Bilangan kompleks
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | bilangan kompleks |
| real part/rɪəl pɑːt/ | bagian real |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | bagian imajiner |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | konjugat |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | modulus |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argumen |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | diagram Argand |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | bentuk polar |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | diskriminan |
Bilangan yang tidak ada
- Apa itu $\sqrt{-1}$? Selama berabad-abad, matematikawan mengatakan bilangan ini tidak ada. Kemudian mereka menemukan bahwa berpura-pura ia ada — menyebutnya $i$ — membuka solusi persamaan yang tanpa hal itu tidak memiliki jawaban.
- Bilangan kompleks memperluas garis bilangan menjadi bidang, dan sangat penting untuk rekayasa listrik, mekanika kuantum, dan pemrosesan sinyal.
Bilangan kompleks
- Sebuah bilangan kompleks adalah $z = x + iy$, di mana $i^2 = -1$ — $x$ adalah bagian real, $y$ adalah bagian imajiner.
- Konjugat $z^* = x - iy$. Polinomial dengan koefisien real memiliki akar tak-real dalam pasangan konjugat.
- modulus $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$; argumen adalah sudut dari sumbu real positif.
Contoh terpecahkan. $z = 3 + 4i$. Nilai mutlak $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Bilangan kompleks konjugat $= 3 - 4i$.
$i^2 = -1$, bukan $1$. Saat mengalikan bilangan kompleks, ingatlah bahwa $i^2 = -1$. Sebagai contoh, $(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i$.
Pola swasimilar seperti Romanesco muncul dari iterasi di bidang kompleks
Diagram Argand
z = x + yi
Plotkan bilangan kompleks sebagai titik: jaraknya dari O adalah modulus, sudutnya adalah argumen.
Berapakah modulus bilangan kompleks 3 + 4i?
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Konjugat dari z = 5 + 2i adalah:
Konjugat membalik tanda bagian imajiner: z* = 5 − 2i.
Berapakah nilai i²?
Berdasarkan definisi unit imajiner, i² = −1.
(2 + i)(3 + i) = a + bi. Berapakah a (bagian real)?
(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i² = 6 + 5i − 1 = 5 + 5i. Bagian real = 5.
Diagram Argand dan bentuk polar
- Plotkan $z$ sebagai titik pada diagram Argand (sumbu real horizontal, sumbu imajiner vertikal).
Pada diagram Argand, modulus |z| adalah jarak dari titik asal dan argumen adalah sudut θ.
- Bentuk polar: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ — perkalian mengalikan modulus dan menjumlahkan argumen.
Pembagian menggunakan konjugat
- Untuk membagi, kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut.
- Contoh: $\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$.
(3+i)/(1−i) = a + bi. Berapakah b (bagian imajiner)?
Kalikan dengan (1+i)/(1+i): (3+i)(1+i)/2 = (3+3i+i−1)/2 = (2+4i)/2 = 1+2i. Bagian imajiner = 2.
Menyelesaikan persamaan dengan akar kompleks
- Kuadrat dengan diskriminan negatif memiliki akar kompleks: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$.
- Polinomial koefisien real selalu memiliki akar tak-real dalam pasangan konjugat: jika $a + bi$ adalah akar, maka $a - bi$ juga.
allow_no_figure: Aritmatika bilangan kompleks dan diagram Argand adalah konsep aljabar/geometris yang dapat disampaikan secara efektif melalui notasi dan contoh terpecah.
- Selain bentuk Kartesius dan polar, temukan akar kuadrat dari bilangan kompleks dan sketsa loki (misalnya $|z-a|=r$).
Jika polinomial dengan koefisien real memiliki akar 2 + 3i, ia juga harus memiliki akar 2 − 3i.
Polinomial dengan koefisien real selalu memiliki akar tak-real dalam pasangan konjugat.
Anda telah memahaminya
- $z = x + iy$, $i^2 = -1$; konjugat $z^* = x - iy$; modulus $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
- plotkan pada diagram Argand; bentuk polar $z = re^{i\theta}$
- bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut