Lembar kerja ini mencakup Topik 2: Matematika Murni 2. Materi ini menambahkan modulus dan aljabar polinomial, logaritma dan fungsi eksponensial, lebih banyak trigonometri, serta cara baru untuk mendiferensiasikan dan mengintegrasikan.
Matematika Murni 2
Matematika A-Level · Topik 2
12:32
Matematika Murni 2
Pada dua ribu sebelas, gempa bumi di lepas pantai Jepang mengukur sembilan pada skala Richter. Gempa yang lebih kecil mungkin mengukur enam. Hanya tiga poin terpisah — namun yang pertama…
Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
2.1
Aljabar
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami makna dari $|x|$, gambar sketsa grafik dari $y = |ax + b|$ dan gunakan relasi seperti $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ dan $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ saat menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan | Grafik dari $y = |f(x)|$ dan $y = f(|x|)$ untuk fungsi non-linear $f$ tidak termasuk. misal $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| bagilah polinomial, dengan derajat tidak melebihi 4, oleh polinomial linear atau kuadrat, dan identifikasi hasil bagi dan sisa (yang mungkin nol) | |
| gunakan teorema faktor dan teorema sisa. | misal untuk mencari faktor dan sisa, menyelesaikan persamaan polinomial atau mengevaluasi koefisien tak diketahui. Termasuk faktor dari bentuk $(ax + b)$ di mana koefisien dari $x$ bukan kesatuan, dan termasuk perhitungan sisa. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Modulus
Modulus $|x|$ adalah besaran bilangan tanpa tandanya, sehingga $|x| \geqslant 0$ selalu. Grafik $y = |ax + b|$ berbentuk "V" yang memantul terhadap sumbu $x$. Dua aturan berguna untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan adalah
$$|a| = |b| \;\Leftrightarrow\; a^2 = b^2, \qquad |x - a| < b \;\Leftrightarrow\; a - b < x < a + b.$$
Contoh terpecahkan. Selesaikan $|3x + 8| < 9$.
Menggunakan aturan kedua dengan ketaksamaan ditulis sebagai $-9 < 3x + 8 < 9$:
$$-9 < 3x + 8 < 9 \;\Rightarrow\; -17 < 3x < 1 \;\Rightarrow\; -\tfrac{17}{3} < x < \tfrac13.$$
Pembagian polinomial dan teorema faktor serta sisa
Sebuah polinomial adalah jumlah pangkat dari $x$, seperti $2x^4 + 3x^2 - 5$. Derajatnya adalah pangkat tertinggi. Ketika Anda membagi satu polinomial dengan polinomial lain, Anda akan mendapatkan hasil bagi dan sisa.
- Teorema sisa: sisa ketika $p(x)$ dibagi oleh $(x - a)$ adalah $p(a)$.
- Teorema faktor: $(x - a)$ merupakan faktor dari $p(x)$ tepat ketika $p(a) = 0$.
Contoh terpecahkan. Polinomial $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ memiliki faktor $(x + 2)$. Temukan $k$.
