Équations paramétriques, coordonnées polaires et fonctions vectorielles

AP Calcul BC · Sujet 9

Leçon vidéo pour ce sujet Ouvrir la page vidéo

9.1

Définir et dériver des équations paramétriques

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.G : Calculer les dérivées de fonctions paramétriques. SEULEMENT BC

CHA-3.G.1 Les méthodes de calcul des dérivées de fonctions à valeurs réelles peuvent être étendues aux fonctions paramétriques. SEULEMENT BC
CHA-3.G.2 Pour une courbe définie paramétriquement, la valeur de $\dfrac{dy}{dx}$ en un point de la courbe correspond à la pente de la tangente à la courbe en ce point. $\dfrac{dy}{dx}$, la pente de la tangente à une courbe définie par des équations paramétriques, peut être déterminée en divisant $\dfrac{dy}{dt}$ par $\dfrac{dx}{dt}$, à condition que $\dfrac{dx}{dt}$ ne soit pas égal à zéro. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La Station spatiale internationale en orbite : les équations paramétriques décrivent la position en fonction du temps

Les équations paramétriques 参数方程 donnent $x$ et $y$ chacun comme fonctions d'un paramètre $t$ (souvent le temps) : $x=x(t)$, $y=y(t)$. Elles tracent une courbe qui n'a pas besoin d'être une fonction de $x$. La pente de la courbe se trouve avec la règle de chaîne :

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Exemple résolu. Pour $x=t^2$, $y=t^3-t$, trouvez la pente à $t=2$. Ici $\dfrac{dx}{dt}=2t$ et $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, donc $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$ ; à $t=2$ c'est $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	参数方程	cān shù fāng chéng
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	向量值函数	xiàng liàng zhí hán shù
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	极坐标	jí zuò biāo

9.2

Dérivées secondes des équations paramétriques

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.G : Calculer les dérivées de fonctions paramétriques. SEULEMENT BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ peut être calculé en divisant $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ par $\dfrac{dx}{dt}$. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La dérivée seconde n'est pas $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Au contraire, différenciez la première dérivée par rapport à $t$, puis divisez par $dx/dt$ à nouveau :

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Utilisez-le pour tester la concavité d'une courbe paramétrique.

9.3

Trouver les longueurs d'arc des courbes données par des équations paramétriques

Programme

Compréhension fondamentale (CHA-6) : Les intégrales définies permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variations de longueur sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-6.B : Déterminer la longueur d'une courbe dans le plan définie par des fonctions paramétriques, à l'aide d'une intégrale définie. SEULEMENT BC

CHA-6.B.1 La longueur d'une courbe définie paramétriquement peut être calculée à l'aide d'une intégrale définie. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La longueur d'une courbe paramétrique pour $t$ de $a$ à $b$ est

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

C'est la version paramétrique de la longueur d'arc – additionner de petits hypoténuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$ sur le paramètre.

9.4

Définir et dériver des fonctions vectorielles

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.H : Calculer les dérivées de fonctions vectorielles. SEULEMENT BC

CHA-3.H.1 Les méthodes de calcul des dérivées de fonctions à valeurs réelles peuvent être étendues aux fonctions vectorielles. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une fonction vectorielle 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ donne un vecteur position pour chaque $t$. Différenciez composante par composante : la vitesse est $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ et l'accélération est $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. La vitesse scalaire est la norme $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Une ligne vectorielle : commencez à a, puis glissez par t fois la direction b

Explorer

Ajouter des composantes vectorielles

Une fonction à valeurs vectorielles regroupe un $x(t)$ et un $y(t)$ en un seul vecteur. La dérivation de chaque composante donne le vecteur vitesse, tangent au chemin.

9.5

Intégrer des fonctions vectorielles

Programme

Compréhension fondamentale (FUN-8) : Résoudre un problème de valeur initiale permet de déterminer une expression pour la position d'une particule se déplaçant dans le plan.

Objectif d'apprentissage FUN-8.A : Déterminer une solution particulière étant donné un vecteur vitesse et des conditions initiales. SEULEMENT BC

FUN-8.A.1 Les méthodes de calcul des intégrales de fonctions à valeurs réelles peuvent être étendues aux fonctions paramétriques ou vectorielles. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Intégrez une fonction vectorielle composante par composante. Étant donné l'accélération ou la vitesse plus une condition initiale, intégrez chaque composante et utilisez la condition pour trouver les constantes – récupérant la vitesse à partir de l'accélération, ou la position à partir de la vitesse.

9.6

Résoudre des problèmes de mouvement utilisant des équations paramétriques et des fonctions vectorielles

Programme

Compréhension fondamentale (FUN-8) : Résoudre un problème de valeur initiale permet de déterminer une expression pour la position d'une particule se déplaçant dans le plan.

