Intégration et accumulation de variation

AP Calcul BC · Sujet 6

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6.1

Explorer les accumulations de variation

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.A : Interpréter le sens des aires associées au graphe d'un taux de variation dans leur contexte.

CHA-4.A.1 L'aire de la région comprise entre le graphe d'une fonction de taux de variation et l'axe $x$ donne l'accumulation de variation.
CHA-4.A.2 Dans certains cas, l'accumulation de variation peut être évaluée en utilisant la géométrie.
CHA-4.A.3 Si un taux de variation est positif (négatif) sur un intervalle, alors la variation accumulée est positive (négative).
CHA-4.A.4 L'unité pour l'aire d'une région définie par un taux de variation est l'unité du taux de variation multipliée par l'unité de la variable indépendante.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un réservoir d'eau : l'intégration accumule la variation – volume total à partir d'un débit

Là où une dérivée mesure un taux, une intégrale 积分 mesure une accumulation 累积 – un total construit à partir d'un taux. Si un taux de variation agit sur un intervalle, l'aire entre sa courbe et l'axe donne le changement net accumulé. Cette idée "aire = changement total" est la fondation du calcul intégral.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	累积	lěi jī

6.2

Approximer des aires avec les sommes de Riemann

Programme

Compréhension durable (LIM-5) : Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes géométriques et numériques.

Objectif d'apprentissage LIM-5.A : Approcher une intégrale définie à l'aide de méthodes géométriques et numériques.

LIM-5.A.1 Les intégrales définies peuvent être approchées pour des fonctions représentées graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement.
LIM-5.A.2 Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide d'une somme de Riemann gauche, d'une somme de Riemann droite, d'une somme de Riemann au milieu ou d'une somme trapézoïdale ; les approximations peuvent être calculées à l'aide de partitions uniformes ou non uniformes.
LIM-5.A.3 Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes numériques, avec ou sans technologie.
LIM-5.A.4 Selon le comportement d'une fonction, il peut être possible de déterminer si une approximation pour une intégrale définie est une sous-estimation ou une surestimation de la valeur de cette intégrale définie.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

L'intégrale comme aire (sommes de Riemann)

Les sommes trapézoïdales approchent l'aire

Une somme de Riemann 黎曼和 estime l'aire sous une courbe en additionnant les aires de fines rectangles. Divisez $[a,b]$ en sous-intervalles et utilisez la hauteur de la fonction à l'extrémité gauche, droite ou milieu de chacun. Une somme trapézoïdale 梯形法 utilise des trapèzes au lieu de cela, moyennant les hauteurs des deux extrémités – généralement plus précis. Avec plus de rectangles fins, l'estimation s'améliore.

Une somme de Riemann approxime l'aire sous une courbe avec des rectangles

Des bandes de largeur h approximent l'aire sous une courbe — Des rectangles de largeur h approchent l'aire sous une courbe

Compétence d'examen : savoir calculer les estimations gauche, droite, milieu et trapézoïdale à partir d'un tableau ou d'un graphique, et indiquer si chaque estimation est une surestimation ou une sous-estimation selon que la fonction est croissante/décroissante ou convexe/concave.

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Approximer l'aire avec des rectangles

y = ax³ + bx² + cx + d

Une somme de Riemann approxime l'aire sous une courbe avec des rectangles. Ajoutez-en plus, plus fins, et l'estimation converge vers l'intégrale définie exacte.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	黎曼和	lí màn hé
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	梯形法	tī xíng fǎ
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	定积分	dìng jī fēn

6.3

Sommes de Riemann, notation de sommation et notation d'intégrale définie

Programme

Compréhension durable (LIM-5) : Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes géométriques et numériques.

Objectif d'apprentissage LIM-5.B : Interpréter le cas limite de la somme de Riemann comme une intégrale définie.

