệ số góc thực tế của tổng thể bằng với giá trị cụ thể nêu trong giả thuyết không.

Mục tiêu học tập DAT-3.N: Bảo vệ một tuyên bố về quần thể dựa trên kết quả của bài kiểm tra ý nghĩa cho hệ số góc của mô hình hồi quy. [Kỹ năng 4.E]

• DAT-3.N.1 Một quyết định chính thức so sánh giá trị $p$ với mức ý nghĩa $\alpha$. Nếu giá trị $p$ nhỏ hơn hoặc bằng $\le \alpha$, thì bác bỏ giả thuyết không, $H_0 : \beta = \beta_0$. Nếu giá trị $p$ lớn hơn $> \alpha$, thì không bác bỏ giả thuyết không.
• DAT-3.N.2 Kết quả của bài kiểm tra ý nghĩa cho hệ số góc của mô hình hồi quy có thể đóng vai trò là lập luận thống kê để hỗ trợ câu trả lời cho một câu hỏi nghiên cứu về mẫu đó.

Chủ đề này nhằm tập trung vào kỹ năng lựa chọn thủ tục suy luận phù hợp khi học sinh đã có sẵn một loạt các tùy chọn. Học sinh nên được tạo cơ hội thực hành khi nào và làm thế nào để áp dụng tất cả các mục tiêu học tập liên quan đến suy luận.