Dérivation : Définition et propriétés fondamentales

AP Calcul BC · Topic 2 · ⁨Sujet 2⁩

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2.1

Average and Instantaneous Rates of Change at a Point · ⁨Taux de variation moyen et instantané en un point⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.A: Determine average rates of change using difference quotients.

CHA-2.A.1 The difference quotients $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ and $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ express the average rate of change of a function over an interval.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.1 The instantaneous rate of change of a function at $x=a$ can be expressed by $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ or $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, provided the limit exists. These are equivalent forms of the definition of the derivative and are denoted $f'(a)$.

Français

Compréhension durable (CHA-2) : Les dérivées nous permettent de déterminer les taux de variation à un instant en appliquant des limites aux connaissances sur les taux de variation sur des intervalles.

Objectif d'apprentissage CHA-2.A : Déterminer les taux de variation moyens à l'aide de quotients de différence.

CHA-2.A.1 Les quotients de différence $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expriment le taux de variation moyen d'une fonction sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-2.B : Représenter la dérivée d'une fonction comme la limite d'un quotient de différence.

CHA-2.B.1 Le taux de variation instantané d'une fonction à $x=a$ peut s'exprimer par $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ou $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, à condition que la limite existe. Ce sont des formes équivalentes de la définition de la dérivée et sont notées $f'(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

The derivative from first principles

Unit 1 built the limit. Unit 2 uses it to define the derivative 导数 – the exact rate of change at a point.

Over an interval, the average rate of change is a difference quotient 差商. Two equivalent forms appear:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

The first uses a step of size $h$ from $a$; the second uses two points $x$ and $a$. Both compute $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ over the interval.

The instantaneous 瞬时 rate of change at $x=a$ is what the difference quotient approaches as the interval shrinks to zero. This limit is the derivative at $a$, written $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

provided the limit exists.

Français

Un roller coaster sur une montée : la dérivée mesure le taux de variation instantané

*La dérivée par définition

L'Unité 1 a posé les bases de la limite. L'Unité 2 l'utilise pour définir la dérivée 导数 – le taux de variation exact en un point.

Le taux de variation instantané est la pente de la tangente en un point

Sur un intervalle, le taux de variation moyen est un taux de variation moyenné 差商. Deux formes équivalentes apparaissent :

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

La première utilise un pas de taille $h$ à partir de $a$ ; la seconde utilise deux points $x$ et $a$. Toutes deux calculent $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ sur l'intervalle.

Le taux de variation instantané 瞬时 en $x=a$ est ce vers quoi tend le taux de variation moyenné lorsque l'intervalle se réduit vers zéro. Cette limite est la dérivée en $a$, notée $f'(a)$ :

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

à condition que la limite existe.

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Du taux moyen au taux instantané

y = ax³ + bx² + cx + d

Glissez le point : la sécante passant par deux points proches penche vers la tangente à mesure qu'ils fusionnent. La pente de la tangente est la dérivée — le taux de changement instantané.

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English · ⁨Anglais⁩	Chinese · ⁨Chinois⁩	Pinyin
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	导数	dǎo shù
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	差商	chà shāng
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	瞬时	shùn shí
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	用定义求导	yòng dìng yì qiú dǎo

2.2

Defining the Derivative and Reading Its Notation · ⁨Définir la dérivée et lire sa notation⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.2 The derivative of $f$ is the function whose value at $x$ is $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, provided this limit exists.
CHA-2.B.3 For $y=f(x)$, notations for the derivative include $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, and $y'$.
CHA-2.B.4 The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally.

Learning Objective CHA-2.C: Determine the equation of a line tangent to a curve at a given point.

CHA-2.C.1 The derivative of a function at a point is the slope of the line tangent to a graph of the function at that point.

Français

Compréhension durable (CHA-2) : Les dérivées nous permettent de déterminer les taux de variation à un instant en appliquant des limites aux connaissances sur les taux de variation sur des intervalles.

Objectif d'apprentissage CHA-2.B : Représenter la dérivée d'une fonction comme la limite d'un quotient de différence.

CHA-2.B.2 La dérivée de $f$ est la fonction dont la valeur à $x$ est $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, à condition que cette limite existe.
CHA-2.B.3 Pour $y=f(x)$, les notations pour la dérivée incluent $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ et $y'$.
CHA-2.B.4 La dérivée peut être représentée graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement.