Berdasarkan teorema faktor $p(-2) = 0$:
$$2(16) + k(-8) + k(4) + 17(-2) + 18 = 0 \;\Rightarrow\; 16 - 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = 4.$$
Jelajahi
Fungsi modulus
y = a|x − b| + c
Modulus membentuk bentuk V. Gerakkan puncaknya dengan b dan c; ubah kecuraman lengan-lengan dengan a.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Matematika Murni |
| logarithms/ˈlɒɡərɪθəmz/ | logaritma |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | fungsi eksponensial |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | modulus |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinomial |
| degree/dɪˈɡriː/ | derajat |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | hasil bagi |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | sisa |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | teorem sisa |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | teorem faktor |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | eksponen |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | hukum logaritma |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritma natural |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | bentuk linear |
2.2
Fungsi logaritmik dan eksponensial
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami hubungan antara logaritma dan indeks, dan gunakan hukum-hukum logaritma (kecuali perubahan basis) | |
| pahami definisi dan sifat dari $e^x$ dan $\ln x$, termasuk hubungan mereka sebagai fungsi invers dan grafiknya | Termasuk pengetahuan tentang grafik dari $y = e^{kx}$ untuk nilai positif dan negatif dari $k$. |
| gunakan logaritma untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan di mana variabel tak diketahui muncul dalam indeks | misal $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| gunakan logaritma untuk mengubah hubungan tertentu menjadi bentuk linear, dan karenanya menentukan konstan yang tidak diketahui dengan mempertimbangkan gradien dan/atau intersep. | mis. $y = kx^n$ memberikan $\ln y = \ln k + n \ln x$ yang linear dalam $\ln x$ dan $\ln y$ $y = k(a^x)$ memberikan $\ln y = \ln k + x \ln a$ yang linear dalam $x$ dan $\ln y$. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Sebuah logaritma menjawab pertanyaan "pangkat berapa?". Jika $a^x = y$ maka $x = \log_a y$. Logaritma dan indeks (pangkat) adalah konsep yang berlawanan. Hukum-hukum logaritma adalah
$$\log(mn) = \log m + \log n, \qquad \log\!\frac{m}{n} = \log m - \log n, \qquad \log(m^k) = k\log m.$$
Fungsi eksponensial $e^x$ dan logaritma natural $\ln x$ adalah fungsi invers, sehingga $\ln(e^x) = x$ dan $e^{\ln x} = x$. Ketika variabel tak diketahui berada pada pangkat, ambil logaritma dari kedua ruas.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $4^x < 0.05$.
$$4^x < 0.05 \;\Rightarrow\; x\ln 4 < \ln 0.05 \;\Rightarrow\; x < \frac{\ln 0.05}{\ln 4} = -2.16 \ (\text{3 angka penting}).$$
Bentuk linear: hubungan seperti $y = Ax^n$ menjadi garis lurus jika Anda mengambil logaritma: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Memplot $\ln y$ terhadap $\ln x$ menghasilkan garis dengan gradien $n$ dan intersep $\ln A$, sehingga Anda dapat menemukan konstanta yang tidak diketahui.
Jelajahi
Pertumbuhan eksponen
y = a·bˣ
Tukar asas b: apabila b > 1 lengkung tumbuh, apabila 0 < b < 1 ia menurun — dan ia sentiasa melalui (0, a).
2.3
Trigonometri
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami hubungan fungsi sekans, kosekans dan kotangens dengan kosinus, sinus dan tangens, serta gunakan sifat dan grafik dari keenam fungsi trigonometri untuk sudut berapapun magnitudonya | |
| gunakan identitas trigonometri untuk penyederhanaan dan evaluasi eksak ekspresi, dan dalam proses penyelesaian persamaan, pilih satu atau lebih identitas yang sesuai dengan konteks, menunjukkan familiarity terutama dengan penggunaan: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ dan $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – pengembangan dari $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ dan $\tan(A \pm B)$ – rumus-rumus untuk $\sin 2A$, $\cos 2A$ dan $\tan 2A$ – penulisan $a \sin \theta + b \cos \theta$ dalam bentuk $R \sin(\theta \pm \alpha)$ dan $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | mis. menyederhanakan $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. mis. menyelesaikan $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Terdapat tiga fungsi lagi, masing-masing merupakan resiprokal dari fungsi yang sudah Anda ketahui: sekans $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, kosekans $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, dan kotangen $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
Anda harus mengetahui identitas trigonometri ini dan memilih yang tepat untuk setiap masalah:
$$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta, \qquad \csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta.$$
Anda juga menggunakan rumus sudut majemuk untuk $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$, $\tan(A \pm B)$, serta rumus sudut ganda
$$\sin 2A = 2\sin A\cos A, \quad \cos 2A = 2\cos^2 A - 1, \quad \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A},$$
dan rumus R $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, di mana $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ dan $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ untuk $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Ganti $\tan^2\theta$ dengan $\sec^2\theta - 1$ untuk mendapatkan satu fungsi:
$$2(\sec^2\theta - 1) + 3\sec\theta = 18 \;\Rightarrow\; 2\sec^2\theta + 3\sec\theta - 20 = 0 \;\Rightarrow\; (2\sec\theta - 5)(\sec\theta + 4) = 0.$$
Jadi $\sec\theta = \tfrac52$ atau $\sec\theta = -4$, menghasilkan $\cos\theta = \tfrac25$ atau $\cos\theta = -\tfrac14$. Solusinya adalah $\theta = \pm 66.4^\circ$ dan $\theta = \pm 104.5^\circ$.
