AP Calcul BC

Conseils

Le calcul AP BC contient tout ce qui est dans AB et ajoute les fonctions paramétriques, polaires et vectorielles, les techniques avancées d'intégration, les intégrales impropres, la croissance logistique, et — l'ajout le plus important — les suites et séries infinies, y compris les series de Taylor et Maclaurin avec des bornes d'erreur.

C'est dans les séries que le BC se gagne ou se perd. Les tests de convergence doivent être choisis, pas testés tour à tour : face à une série, vous devriez savoir en quelques secondes quel test la forme suggère, et être capable de nommer le test et vérifier ses conditions.

Le BC rapporte également une note subscore pour AB, donc le matériel AB reste entièrement examiné et ne doit pas être négligé.

Les notes couvrent les matériaux AB et BC dans l'ordre du CED, donnant aux séries l'espace nécessaire. Les anciens examens publiés sont dans la bibliothèque. Puisque la note subscore AB provient du même papier, les unités AB restent dans les notes avec toute leur profondeur plutôt que d'être résumées.

Entraîner tout le vocabulaire

Épreuves Passées

Limites et continuité

Regarder la leçon

Ouvrir ce sujet sur sa propre page

1.1

Introduction au calcul différentiel : Le changement peut-il se produire à un instant précis ?

Programme

Compréhension fondamentale (CHA-1) : Le calcul différentiel nous permet de généraliser les connaissances sur le mouvement à divers problèmes impliquant le changement.

Objectif d'apprentissage CHA-1.A : Interpréter le taux de changement instantané en termes de taux de changement moyen sur des intervalles contenant cet instant.

CHA-1.A.1 Le calcul différentiel utilise les limites pour comprendre et modéliser le changement dynamique.
CHA-1.A.2 Puisque le taux de changement moyen divise le changement d'une variable par le changement d'une autre, le taux de changement moyen est indéfini à un point où le changement de la variable indépendante serait nul.
CHA-1.A.3 Le concept de limite nous permet de définir le taux de changement instantané en termes de taux de changement moyens.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le calcul est la mathématique du changement 变化 et de l'accumulation 累积. Il répond à deux grandes questions : à quelle vitesse quelque chose change-t-il maintenant, et combien s'est accumulé jusqu'à présent ? L'Unité 1 construit l'outil unique sur lequel reposent ces deux questions : la limite 极限.

Commencez par une énigme. Le compteur de vitesse d'une voiture affiche $60$ km/h. Que cela signifie-t-il à un instant précis 瞬间 ? La vitesse est une distance divisée par un temps. Mais à un instant unique, aucun temps ne passe et aucune distance n'est parcourue, donc la fraction ressemble à $\tfrac{0}{0}$ – indéfinie.

Le taux de variation moyen 平均变化率 utilise un intervalle 区间 complet : le changement d'une quantité divisé par le changement d'une autre. Il divise par zéro, et est donc indéfini, lorsque le changement en entrée serait nul.
Le taux de variation instantané 瞬时变化率 est ce que nous cherchons en un point. C'est la valeur vers laquelle le taux de variation tend 趋近 lorsque l'intervalle se réduit vers une longueur nulle.

L'idée ingénieuse n'est pas de substituer zéro (indéfini), mais d'observer vers quoi tend le taux de variation moyen lorsque l'intervalle devient de plus en plus petit. Cette valeur vers laquelle on tend est une limite. Ainsi, le calcul nous permet de décrire le changement à un instant précis – comme la limite de taux moyens sur des intervalles de plus en plus courts. Cette seule idée alimente la dérivée 导数 (Unité 2) et, inversée, l'intégrale 积分 (Unité 6). Tout le reste de cette unité définit les limites avec soin et les calcule de manière fiable.

Explorer

Explorer la pente à un instant

y = bx² + d

Glissez le point le long de la courbe. La droite tangente montre le taux de changement exact $\frac{dy}{dx}$ là-bas — la valeur que les taux moyens approchent à mesure que l'intervalle se réduit à un seul instant. La pente change avec la position, donc le changement a bien une valeur à chaque instant.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
change/tʃeɪndʒ/	变化	biàn huà
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	累积	lěi jī
limit/ˈlɪmɪt/	极限	jí xiàn
at a single instant/ætə ˈsɪŋɡl ˈɪnstənt/	瞬间	shùn jiān
average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	平均变化率	píng jūn biàn huà lǜ
interval/ˈɪntəvl/	区间	qū jiān
instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	瞬时变化率	shùn shí biàn huà lǜ
approaches/əˈprəʊtʃɪz/	趋近	qū jìn
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	导数	dǎo shù
integral/ˈɪntɪɡrəl/	积分	jī fēn
arbitrarily/ˌɑːbɪˈtrerɪli/	任意地	rèn yì dì
sufficiently/səˈfɪʃəntli/	足够	zú gòu
behavior/bɪˈheɪvjə/	行为	xíng wéi
graphically/ˈɡræfɪkli/	用图象	yòng tú xiàng
numerically/njuːˈmerɪkli/	用数值	yòng shù zhí
analytically/ˌænəˈlɪtɪkli/	用解析式	yòng jiě xī shì
left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/	左极限	zuǒ jí xiàn
right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/	右极限	yòu jí xiàn
one-sided limits/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪts/	单侧极限	dān cè jí xiàn
open circle/ˈəʊpən ˈsɜːkl/	空心圆	kōng xīn yuán

1.2

Définir les limites et utiliser la notation des limites

Programme

Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.

Objectif d'apprentissage LIM-1.A : Représenter analytiquement les limites en utilisant la notation correcte.

LIM-1.A.1 Étant donné une fonction $f$, la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $c$ est un nombre réel $R$ si $f(x)$ peut être rendu arbitrairement proche de $R$ en choisissant $x$ suffisamment proche de $c$ (mais sans être égal à $c$). Si la limite existe et est un nombre réel, la notation courante est $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
- Énoncé d'exclusion : La définition epsilon-delta d'une limite n'est pas évaluée à l'examen AP Calculus AB ou BC. Cependant, les enseignants peuvent inclure ce sujet dans le cours s'ils disposent de temps.

Objectif d'apprentissage LIM-1.B : Interpréter les limites exprimées en notation analytique.

LIM-1.B.1 Une limite peut s'exprimer de multiples façons, y compris graphiquement, numériquement et analytiquement.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une courbe limite lisse : les limites décrivent la valeur qu'approche un graphique lorsque nous zoomons — Une courbe de pont lisse : les limites décrivent la valeur qu'atteint un graphique lorsque l'on fait zoomer

Étant donné une fonction $f$, la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $c$ est un nombre réel $R$ si $f(x)$ peut être rendu arbitrairement 任意地 proche de $R$ en prenant $x$ suffisamment 足够 proche de $c$ – mais pas égal à $c$. Nous écrivons

$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$

et le lisons : « la limite de $f(x)$, lorsque $x$ tend vers $c$, est égale à $R$. »

Les derniers mots sont au cœur d'une limite : ils décrivent le comportement 行为 de $f$ près de $c$, et non la valeur en $c$. La fonction peut être indéfinie en $c$, ou définie mais égale à autre chose – la limite s'en moque.