Objectif d'apprentissage CHA-2.C : Déterminer l'équation d'une ligne tangente à une courbe à un point donné.

CHA-2.C.1 La dérivée d'une fonction à un point est la pente de la ligne tangente à un graphe de la fonction à ce point.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Let the point $a$ vary and the derivative becomes a new function:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

This is the definition of the derivative (sometimes called differentiating "by first principles" 用定义求导). Its value at each $x$ is the instantaneous rate of change there.

Common notations 记号 for the derivative of $y=f(x)$ are:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally – be ready to move between them.

Geometric meaning. The derivative at a point is the slope 斜率 of the tangent line 切线 to the graph there. So the tangent line at $x=a$ passes through $\big(a, f(a)\big)$ with slope $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Writing this line is a routine exam task, so keep the point-slope form ready.

Français

Laissez le point $a$ varier et la dérivée devient une nouvelle fonction :

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

C'est la définition de la dérivée (parfois appelée dériver « par définition » 用定义求导). Sa valeur en chaque $x$ est le taux de variation instantané à cet endroit.

Les notations 记号 courantes pour la dérivée de $y=f(x)$ sont :

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

La dérivée peut être représentée graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement – soyez prêt à passer d'une représentation à l'autre.

Sens géométrique. La dérivée en un point est la pente 斜率 de la tangente 切ine à la courbe en cet endroit. Ainsi, la tangente en $x=a$ passe par $\big(a, f(a)\big)$ avec une pente $f'(a)$ :

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Écrire cette équation est une tâche classique d'examen, gardez la forme point-pente prête.

Les pentes des sécantes approchent la pente de la tangente : la dérivée est la limite des taux moyens — Les pentes de la sécante approchent la pente de la tangente : la dérivée est la limite des taux moyens

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English · ⁨Anglais⁩	Chinese · ⁨Chinois⁩	Pinyin
notations/nəʊˈteɪʃnz/	记号	jì hào
slope/sləʊp/	斜率	xié lǜ
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	切线	qiè xiàn

2.3

Estimating a Derivative at a Point · ⁨Estimer une dérivée en un point⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.D: Estimate derivatives.

CHA-2.D.1 The derivative at a point can be estimated from information given in tables or graphs.
CHA-2.D.2 Technology can be used to calculate or estimate the value of a derivative of a function at a point.

Français

Compréhension durable (CHA-2) : Les dérivées nous permettent de déterminer les taux de variation à un instant en appliquant des limites aux connaissances sur les taux de variation sur des intervalles.

Objectif d'apprentissage CHA-2.D : Estimer les dérivées.

CHA-2.D.1 La dérivée à un point peut être estimée à partir d'informations données dans des tableaux ou des graphes.
CHA-2.D.2 La technologie peut être utilisée pour calculer ou estimer la valeur d'une dérivée d'une fonction à un point.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

You do not always have a formula. When a function is given by a table 表格 or a graph, estimate the derivative $f'(a)$ with a difference quotient over a small interval around $a$. A table with values on both sides of $a$ gives the best estimate:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Technology (a calculator) can also estimate a derivative at a point.

Exam skill (appears almost every year). Questions such as "Approximate $M'(7.5)$ using the average rate of change of $M$ over the interval $5 \le t \le 10$" ask for exactly this difference quotient. Show the setup:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Full credit needs the numbers plugged in and the correct units 单位 (output units per input unit), since these come from real-world models.

Français

Vous n'avez pas toujours de formule. Lorsqu'une fonction est donnée par un tableau 表格 ou un graphique, estimez la dérivée $f'(a)$ avec un taux de variation moyenné sur un petit intervalle autour de $a$. Un tableau avec des valeurs de part et d'autre de $a$ donne la meilleure estimation :

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

La technologie (une calculatrice) peut également estimer une dérivée en un point.

Compétence d'examen (apparaît presque chaque année). Des questions telles que « Approximer $M'(7.5)$ en utilisant le taux de changement moyen de $M$ sur l'intervalle $5 \le t \le 10$ » demandent exactement ce quotient différentiel. Présentez la configuration :

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

La note complète nécessite les nombres insérés et les unités correctes 单位 (unités de sortie par unité d'entrée), car elles proviennent de modèles du monde réel.

