Aljabar (modulus dan polinomial)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | modulus |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | teorem sisa |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinomial |
| degree/dɪˈɡriː/ | derajat |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | teorem faktor |
Nilai mutlak yang menyelamatkan jembatan
- Insinyur yang merancang kabel gantung perlu mengetahui simpangan maksimum dari kondisi ideal — baik di atas maupun di bawah.
- Modulus (nilai mutlak) mengukur jarak dari nol, mengabaikan arah. Muncul di mana-mana: batas kesalahan, toleransi, dan pertidaksamaan.
Fungsi modulus
- Modulus $|x|$ adalah besaran suatu bilangan, tandanya dihilangkan ($|x| \geq 0$). Grafiknya berbentuk "V".
- Aturan berguna:
- $|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2$,
- $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$.
Fungsi modulus $y = |x - 2|$ menciptakan bentuk V: semua bagian di bawah sumbu dicerminkan ke atasnya.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $|2x - 3| = 7$. Either $2x - 3 = 7 \Rightarrow x = 5$, or $2x - 3 = -7 \Rightarrow x = -2$. Solusi: $x = 5$ atau $x = -2$.
Fungsi modulus
y = a|x − b| + c
Modulus membentuk bentuk V. Gerakkan puncaknya dengan b dan c; ubah kecuraman lengan-lengan dengan a.
Selesaikan |x − 2| < 3. Penyelesaiannya ialah −1 < x < ? Apakah had atas?
|x − 2| < 3 bermakna 2 − 3 < x < 2 + 3, iaitu −1 < x < 5.
Selesaikan |2x − 3| = 7. Apakah penyelesaian yang lebih besar?
2x − 3 = 7 → x = 5; atau 2x − 3 = −7 → x = −2. Yang lebih besar ialah 5.
Teorema faktor dan sisa
- Polinomial adalah jumlah dari pangkat-pangkat $x$; derajatnya adalah pangkat tertinggi.
- Teorema sisa: sisa ketika $p(x) \div (x - a)$ dibagi oleh $p(a)$.
- Teorema faktor: $(x - a)$ merupakan faktor tepat ketika $p(a) = 0$.
Jangan mencampuradukkan kedua teorema ini. Teorema sisa memberikan sisa untuk pembagi apa pun $(x - a)$. Teorema faktor adalah kasus khusus: ketika sisanya nol, $(x - a)$ adalah faktor.
Mengambil modulus melipat bagian negatif garis ke atas membentuk V
Mengikut teorem baki, berapakah baki apabila p(x) = x² + 3x + 2 dibahagi dengan (x − 1)?
Baki = p(1) = 1 + 3 + 2 = 6.
(x − a) adalah faktor bagi p(x) tepat apabila:
Teorem faktor: (x − a) adalah faktor jika dan hanya jika p(a) = 0.
Contoh terpecahkan — teorema faktor
- Tunjukkan bahwa $(x - 2)$ adalah faktor dari $p(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$.
- $p(2) = 8 - 20 + 4 + 8 = 0$. Karena $p(2) = 0$, $(x - 2)$ adalah faktor.
- Bagi: $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4) = (x - 2)(x - 4)(x + 1)$.
Tanda berlawanan f(a) dan f(b) menjebak akar di antara a dan b
Jika p(3) = 0, maka (x − 3) adalah faktor bagi p(x).
Mengikut teorem faktor, p(a) = 0 bermakna (x − a) adalah faktor.
Diberikan p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 dan p(1) = 0, faktorkan: p(x) = (x − 1)(x² + bx + c). Apakah c?
Membahagikan x³ − 6x² + 11x − 6 dengan (x − 1) memberikan x² − 5x + 6, jadi c = 6.
Menyelesaikan persamaan polinomial
- Gunakan teorema faktor untuk menemukan satu akar, lalu bagikan untuk menurunkan derajat.
- Kubik memiliki maksimal 3 akar real; quartic maksimal 4.
- Sketsa grafik untuk memeriksa: jumlah perpotongan sumbu-$x$ sesuai dengan jumlah akar real.
- Diferensialkan pecahan dengan aturan penyebut.
Anda telah memahaminya
- $|x|$ menghilangkan tanda; $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$
- sisa ketika $p(x) \div (x-a)$ dibagi oleh $p(a)$
- teorema faktor: $(x-a)$ adalah faktor $\Leftrightarrow p(a) = 0$
- temukan satu akar, bagi, lalu selesaikan kuadrat yang tersisa