Jelajahi
Lingkaran satuan
Seret sudut untuk melihat bagaimana $\sin$, $\cos$, dan $\tan$ saling berkaitan — kunci untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | sekans |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | kosekan |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | kotangen |
| trigonometric identities/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk aɪˈdentɪtiz/ | identitas trigonometri |
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | sudut majemuk |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | sudut ganda |
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | R-rumus |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | aturan hasil kali |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | aturan hasil bagi |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | persamaan parametrik |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | secara implisit |
2.4
Diferensiasi
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| gunakan turunan dari $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, bersama dengan perkalian konstanta, penjumlahan, pengurangan, dan komposisi | |
| diferensiasikan hasil kali dan hasil bagi | mis. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| temukan dan gunakan turunan pertama dari suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik atau implisit. | mis. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. mis. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Termasuk penggunaan dalam masalah yang melibatkan garis singgung dan garis normal. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Pelajari turunan standar berikut:
$$\frac{d}{dx}e^x = e^x, \quad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.$$
Untuk perkalian atau pembagian dua fungsi, gunakan:
- aturan perkalian: $(uv)' = u'v + uv'$;
- aturan pembagian: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Ketika kurva diberikan oleh persamaan parametrik $x = x(t)$, $y = y(t)$, gradiennya adalah $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Ketika $y$ didefinisikan secara implisit (tidak dijadikan subjek), diferensiasikan setiap suku terhadap $x$, gunakan aturan rantai pada suku-suku $y$, kemudian selesaikan untuk $\dfrac{dy}{dx}$.
Contoh terpecahkan. Diberikan $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, temukan $\dfrac{dy}{dx}$.
Gunakan aturan perkalian dengan $u = 6x$ dan $v = \cos(x^2 + 1)$ (dan aturan rantai untuk $v$):
$$\frac{dy}{dx} = 6\cos(x^2 + 1) + 6x\cdot\big(-2x\sin(x^2 + 1)\big) = 6\cos(x^2 + 1) - 12x^2\sin(x^2 + 1).$$
Jelajahi
Garis singgung dan gradien
y = ax³ + bx² + cx + d
Gerakkan titik: garis singgung adalah turunan pada x tersebut. Di mana kurva berbelok, gradiennya nol.
