Diferensiasi (Murni 3)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | turunan |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | tangens invers |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | aturan rantai |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | parametrik |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | aturan hasil kali |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | resiprokal |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | diferensiasi implisit |
Terbitan yang melengkapkan bulatan
- Anda tahu terbitan bagi $\sin$, $\cos$, $\tan$, $e^x$, dan $\ln x$. Pure 3 menambah satu lagi: tangens songsang.
- Bersama-sama, terbitan standard ini membolehkan anda membela sebarang kombinasi fungsi asas.
Semakan kaedah Pure 2
- Kaedah-kaedahnya adalah daripada Pure 2: darab, bahagi dan rantai, dengan lengkung parametrik dan implisit.
- Ini adalah tayar utama pembelaan — kuasai mereka dan anda boleh menangani mana-mana masalah.
Contoh kerja. $y = x^2 e^{3x}$. Peraturan darab dengan $u = x^2$, $v = e^{3x}$: $\dfrac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2)$.
z pada diagram Argand: modulus ialah jarak, argumen ialah sudut, konjugat ialah pantulan
Gradien pada suatu titik
gradien = dy/dx
Bersifat implisit atau tidak, turunan tetap merupakan kemiringan tangens — geser titik untuk melihatnya.
Diferensiasi Murni 3 masih menggunakan aturan perkalian, hasil bagi, dan rantai dari Murni 2.
Aturan-aturan tersebut tetap berlaku; hanya saja turunan tangen invers yang baru.
Jika y = x²e^(3x), maka dy/dx = e^(3x)(2x + 3x²). Pada x = 0, dy/dx = ?
Pada x = 0: e⁰(0 + 0) = 1 × 0 = 0.
Terbitan tangens songsang
- Satu terbitan standard baharu:
- Ia muncul dalam pengamiran (terbalik) dan dalam masalah kadar berkaitan.
$\tan^{-1}x$ BUKAN $\dfrac{1}{\tan x}$. Notasi $\tan^{-1}x$ bermaksud fungsi songsang (arctan), bukan timbal balik. Timbal balik ialah $\cot x$.
Turunan dari tan⁻¹x adalah 1/(1+x²). Berapakah nilainya pada x = 1?
1/(1 + 1²) = 1/2 = 0.5.
Berapakah turunan dari tan⁻¹x pada x = 0?
1/(1 + 0²) = 1/1 = 1.
tan⁻¹x berarti 1/tan x.
tan⁻¹x adalah fungsi invers (arctan), bukan kebalikan. Kebalikan adalah cot x.
Pembelaan implisit dikaji semula
- Untuk persamaan seperti $x^2 + y^2 = 25$, belakan setiap sebutan terhadap $x$.
- Apabila anda menemui sebutan $y$, terapkan peraturan rantai: $\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\dfrac{dy}{dx}$.
- Kemudian selesaikan untuk $\dfrac{dy}{dx}$.
allow_no_figure: Semakan pelajaran mengukuhkan kaedah pembelaan Pure 2 (peraturan darab, bahagi, rantai) dengan satu terbitan baharu — tiada konsep visual baharu diperkenalkan.
Contoh kerja — pembelaan implisit
- Cari $\dfrac{dy}{dx}$ untuk $x^2 + xy + y^2 = 7$.
- Belakan: $2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- Kumpulkan sebutan $\dfrac{dy}{dx}$: $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$.
- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$.
- Belakan hubungan yang diberi secara implisit atau parametrik.
Ketika mendifferensiasikan y² secara implisit terhadap x, Anda akan mendapatkan:
Berdasarkan aturan rantai: d/dx(y²) = 2y · dy/dx.
Anda telah memahaminya
- guna semula darab / bahagi / rantai peraturan dari Pure 2
- terbitan baharu: $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x = \dfrac{1}{1 + x^2}$
- masih handle lengkung parametrik dan implisit dengan cara yang sama