Une limite peut être montrée de trois manières : graphiquement 用图象, numériquement 用数值 (un tableau), et analytiquement 用解析式 (algèbre). Apprendre à passer d'une représentation à l'autre est une compétence fondamentale.

(Note : la définition epsilon-delta d'une limite n'est pas testée à l'examen AP, c'est pourquoi ce document ne l'utilise pas.)

1.3

Estimer des valeurs de limites à partir de graphiques

Programme

Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.

Objectif d'apprentissage LIM-1.C : Estimer les limites de fonctions.

LIM-1.C.1 Le concept de limite inclut les limites latérales.
LIM-1.C.2 Des informations graphiques sur une fonction peuvent être utilisées pour estimer ses limites.
LIM-1.C.3 En raison de problèmes d'échelle, les représentations graphiques de fonctions peuvent omettre un comportement important de la fonction.
LIM-1.C.4 Une limite peut ne pas exister pour certaines fonctions à des valeurs particulières de $x$. Certaines manières dont la limite pourrait ne pas exister sont si la fonction n'est pas bornée, si la fonction oscille près de cette valeur, ou si la limite par la gauche n'est pas égale à la limite par la droite.
- Exemples illustratifs pour LIM-1.C.4 :
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ n'existe pas.
  - $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ n'existe pas.
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ n'existe pas.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un graphique est souvent le moyen le plus rapide de lire une limite. Pour trouver $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, faites glisser votre doigt le long de la courbe vers $x = c$ depuis chaque côté et demandez-vous : quelle hauteur la courbe approche-t-elle ?

Tracez depuis la gauche (entrées inférieures à $c$) : cela donne la limite à gauche 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Tracez depuis la droite (entrées supérieures à $c$) : cela donne la limite à droite 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
Ce sont les limites latérales 单侧极限. Si les deux tendent vers la même hauteur $R$, alors la limite bilatérale existe et $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Crucialement, ignorez le point lui-même. Les graphiques marquent la différence entre la limite et la valeur :

Un cercle ouvert 空心圆 marque une hauteur que la courbe approche mais n'atteint pas – un « trou » 空洞.
Un cercle fermé 实心圆 marque la valeur réelle $f(c)$.

Ainsi, une courbe peut approcher $R = 3$ des deux côtés (la limite est $3$) tandis qu'un point plein est situé à la hauteur $5$ (valeur $f(c) = 5$). La limite est $3$ ; elles ne doivent pas nécessairement correspondre.

Une limite n'existe pas (souvent notée DNE) lorsque les deux côtés diffèrent (un saut 跳跃), lorsque la fonction est non bornée 无界 (croît sans limite), ou lorsqu'elle oscille 振荡 indéfiniment près de $c$. Par exemple :

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\ \text{DNE}, \qquad \lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\ \text{DNE}.$$

Surveillez l'échelle 比例 d'un graphique : une vue éloignée peut masquer un comportement important près d'un point, confirmez donc avec l'algèbre si possible.

Une limite existe en x=2 bien que la valeur de la fonction f(2) soit différente — Le cercle ouvert est la hauteur que la courbe approche (la limite) ; le point plein est la valeur réelle $f(2)$ -- ils ne doivent pas nécessairement coïncider.

Explorer

Lire une limite sur le graphique

y = ax² + bx + c

La limite lorsque $x\to c$ est la hauteur vers laquelle la courbe tend des deux côtés — il s'agit de là où la fonction va, pas de sa valeur à $c$. Suivez la courbe vers un $x$ et lisez la $y$ qu'elle approche.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
hole/həʊl/	空洞	kōng dòng
closed circle/kləʊzd ˈsɜːkl/	实心圆	shí xīn yuán
jump/dʒʌmp/	跳跃	tiào yuè
unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/	无界	wú jiè
oscillates/ˈɒsɪleɪts/	振荡	zhèn dàng
scale/skeɪl/	比例	bǐ lì

1.4

Estimer des valeurs de limites à partir de tableaux

Programme

Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.

Objectif d'apprentissage LIM-1.C : Estimer les limites de fonctions.

LIM-1.C.5 Des informations numériques peuvent être utilisées pour estimer les limites.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsque vous avez des données ou une formule mais pas d'image, un tableau 表格 de valeurs estime une limite numériquement. Choisissez des entrées qui se rapprochent de $c$ des deux côtés et observez les sorties.

Par exemple, pour estimer $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (qui est $\tfrac{0}{0}$ en $x=2$) :

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\to 2 \leftarrow$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	?	$4.001$	$4.01$	$4.1$

Les deux côtés marchent vers $4$, nous estimons donc que la limite est $4$. Un tableau ne fait que suggérer une valeur – c'est une estimation numérique, pas une preuve.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
table/ˈteɪbl/	表格	biǎo gé
limit theorems/ˈlɪmɪt ˈθɪərəmz/	极限定理	jí xiàn dìng lǐ
Composite/ˈkɒmpəzɪt/	复合函数	fù hé hán shù
direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	直接代入	zhí jiē dài rù
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	未定式	wèi dìng shì
equivalent form/ɪˈkwɪvələnt fɔːm/	等价形式	děng jià xíng shì
Factor and cancel/ˈfæktə ænd ˈkænsl/	因式分解并约分	yīn shì fēn jiě bìng yuē fēn
rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/	有理函数	yǒu lǐ hán shù
conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/	共轭	gòng è
radical/ˈrædɪkl/	根式	gēn shì

1.5

Déterminer des limites à l'aide des propriétés algébriques des limites

Programme

Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.

Objectif d'apprentissage LIM-1.D : Déterminer les limites de fonctions à l'aide des théorèmes sur les limites.

LIM-1.D.1 Les limites latérales peuvent être déterminées analytiquement ou graphiquement.
LIM-1.D.2 Les limites de sommes, différences, produits, quotients et fonctions composées peuvent être trouvées en utilisant les théorèmes sur les limites.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La plupart des limites sont trouvées analytiquement à l'aide de théorèmes sur les limites 极限定理. Si $\lim_{x\to c} f(x)$ et $\lim_{x\to c} g(x)$ existent toutes deux, la limite d'une combinaison est la même combinaison des limites :

Somme / différence : $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
Produit : $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
Quotient : $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, à condition que la limite du dénominateur ne soit pas $0$.
Fonction composée 复合函数 : si $g$ est continue en $\lim_{x\to c} f(x)$, alors $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

La règle pratique : pour une fonction construite à partir de polynômes, racines, etc., essayez d'abord la substitution directe 直接代入 – insérez $x = c$. Si vous obtenez un nombre réel, c'est la limite. Les limites latérales obéissent aux mêmes théorèmes, lues uniquement dans un sens.

1.6

Déterminer des limites à l'aide de manipulations algébriques

Programme

Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.

Objectif d'apprentissage LIM-1.E : Déterminer les limites de fonctions en utilisant des expressions équivalentes pour la fonction ou le théorème des gendarmes.