2.5
Integrasi
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • perluas konsep ‘diferensiasi terbalik’ untuk mencakup integrasi dari $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, dan $\sec^2(ax + b)$ | Pengetahuan tentang metode umum integrasi substitusi tidak diperlukan. |
| • gunakan hubungan trigonometri dalam melakukan integrasi | mis. penggunaan rumus sudut ganda untuk mengintegralkan $\sin^2 x$ atau $\cos^2(2x)$. |
| • pahami dan gunakan aturan trapesium untuk memperkirakan nilai integral tentu. | Termasuk penggunaan grafik sketsa dalam kasus sederhana untuk menentukan apakah aturan trapesium memberikan estimasi berlebihan atau estimasi kurang. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Integrasi adalah diferensiasi terbalik — balikkan setiap turunan baru; integral yang lebih sulit mungkin memerlukan integrasi substitusi (dikembangkan dalam Matematika Murni 3). Untuk fungsi linear di dalam $(ax + b)$:
$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C,$$
$$\int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C, \qquad \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sec^2(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C.$$
Untuk mengintegralkan pangkat dari $\sin$ atau $\cos$, gunakan identitas terlebih dahulu untuk menghilangkan pangkat tersebut. Ketika Anda tidak dapat mengintegralkan secara eksak, aturan trapesium memperkirakan integral tentu:
$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})\big].$$
Contoh terarah. Temukan $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
Gunakan $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:
$$\int 6\sin^2 x\,dx = \int (3 - 3\cos 2x)\,dx = 3x - \tfrac32\sin 2x + C.$$
Jelajahi
Luas di bawah kurva
luas = ∫ f(x) dx
Integral tetap mengukur luas — seret a dan b untuk menjumlahkan strip di bawah kurva.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | aturan trapesium |
| root/ruːt/ | akar |
2.6
Penyelesaian numerik persamaan
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| • taksir akar dari suatu persamaan, melalui pertimbangan grafika dan/atau pencarian perubahan tanda | mis. menemukan sepasang bilangan bulat berurutan di antara mana sebuah akar terletak. |
| • pahami gagasan dan gunakan notasi untuk deret pendekatan yang konvergen ke akar suatu persamaan | |
| • pahami bagaimana rumus iteratif sederhana yang diberikan $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ berkaitan dengan persamaan yang diselesaikan, dan gunakan iterasi yang diberikan atau iterasi berdasarkan penyusunan ulang persamaan tertentu untuk menentukan akar dengan tingkat ketepatan yang ditetapkan. | Pengetahuan tentang kondisi konvergensi tidak termasuk, tetapi pemahaman bahwa sebuah iterasi mungkin gagal konvergen diharapkan. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Banyak persamaan tidak dapat diselesaikan secara eksak. Dua ide membantu Anda menemukan akar (solusi).
- Perubahan tanda: jika $f(a)$ dan $f(b)$ memiliki tanda berlawanan (dan grafik tidak terputus di antaranya), sebuah akar terletak antara $a$ dan $b$.
- Iterasi: susun ulang persamaan ke dalam bentuk $x = F(x)$, kemudian gunakan rumus iteratif $x_{n+1} = F(x_n)$. Mulai dari tebakan pertama $x_0$ dan ulangi. Jika nilainya konvergen, nilai tersebut akan stabil dan konvergen menuju sebuah akar. Lanjutkan hingga jawaban menjadi stabil sesuai dengan ketelitian yang diminta.
Contoh terpecahkan. Sebuah akar $\beta$ dari suatu persamaan memenuhi $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, dan $-1.4 < \beta < -1.0$. Gunakan iterasi $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ dengan $x_0 = -1.2$.
$$x_1 = \sqrt[3]{-2(-1.2) - 4.5} = \sqrt[3]{-2.1} = -1.281, \qquad x_2 = \sqrt[3]{-2(-1.281) - 4.5} = -1.247, \quad \ldots$$
Nilai-nilai tersebut stabil di sekitar $-1.26$, jadi $\beta = -1.26$ (3 angka penting).
Jelajahi
Di mana akar-akarnya?
y = ax³ + bx² + cx + d
Sebuah akar adalah tempat kurva memotong nol. Sebuah perubahan tanda pada f(x) menjebak akar di antara dua nilai x.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | perubahan tanda |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | iterasi |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | rumus iteratif |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | konvergen |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | integrasi substitusi |
2.6
Tips ujian
- Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikan persamaan; ingatlah bahwa $\ln$ dan $e^x$ adalah invers satu sama lain.
- Untuk metode numerik, tunjukkan perubahan tanda untuk menemukan akar, susun iterasi dengan jelas, dan berikan jawaban sesuai dengan ketelitian yang dinyatakan.
- Pelajari aturan rantai, perkalian, dan pembagian serta identifikasi aturan mana yang diperlukan oleh fungsi tersebut.
- Selesaikan persamaan modulus $|f(x)| = g(x)$ dengan mempertimbangkan kasus positif dan negatif, lalu buat sketsa untuk memverifikasinya.
Pelajaran interaktif untuk topik ini
Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.