Penyelesaian numerik persamaan
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| root/ruːt/ | akar |
| numerical method/njuːˈmerɪkl ˈmeθəd/ | metode numerik |
| accuracy/ˈækjʊrəsi/ | akurasi |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | perubahan tanda |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | iterasi |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | konvergen |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | rumus iteratif |
| rearrangement/ˌriːəˈreɪndʒmənt/ | penataan ulang |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | divergen |
Akar yang tak terlihat
- Beberapa persamaan tidak memiliki solusi aljabar yang rapi. $x^3 + x - 1 = 0$ tidak dapat difaktorkan.
- Namun Anda tahu bahwa akar ada di antara $0$ dan $1$ karena fungsi mengubah tanda. Metode numerik memungkinkan Anda menemukannya dengan tingkat ketepatan apa pun.
Menentukan posisi akar
- Banyak persamaan tidak dapat diselesaikan secara eksak. Sebuah akar adalah solusinya.
- Perubahan tanda: jika $f(a)$ dan $f(b)$ memiliki tanda berlawanan (dan tidak ada gangguan di antaranya), maka sebuah akar terletak di antara $a$ dan $b$.
Contoh terpecahkan. $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0) = -1$ (negatif), $f(1) = 1$ (positif). Perubahan tanda → akar di antara $0$ dan $1$.
Perubahan tanda tidak menjamin tepat satu akar. Bisa jadi terdapat 3 akar (atau bilangan ganjil lainnya) di antara $a$ dan $b$. Perubahan tanda hanya memberi tahu Anda bahwa ada setidaknya satu.
Iterasi: melangkah naik ke kurva dan menyeberang ke y = x; langkah-langkahnya konvergen menuju sebuah akar
Di mana akar-akarnya?
y = ax³ + bx² + cx + d
Sebuah akar adalah tempat kurva memotong nol. Sebuah perubahan tanda pada f(x) menjebak akar di antara dua nilai x.
Jika f(a) dan f(b) memiliki tanda berlawanan (dan f kontinu di antaranya), maka antara a dan b terdapat:
Perubahan tanda pada fungsi kontinu menjamin adanya akar antara a dan b.
f(x) = x³ + x − 1. f(0) = −1 dan f(1) = 1. Di antara dua bilangan bulat manakah letak akarnya?
Perubahan tanda antara 0 dan 1 (f(0) < 0, f(1) > 0), jadi akar berada di antara 0 dan 1.
Iterasi
- Susun ulang persamaan menjadi bentuk $x = F(x)$.
- Gunakan rumus iteratif $x_{n+1} = F(x_n)$ dari tebakan awal $x_0$.
- Jika nilainya stabil, mereka konvergen menuju sebuah akar. Lanjutkan hingga mencapai kestabilan sesuai ketelitian yang diminta.
Iterasi: dimulai dari $x_0$, setiap langkah menerapkan $F$ dan memantulkan terhadap $y = x$. Jaring laba-laba spiral menuju titik tetap — yaitu akar.
Rumus iteratif berbentuk:
Iterasi menerapkan berulang kali x_{n+1} = F(x_n) dari tebakan awal.
Jika nilai iterasi mereda menjadi angka stabil, mereka telah konvergen ke sebuah akar.
Konvergensi berarti urutan mendekati nilai tetap — yaitu akar dari persamaan tersebut.
Menggunakan x_{n+1} = ∛(1 − x_n) dengan x₀ = 0, berapakah x₁ (2 desimal)?
x₁ = ∛(1 − 0) = ∛1 = 1.
Contoh terpecahkan — iterasi
- Selesaikan $x^3 + x - 1 = 0$ menggunakan $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$, dimulai dari $x_0 = 0.5$.
- $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
- Nilainya konvergen menuju $x \approx 0.682$.
Iterasi x_{n+1} = F(x_n) selalu konvergen terlepas dari nilai awal.
Konvergensi memerlukan |F′(x)| < 1 dekat dengan akar. Pengaturan ulang yang buruk atau nilai awal yang kurang tepat dapat menyebabkan divergensi.
Memilih penyusunan ulang
- Tidak semua penyusunan ulang konvergen. Iterasi $x_{n+1} = F(x_n)$ konvergen ketika $|F'(x)| < 1$ berada dekat dengan akar.
- Jika divergen (nilai menjauh), coba penyusunan ulang yang berbeda.
Anda telah memahaminya
- perubahan tanda dari $f$ di antara $a$ dan $b$ menjebak sebuah akar di antaranya
- iterasi: $x_{n+1} = F(x_n)$ dari tebakan awal
- jika nilai-nilai konvergen (stabil), mereka mendekati sebuah akar
- konvergensi memerlukan $|F'(x)| < 1$ dekat dengan akar