LIM-5.B.1 La limite d'une somme de Riemann approximante peut être interprétée comme une intégrale définie.
LIM-5.B.2 Une somme de Riemann, qui nécessite une partition d'un intervalle $I$, est la somme de produits, chacun étant la valeur de la fonction en un point d'un sous-intervalle multiplié par la longueur de ce sous-intervalle de la partition.

Objectif d'apprentissage LIM-5.C : Représenter le cas limite de la somme de Riemann comme une intégrale définie.

LIM-5.C.1 L'intégrale définie d'une fonction continue $f$ sur l'intervalle $[a, b]$, notée $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, est la limite des sommes de Riemann lorsque les largeurs des sous-intervalles tendent vers 0. C'est-à-dire, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, où $n$ est le nombre de sous-intervalles, $\Delta x_i$ est la largeur du $i$e sous-intervalle, et $x_i^*$ est une valeur dans le $i$e sous-intervalle.
LIM-5.C.2 Une intégrale définie peut être traduite en la limite d'une somme de Riemann associée, et la limite d'une somme de Riemann peut être écrite comme une intégrale définie.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Écrire une somme de Riemann avec une notation de sommation $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ et laisser le nombre de rectangles tendre vers l'infini donne l'aire exacte – l'intégrale définie 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

L'intégrale est la limite des sommes de Riemann ; $a$ et $b$ sont les bornes d'intégration.

6.4

Le théorème fondamental du calcul et les fonctions d'accumulation

Programme

Compréhension durable (FUN-5) : Le théorème fondamental du calcul relie la dérivation et l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-5.A : Représenter les fonctions d'accumulation à l'aide d'intégrales définies.

FUN-5.A.1 L'intégrale définie peut être utilisée pour définir de nouvelles fonctions.
- Exemples illustratifs pour FUN-5.A.1 : $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Oui $f$ est une fonction continue sur un intervalle contenant $a$, alors $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, où $x$ est dans l'intervalle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le Théorème fondal du calcul

Une fonction d'accumulation 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ donne l'aire accumulée de $a$ jusqu'à $x$. Le Théorème fondamental du calcul (FTC) 微积分基本定理 dit que sa dérivée est l'intégrande :

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

La dérivation et l'intégration sont des opérations inverse. Avec une borne supérieure variable et la règle de la chaîne, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

La fonction d'accumulation ajoute l'aire signée ; le TFC dit que sa dérivée est f

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Accumuler l'aire comme une intégrale

y = ax³ + bx² + cx + d

Une fonction d'accumulation $\int_a^x f(t)\,dt$ accumule l'aire signée lorsque $x$ se déplace. Le Théorème Fondamental dit que sa dérivée est simplement $f(x)$.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	累积函数	lěi jī hán shù
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	微积分基本定理	wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	原函数	yuán hán shù
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	不定积分	bù dìng jī fēn
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	换元积分	huàn yuán jī fēn
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	分部积分	fēn bù jī fēn
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	部分分式	bù fèn fēn shì

6.5

Interpréter le comportement des fonctions d'accumulation

Programme

Compréhension durable (FUN-5) : Le théorème fondamental du calcul relie la dérivation et l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-5.A : Représenter les fonctions d'accumulation à l'aide d'intégrales définies.

FUN-5.A.3 Les représentations graphiques, numériques, analytiques et verbales d'une fonction $f$ fournissent des informations sur la fonction $g$ définie comme $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Parce que $g'(x)=f(x)$, le graphique de $f$ vous dit tout sur $g$ : $g$ augmente là où $f>0$, diminue là où $f<0$, présente des extrema là où $f$ traverse zéro, et est convexe là où $f$ est croissant. Lire ces connexions sur un graphique de $f$ est une tâche classique de réponse libre.

6.6

Appliquer les propriétés des intégrales définies

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.A : Calculer une intégrale définie en utilisant des aires et des propriétés des intégrales définies.

