Lembar kerja ini mencakup Topik 3: Matematika Murni 3. Subtopik 3.1–3.6 membangun dari aljabar, logaritma, trigonometri, diferensiasi, integral, dan metode numerik Matematika Murni 2, sehingga lembar kerja ini menjelaskan apa yang baru pada Matematika Murni 3 dan kemudian membahas tiga area baru utama: vektor, persamaan diferensial, dan bilangan kompleks.
Matematika Murni 3
Matematika A-Level · Topik 3
13:36
Matematika Murni 3
Selama berabad-abad, para matematikus membentur tembok: apa itu akar dari minus satu? Tidak ada bilangan biasa yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif. Mereka menyebutnya mustahil, dan…
Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
3.1
Aljabar
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • pahami makna dari $|x|$, sketsa grafik dari $y = |ax + b|$ dan gunakan relasi seperti $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ dan $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ saat menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan | Grafik dari $y = |\text{f}(x)|$ dan $y = \text{f}(|x|)$ untuk fungsi non-linear $\text{f}$ tidak termasuk. mis. $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • bagi polinomial berderajat tidak lebih dari 4 dengan polinomial linear atau kuadrat, dan identifikasi hasil bagi dan sisa (yang dapat bernilai nol) | |
| gunakan teorema faktor dan teorema sisa | mis. untuk mencari faktor dan sisa, menyelesaikan persamaan polinomial atau mengevaluasi koefisien yang tidak diketahui. Termasuk faktor berbentuk $(ax + b)$ di mana koefisien dari $x$ bukan kesatuan, dan termasuk perhitungan sisa. |
| • ingat bentuk yang sesuai untuk menyatakan fungsi rasional dalam pecahan parsial, dan lakukan dekomposisinya, pada kasus di mana penyebutnya tidak lebih rumit daripada – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | Kecuali kasus di mana derajat pembilang melebihi derajat penyebut |
| • gunakan ekspansi $(1 + x)^n$, di mana $n$ adalah bilangan rasional dan $|x| < 1$. | Menentukan suku umum dalam ekspansi tidak termasuk. Menyesuaikan deret standar untuk menguraikan misal $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$ termasuk, dan menentukan himpunan nilai $x$ agar ekspansi tersebut valid pada kasus seperti itu juga termasuk. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Dua alat baru bergabung dengan aljabar dari Matematika Murni 2.
Pecahan parsial
Sebuah pecahan tunggal dengan penyebut yang difaktorkan dapat dipecah menjadi jumlah pecahan yang lebih sederhana. Ini disebut menulisnya dalam pecahan parsial, dan hal ini membuat fungsi rasional (pecahan polinomial) mudah diintegralkan atau diuraikan. Sesuaikan bentuknya dengan penyebut:
Pertama periksa apakah pembilang memiliki derajat lebih rendah daripada penyebut. Jika tidak ("terlalu berat di atas"), bagilah polinomial terlebih dahulu: pembagian menghasilkan hasil bagi ditambah sisa di atas penyebut asli, dan Anda hanya memecah pecahan wajar yang tersisa tersebut.
Satu pecahan dengan penyebut yang difaktorkan terpecah menjadi jumlah pecahan yang lebih sederhana.
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
Contoh terpecahkan. Nyatakan $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ dalam bentuk pecahan parsial.
Tulis $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, sehingga $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Masukkan $x = 2$: $6 = 3B$, sehingga $B = 2$. Masukkan $x = -1$: $3 = -3A$, sehingga $A = -1$. Oleh karena itu
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
Ekspansi binomial untuk pangkat rasional
Ekspansi binomial juga berlaku ketika pangkat berupa pecahan atau negatif, asalkan $|x| < 1$:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
Sebagai contoh $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ untuk $|x| < 1$.