LIM-1.E.1 Il peut être nécessaire ou utile de réarranger les expressions sous des formes équivalentes avant d'évaluer les limites.
- Exemples illustratifs pour LIM-1.E.1 :
  - Factorisation et division des facteurs communs des fonctions rationnelles
  - Multiplication par une expression impliquant le conjugué d'une somme ou différence afin de simplifier les fonctions impliquant des radicaux
  - Utilisation des formes alternatives des fonctions trigonométriques

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La substitution directe donne parfois la forme indéterminée 未定式 $\tfrac{0}{0}$. Cela ne signifie pas que la limite échoue – cela signifie que vous devez réécrire la fonction sous une forme équivalente 等价形式 qui élimine le problème, puis effectuer la substitution. Trois mouvements standards :

Factoriser et simplifier 因式分解并约分 une fonction rationnelle 有理函数. Exemple : $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
Multiplier par le conjugué 共轭 pour simplifier une racine 根式. Exemple : $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Utiliser des formes alternatives de fonctions trigonométriques (identités) pour simplifier.

Le facteur annulé explique pourquoi le graphique original avait un trou : les deux fonctions coïncident partout sauf en $x=c$, elles partagent donc la même limite là.

1.7

Choisir des procédures pour déterminer des limites

Programme

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence de sélectionner une procédure appropriée pour déterminer les limites. Les élèves doivent avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs à la détermination des limites.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

C'est une compétence, pas du nouveau contenu : choisissez le bon outil pour la limite devant vous.

Essayez d'abord la substitution directe. Une réponse réelle signifie que vous êtes fini.
Vous obtenez $\tfrac{0}{0}$ ? Réécrivez – factorisez et simplifiez, ou utilisez le conjugué, ou une identité trigonométrique – puis substituez.
Un nombre non nul sur $0$ (comme $\tfrac{5}{0}$) ? La limite est infinie ou DNE – vérifiez le signe de chaque côté (voir asymptotes verticales ci-dessous).
Lorsque $x\to\pm\infty$ ? Comparez les termes dominants (voir limites à l'infini).
Piégé entre deux fonctions ? Le théorème des gendarmes (squeeze theorem) peut s'appliquer.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
squeeze theorem/skwiːz ˈθɪərəm/	夹逼定理	jiā bī dìng lǐ
discontinuous/dɪskənˈtɪnjuːəs/	间断	jiàn duàn
Removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	可去间断	kě qù jiàn duàn
Jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	跳跃间断	tiào yuè jiàn duàn
Infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	无穷间断	wú qióng jiàn duàn

1.8

Déterminer des limites à l'aide du théorème des gendarmes

Programme

Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.

Objectif d'apprentissage LIM-1.E : Déterminer les limites de fonctions en utilisant des expressions équivalentes pour la fonction ou le théorème des gendarmes.

LIM-1.E.2 La limite d'une fonction peut être trouvée en utilisant le théorème des gendarmes.
- Exemples illustratifs pour LIM-1.E.2 : Le théorème des gendarmes peut être utilisé pour montrer $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le théorème des gendarmes 夹逼定理 (aussi appelé théorème de l'encadrement) trouve une limite en encadrant la fonction entre deux autres. Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ près de $c$, et

$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$

alors $f$ est coincée vers le même endroit : $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.

Les deux résultats célèbres démontrés ainsi, tous deux utilisés tout au long du calcul différentiel et intégral, sont :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} = 0.$$

Le théorème des gendarmes encadre x² sin(1/x) entre -x² et x²

1.9

Relier les multiples représentations des limites

Programme

Ce sujet vise à se concentrer sur la connexion des représentations. Les élèves doivent avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs aux limites et traduire des informations mathématiques à partir d'une seule représentation ou à travers plusieurs représentations.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une autre compétence fondamentale : une même limite existe sous forme graphique, tabulaire et algébrique, et vous devez être capable de passer d'une représentation à l'autre. Un graphique montre la forme ainsi que les trous ou sauts ; un tableau fournit des preuves numériques ; l'algèbre donne une valeur exacte et une justification. Les bonnes réponses utilisent une représentation pour confirmer une autre.

1.10

Explorer les types de discontinuités

Programme

Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.

Objectif d'apprentissage LIM-2.A : Justifier des conclusions sur la continuité en un point à l'aide de la définition.

LIM-2.A.1 Les types de discontinuités incluent les discontinuités supprimables, les discontinuités de saut et les discontinuités dues aux asymptotes verticales.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une fonction est discontinue 间断 en $c$ lorsque son graphique « se brise » à cet endroit. Il existe trois types :

Discontinuité amovible 可去间断 – un seul trou. La limite bilatérale existe, mais le point est absent ou mal placé.
Discontinuité de saut 跳跃间断 – les deux limites unilatérales existent mais diffèrent, donc la courbe effectue un saut.
Discontinuité infinie 无穷间断 – la fonction explose vers $\pm\infty$ sur une asymptote verticale 垂直渐近线.

Les trois types de discontinuité : amovible, à saut et infinie

1.11

Définir la continuité en un point

Programme

Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.

Objectif d'apprentissage LIM-2.A : Justifier des conclusions sur la continuité en un point à l'aide de la définition.

LIM-2.A.2 Une fonction $f$ est continue en $x = c$ si et seulement si $f(c)$ existe, $\lim_{x \to c} f(x)$ existe et $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La continuité est définie par un test en trois parties. Une fonction $f$ est continue 连续 en $x=c$ si et seulement si les trois conditions suivantes sont réunies :

$$\boxed{\;f(c)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x) = f(c)\;}$$

En termes simples : le point existe, la limite existe, et les deux coïncident. Si l'une quelconque échoue, $f$ est discontinue en $c$. Ce test constitue la colonne vertébrale de presque toutes les questions sur la continuité, apprenez-le comme une liste de vérification.

1.12

Confirmer la continuité sur un intervalle

Programme

Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.

Objectif d'apprentissage LIM-2.B : Déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est continue.

LIM-2.B.1 Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.
LIM-2.B.2 Les fonctions polynomiales, rationnelles, puissance, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques sont continues en tous points de leur domaine.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une fonction est continue sur un intervalle 在区间上 continue si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Vous ne vérifiez rarement point par point, car de grandes familles de fonctions sont continues sur leur domaine de définition :

Les polynômes, rationnels, puissances, exponentielles 指数, logarithmes 对数 et fonctions trigonométriques 三角 sont continues en chaque point de leur domaine.

Ainsi, une fonction rationnelle est continue partout sauf là où son dénominateur s'annule ; $\ln x$ est continue pour $x>0$ ; etc. Connaître cela permet de déclarer la continuité rapidement et correctement.

1.13

Supprimer les discontinuités

Programme

Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.

Objectif d'apprentissage LIM-2.C : Déterminer les valeurs de $x$ ou résoudre pour les paramètres qui rendent les fonctions discontinues continues, si possible.

