Aljabar (Murni 3)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | pecahan parsial |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | fungsi rasional |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | faktorkan |
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | faktor berulang |
| irreducible quadratic/ɪrɪˈdjuːsɪbl kwɒˈdrætɪk/ | kuadrat tak tereduksi |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | ekspansi binomial |
Memecah yang tak bisa dipecahkan
- Anda tidak dapat mengintegralkan $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ secara langsung. Namun pecahlah menjadi $\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}$ dan masing-masing bagian adalah logaritma sederhana.
- Pecahan parsial mengubah fungsi rasional yang sulit menjadi potongan-potongan mudah — penting untuk integrasi dan perluasan deret.
Pecahan parsial
- Pecahan dengan penyebut yang telah difaktorkan dapat memecah menjadi pecahan-pecahan yang lebih sederhana:
- Hal ini membuat fungsi rasional mudah diintegrasikan atau diperluas.
Contoh terpecahkan. $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$. Kalikan seluruh ruas: $x+4 = A(x-2) + B(x+1)$. Tetapkan $x = -1$: $3 = -3A \Rightarrow A = -1$. Tetapkan $x = 2$: $6 = 3B \Rightarrow B = 2$. Hasil: $\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{x+1}$.
Hasil kali skalar mengukur seberapa banyak b yang mengarah sepanjang a: |b| cos theta
Kurva resiprokal
y = a/(x − b) + c
Pecahan parsial memecah pecahan sulit menjadi bagian resiprokal sederhana — masing-masing memiliki asimtot vertikal dan asimtot horizontal.
Menulis (x+4)/((x+1)(x−2)) = A/(x+1) + B/(x−2), substitusikan x = 2 untuk menemukan B.
Pada x = 2: 2 + 4 = B(2 + 1), sehingga 6 = 3B, memberikan B = 2.
Pecahan parsial membuat fungsi rasional lebih mudah diintegralkan.
Setiap pecahan sederhana terintegralkan menjadi logaritma, sehingga memisahkannya terlebih dahulu memudahkan integrasi.
Faktor berulang dan kuadratik
- Faktor berulang $(cx+d)^2$: membutuhkan $\dfrac{B}{cx+d} + \dfrac{C}{(cx+d)^2}$.
- Kuadratik tak tereduksi $(x^2 + a^2)$: membutuhkan $\dfrac{Bx + C}{x^2 + a^2}$.
Jangan lupa suku faktor berulang. $\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}$. Melewatkan suku $\dfrac{C}{(x+1)^2}$ adalah kesalahan umum.
Gambar liburan
Untuk 1/(x(x+1)²), bentuk pecahan parsial mencakup:
Faktor berulang (x+1)² memerlukan suku B/(x+1) dan C/(x+1)².
Ekspansi binomial untuk pangkat rasional
- Bekerja untuk $n$ pecahan/negatif ketika $|x| < 1$:
- e.g. $(1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$
Ekspansi binomial (1+x)ⁿ untuk n pecahan atau negatif hanya berlaku jika:
Untuk pangkat non-bulat positif, deret hanya konvergen untuk |x| < 1.
Dalam ekspansi (1+x)^(1/2), koefisien x² adalah n(n-1)/2! dengan n=1/2. Temukan nilainya.
(1/2)(1/2 - 1)/2 = (1/2)(-1/2)/2 = -1/8 = -0.125.
Contoh terpecahkan — mengintegralkan dengan pecahan parsial
- $\displaystyle\int \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \int\left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = 2\ln|x-2| - \ln|x+1| + C$.
allow_no_figure: Teknik aljabar (dekomposisi pecahan parsial) — konten visualnya sendiri adalah manipulasi aljabar, bukan diagram.
- Gunakan teorema faktor dan teorema sisa: membagi polinomial menghasilkan hasil bagi dan sisa.
∫ 2/(x-2) dx = 2 ln|x-2| + C. Pada x = 3, berapakah 2 ln|x-2| (2 desimal)?
2 ln|3-2| = 2 ln(1) = 2 × 0 = 0.
Anda telah memahaminya
- pecahan parsial memecah fungsi rasional untuk mengintegrasikan/memperluas
- sesuaikan bentuknya dengan penyebut (faktor berulang → suku $\dfrac{C}{(cx+d)^2}$ tambahan)
- binomial bekerja untuk $n$ rasional ketika $|x| < 1$