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩

English · ⁨Anglais⁩	Chinese · ⁨Chinois⁩	Pinyin
table/ˈteɪbl/	表格	biǎo gé
units/ˈjuːnɪts/	单位	dān wèi
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	可导	kě dǎo
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	连续	lián xù
corner/ˈkɔːnə/	尖点	jiān diǎn
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	垂直切线	chuí zhí qiè xiàn
power rule/ˈpaʊə ruːl/	幂法则	mì fǎ zé
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	常数倍	cháng shù bèi
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	多项式	duō xiàng shì
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	乘积法则	chéng jī fǎ zé
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	商法则	shāng fǎ zé
identities/aɪˈdentɪtiz/	恒等式	héng děng shì
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù

2.4

Differentiability and Continuity: When a Derivative Exists · ⁨Différentiabilité et continuité : quand une dérivée existe⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-2): Recognizing that a function's derivative may also be a function allows us to develop knowledge about the related behaviors of both.

Learning Objective FUN-2.A: Explain the relationship between differentiability and continuity.

FUN-2.A.1 If a function is differentiable at a point, then it is continuous at that point. In particular, if a point is not in the domain of $f$, then it is not in the domain of $f'$.
FUN-2.A.2 A continuous function may fail to be differentiable at a point in its domain.
- Illustrative examples for FUN-2.A.2:
  - The left hand and right hand limits of the difference quotient are not equal, as in $f(x)=|x|$ at $x=0$.
  - The tangent line is vertical and has no slope, as in $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Français

Compréhension durable (FUN-2) : Reconnaître que la dérivée d'une fonction peut aussi être une fonction nous permet de développer des connaissances sur les comportements liés des deux.

Objectif d'apprentissage FUN-2.A : Expliquer la relation entre la dérivabilité et la continuité.

FUN-2.A.1 Si une fonction est dérivable à un point, alors elle est continue à ce point. En particulier, si un point n'est pas dans le domaine de $f$, alors il n'est pas dans le domaine de $f'$.
FUN-2.A.2 Une fonction continue peut ne pas être dérivable à un point de son domaine.
- Exemples illustratifs pour FUN-2.A.2 :
  - Les limites gauche et droite du quotient de différence ne sont pas égales, comme dans $f(x)=|x|$ à $x=0$.
  - La tangente est verticale et n'a pas de pente, comme dans $f(x)=\sqrt[3]{x}$ à $x=0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Differentiability is stronger than continuity. The key relationship:

If $f$ is differentiable 可导 at a point, then $f$ is continuous 连续 there.

So differentiability implies continuity. The reverse is false: a continuous function can fail to be differentiable. Two ways this happens:

A corner 尖点: the left and right difference-quotient limits disagree, as with $f(x)=|x|$ at $x=0$.
A vertical tangent 垂直切线: the slope is infinite (no real number), as with $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Also, a point outside the domain of $f$ cannot be in the domain of $f'$. Use the contrapositive on the exam: if $f$ is not continuous at $a$, then $f$ is not differentiable at $a$.

Français

La différentiabilité est plus forte que la continuité. La relation clé :

Si $f$ est différentiable 可导 en un point, alors $f$ est continue 连续 en ce point.

Donc la différentiabilité implique la continuité. L'inverse est faux : une fonction continue peut ne pas être différentiable. Deux façons dont cela se produit :

Un coin 尖点 : les limites du quotient de différence gauche et droite divergent, comme avec $f(x)=|x|$ en $x=0$.
Une tangente verticale : la pente est infinie (aucun nombre réel), comme avec $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$.

Deux façons dont une fonction continue n'est pas différentiable : un coin et une tangente verticale

Aussi, un point en dehors du domaine de $f$ ne peut pas être dans le domaine de $f'$. Utilisez la contraposée à l'examen : si $f$ n'est pas continue en $a$, alors $f$ n'est pas différentiable en $a$.

2.5

The Power Rule · ⁨La règle de puissance⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.1 Direct application of the definition of the derivative and specific rules can be used to calculate the derivative for functions of the form $f(x)=x^{r}$.

Français

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.

FUN-3.A.1 L'application directe de la définition de la dérivée et de règles spécifiques peut être utilisée pour calculer la dérivée pour des fonctions de la forme $f(x)=x^{r}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

From here we use rules instead of the limit definition each time. The power rule 幂法则 handles any power of $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

It works for whole-number powers, negative powers ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), and roots ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – rewrite as a power first, then apply the rule.