LIM-2.C.1 Si la limite d'une fonction existe à une discontinuité de son graphe, il est possible de supprimer cette discontinuité en définissant ou redéfinissant la valeur de la fonction à ce point, afin qu'elle égale la valeur de la limite de la fonction lorsque $x$ approche de ce point.
LIM-2.C.2 Afin qu'une fonction définie par morceaux soit continue à une frontière de la partition de son domaine, la valeur de l'expression définissant la fonction d'un côté de la frontière doit être égale à la valeur de l'expression définissant l'autre côté de la frontière, ainsi qu'à la valeur de la fonction à la frontière.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Si la limite existe en un trou, la discontinuité est amovible : redéfinissez la fonction en ce point unique pour qu'elle soit égale à la limite, et le graphique sera réparé. Formellement, attribuez la valeur manquante à $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

Pour une fonction définie par morceaux 分段函数, la continuité à une frontière $x=c$ exige que les deux morceaux se rencontrent : la valeur du morceau gauche, la valeur du morceau droit et $f(c)$ doivent tous être égaux. C'est un type courant d'examen – vous résolvez pour un paramètre 参数 (une constante inconnue) qui fait correspondre les morceaux :

$$\lim_{x\to c^-} f(x) = \lim_{x\to c^+} f(x) = f(c).$$

1.14

Relier les limites infinies et les asymptotes verticales

Programme

Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.

Objectif d'apprentissage LIM-2.D : Interpréter le comportement des fonctions à l'aide de limites impliquant l'infini.

LIM-2.D.1 Le concept de limite peut être étendu pour inclure les limites infinies.
LIM-2.D.2 Le comportement asymptotique et non borné des fonctions peut être décrit et expliqué à l'aide de limites.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

L'idée de limite s'étend aux limites infinies 无穷极限. Lorsqu'une fonction croît sans borne près de $x=c$, nous notons $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Cela décrit une asymptote verticale en $x=c$ : le graphique longe la droite verticale $x=c$ et part vers $\pm\infty$.

Cela se produit lorsqu'un nombre non nul est divisé par quelque chose qui tend vers $0$, comme au niveau d'une racine du dénominateur qui ne s'annule pas. Vérifiez toujours chaque côté séparément – les deux côtés peuvent partir dans des directions opposées (l'un vers $+\infty$, l'autre vers $-\infty$).

Une limite infinie sur une asymptote verticale x = c, où les deux côtés partent vers des infinis opposés — Près d'une asymptote verticale, la courbe s'accroche à la ligne $x=c$, et les deux côtés peuvent tendre vers des infinis opposés.

Explorer

Explorer une limite infinie à une asymptote verticale

y = a/(x − b) + c

Lorsque $x \to 0$, la courbe $y=\frac{1}{x}$ s'envole vers $+\infty$ par la droite et $-\infty$ par la gauche — la ligne $x=0$ est une asymptote verticale que le graphe frôle mais ne touche jamais.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/	垂直渐近线	chuí zhí jiàn jìn xiàn
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	连续	lián xù
continuous on an interval/kənˈtɪnjuːəs ɒn ən ˈɪntəvl/	在区间上连续	zài qū jiān shàng lián xù
exponential/ˌekspəˈnenʃl/	指数	zhǐ shù
logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/	对数	duì shù
trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/	三角	sān jiǎo
piecewise-defined function/ˈpiːswaɪz dɪˈfaɪnd ˈfʌŋkʃn/	分段函数	fēn duàn hán shù
parameter/pəˈræmɪtə/	参数	cān shù
infinite limits/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪts/	无穷极限	wú qióng jí xiàn
limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/	无穷远处的极限	wú qióng yuǎn chù de jí xiàn
end behavior/end bɪˈheɪvjə/	末端行为	mò duān xíng wéi

1.15

Relier les limites à l'infini et les asymptotes horizontales

Programme

Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.

Objectif d'apprentissage LIM-2.D : Interpréter le comportement des fonctions à l'aide de limites impliquant l'infini.

LIM-2.D.3 Le concept de limite peut être étendu pour inclure les limites à l'infini.
LIM-2.D.4 Les limites à l'infini décrivent le comportement aux extrémités.
LIM-2.D.5 Les grandeurs relatives des fonctions et leurs taux de variation peuvent être comparés à l'aide de limites.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Nous pouvons aussi laisser l'entrée croître : les limites à l'infini 无穷远处的 limites décrivent le comportement terminal 末端行为 d'une fonction lorsque $x\to\pm\infty$. Si les sorties se stabilisent vers une valeur finie $L$, alors $y=L$ est une asymptote horizontale 水平渐近线.

Pour une fonction rationnelle, comparez les degrés 次数 du numérateur et du dénominateur :

degré supérieur < degré inférieur $\Rightarrow$ la limite est $0$ (asymptote $y=0$);
degré supérieur = degré inférieur $\Rightarrow$ la limite est le rapport des coefficients dominants 首项系数之比;
degré supérieur > degré inférieur $\Rightarrow$ la fonction est non bornée (pas d'asymptote horizontale).

De manière plus générale, nous comparons les magnitudes relatives 相对大小 (taux de croissance relatifs) des fonctions : loin de l'origine, une exponentielle l'emporte sur n'importe quel polynôme, et un polynôme l'emporte sur n'importe quel logarithme. Aux examens, « lorsque $t\to\infty$, quelle quantité est plus grande / où le taux se stabilise ? » se répond avec une limite à l'infini.

Une limite à l'infini produit une asymptote horizontale

Explorer

Explorer le comportement en bout et une asymptote horizontale

y = a/(x − b) + c

Loin vers la gauche et la droite, la courbe se stabilise vers $y=\mathbf{c}$ — c'est-à-dire $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$, l'asymptote horizontale. Changez $\mathbf{c}$ pour déplacer le niveau auquel elle se stabilise.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
dominant/ˈdɒmɪnənt/	主导	zhǔ dǎo
horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/	水平渐近线	shuǐ píng jiàn jìn xiàn
degrees/dɪˈɡriːz/	次数	cì shù
ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/	首项系数之比	shǒu xiàng xì shù zhī bǐ
relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/	相对大小	xiāng duì dà xiǎo
Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/	介值定理	jiè zhí dìng lǐ
existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/	存在性定理	cún zài xìng dìng lǐ

1.16

Utiliser le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Programme

Compréhension durable (FUN-1) : Les théorèmes d'existence nous permettent de tirer des conclusions sur le comportement d'une fonction sur un intervalle sans localiser précisément ce comportement.

Objectif d'apprentissage FUN-1.A : Expliquer le comportement d'une fonction sur un intervalle à l'aide du Théorème des Valeurs Intermédiaires.

FUN-1.A.1 Oui $f$ est une fonction continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$ et si $d$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors le Théorème des Valeurs Intermédiaires garantit qu'il existe au moins un nombre $c$ entre $a$ et $b$, tel que $f(c) = d$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires 介值定理 est un théorème d'existence 存在性定理 – il garantit l'existence d'une valeur sans indiquer où celle-ci se trouve :

Signes opposés de f(a) et f(b) piégent une racine entre a et b

Oui $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a,b]$, et $d$ est un nombre quelconque entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un nombre $c$ dans $(a,b)$ tel que $f(c)=d$.

Une courbe ininterrompue ne peut pas sauter une hauteur entre ses extrémités – elle doit passer par chacune d'elles.

Compétence d'examen – comment justifier avec le TVI. Ces questions apparaissent presque chaque année (par exemple, « Doit-il exister une valeur $c$ telle que $R(c)=155$ ? » ou « Y a-t-il un moment où $r'(t)=-6$ ? »). Une justification pleine note nécessite trois étapes :

Énoncer la continuité. Dire que la fonction est continue sur $[a,b]$ (souvent parce qu'elle est dérivable ou donnée comme continue).
Montrer que $d$ est encadré. Calculer les valeurs aux deux extrémités et montrer que la cible $d$ se situe entre elles, par ex. $f(a) < d < f(b)$.
Conclure par nom. « Par le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe un $c$ dans $(a,b)$ tel que $f(c)=d$. »

Omettre l'énoncé de continuité, ou ne pas montrer que $d$ est entre les extrémités, fait perdre les points – le théorème exige les deux conditions.