FUN-6.A.1 Dans certains cas, une intégrale définie peut être évaluée en utilisant la géométrie et le lien entre l'intégrale définie et l'aire.
FUN-6.A.2 Les propriétés des intégrales définies incluent l'intégrale d'une constante fois une fonction, l'intégrale de la somme de deux fonctions, l'inversion des bornes d'intégration, et l'intégrale d'une fonction sur des intervalles adjacents.
FUN-6.A.3 La définition de l'intégrale définie peut être étendue aux fonctions présentant des discontinuités amovibles ou à saut.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Les intégrales définies obéissent à des règles utiles : inverser les bornes change le signe de la valeur ($\int_b^a=-\int_a^b$), une intégrale sur un intervalle de largeur nulle vaut $0$, elles s'additionnent sur des intervalles adjacents ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), et les constantes se factorisent. Utilisez ces règles pour combiner ou séparer des valeurs d'intégrales données.

6.7

Théorème fondamental du calcul et intégrales définies

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.B : Évaluer des intégrales définies analytiquement à l'aide du théorème fondamental du calcul.

FUN-6.B.1 Une primitive d'une fonction $f$ est une fonction $g$ dont la dérivée est $f$.
FUN-6.B.2 Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$, la fonction définie par $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ est une primitive de $f$ pour $x$ dans l'intervalle.
FUN-6.B.3 Oui $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ et que $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La forme d'évaluation du FTC calcule une intégrale définie à partir d'une primitive 原函数 $F$ (où $F'=f$) :

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Ainsi, intégrer un taux de variation sur $[a,b]$ donne le changement net dans la quantité – le résultat le plus utilisé dans le cours.

Exemple résolu. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$ : une primitive est $F(x)=x^2+x$, donc la valeur est $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Une intégrale définie est l'aire signée entre la courbe et l'axe des x

6.8

Trouver des primitives et intégrales indéfinies

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.C : Déterminer les primitives de fonctions et les intégrales indéfinies, en utilisant les connaissances sur les dérivées.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ est une intégrale indéfinie de la fonction $f$ et peut s'exprimer sous la forme $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, où $F'(x) = f(x)$ et $C$ est une constante quelconque.
FUN-6.C.2 Les règles de dérivation constituent la base pour trouver des primitives.
FUN-6.C.3 De nombreuses fonctions n'ont pas de primitives fermées.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une intégrale indéfinie 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ est la famille de toutes les primitives (d'où la constante d'intégration $C$). Inversez chaque règle de dérivation : la règle de puissance devient $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (pour $n\neq-1$), avec $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, et les primitives de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ et $\sec^2 x$ viennent directement de leurs dérivées.

6.9

Intégration par substitution

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.D : Pour les intégrandes nécessitant une substitution ou une réécriture sous forme équivalente : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. (b) Évaluer les intégrales définies.

FUN-6.D.1 La substitution de variables est une technique pour trouver des primitives.
FUN-6.D.2 Pour une intégrale définie, la substitution de variables nécessite des changements correspondants aux bornes d'intégration.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Substitution u 换元积分 inverse la règle de la chaîne : choisissez $u=g(x)$ de sorte que $g'(x)$ apparaisse aussi, transformant $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ en $\int f(u)\,du$. N'oubliez pas de convertir $dx$ en $du$ et, pour une intégrale définie, soit changez les bornes en valeurs $u$, soit convertissez en $x$ à la fin.

6.10

Intégrer par division longue et complétion du carré

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.D : Pour les intégrandes nécessitant une substitution ou une réécriture sous forme équivalente : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. (b) Évaluer les intégrales définies.