Jelajahi
Kurva resiprokal
y = a/(x − b) + c
Pecahan parsial memecah pecahan sulit menjadi bagian resiprokal sederhana — masing-masing memiliki asimtot vertikal dan asimtot horizontal.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Matematika Murni |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | pecahan parsial |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | fungsi rasional |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | hasil bagi |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | sisa |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | ekspansi binomial |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | perubahan tanda |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | rumus iteratif |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | resiprokal |
| secant/ˈsiːkənt/ | sekans |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | kosekan |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | kotangen |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | konvergen |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | tangens invers |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | integrasi dengan bagian |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | Integrasi dengan substitusi |
3.2 3.3 3.6
Logaritma, trigonometri, dan metode numerik (dari Pure 2)
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami hubungan antara logaritma dan eksponen, serta gunakan hukum-hukum logaritma (kecuali perubahan basis) | |
| pahami definisi dan sifat dari $e^x$ dan $\ln x$, termasuk hubungan mereka sebagai fungsi invers dan grafiknya | Termasuk pengetahuan tentang grafik dari $y = e^{kx}$ untuk nilai positif dan negatif dari $k$. |
| gunakan logaritma untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan di mana variabel tak diketahui muncul pada indeks | mis. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| gunakan logaritma untuk mengubah hubungan yang diberikan menjadi bentuk linear, dan dengan demikian tentukan konstanta yang tidak diketahui dengan mempertimbangkan gradien dan/atau intersep. | mis. $y = kx^n$ menghasilkan $\ln y = \ln k + n \ln x$ yang linear dalam $\ln x$ dan $\ln y$. $y = k(a^x)$ menghasilkan $\ln y = \ln k + x \ln a$ yang linear dalam $x$ dan $\ln y$. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami hubungan fungsi sekans, kosekans dan kotangens dengan kosinus, sinus dan tangens, serta gunakan sifat dan grafik dari keenam fungsi trigonometri untuk sudut berapapun magnitudonya | |
| gunakan identitas trigonometri untuk penyederhanaan dan evaluasi eksak ekspresi, dan dalam proses penyelesaian persamaan, pilih satu atau lebih identitas yang sesuai dengan konteks, menunjukkan familiarity terutama dengan penggunaan: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ dan $\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – pengembangan dari $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ dan $\tan(A \pm B)$ – rumus-rumus untuk $\sin 2A$, $\cos 2A$ dan $\tan 2A$ – penulisan $a \sin \theta + b \cos \theta$ dalam bentuk $R \sin(\theta \pm \alpha)$ dan $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | mis. menyederhanakan $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. mis. menyelesaikan $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • temukan secara kasar akar dari suatu persamaan, melalui pertimbangan grafik dan/atau pencarian perubahan tanda | mis. menemukan sepasang bilangan bulat berurutan di mana akar terletak. |
| • pahami ide, dan gunakan notasi, untuk barisan pendekatan yang konvergen ke akar dari suatu persamaan | |
| • pahami bagaimana rumus iterasi sederhana yang diberikan berbentuk $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ berkaitan dengan persamaan yang diselesaikan, dan gunakan iterasi yang diberikan, atau iterasi berdasarkan penyusunan ulang persamaan yang diberikan, untuk menentukan akar hingga tingkat ketelitian yang ditetapkan. | Pengetahuan tentang syarat konvergensi tidak termasuk, tetapi pemahaman bahwa iterasi mungkin gagal konvergen diharapkan. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Subtopik 3.2, 3.3 dan 3.6 adalah keterampilan yang sama yang Anda temui dalam Murni 2: hukum logaritma dengan $e^x$ dan $\ln x$; identitas $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ dan $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, rumus sudut rangkap dan kembar, serta bentuk $R$ dari $a\sin\theta + b\cos\theta$; dan menyelesaikan persamaan secara numerik melalui perubahan tanda dan rumus iteratif $x_{n+1} = F(x_n)$. Gunakan persis seperti sebelumnya.
Tiga fungsi trigonometri baru adalah kebalikan dari yang sudah dikenal: sekans $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, kosekans $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, dan kotangen $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (Alat bantu hafalan: cocokkan huruf ketiga — sec berpasangan dengan cosine.) Dua identitas Pythagoras di atas berasal langsung dari pembagian $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ oleh $\cos^2\theta$ atau $\sin^2\theta$. Untuk metode numerik, sebuah iterasi $x_{n+1}=F(x_n)$ konvergen ke akar ketika nilai-nilai berturutan semakin dekat satu sama lain.
Jelajahi
Lingkaran satuan
(cos θ, sin θ)
Rumus-R menulis ulang a sin θ + b cos θ sebagai satu gelombang — dan semuanya hidup di lingkaran ini.
3.4
Diferensiasi
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| gunakan turunan dari $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\tan^{-1} x$, bersama dengan perkalian konstan, jumlah, selisih dan komposisi | Turunan dari $\sin^{-1} x$ dan $\cos^{-1} x$ tidak diperlukan. |
| diferensiasikan hasil kali dan hasil bagi | mis. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1-x^2}$. |
| temukan dan gunakan turunan pertama dari suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik atau implisit. | mis. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. mis. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Termasuk penggunaan dalam masalah yang melibatkan garis singgung dan garis normal. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Metode-metodenya adalah dari Pure 2 (aturan hasil kali, hasil bagi, dan rantai, dengan kurva parametrik dan implisit). Satu turunan ditambahkan — tangens invers:
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
Contoh terpecahkan. Turunkan $y = \tan^{-1}(3x)$.
