Integral (Murni 3)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| standard integral/ˈstændəd ˈɪntɪɡrəl/ | integral standard |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | pembilang |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | penyebut |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | pecahan parsial |
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | integrasi parsial |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | integrasi substitusi |
| change of variable/tʃeɪndʒ ɒv ˈveərɪəbl/ | perubahan variabel |
Amiran yang memberikan anda sudut
- Anda boleh mengamirkan $\dfrac{1}{x^2+1}$ untuk mendapatkan $\tan^{-1}x$ — satu fungsi yang mengembalikan sudut.
- Hubungan antara algebra dan geometri ini adalah salah satu hasil paling indah dalam kalkulus.
Amiran standard baharu
- Satu amiran standard baharu: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Corak $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ → $k\ln|f(x)| + C$, cth. $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$.
Contoh kerja. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 4}\,dx = \dfrac{1}{2}\tan^{-1}\dfrac{x}{2} + C$ (di sini $a = 2$).
Kenali corak. $\displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$. Pengangka mesti menjadi (pembahagian) terbitan penyebut. Jika tidak, anda memerlukan kaedah lain.
Lokus |z - a| = r ialah bulatan berjejari r berpusat di a
Luas di bawah kurva
luas = ∫ f(x) dx
Setiap metode integrasi hanya mengukur luas ini — geser batas-batasnya untuk menjumlahkannya.
Berapakah ∫ 2x/(x²+1) dx?
Pembilang adalah turunan dari penyebut (bentuk k f′/f), sehingga integralnya adalah ln(x²+1) + C.
∫ 1/(x²+a²) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C.
Ini adalah integral standar Murni 3 yang berkaitan dengan turunan tangen invers.
∫ 1/(x²+9) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C. Berapakah a?
a² = 9, jadi a = 3.
∫ 1/(x²+1) dx = ln(x²+1) + C.
Pembilang BUKAN turunan dari penyebut. Integral yang benar adalah tan⁻¹x + C.
Pecahan separa untuk amiran
- Pecahan separa: pecahkan fungsi rasional, kemudian amirkan setiap bahagian sebagai logaritma.
- Contoh: $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \int\left(\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}\right)dx = \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2}\ln|x+1| + C$.
Amiran oleh bahagian
- Amiran oleh bahagian (untuk darab): $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Pilih $u$ menjadi bahagian yang dipermudahkan apabila dibelakan.
Rumus integral parsial adalah ∫ u dv =:
Integral parsial: ∫ u dv = uv − ∫ v du.
Amiran oleh gantian
- Amiran oleh gantian: perubahan pemboleh ubah menukar amiran yang sukar menjadi mudah.
- Biarkan $u = g(x)$, maka $du = g'(x)\,dx$, dan tulis semula amiran dalam sebutan $u$.
allow_no_figure: Teknik amiran (oleh bahagian, gantian, pecahan separa) — kandungan visual ialah manipulasi algebra, bukan rajah.
- Amiran ialah pembelaan terbalik.
Menggunakan substitusi u = x²+1, hitung ∫₀² 2x/(x²+1) dx (2 dp).
∫₀² 2x/(x²+1) dx = [ln(x²+1)]₀² = ln 5 − ln 1 = ln 5 ≈ 1.61.
Anda telah memahaminya
- $\displaystyle\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac1a\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$; $\displaystyle\int\frac{k f'(x)}{f(x)}dx = k\ln|f(x)| + C$
- oleh bahagian: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ (untuk darab)
- oleh gantian: tukar pemboleh ubah untuk mempermudahkan