FUN-6.D.3 Les techniques pour trouver des primitives incluent des réarrangements sous formes équivalentes, telles que la division longue et la complétion du carré.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsqu'une intégrande rationnelle est « lourde en haut » (degré du numérateur $\ge$ degré du dénominateur), la division longue la réécrit comme un polynôme plus une fraction propre que vous pouvez intégrer. La complétion du carré dans un dénominateur la transforme en une forme telle que $u^2+a^2$, conduisant à une primitive arctangente $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Intégrer par parties

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.E : Pour les intégrandes nécessitant une intégration par parties : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. SEULEMENT BC (b) Évaluer les intégrales définies. SEULEMENT BC

FUN-6.E.1 L'intégration par parties est une technique permettant de trouver des primitives. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Intégration par parties 分部积分 inverse la règle du produit :

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Choisissez $u$ pour simplifier lorsqu'on la dérive et $dv$ pour être facile à intégrer (le guide LIATE : logarithmes, trigonometriques inverses, algébriques, trigonométriques, exponentielles). Cela gère des produits comme $\int x e^x\,dx$ et $\int x\ln x\,dx$, parfois appliqué deux fois.

Exemple résolu. Pour $\int x e^x\,dx$, choisissez $u=x$ ($du=dx$) et $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$) :

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

Intégrer par fractions partielles linéaires

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.F : Pour les intégrandes nécessitant une intégration par fractions partielles linéaires : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. SEULEMENT BC (b) Évaluer les intégrales définies. SEULEMENT BC

FUN-6.F.1 Certaines fonctions rationnelles peuvent être décomposées en sommes de rapports de facteurs linéaires non répétés auxquels on peut appliquer des techniques d'intégration élémentaires. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Fractions partielles 部分分式 décomposent une fonction rationnelle à dénominateur factorisable en une somme de fractions plus simples :

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

dont chacune s'intègre en un logarithme. Cette technique est essentielle pour l'équation différentielle logistique dans l'unité suivante.

6.13

Évaluer les intégrales impropre

Programme

Compréhension fondamentale (LIM-6) : L'utilisation des limites permet de montrer que les aires de régions non bornées peuvent être finies.

Objectif d'apprentissage LIM-6.A : Évaluer une intégrale impropre ou déterminer que l'intégrale diverge. SEULEMENT BC

LIM-6.A.1 Une intégrale impropre est une intégrale dont une ou les deux bornes sont infinies ou dont l'intégrande est non borné sur l'intervalle d'intégration. SEULEMENT BC
LIM-6.A.2 Les intégrales impropres peuvent être déterminées par des limites d'intégrales définies. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Intégrales impropre : convergent ou divergent

Une intégrale impropre 反常积分 a une borne d'intégration infinie ou une discontinuité infinie dans l'intégrande. Évaluez-la comme une limite : $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Si la limite est un nombre fini, l'intégrale converge 收敛 ; sinon elle diverge 发散.

Exemple résolu. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, donc elle converge vers $1$. En comparaison, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ donne $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ et diverge – la même forme d'intégrande peut aller dans les deux sens.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
integral/ˈɪntɪɡrəl/	积分	jī fēn
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	反常积分	fǎn cháng jī fēn
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	收敛	shōu liǎn
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	发散	fā sàn

6.14

Sélection des techniques pour l'antidifférentiation

Programme

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence consistant à choisir une procédure appropriée pour l'antidifférentiation. Les étudiants doivent avoir l'occasion de s'exercer à quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs à l'antidifférentiation.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

L'examen BC s'attend à ce que vous reconnaissez quelle méthode convient : règles de base, substitution (un motif de règle de la chaîne), par parties (un produit), fractions partielles (une rationnelle factorisable), ou division longue/complétion du carré. Savoir regarder une intégrale et choisir rapidement le bon outil est lui-même une compétence testée.

6.14

Conseils d'examen

L'intégration est l'antidifférentiation ; utilisez la règle de puissance $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ et n'oubliez pas la $+C$.
Le théorème fondamental lie les deux : $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, et $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approchez une intégrale définie par des sommes de Riemann ou la règle des trapèzes à partir d'un tableau de valeurs.
Une intégrale définie est une aire signée (en dessous de l'axe compte négatif) ; divisez aux changements de signe pour l'aire totale.
Utilisez la substitution u et n'oubliez pas de changer les bornes (ou de faire le contre-substituting) en conséquence.

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