Gunakan aturan rantai dengan hasil di atas: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
Jelajahi
Gradien pada suatu titik
gradien = dy/dx
Bersifat implisit atau tidak, turunan tetap merupakan kemiringan tangens — geser titik untuk melihatnya.
3.5
Integrasi
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| perluas ide 'diferensiasi terbalik' untuk mencakup integrasi dari $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ dan $\frac{1}{x^2 + a^2}$ | Termasuk contoh seperti $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| gunakan hubungan trigonometri dalam melakukan integrasi | mis. penggunaan rumus sudut ganda untuk mengintegralkan $\sin^2 x$ atau $\cos^2(2x)$. |
| integralkan fungsi rasional dengan menggunakan dekomposisi menjadi pecahan parsial | Dibatasi pada jenis pecahan parsial seperti yang ditentukan dalam topik 3.1 di atas. |
| kenali integran berbentuk $\frac{k f'(x)}{f(x)}$, dan integralkan fungsi-fungsi semacam itu | mis. integrasi $\frac{x}{x^2 + 1}$, $\tan x$. |
| kenali kapan sebuah integran dapat berguna dianggap sebagai hasil kali, dan gunakan integrasi parsial | mis. integrasi $x \sin 2x$, $x^2 e^{-x}$, $\ln x$, $x \tan^{-1} x$. |
| gunakan substitusi yang diberikan untuk menyederhanakan dan mengevaluasi integral tertentu atau tak tentu. | mis. untuk mengintegrasikan $\sin^2 2x \cos x$ menggunakan substitusi $u = \sin x$. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Pure 3 menambahkan beberapa metode yang sangat kuat.
- Satu amiran standard baharu: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Pecahan parsial: pecahkan fungsi rasional terlebih dahulu, lalu integralkan setiap bagian sebagai logaritma.
- Pola $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: ini diintegralkan menjadi $k\ln|f(x)| + C$. Sebagai contoh $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
- Integrasi dengan bagian, digunakan untuk perkalian: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Integrasi dengan substitusi: perubahan variabel tertentu mengubah integral yang sulit menjadi mudah.
Contoh terarah. Temukan $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
Gunakan integrasi dengan bagian dengan $u = x$ dan $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, sehingga $\dfrac{du}{dx} = 1$ dan $v = \sin x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
Jelajahi
Luas di bawah kurva
luas = ∫ f(x) dx
Setiap metode integrasi hanya mengukur luas ini — geser batas-batasnya untuk menjumlahkannya.
3.7
Vektor
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • gunakan notasi standar untuk vektor, yaitu $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{a}$ | |
| • lakukan penjumlahan dan pengurangan vektor serta perkalian vektor dengan skalar, dan artikan operasi-operasi ini secara geometris | mis. ‘$OABC$ adalah jajar genjang’ ekuivalen dengan $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$. Bentuk umum teorema rasio tidak termasuk, tetapi pemahaman bahwa titik tengah dari $AB$ memiliki vektor posisi $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ diharapkan. |
| • hitung magnitudo (besar) dari sebuah vektor, dan gunakan vektor satuan, vektor perpindahan, dan vektor posisi | Dalam 2 atau 3 dimensi. |
| • pahami arti semua simbol yang digunakan ketika persamaan garis lurus dinyatakan dalam bentuk $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$, dan tentukan persamaan garis, jika informasi yang cukup diberikan | mis. menemukan persamaan garis jika diketahui vektor posisi titik pada garis tersebut dan vektor arah, atau vektor posisi dua titik pada garis tersebut. |
| • tentukan apakah dua garis sejajar, berpotongan, atau skew (menceng), dan temukan titik potong dua garis jika ada | Perhitungan jarak terpendek antara dua garis skew tidak diperlukan. Menemukan persamaan garis tegak persekutuan untuk dua garis skew juga tidak diperlukan. |
| gunakan rumus untuk menghitung hasil kali skalar dari dua vektor, dan gunakan hasil kali skalar dalam masalah yang melibatkan garis dan titik. | mis. mencari sudut antara dua garis, dan mencari kaki garis tegak dari suatu titik ke garis; soal mungkin melibatkan benda 3D seperti balok, tetrahedron (limas), dll. Pengetahuan tentang hasil kali vektor tidak diperlukan. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Sebuah vektor memiliki besar dan arah. Tulis dalam bentuk kolom, atau sebagai $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, atau sebagai $\overrightarrow{AB}$.