Exemple résolu. Évaluez $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5}{2x^2+x}$. Divisez le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée, $x^2$ : $\dfrac{3-5/x^2}{2+1/x}\to\dfrac{3-0}{2+0}=\dfrac{3}{2}$. Puisque la limite est un nombre fini, la ligne $y=\tfrac{3}{2}$ est une asymptote horizontale de la courbe.

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires : une courbe continue atteint toutes les hauteurs entre f(a) et f(b) — Une courbe continue de $(a,f(a))$ à $(b,f(b))$ doit traverser chaque hauteur $d$ intermédiaire au moins une fois.

Explorer

Pourquoi une courbe continue ne peut pas sauter une valeur

y = ax³ + bx² + cx + d

Le Théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue sur $[a,b]$ prend toute $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$ à un certain point à l'intérieur. Une courbe ininterrompue ne peut pas sauter une hauteur — elle doit la traverser.

1.16

Conseils d'examen

Une limite décrit ce que $f(x)$ s'approche, ce qui ne doit pas nécessairement être égal à $f(a)$ — la limite bilatérale n'existe que si les deux côtés coïncident.
Essayez d'abord la substitution directe ; pour une forme $\tfrac00$, factorisez et simplifiez ou rationalisez avant de substituer.
Une fonction est continue en $a$ lorsque la limite existe, $f(a)$ est défini, et qu'ils sont égaux.
Utilisez le Théorème des Valeurs Intermédiaires pour garantir une racine : une fonction continue qui change de signe sur $[a,b]$ prend toutes les valeurs intermédiaires.
Lisez les asymptotes horizontales à partir du comportement terminal (limites en $\pm\infty$) et les asymptotes verticales là où le dénominateur (et non le numérateur) s'annule.

Dérivation : Définition et propriétés fondamentales

Regarder la leçon

Ouvrir ce sujet sur sa propre page

2.1

Taux de variation moyen et instantané en un point

Programme

Compréhension durable (CHA-2) : Les dérivées nous permettent de déterminer les taux de variation à un instant en appliquant des limites aux connaissances sur les taux de variation sur des intervalles.

Objectif d'apprentissage CHA-2.A : Déterminer les taux de variation moyens à l'aide de quotients de différence.

CHA-2.A.1 Les quotients de différence $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expriment le taux de variation moyen d'une fonction sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-2.B : Représenter la dérivée d'une fonction comme la limite d'un quotient de différence.

CHA-2.B.1 Le taux de variation instantané d'une fonction à $x=a$ peut s'exprimer par $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ou $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, à condition que la limite existe. Ce sont des formes équivalentes de la définition de la dérivée et sont notées $f'(a)$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un roller coaster sur une montée : la dérivée mesure le taux de variation instantané

*La dérivée par définition

L'Unité 1 a posé les bases de la limite. L'Unité 2 l'utilise pour définir la dérivée 导数 – le taux de variation exact en un point.

Le taux de variation instantané est la pente de la tangente en un point

Sur un intervalle, le taux de variation moyen est un taux de variation moyenné 差商. Deux formes équivalentes apparaissent :

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

La première utilise un pas de taille $h$ à partir de $a$ ; la seconde utilise deux points $x$ et $a$. Toutes deux calculent $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ sur l'intervalle.

Le taux de variation instantané 瞬时 en $x=a$ est ce vers quoi tend le taux de variation moyenné lorsque l'intervalle se réduit vers zéro. Cette limite est la dérivée en $a$, notée $f'(a)$ :

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

à condition que la limite existe.

Explorer

Du taux moyen au taux instantané

y = ax³ + bx² + cx + d

Glissez le point : la sécante passant par deux points proches penche vers la tangente à mesure qu'ils fusionnent. La pente de la tangente est la dérivée — le taux de changement instantané.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	导数	dǎo shù
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	差商	chà shāng
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	瞬时	shùn shí
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	用定义求导	yòng dìng yì qiú dǎo

2.2

Définir la dérivée et lire sa notation

Programme

Objectif d'apprentissage CHA-2.B : Représenter la dérivée d'une fonction comme la limite d'un quotient de différence.

CHA-2.B.2 La dérivée de $f$ est la fonction dont la valeur à $x$ est $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, à condition que cette limite existe.
CHA-2.B.3 Pour $y=f(x)$, les notations pour la dérivée incluent $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ et $y'$.
CHA-2.B.4 La dérivée peut être représentée graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement.

Objectif d'apprentissage CHA-2.C : Déterminer l'équation d'une ligne tangente à une courbe à un point donné.

CHA-2.C.1 La dérivée d'une fonction à un point est la pente de la ligne tangente à un graphe de la fonction à ce point.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Laissez le point $a$ varier et la dérivée devient une nouvelle fonction :

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

C'est la définition de la dérivée (parfois appelée dériver « par définition » 用定义求导). Sa valeur en chaque $x$ est le taux de variation instantané à cet endroit.

Les notations 记号 courantes pour la dérivée de $y=f(x)$ sont :

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

La dérivée peut être représentée graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement – soyez prêt à passer d'une représentation à l'autre.

Sens géométrique. La dérivée en un point est la pente 斜率 de la tangente 切ine à la courbe en cet endroit. Ainsi, la tangente en $x=a$ passe par $\big(a, f(a)\big)$ avec une pente $f'(a)$ :

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Écrire cette équation est une tâche classique d'examen, gardez la forme point-pente prête.

Les pentes des sécantes approchent la pente de la tangente : la dérivée est la limite des taux moyens — Les pentes de la sécante approchent la pente de la tangente : la dérivée est la limite des taux moyens

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
notations/nəʊˈteɪʃnz/	记号	jì hào
slope/sləʊp/	斜率	xié lǜ
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	切线	qiè xiàn

2.3

Estimer une dérivée en un point

Programme

Objectif d'apprentissage CHA-2.D : Estimer les dérivées.

CHA-2.D.1 La dérivée à un point peut être estimée à partir d'informations données dans des tableaux ou des graphes.
CHA-2.D.2 La technologie peut être utilisée pour calculer ou estimer la valeur d'une dérivée d'une fonction à un point.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Vous n'avez pas toujours de formule. Lorsqu'une fonction est donnée par un tableau 表格 ou un graphique, estimez la dérivée $f'(a)$ avec un taux de variation moyenné sur un petit intervalle autour de $a$. Un tableau avec des valeurs de part et d'autre de $a$ donne la meilleure estimation :

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

La technologie (une calculatrice) peut également estimer une dérivée en un point.

