Vektor
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | vektor |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | besarnya |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | vektor satuan |
| parallel/ˈpærəlel/ | paralel |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | berpotongan |
| skew/skjuː/ | skew |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | tegak lurus |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | perkalian skalar |
Navigasi dalam 3D
- Satelit GPS menjejak kedudukan anda dalam tiga dimensi. Pesawat bernavigasi menggunakan arah, elevasi, dan roll.
- Vektor ialah matematik arah dan magnitud dalam ruang — penting untuk fizik, kejuruteraan, dan grafik komputer.
Vektor dalam 3D
- Satu vektor mempunyai saiz dan arah: $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$.
- Magnitud $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$; satu vektor unit mempunyai magnitud 1.
Contoh kerja. $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$. Magnitud $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Vektor unit $= \dfrac{1}{5}(3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})$.
Kekuatan seperti angin dan air adalah vektor, dengan saiz dan arah
Berapakah besaran vektor i + 2j + 2k?
|v| = √(1² + 2² + 2²) = √(1+4+4) = √9 = 3.
Persamaan vektor garis
- Garis melalui titik $\mathbf{a}$ dalam arah $\mathbf{b}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Garis mungkin selari (arah sama), berpotongan (berkongsi satu titik), atau skew (tidak kedua-duanya).
Garis skew tidak bersilang dan tidak selari. Dalam 3D, dua garis boleh terlepas sepenuhnya — mereka tidak berada dalam satah yang sama. Ini mustahil dalam 2D.
Perkalian skalar
a · b = |a||b|cos θ
Perkalian titik mengukur seberapa banyak dua vektor mengarah ke arah yang sama — nilainya nol ketika mereka saling tegak lurus.
Persamaan vektor garis melalui titik a dengan arah b adalah:
r = a + tb, di mana t adalah parameter skalar.
Dalam 3D, dua garis yang tidak berpotongan harus sejajar.
Dalam 3D, garis dapat bersilangan — tidak sejajar maupun berpotongan. Hal ini mustahil dalam 2D.
Darab skalar (titik)
- Maka $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ bermaksud vektor tersebut adalah tegak lurus.
- Gunakan ia untuk mencari sudut antara dua vektor: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$.
Darab skalar memberikan sudut: a·b = |a||b|cos θ, jadi cos θ = (a·b)/(|a||b|).
Temukan perkalian skalar (i + 2j + 2k)·(2i + 2j + k).
(1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 2 + 4 + 2 = 8.
Jika a·b = 0, kedua vektor tersebut saling tegak lurus.
cos θ = 0 menghasilkan θ = 90°, jadi perkalian titik nol berarti vektor-vektor tersebut saling tegak lurus.
Jika a·b = 6, |a| = 3, |b| = 4, berapakah cos θ?
cos θ = (a·b)/(|a||b|) = 6/(3×4) = 6/12 = 0.5.
Contoh kerja — sudut antara vektor
- $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2 + 2 - 4 = 0$. Jadi, $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ adalah tegak lurus ($\theta = 90^{\circ}$).
allow_no_figure: Vektor pada dasarnya bersifat 3D dan sulit digambarkan dengan jelas dalam diagram statis 2D — notasi aljabar dan contoh terpecah menjelaskan konsep secara efektif.
- Gunakan vektor posisi dan vektor perpindahan, serta vektor satuan; teorema rasio membagi garis dalam rasio tertentu.
Anda telah memahaminya
- besar $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$; garis: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- perkalian skalar $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ → tegak lurus