Objectif d'apprentissage FUN-8.B : Déterminer les valeurs des positions et des taux de variation dans les problèmes impliquant un mouvement planaire. SEULEMENT BC

FUN-8.B.1 Les dérivées peuvent être utilisées pour déterminer la vitesse, la rapidité et l'accélération d'une particule se déplaçant le long d'une courbe dans le plan définie par des fonctions paramétriques ou vectorielles. SEULEMENT BC
FUN-8.B.2 Pour une particule en mouvement planaire sur un intervalle de temps, l'intégrale définie du vecteur vitesse représente le déplacement de la particule (variation nette de position) sur cet intervalle, à partir duquel on peut déterminer sa position. L'intégrale définie de la rapidité représente la distance totale parcourue par la particule sur l'intervalle de temps. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour une particule se déplaçant dans un plan : la position est $\langle x(t),y(t)\rangle$, la vitesse et l'accélération sont ses dérivées, la vitesse scalaire est $|\vec v|$, et la distance parcourue sur $[a,b]$ est

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Compétence d'examen : ces problèmes de mouvement plan apparaissent sur la réponse écrite du BC presque chaque année – soyez à l'aise pour trouver la vitesse scalaire, la position à un instant ultérieur (point initial plus l'intégrale de la vitesse) et la distance totale.

Exemple résolu. Une particule a pour position $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Sa vitesse est $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, donc à $t=1$ la vitesse est $\langle 2,\ 2\rangle$ et la vitesse scalaire est $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Sa position à $t=2$ est $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Définir les coordonnées polaires et dériver en forme polaire

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.G : Calculer les dérivées de fonctions écrites en coordonnées polaires. SEULEMENT BC

FUN-3.G.1 Les méthodes de calcul des dérivées de fonctions à valeurs réelles peuvent être étendues aux fonctions en coordonnées polaires. SEULEMENT BC
FUN-3.G.2 Pour une courbe donnée par une équation polaire $r = f(\theta)$, les dérivées de $r$, $x$ et $y$ par rapport à $\theta$, ainsi que les première et seconde dérivées de $y$ par rapport à $x$, peuvent fournir des informations sur la courbe. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Tracer une courbe polaire

Les coordonnées polaires 极坐标 localisent un point par sa distance $r$ à l'origine et son angle $\theta$ : convertissez avec $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Une courbe polaire $r=f(\theta)$ est une courbe paramétrique en $\theta$, donc sa pente est

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Les coordonnées polaires donnent un point par sa distance r et son angle theta

Explorer

Tracer une courbe polaire

Dans les coordonnées polaires, un point est à une distance $r$ et à un angle $\theta$. Faire dépendre $r$ de $\theta$ trace des courbes comme cette cardiode.

9.8

Trouver l'aire d'une région polaire

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.D : Calculer les aires de régions définies par des courbes polaires à l'aide d'intégrales définies. SEULEMENT BC

CHA-5.D.1 Le concept de calcul d'aires en coordonnées rectangulaires peut être étendu aux coordonnées polaires. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

L'aire balayée par une courbe polaire $r=f(\theta)$ de $\alpha$ à $\beta$ est

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

La région est un « éventail » de fines sectors triangulaires ; choisir les bonnes limites $\theta$ (où la courbe commence et termine de tracer la région) est le défi principal.

Exemple résolu. Trouvez l'aire d'une pétale de la rose $r=2\sin(2\theta)$ (tracée pour $\theta$ de $0$ à $\tfrac{\pi}{2}$). En utilisant $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

L'aire d'une région polaire est balayée comme la moitié de l'intégrale de r squared d theta — La région hachurée est un éventail de fins secteurs balayés de $\alpha$ à $\beta$ ; chacun a une aire $\tfrac12 r^2\,d\theta$, donc le total est $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Trouver l'aire de la région bornée par deux courbes polaires

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.D : Calculer les aires de régions définies par des courbes polaires à l'aide d'intégrales définies. SEULEMENT BC

CHA-5.D.2 Les aires de régions délimitées par des courbes polaires peuvent être calculées à l'aide d'intégrales définies. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour l'aire entre une courbe extérieure $r_1$ et une courbe intérieure $r_2$, soustrayez les secteurs :

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Trouvez d'abord les angles d'intersection (égalez $r_1=r_2$), et faites attention à quelle courbe est extérieure sur chaque intervalle – elles peuvent s'inverser.

9.9

Conseils d'examen

Pour les courbes paramétriques, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$ ; la vitesse scalaire est $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
Une fonction vectorielle porte les mêmes informations — différenciez/intégrez-la composante par composante.
En polaire, convertissez avec $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ ; l'aire balayée est $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Surveillez la direction de traçage (le signe de $dx/dt$) et définissez les bonnes limites $\theta$ pour l'aire polaire.
Éliminez le paramètre pour récupérer la forme ordinaire $y$-vs-$x$ quand cela aide.

Leçons interactives sur ce sujet

Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.

Épreuves Passées

Plus de sujets dans AP Calcul BC