- Magnitudo (panjang) dari $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ adalah $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- Vektor satuan memiliki magnitudo $1$; bagilah sebuah vektor dengan magnitudonya untuk membuatnya menjadi satu.
- Vektor posisi menunjukkan tempat suatu titik dari titik asal; vektor perpindahan $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ menghubungkan dari satu titik ke titik lain. Mengalikan dengan skalar (bilangan biasa) memanjangkan sebuah vektor.
Garis dan hasil kali skalar
Garis lurus melalui titik $\mathbf{a}$ dalam arah $\mathbf{b}$ memiliki persamaan vektor $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Dua garis dapat sejajar, dapat berpotongan pada satu titik, atau dapat menjadi garis skew (tidak sejajar dan tidak pernah bertemu).
Hasil kali skalar (dot product) dari $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ adalah
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
di mana $\theta$ adalah sudut di antara keduanya. Jadi $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ berarti kedua vektor saling tegak lurus.
Contoh terpecahkan. Temukan sudut antara $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ dan $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3.$$
Jadi $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, memberikan $\theta = 27.3^\circ$.
Jelajahi
Penjumlahan vektor dan perkalian titik
Seret dua vektor. Lihat resultan (ujung-ke-ujung) dan perkalian titik, yang bernilai nol ketika mereka tegak lurus.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | vektor |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | besarnya |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | vektor satuan |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | vektor posisi |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | vektor perpindahan |
| scalar/ˈskeɪlə/ | skalar |
| parallel/ˈpærəlel/ | paralel |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | berpotongan |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | garis miring |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | perkalian skalar |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | persamaan diferensial |
| separable/ˈsepərəbl/ | dapat dipisahkan |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solusi umum |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | syarat awal |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solusi khusus |
3.8
Persamaan diferensial
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| susun pernyataan sederhana yang melibatkan laju perubahan sebagai persamaan diferensial | Pengenalan dan evaluasi konstanta proporsionalitas, jika perlu, termasuk. |
| temukan melalui integrasi bentuk solusi umum untuk persamaan diferensial orde pertama di mana variabelnya dapat dipisahkan | Termasuk teknik integrasi apa pun dari topik 3.5 di atas. |
| gunakan kondisi awal untuk menemukan solusi khusus | |
| interpretasikan solusi dari persamaan diferensial dalam konteks masalah yang dimodelkan oleh persamaan tersebut. | Di mana persamaan diferensial digunakan untuk memodelkan situasi 'nyata', pengetahuan khusus tentang konteks tersebut tidak akan diperlukan. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Sebuah persamaan diferensial menghubungkan suatu besaran dengan laju perubahannya. Untuk menyelesaikan persamaan orde pertama yang variabelnya terpisah, tempatkan semua suku $y$ di satu sisi dan semua suku $x$ di sisi lain, kemudian integralkan kedua ruas. Ini menghasilkan solusi umum, yang memuat konstanta. Kondisi awal (nilai yang diketahui) menetapkan konstanta tersebut dan memberikan solusi khusus.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $\dfrac{dy}{dx} = xy$, diberikan bahwa $y = 1$ ketika $x = 0$.
Pisahkan variabel-variabelnya dan integralkan:
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}.$$
Menggunakan $y = 1$ pada $x = 0$ menghasilkan $A = 1$, sehingga $y = e^{x^2/2}$.
Jelajahi
Medan kemiringan
Setiap garis kecil menunjukkan gradien $\frac{dy}{dx}$ di sana. Kurva solusi mengikuti panah — ubah titik awal untuk melihat yang berbeda.
