Persamaan diferensial
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| decay/dɪˈkeɪ/ | peluruhan |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | persamaan diferensial |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | laju perubahan |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | syarat awal |
| separable/ˈsepərəbl/ | dapat dipisahkan |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | konstanta integrasi |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solusi khusus |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solusi umum |
Persamaan yang memprediksi masa depan
- Seberapa cepat populasi tumbuh? Seberapa cepat zat radioaktif meluruh? Bagaimana secangkir kopi mendingin?
- Semua pertanyaan ini mengarah ke persamaan diferensial — persamaan yang menghubungkan suatu besaran dengan laju perubahannya. Menyelesaikannya memprediksi masa depan.
Apa itu persamaan diferensial?
- Sebuah persamaan diferensial menghubungkan suatu besaran dengan laju perubahannya.
- Contoh: $\dfrac{dy}{dx} = ky$ menyatakan bahwa laju pertumbuhan berbanding lurus dengan nilai saat ini — pertumbuhan eksponensial.
Contoh dunia nyata. Hukum pendinginan Newton: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. Laju pendinginan berbanding lurus dengan seberapa panas objek tersebut dibandingkan lingkungannya.
Konstanta memberikan keluarga kurva; kondisi awal memilih satu di antaranya
Medan kemiringan
dy/dx = a y
Persamaan diferensial memberikan kemiringan di setiap tempat — solusinya adalah kurva yang mengikuti kemiringan-kemiringan tersebut dari y₀.
Persamaan diferensial menghubungkan suatu besaran dengan laju perubahannya.
Itulah ciri khasnya: persamaan melibatkan baik y maupun dy/dx (atau turunan yang lebih tinggi).
Persamaan terpisah
- Untuk persamaan orde pertama terpisah: tempatkan semua suku $y$ di satu sisi, semua suku $x$ di sisi lain, lalu integralkan kedua sisi.
- Contoh: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
Jangan lupa konstanta integrasi. Saat Anda mengintegralkan kedua sisi, tambahkan $+C$ ke salah satu sisi. Konstanta ini menentukan solusi khusus apa yang Anda dapatkan.
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu yang dapat dipisahkan, Anda:
Memisahkan variabel, kemudian mengintegralkan masing-masing sisi.
Solusi umum vs solusi khusus
- Solusi umum mengandung sebuah konstanta (seluruh keluarga kurva).
- Sebuah kondisi awal (nilai yang diketahui) menetapkan konstanta → solusi khusus.
Kondisi awal digunakan untuk:
Nilai yang diketahui menetapkan konstanta sembarang, mengubah solusi umum menjadi solusi khusus.
Solusi umum dari persamaan diferensial mengandung konstanta sembarang.
Integrasi memperkenalkan konstanta, sehingga solusi umum merupakan seluruh keluarga kurva.
Contoh kerja
- Selesaikan $\dfrac{dy}{dx} = xy$ dengan $y = 1$ di $x = 0$.
- Pisahkan: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. Integralkan: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- Terapkan $y(0) = 1$: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- Maka $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$.
allow_no_figure: Persamaan diferensial diselesaikan secara aljabar — proses penyelesaian (pemisahan variabel, integrasi) adalah konten utama, bukan diagram.
- Selesaikan persamaan diferensial orde pertama untuk memodelkan laju perubahan dunia nyata.
Selesaikan dy/dx = xy dengan y(0) = 1. Pada x = 2, y = e^(x²/2). Temukan y (2 dp).
y = e^(x²/2). Pada x = 2: y = e² ≈ 7.39.
Jika ln y = x²/2 + C dan y(0) = 1, berapakah C?
ln 1 = 0 + C, jadi C = 0.
Anda telah memahaminya
- selesaikan persamaan terpisah dengan memecah variabel dan mengintegralkan kedua sisi
- solusi umum memiliki konstanta; kondisi awal memberikan solusi khusus
- persamaan diferensial menghubungkan suatu besaran dengan laju perubahannya