Fungsi logaritma dan eksponen
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritma |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | hukum logaritma |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritma natural |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | bentuk linear |
Bilangan yang tumbuh selamanya
- Rekening bank berlipat ganda setiap 10 tahun. Setelah 100 tahun, telah tumbuh sebesar faktor $2^{10} = 1024$.
- Tapi bagaimana jika Anda ingin tahu: "Setelah berapa tahun nilainya akan tepat 500 kali lipat dari awal?" Itu adalah pertanyaan yang hanya bisa dijawab oleh logaritma.
Apa itu logaritma?
- Logaritma menjawab "pangkat berapa?": jika $a^x = y$ maka $x = \log_a y$.
- Contoh: $2^x = 32 \Rightarrow x = \log_2 32 = 5$.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $3^x = 81$. Karena $81 = 3^4$, kita peroleh $x = \log_3 81 = 4$.
Kekuatan gempa bumi diukur pada skala Richter logaritmik
Pertumbuhan eksponen
y = a·bˣ
Tukar asas b: apabila b > 1 lengkung tumbuh, apabila 0 < b < 1 ia menurun — dan ia sentiasa melalui (0, a).
Nilai log₂(8).
2³ = 8, jadi log₂(8) = 3.
Selesaikan 2ˣ = 8 untuk x.
2³ = 8, jadi x = 3 (atau x = log₂8 = 3).
Hukum-hukum logaritma
- Hukum-hukum logaritma:
- $\log(mn) = \log m + \log n$,
- $\log\dfrac{m}{n} = \log m - \log n$,
- $\log(m^k) = k\log m$.
Log tidak dapat didistribusikan pada penjumlahan. $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. Hukum hanya berlaku untuk perkalian, pembagian, dan pangkat — bukan penjumlahan.
Populasi dapat tumbuh secara eksponensial saat sumber daya melimpah
Manakah hukum logaritma yang betul?
log(mn) = log m + log n; dan log(m^k) = k log m.
log(a + b) = log a + log b.
Logaritma tidak diedarkan ke atas penjumlahan. log(a + b) ≠ log a + log b.
e dan ln
- $e^x$ dan logaritma natural $\ln x$ adalah invers: $\ln(e^x) = x$ dan $e^{\ln x} = x$.
- Ketika yang tidak diketahui berada dalam pangkat, ambil logaritma kedua sisi.
$e^x$ dan $\ln x$ adalah fungsi invers: grafik mereka adalah refleksi terhadap garis $y = x$.
Apakah ln(e⁵)?
ln dan e adalah songsang, jadi ln(e⁵) = 5.
Bentuk linear dan pemodelan
- Bentuk linear: $y = Ax^n$ menjadi $\ln y = \ln A + n\ln x$ — sebuah garis dengan gradien $n$, intersep $\ln A$.
- Hal ini memungkinkan Anda menemukan hukum pangkat dari data eksperimen dengan memplot $\ln y$ vs $\ln x$.
- Logaritma dan indeks (pangkat) adalah operasi kebalikan.
Jika y = 5x³, maka ln y = ln 5 + n ln x. Apakah n?
ln(5x³) = ln 5 + 3 ln x, jadi n = 3 (kuasa menjadi kecerunan).
Anda telah memahaminya
- a log menjawab "pangkat berapa?"; aturan: $\log mn = \log m + \log n$, $\log m^k = k\log m$
- $e^x$ dan $\ln x$ adalah invers; ambil logaritma ketika yang tidak diketahui adalah pangkat
- bentuk linear: plot $\ln y$ vs $\ln x$ → gradien $n$, intersep $\ln A$