3.9
Bilangan kompleks
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami gagasan bilangan kompleks, ingat arti istilah bagian real, bagian imajiner, modulus, argumen, konjugat, dan gunakan fakta bahwa dua bilangan kompleks sama jika dan hanya jika bagian real dan imajinernya sama | Notasi $\text{Re } z$, $\text{Im } z$, $|z|$, $\arg z$, $z^*$ harus diketahui. Argumen bilangan kompleks biasanya merujuk pada sudut $\theta$ sedemikian rupa sehingga $-\pi < \theta \leqslant \pi$, tetapi dalam beberapa kasus interval $0 \leqslant \theta < 2\pi$ mungkin lebih nyaman. Jawaban dapat menggunakan interval mana pun kecuali soal menetapkan sebaliknya. |
| lakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua bilangan kompleks yang dinyatakan dalam bentuk Kartesius $x + \text{i}y$ | Untuk perhitungan yang melibatkan perkalian atau pembagian, detail lengkap cara pengerjaan harus ditunjukkan. |
| gunakan hasil bahwa, untuk persamaan polinomial dengan koefisien real, akar-akar non-reals terjadi dalam pasangan konjugat | mis. dalam menyelesaikan persamaan kubik atau kuartik di mana satu akar kompleks diberikan. |
| representasikan bilangan kompleks secara geometris melalui diagram Argand | |
| lakukan operasi perkalian dan pembagian dua bilangan kompleks yang dinyatakan dalam bentuk polar $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | Termasuk hasil $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ dan $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$, serta hasil yang sesuai untuk pembagian. |
| temukan dua akar kuadrat dari sebuah bilangan kompleks | mis. akar kuadrat dari $5 + 12\text{i}$ dalam bentuk Kartesius eksak. Detail lengkap cara pengerjaan harus ditunjukkan. |
| pahami secara sederhana efek geometris dari mengkonjugasikan bilangan kompleks dan dari menambahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi dua bilangan kompleks | |
| ilustrasikan persamaan dan pertidaksamaan sederhana yang melibatkan bilangan kompleks melalui lokus dalam diagram Argand | mis. $|z - a| < k$, $|z - a| = |z - b|$, $\arg(z - a) = \alpha$. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Sebuah bilangan kompleks berbentuk $z = x + iy$, di mana $i^2 = -1$. Di sini $x$ adalah bagian real dan $y$ adalah bagian imajiner. Bentuk ini $x + iy$ adalah bentuk Kartesius. Dua bilangan kompleks sama hanya jika bagian real dan bagian imajinernya masing-masing sama.
- Konjugat dari $z = x + iy$ adalah $z^* = x - iy$. Untuk polinomial dengan koefisien real, akar-akar tak-real selalu muncul berpasangan konjugat.
- Modulus adalah $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (jaraknya dari titik asal) dan argumen adalah sudut yang dibentuk oleh titik tersebut, diukur dari sumbu real positif.
- Anda dapat memplotkan $z$ sebagai sebuah titik pada diagram Argand (bidang kompleks).
- Bentuk polar adalah $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, di mana $r = |z|$ dan $\theta$ adalah argumen. Perkalian akan mengalikan modulus dan menjumlahkan argumen.
- Lokus titik-titik yang memenuhi suatu syarat pada $z$ digambarkan pada diagram Argand — mis. $|z - a| = r$ adalah lingkaran, $|z - a| = |z - b|$ adalah garis bagi tegak lurus, dan $\arg(z - a) = \theta$ adalah setengah garis. Akar kuadrat dari bilangan kompleks diperoleh dari penyelesaian $w^2 = z$.
Untuk pembagian, kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut.
Contoh terpecahkan. Tulis $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ dalam bentuk $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$
Suatu persamaan atau ketaksamaan dalam $z$ menggambarkan sebuah lokus (lintasan atau daerah) pada diagram Argand. Sebagai contoh, $|z - a| = r$ adalah lingkaran berjari-jari $r$ yang berpusat di $a$.
Jelajahi
Diagram Argand
Seret titik. Bilangan kompleks $a + bi$ adalah titik pada bidang; modulus-nya adalah jarak dari titik asal dan argumen-nya adalah sudut.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | bilangan kompleks |
| real part/rɪəl pɑːt/ | bagian real |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | bagian imajiner |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | bentuk Kartesius |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | konjugat |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | modulus |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argumen |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | diagram Argand |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | bentuk polar |
| locus/ˈləʊkəs/ | lokus |
3.9
Tips ujian
- Pecahlah fungsi rasional menjadi parsial pecahan sebelum mengintegralkan atau memperluas.
- Pilihlah teknik integrasi yang tepat (substitusi, integral parsial, atau parsial pecahan) berdasarkan bentuk integran.
- Gunakan hasil kali skalar (dot product) untuk sudut antar vektor dan untuk menguji tegak lurusnya; tulis persamaan garis sebagai $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Berikan bilangan kompleks dalam bentuk yang diminta (Kartesius atau modulus-argumen) dan gambarkan pada diagram Argand.
Pelajaran interaktif untuk topik ini
Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.