Compétence d'examen (apparaît presque chaque année). Des questions telles que « Approximer $M'(7.5)$ en utilisant le taux de changement moyen de $M$ sur l'intervalle $5 \le t \le 10$ » demandent exactement ce quotient différentiel. Présentez la configuration :

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

La note complète nécessite les nombres insérés et les unités correctes 单位 (unités de sortie par unité d'entrée), car elles proviennent de modèles du monde réel.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
table/ˈteɪbl/	表格	biǎo gé
units/ˈjuːnɪts/	单位	dān wèi
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	可导	kě dǎo
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	连续	lián xù
corner/ˈkɔːnə/	尖点	jiān diǎn
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	垂直切线	chuí zhí qiè xiàn
power rule/ˈpaʊə ruːl/	幂法则	mì fǎ zé
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	常数倍	cháng shù bèi
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	多项式	duō xiàng shì
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	乘积法则	chéng jī fǎ zé
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	商法则	shāng fǎ zé
identities/aɪˈdentɪtiz/	恒等式	héng děng shì
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù

2.4

Différentiabilité et continuité : quand une dérivée existe

Programme

Compréhension durable (FUN-2) : Reconnaître que la dérivée d'une fonction peut aussi être une fonction nous permet de développer des connaissances sur les comportements liés des deux.

Objectif d'apprentissage FUN-2.A : Expliquer la relation entre la dérivabilité et la continuité.

FUN-2.A.1 Si une fonction est dérivable à un point, alors elle est continue à ce point. En particulier, si un point n'est pas dans le domaine de $f$, alors il n'est pas dans le domaine de $f'$.
FUN-2.A.2 Une fonction continue peut ne pas être dérivable à un point de son domaine.
- Exemples illustratifs pour FUN-2.A.2 :
  - Les limites gauche et droite du quotient de différence ne sont pas égales, comme dans $f(x)=|x|$ à $x=0$.
  - La tangente est verticale et n'a pas de pente, comme dans $f(x)=\sqrt[3]{x}$ à $x=0$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La différentiabilité est plus forte que la continuité. La relation clé :

Oui $f$ est différentiable 可导 en un point, alors $f$ est continue 连续 en ce point.

Donc la différentiabilité implique la continuité. L'inverse est faux : une fonction continue peut ne pas être différentiable. Deux façons dont cela se produit :

Un coin 尖点 : les limites du quotient de différence gauche et droite divergent, comme avec $f(x)=|x|$ en $x=0$.
Une tangente verticale : la pente est infinie (aucun nombre réel), comme avec $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$.

Deux façons dont une fonction continue n'est pas différentiable : un coin et une tangente verticale

Aussi, un point en dehors du domaine de $f$ ne peut pas être dans le domaine de $f'$. Utilisez la contraposée à l'examen : si $f$ n'est pas continue en $a$, alors $f$ n'est pas différentiable en $a$.

2.5

La règle de puissance

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.

FUN-3.A.1 L'application directe de la définition de la dérivée et de règles spécifiques peut être utilisée pour calculer la dérivée pour des fonctions de la forme $f(x)=x^{r}$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

À partir d'ici, nous utilisons des règles au lieu de la définition par limite à chaque fois. La règle de puissance 幂法则 s'applique à toute puissance de $x$ :

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Elle fonctionne pour les puissances entières, les puissances négatives ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) et les racines ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – réécrivez comme une puissance d'abord, puis appliquez la règle.

Explorer

Une fonction puissance et sa pente qui s'alourdit

y = ax³ + bx² + cx + d

La règle de puissance $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ abaisse l'exposant comme facteur. Pour $x^3$, la pente augmente rapidement lorsque $x$ quitte 0 — la courbe s'alourdit.

2.6

Règles de constante, somme, différence et multiple constant

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.

FUN-3.A.2 Les sommes, différences et multiples constants de fonctions peuvent être dérivés en utilisant des règles de dérivation.
FUN-3.A.3 La règle de la puissance combinée avec les propriétés de somme, différence et multiple constant peut être utilisée pour trouver les dérivées pour des fonctions polynomiales.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Ces règles vous permettent de dériver terme par terme :

Constante : $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (une constante ne change pas).
Multiple constant 常数倍 : $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Somme / différence : $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combinées avec la règle de puissance, elles dérivent tout polynôme 多项式 terme par terme. Exemple :

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Dérivées de cos x, sin x, e^x et ln x

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.

FUN-3.A.4 Des règles spécifiques peuvent être utilisées pour trouver les dérivées des fonctions sinus, cosinus, exponentielle et logarithmique.

Compris essential (LIM-3) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés permet de déterminer une limite.

Objectif d'apprentissage LIM-3.A : Interpréter une limite comme une définition de la dérivée.

LIM-3.A.1 Dans certains cas, reconnaître une expression correspondant à la définition de la dérivée d'une fonction dont on connaît la dérivée offre une stratégie pour déterminer une limite.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Apprenez ces quatre dérivées fondamentales par cœur :

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Notez le signe moins sur la dérivée du cosinus, et que $e^{x}$ est sa propre dérivée.

Une limite qui est vraiment une dérivée (LIM-3.A.1). Parfois, une limite cache la définition d'une dérivée connue. Si vous reconnaissez

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

pour une fonction $f$ dont vous connaissez la dérivée, évaluez simplement $f'(a)$. Par exemple, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Explorer

La forme de sin x (dont la pente est cos x)

y = asin(bx + c) + d

La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$ : la pente de la courbe sinus est maximale lorsque le sinus croise zéro et nulle à ses sommets. Observez la courbe pour sentir où sa pente est raide ou plate.

2.8

La règle du produit

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.

FUN-3.B.1 Les dérivées de produits de fonctions dérivable s'obtiennent en utilisant la règle du produit.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le produit de deux fonctions n'est pas dérivé en multipliant les dérivées. Utilisez la règle du produit 乘积法则 :

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second." Exemple :

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Les questions d'examen construisent souvent une nouvelle fonction à partir de pièces données, par ex. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, et vous demandent de combiner les règles tout en lisant des valeurs dans un tableau.

2.9

La règle du quotient

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.

FUN-3.B.2 Les dérivées de quotients de fonctions dérivable s'obtiennent en utilisant la règle du quotient.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour un quotient, utilisez la règle du quotient 商法则 :

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bas fois la dérivée du haut, moins haut fois la dérivée du bas, le tout divisé par le bas au carré." L'ordre compte à cause du signe moins, écrivez donc soigneusement le numérateur. Exemple :

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Dérivées de Tangent, Cotangent, Sécante et Cosecante

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.

FUN-3.B.3 Réarranger les fonctions tangente, cotangente, sécante et cosécante à l'aide d'identités permet la différentiation en utilisant des règles de dérivation.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Les autres dérivées trigonométriques ne sont pas mémorisées séparément – on les réécrit avec des identités 恒等式 et on applique la règle du quotient (ou du produit). Par exemple, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, donc la règle du quotient donne

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

La même méthode (écrire $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) donne $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ et $-\csc x\cot x$.

Dérivées d'ordre supérieur. Dériver $f'$ à nouveau donne la dérivée seconde 二阶导数 $f''(x)$ (ou $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – le taux de variation du taux de variation. Une partie d'examen comme "Trouver $k''(3)$" signifie simplement dériver deux fois, puis substituer. Vous pouvez aussi estimer une dérivée seconde à partir d'un tableau en appliquant la méthode du taux de variation moyen aux valeurs de $f'$.

