Integrasi (Murni 2)

Kosa kata

English	Bahasa Indonesia
integral/ˈɪntɪɡrəl/	integral
exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/	fungsi eksponensial
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	persamaan diferensial
trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/	aturan trapesium
strip/strɪp/	strip
estimate/ˈestɪmət/	estimasi
identity/aɪˈdentɪti/	identitas

Luas yang tidak bisa dilewati eˣ

Integral dari $e^x$ adalah $e^x$ — fungsi yang sama. Sifat self-referential ini menjadikan fungsi eksponensial sentral dalam persamaan diferensial.
Teknik integrasi memungkinkan Anda menemukan luas, volume, dan solusi masalah dunia nyata.

Integral standar

$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C,$$

$$\int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C.$$

Example

Contoh terpecahkan. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. Nilai $\dfrac{1}{3}$ berasal dari aturan rantai secara terbalik.

Watch out

Jangan lupa $\dfrac{1}{a}$. Saat mengintegralkan $e^{ax+b}$, Anda harus membagi dengan $a$. Integral dari $e^{2x}$ adalah $\dfrac{1}{2}e^{2x}$, bukan $e^{2x}$.

Aturan trapesium menambahkan pita berbentuk trapesium dengan lebar h untuk memperkirakan luas

Atur trapesium menambahkan strip beratap lurus dengan lebar h untuk memperkirakan luas

Jelajahi

Luas di bawah kurva

luas = ∫ f(x) dx

Integral tetap mengukur luas — seret a dan b untuk menjumlahkan strip di bawah kurva.

Latihan

Berapakah ∫ eˣ dx?

eˣ + C
x eˣ + C
eˣ⁺¹ + C
ln x + C

Latihan

Berapakah ∫ (1/x) dx?

ln|x| + C
1/x² + C
x⁻² + C
eˣ + C

Latihan

∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C. Berapakah a?

Latihan

∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. Hitung dari 0 hingga π/6 (2 desimal).

Mengintegralkan pangkat fungsi trigonometri

Untuk mengintegralkan pangkat dari $\sin$/$\cos$, gunakan identitas untuk menghilangkan pangkat terlebih dahulu.
Contoh: $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$, sehingga $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$.

Atur trapesium

Ketika Anda tidak dapat mengintegralkan secara eksak, perkirakan:

$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + \cdots + y_{n-1})\big]$$

Setiap strip dengan lebar $h$ adalah trapesium; tambahkan luasnya.

Kurva dengan pita trapesium yang mengaproksimasi area di bawahnya, menunjukkan bagaimana aturan trapesium memperkirakan integral tentu

Atur trapesium: bagi area menjadi strip, pendekatan masing-masing sebagai trapesium, dan jumlahkan luasnya.

Latihan

Aturan trapesium mengestimasi integral tentu ketika tidak dapat ditemukan secara eksak.

Latihan

Menggunakan aturan trapesium dengan h = 1, estimasikan ∫₁³ x² dx dengan nilai y 1, 4, 9.

Contoh terpecahkan — aturan trapesium

Perkirakan $\int_1^4 x^2\,dx$ menggunakan 3 strip ($h = 1$).
Nilai-$y$: $y_0 = 1$, $y_1 = 4$, $y_2 = 9$, $y_3 = 16$.
$\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
Nilai eksak: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. Estimasi cukup dekat.
Integrasi adalah diferensiasi terbalik; integral yang lebih sulit menggunakan integrasi substitusi.

Anda telah memahaminya

Key idea

$\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
hilangkan pangkat dari $\sin$/$\cos$ dengan identitas sebelum mengintegralkan
aturan trapesium mengestimasi integral sebagai jumlah pita-pita trapesium