Diferensiasi (Murni 2)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| standard derivatives/ˈstændəd dɪˈrɪvətɪvz/ | turunan standar |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | aturan hasil bagi |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | aturan hasil kali |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | parametrik |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | implisit |
Turunan yang tidak pernah berubah
- Fungsi $e^x$ unik: turunannya adalah dirinya sendiri. Tidak ada fungsi lain yang memiliki sifat ini.
- Hal ini menjadikan $e^x$ fondasi model pertumbuhan, peluruhan radioaktif, dan bunga majemuk.
Turunan standar
Contoh terpecahkan. $y = e^{3x}$. Berdasarkan aturan rantai: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.
Gradien pada suatu titik
gradien = dy/dx
Geser titik tersebut — kemiringan tangens adalah turunan, bahkan untuk fungsi standar baru ini.
Turunan ln x adalah 1/x. Berapakah nilainya pada x = 4?
d/dx(ln x) = 1/x = 1/4 = 0.25.
Turunan eˣ adalah eˣ. Berapakah nilainya pada x = 0?
d/dx(eˣ) = eˣ, dan e⁰ = 1.
Jika y = e^(3x), maka dy/dx = 3e^(3x). Berapakah dy/dx pada x = 0?
Pada x = 0: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3.
Aturan perkalian dan pembagian
- Aturan perkalian: $(uv)' = u'v + uv'$.
- Aturan pembagian: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Aturan perkalian: ketika kedua $u$ dan $v$ berubah, total laju perubahan memiliki dua suku — satu untuk setiap fungsi yang berubah sementara yang lainnya tetap tetap.
Jangan lupa aturan perkalian. Turunan dari $uv$ TIDAK SETARA dengan $u'v'$. Anda harus menggunakan $(uv)' = u'v + uv'$. Ini adalah salah satu kesalahan paling umum dalam diferensiasi.
Aturan perkalian mengatakan (uv)′ sama dengan:
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′.
Aturan pembagian untuk (u/v)′ adalah (u′v + uv′)/v².
Aturan pembagian adalah (u′v − uv′)/v² (dikurang, bukan ditambah di pembilang).
Diferensiasi parametrik dan implisit
- Parametrik: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.
- Implisit: diferensiasikan setiap suku dalam $x$, terapkan aturan rantai pada suku-suku $y$, lalu selesaikan untuk $\dfrac{dy}{dx}$.
Jika x = t² dan y = t³, maka dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. Pada t = 4, dy/dx = ?
Pada t = 4: dy/dx = 3(4)/2 = 6.
Contoh terpecahkan — aturan perkalian
- $y = x^2 \sin x$. Misalkan $u = x^2$, $v = \sin x$.
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
Anda telah memahaminya
- pelajari: $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$, $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- aturan perkalian $(uv)' = u'v + uv'$; aturan pembagian $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- parametrik: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; implisit: terapkan aturan rantai pada suku-suku $y$