Français

À partir d'ici, nous utilisons des règles au lieu de la définition par limite à chaque fois. La règle de puissance 幂法则 s'applique à toute puissance de $x$ :

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Elle fonctionne pour les puissances entières, les puissances négatives ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) et les racines ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – réécrivez comme une puissance d'abord, puis appliquez la règle.

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Une fonction puissance et sa pente qui s'alourdit

y = ax³ + bx² + cx + d

La règle de puissance $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ abaisse l'exposant comme facteur. Pour $x^3$, la pente augmente rapidement lorsque $x$ quitte 0 — la courbe s'alourdit.

2.6

Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple Rules · ⁨Règles de constante, somme, différence et multiple constant⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.2 Sums, differences, and constant multiples of functions can be differentiated using derivative rules.
FUN-3.A.3 The power rule combined with sum, difference, and constant multiple properties can be used to find the derivatives for polynomial functions.

Français

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.

FUN-3.A.2 Les sommes, différences et multiples constants de fonctions peuvent être dérivés en utilisant des règles de dérivation.
FUN-3.A.3 La règle de la puissance combinée avec les propriétés de somme, différence et multiple constant peut être utilisée pour trouver les dérivées pour des fonctions polynomiales.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

These rules let you differentiate term by term:

Constant: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (a constant does not change).
Constant multiple 常数倍: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Sum / difference: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combined with the power rule, they differentiate any polynomial 多项式 term by term. Example:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

Français

Ces règles vous permettent de dériver terme par terme :

Constante : $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (une constante ne change pas).
Multiple constant 常数倍 : $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Somme / différence : $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combinées avec la règle de puissance, elles dérivent tout polynôme 多项式 terme par terme. Exemple :

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Derivatives of cos x, sin x, e^x, and ln x · ⁨Dérivées de cos x, sin x, e^x et ln x⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.4 Specific rules can be used to find the derivatives for sine, cosine, exponential, and logarithmic functions.

Enduring Understanding (LIM-3): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to determine a limit.

Learning Objective LIM-3.A: Interpret a limit as a definition of a derivative.

LIM-3.A.1 In some cases, recognizing an expression for the definition of the derivative of a function whose derivative is known offers a strategy for determining a limit.

Français

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.

FUN-3.A.4 Des règles spécifiques peuvent être utilisées pour trouver les dérivées des fonctions sinus, cosinus, exponentielle et logarithmique.

Compris essential (LIM-3) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés permet de déterminer une limite.

Objectif d'apprentissage LIM-3.A : Interpréter une limite comme une définition de la dérivée.

LIM-3.A.1 Dans certains cas, reconnaître une expression correspondant à la définition de la dérivée d'une fonction dont on connaît la dérivée offre une stratégie pour déterminer une limite.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Learn these four building-block derivatives by heart:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Note the minus sign on the derivative of cosine, and that $e^{x}$ is its own derivative.

A limit that is really a derivative (LIM-3.A.1). Sometimes a limit is secretly the definition of a known derivative. If you recognize

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

for a function $f$ whose derivative you know, just evaluate $f'(a)$. For example, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Français

Apprenez ces quatre dérivées fondamentales par cœur :

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Notez le signe moins sur la dérivée du cosinus, et que $e^{x}$ est sa propre dérivée.

Une limite qui est vraiment une dérivée (LIM-3.A.1). Parfois, une limite cache la définition d'une dérivée connue. Si vous reconnaissez

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

pour une fonction $f$ dont vous connaissez la dérivée, évaluez simplement $f'(a)$. Par exemple, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

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La forme de sin x (dont la pente est cos x)

y = asin(bx + c) + d

La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$ : la pente de la courbe sinus est maximale lorsque le sinus croise zéro et nulle à ses sommets. Observez la courbe pour sentir où sa pente est raide ou plate.

2.8

The Product Rule · ⁨La règle du produit⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.1 Derivatives of products of differentiable functions can be found using the product rule.

Français

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.

FUN-3.B.1 Les dérivées de produits de fonctions dérivable s'obtiennent en utilisant la règle du produit.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

A product of two functions is not differentiated by multiplying the derivatives. Use the product rule 乘积法则:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Derivative of the first times the second, plus the first times the derivative of the second." Example:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Exam questions often build a new function from given pieces, e.g. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, and ask you to combine rules while reading values from a table.