Exemple résolu. Dérivez $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ avec la règle du quotient $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ : prenez $u=\sin x$, $v=x$, donnant $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Gardez l'ordre $u'v-uv'$ dans le numérateur — inverser les termes inverse le signe et fait perdre les points.

2.10

Conseils d'examen

La dérivée est la pente de la tangente – la limite de la pente de la sécante $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ lorsque $h\to0$.
Mémorisez les règles : puissance, produit, quotient, et les dérivées de $\sin$, $\cos$, $e^x$ et $\ln x$.
La différentiabilité implique la continuité, mais pas l'inverse (un coin ou un cusps est continu mais non différentiable).
Distuez le taux de variation moyen (pente de la sécante sur un intervalle) du taux instantané (la dérivée en un point).
Donnez une équation de la tangente sous forme $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Dérivation : Fonctions composées, implicites et inverses

Regarder la leçon

Ouvrir ce sujet sur sa propre page

3.1

La règle de composition

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.C : Calculer les dérivées de compositions de fonctions dérivable.

FUN-3.C.1 La règle de la chaîne fournit un moyen de dériver des fonctions composées.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un sentier de montagne : les fonctions composées emboîtent les taux de variation (règle de chaîne)

La règle de composition

L'unité 2 a dérivé des fonctions simples. L'unité 3 dérive des fonctions construites à l'intérieur d'autres fonctions. La règle de composition 链式法则 dérive une fonction composée 复合函数 $f\big(g(x)\big)$ :

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"Dérivée de la fonction externe (en laissant l'interne tel quel), fois la dérivée de l'interne." La dérivée interne $g'(x)$ est la pièce que les étudiants oublient le plus, alors posez toujours "qu'est-ce qui est à l'intérieur, et quelle est sa dérivée ?" Exemple :

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

En notation de Leibniz, avec $y=f(u)$ et $u=g(x)$, la règle s'écrit $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – l'intermédiaire $du$ semble "s'annuler." Les questions d'examen donnent souvent un tableau pour $f$, $g$, $f'$, $g'$ et demandent $h'(a)$ où $h(x)=f\big(g(x)\big)$ ; évaluez $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ en lisant des valeurs.

Exemple résolu. Dérivez $h(x)=(2x^2+1)^5$. La fonction externe est "(quelque chose)$^5$" et l'interne est $2x^2+1$ :

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
chain rule/tʃeɪn ruːl/	链式法则	liàn shì fǎ zé
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	复合函数	fù hé hán shù
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	隐函数求导	yǐn hán shù qiú dǎo
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	反函数	fǎn hán shù

3.2

Différentiation implicite

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.D : Calculer les dérivées de fonctions définies implicitement.

FUN-3.D.1 La règle de la chaîne est à la base de la dérivation implicite.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Certaines courbes sont définies implicitemement – par une équation en $x$ et $y$ qui n'est pas résolue pour $y$, telle que $x^2+y^2=25$. La différentiation implicite 隐函数求导 trouve $\dfrac{dy}{dx}$ sans résoudre pour $y$ d'abord. C'est simplement la règle de composition, traitant $y$ comme une fonction de $x$.

La méthode : dériver les deux côtés par rapport à $x$ ; chaque fois que vous dérivez un terme $y$, multipliez par $\dfrac{dy}{dx}$ (la règle de composition) ; puis résolvez algébriquement pour $\dfrac{dy}{dx}$. Pour $x^2+y^2=25$ :

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Exemple résolu. Trouvez la tangente à $x^2+y^2=25$ au point $(3,4)$. Ici $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, donc la tangente est $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendiculaire au rayon, comme le prévoit la géométrie.

La différentiation implicite donne la tangente à un cercle, perpendiculaire au rayon

Compétence d'examen – "Montrer que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Cette consigne exacte apparaît chaque année (par ex. "Montrer que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Puisque la cible est donnée, vous devez montrer chaque étape algébrique proprement : dériver les deux côtés, utiliser les règles du produit/composition sur les termes mixtes $xy$, rassembler tous les termes $\dfrac{dy}{dx}$ d'un côté, factoriser, et diviser. Une ligne finale correcte qui saute l'algèbre rapporte peu de points. Les parties suivantes demandent ensuite une tangente, ou où la tangente est horizontale ($\tfrac{dy}{dx}=0$, donc le numérateur est $0$) ou verticale (le dénominateur est $0$).

3.3

Dérivation des fonctions inverses

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.E : Calculer les dérivées des fonctions réciproques et trigonométriques réciproques.

FUN-3.E.1 La règle de la chaîne et la définition d'une fonction réciproque peuvent être utilisées pour trouver la dérivée d'une fonction réciproque, à condition que cette dérivée existe.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Oui $g$ est la fonction inverse 反函数 de $f$ (donc $f(g(x))=x$), la règle de composition lie leurs dérivées :

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

En mots : la dérivée de l'inverse en un point est le reciproque 倒数 de la dérivée de la fonction originale au point correspondant. Un dispositif d'examen courant donne un tableau et un point $(a,b)$ sur $f$ (donc $(b,a)$ est sur $g$), puis demande $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Exemple résolu. Oui $f(2)=5$ et $f'(2)=3$, et $g$ est l'inverse de $f$, alors $(5,2)$ se trouve sur $g$ et $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.

La fonction inverse est l'image miroir de la fonction dans la droite y = x

Explorer

Une exponentielle et son inverse le log

y = a·e^(bx) + c

Les fonctions inverses sont miroir à travers $y=x$ et leurs pentes sont réciproques. Là où l'une est raide, son inverse est peu raide.

3.4

Dérivation des fonctions trigonométriques inverses

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.E : Calculer les dérivées des fonctions réciproques et trigonométriques réciproques.

FUN-3.E.2 L'application de la règle de la chaîne avec la définition d'une fonction réciproque, ou la formule de la dérivée d'une fonction réciproque, permet de trouver les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La même idée donne les dérivées des fonctions trigonométriques inverses 反三角函数. Les trois que vous devriez connaître :

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

Combinez-les avec la règle de composition lorsque l'argument est lui-même une fonction, par ex. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

3.5

Sélection des procédures pour calculer des dérivées

Programme

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence consistant à sélectionner une procédure appropriée pour calculer des dérivées. Les élèves doivent avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs au calcul des dérivées.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un sujet de compétence : les vraies dérivées mélangent plusieurs règles, lisez donc la structure de l'expression d'abord, de l'extérieur vers l'intérieur.

Est-ce une somme ? Dérivez terme par terme.
Un produit ou un quotient ? Appliquez cette règle, et attendez à utiliser la règle de composition à l'intérieur.
Une composition (quelque chose à l'intérieur de quelque chose) ? Règle de composition.
Défini implicitemement ? Différentiation implicite.

Nommez l'opération la plus externe, appliquez sa règle, et récurez vers l'intérieur. La propreté évite les erreurs de signe et de tenue de registre qui coûtent des points.

3.6

Calculer des dérivées d'ordre supérieur

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.F : Déterminer les dérivées d'ordre supérieur d'une fonction.