Français

Le produit de deux fonctions n'est pas dérivé en multipliant les dérivées. Utilisez la règle du produit 乘积法则 :

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second." Exemple :

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Les questions d'examen construisent souvent une nouvelle fonction à partir de pièces données, par ex. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, et vous demandent de combiner les règles tout en lisant des valeurs dans un tableau.

2.9

The Quotient Rule · ⁨La règle du quotient⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.2 Derivatives of quotients of differentiable functions can be found using the quotient rule.

Français

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.

FUN-3.B.2 Les dérivées de quotients de fonctions dérivable s'obtiennent en utilisant la règle du quotient.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

For a quotient, use the quotient rule 商法则:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bottom times derivative of top, minus top times derivative of bottom, all over bottom squared." The order matters because of the minus sign, so write the numerator carefully. Example:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

Français

Pour un quotient, utilisez la règle du quotient 商法则 :

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bas fois la dérivée du haut, moins haut fois la dérivée du bas, le tout divisé par le bas au carré." L'ordre compte à cause du signe moins, écrivez donc soigneusement le numérateur. Exemple :

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Derivatives of Tangent, Cotangent, Secant, and Cosecant · ⁨Dérivées de Tangent, Cotangent, Sécante et Cosecante⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.3 Rearranging tangent, cotangent, secant, and cosecant functions using identities allows differentiation using derivative rules.

Français

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.

FUN-3.B.3 Réarranger les fonctions tangente, cotangente, sécante et cosécante à l'aide d'identités permet la différentiation en utilisant des règles de dérivation.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

The remaining trigonometric derivatives are not memorized separately – you rewrite them with identities 恒等式 and apply the quotient (or product) rule. For instance, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, so the quotient rule gives

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

The same method (writing $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) gives $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, and $-\csc x\cot x$.

Higher-order derivatives. Differentiating $f'$ again gives the second derivative 二阶导数 $f''(x)$ (or $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – the rate of change of the rate of change. An exam part like "Find $k''(3)$" just means differentiate twice, then substitute. You can also estimate a second derivative from a table by applying the average-rate-of-change method to the $f'$ values.

Worked example. Differentiate $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ with the quotient rule $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: take $u=\sin x$, $v=x$, giving $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Keep the order $u'v-uv'$ in the numerator — swapping the terms flips the sign and loses the mark.

Français

Les autres dérivées trigonométriques ne sont pas mémorisées séparément – on les réécrit avec des identités 恒等式 et on applique la règle du quotient (ou du produit). Par exemple, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, donc la règle du quotient donne

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

La même méthode (écrire $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) donne $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ et $-\csc x\cot x$.

Dérivées d'ordre supérieur. Dériver $f'$ à nouveau donne la dérivée seconde 二阶导数 $f''(x)$ (ou $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – le taux de variation du taux de variation. Une partie d'examen comme "Trouver $k''(3)$" signifie simplement dériver deux fois, puis substituer. Vous pouvez aussi estimer une dérivée seconde à partir d'un tableau en appliquant la méthode du taux de variation moyen aux valeurs de $f'$.

Exemple résolu. Dérivez $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ avec la règle du quotient $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ : prenez $u=\sin x$, $v=x$, donnant $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Gardez l'ordre $u'v-uv'$ dans le numérateur — inverser les termes inverse le signe et fait perdre les points.

2.10

Exam tips · ⁨Conseils d'examen⁩

English

The derivative is the slope of the tangent — the limit of the secant slope $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ as $h\to0$.
Memorise the rules: power, product, quotient, and the derivatives of $\sin$, $\cos$, $e^x$, and $\ln x$.
Differentiability implies continuity, but not the reverse (a corner or cusp is continuous yet not differentiable).
Distinguish average rate of change (secant slope over an interval) from instantaneous rate (the derivative at a point).
Give a tangent-line equation as $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Français

La dérivée est la pente de la tangente – la limite de la pente de la sécante $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ lorsque $h\to0$.
Mémorisez les règles : puissance, produit, quotient, et les dérivées de $\sin$, $\cos$, $e^x$ et $\ln x$.
La différentiabilité implique la continuité, mais pas l'inverse (un coin ou un cusps est continu mais non différentiable).
Distuez le taux de variation moyen (pente de la sécante sur un intervalle) du taux instantané (la dérivée en un point).
Donnez une équation de la tangente sous forme $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

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