FUN-3.F.1 La dérivation de $f'$ produit la dérivée seconde $f''$, à condition que la dérivée de $f'$ existe ; répéter ce processus produit des dérivées d'ordre supérieur de $f$.
FUN-3.F.2 Les dérivées d'ordre supérieur sont représentées par diverses notations. Pour $y = f(x)$, les notations de la dérivée seconde incluent $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ et $y''$. Les dérivées d'ordre supérieur peuvent être désignées $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ ou $f^{(n)}(x)$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Dériver $f'$ produit la dérivée seconde 二阶导数 $f''$ ; répéter donne des dérivées d'ordre supérieur. Les notations :

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

La dérivée seconde mesure comment la pente change ; elle guide la convexité/concavité 凹凸性 et l'accélération dans les unités ultérieures. Pour trouver $f''$ implicitement, dériver l'expression pour $\dfrac{dy}{dx}$ à nouveau (avec les règles du quotient et de composition), puis substituer $\dfrac{dy}{dx}$ à nouveau.

Explorer

La dérivée seconde est la pente de la pente

y = ax³ + bx² + cx + d

Différencier à nouveau donne $f''$, le taux auquel la pente change. Là où la pente augmente, la courbe se courbe vers le haut.

3.6

Conseils d'examen

Utilisez la règle de composition pour les fonctions composées – dériver l'extérieur, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur (le facteur le plus oublié).
Pour la différentiation implicite, dériver les deux côtés par rapport à $x$ et attacher $\tfrac{dy}{dx}$ chaque fois que $y$ est dérivé, puis résoudre.
Obtenir la dérivée seconde en dérivant deux fois (vitesse → accélération).
Combiner les règles avec précaution dans les expressions imbriquées (chaîne à l'intérieur d'un produit, etc.).
Le graphe de la fonction réciproque est la réflexion par rapport à $y=x$ ; sa pente est le reciprocal de celle de la fonction originale au point correspondant.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	倒数	dào shǔ
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	反三角函数	fǎn sān jiǎo hán shù
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù
concavity/kənˈkævɪti/	凹凸性	āo tū xìng

Applications contextuelles de la dérivation

Regarder la leçon

Ouvrir ce sujet sur sa propre page

4.1

Interpréter la signification de la dérivée dans un contexte

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.A : Interpréter la signification d'une dérivée dans un contexte.

CHA-3.A.1 La dérivée d'une fonction peut être interprétée comme le taux de variation instantané par rapport à sa variable indépendante.
CHA-3.A.2 La dérivée peut être utilisée pour exprimer des informations sur les taux de variation dans des contextes appliqués.
CHA-3.A.3 L'unité de mesure de $f'(x)$ est l'unité de mesure de $f$ divisée par l'unité de mesure de $x$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une fois que vous savez calculer des dérivées, vous les utilisez pour décrire le monde réel. La dérivée $f'(x)$ est le taux de changement instantané de $f$ par rapport à son entrée. Lire et rapporter ce taux correctement est une compétence évaluée.

Les unités comptent. L'unité de $f'(x)$ est l'unité de $f$ divisée par l'unité de $x$. Si $C(t)$ est un nombre d'acres et $t$ est en semaines, alors $C'(t)$ est en acres par semaine. À l'examen, « En utilisant des unités correctes, interprétez la signification de $g'(140)$ » demande une phrase complète : la valeur, la quantité, le mot de taux « par », et le moment. Par exemple : « $g'(140)=2.3$ signifie qu'à $x=140$, la quantité augmente d'environ $2.3$ unités par unité de $x$. »

4.2

Mouvement Rectiligne : Position, Vitesse et Accélération

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.B : Calculer des taux de variation dans des contextes appliqués.

CHA-3.B.1 La dérivée peut être utilisée pour résoudre des problèmes de mouvement rectiligne impliquant la position, la vitesse scalaire, la vitesse vectorielle et l'accélération.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour une particule se déplaçant sur une ligne, trois fonctions du temps sont liées par la dérivation :

Sur un graphique vitesse-temps, l'aire est le déplacement et la pente est l'accélération

position 位置 $s(t)$;
velocity 速度 $v(t)=s'(t)$ – signé ; son signe donne la direction;
acceleration 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Lectures clés (parties fréquentes de l'examen) :

La particule est au repos 静止 lorsque $v(t)=0$.
Elle se déplace vers la droite/en haut quand $v(t)>0$ et vers la gauche/en bas quand $v(t)<0$ ; elle change de direction où $v$ change de signe.
Vitesse 速率 est $|v(t)|$. La vitesse est croissante quand $v$ et $a$ ont le même signe (la particule accélère), et décroissante quand ils ont des signes opposés.

Distinguez soigneusement entre la vitesse (qui a une direction) et la rapidité (qui n'en a pas) – l'examen teste cette différence exacte.

Exemple résolu. Une particule se déplace avec $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Alors $v(t)=3(t-1)(t-3)$, donc elle est au repos à $t=1$ et $t=3$ et change de direction à chacun. À $t=2$, $v=-3<0$ et $a(2)=6(2)-12=0$ ; juste après, $a>0$ tandis que $v<0$, donc la particule est ralentissant là-bas.

Explorer

La vitesse est la pente de la position

y = ax³ + bx² + cx + d

Pour un mouvement en ligne droite, la vitesse est la dérivée (pente) de la position et l'accélération est la dérivée de la vitesse. Glissez le point pour lire la vitesse instantanée.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
position/pəˈzɪʃn/	位置	wèi zhì
velocity/vəˈlɒsɪti/	速度	sù dù
acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/	加速度	jiā sù dù
at rest/æt rest/	静止	jìng zhǐ
Speed/spiːd/	速率	sù lǜ

4.3

Taux de variation dans des contextes appliqués autres que le mouvement

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.C : Interpréter les taux de variation dans des contextes appliqués.

CHA-3.C.1 La dérivée peut être utilisée pour résoudre des problèmes impliquant des taux de variation dans des contextes appliqués.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La même idée de dérivée modélise toute quantité changeante : un réservoir qui se vide, une population qui s'étend, une tasse qui refroidit. Chaque fois qu'un problème dit « le taux auquel... », il décrit une dérivée. Lisez les unités pour savoir de quel taux de quelle quantity vous disposez, puis interprétez dans le contexte.

4.4

Introduction aux Taux Liés

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.D : Calculer des taux de variation liés dans des contextes appliqués.

CHA-3.D.1 La règle de la chaîne est à la base de la dérivation de variables dans un problème de taux de variation lié par rapport à la même variable indépendante.
CHA-3.D.2 D'autres règles de dérivation, telles que la règle du produit et la règle du quotient, peuvent également être nécessaires pour dériver toutes les variables par rapport à la même variable indépendante.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un roller coaster : les taux liés relient la vitesse à laquelle des quantités corrélées changent ensemble

Dans un problème de taux liés 相关变化率, plusieurs quantités changent ensemble au fil du temps, et vous connaissez certains taux mais voulez en trouver un autre. Le moteur est la règle de la chaîne : dérivez une relation par rapport au temps $t$. Chaque variable devient une fonction de $t$, donc chaque dérivée ajoute un facteur « $\,/\,dt$ ». Les règles du produit et du quotient peuvent aussi être nécessaires.

Un ballon montant : les taux liés relient la vitesse à laquelle le rayon, le volume et la hauteur changent ensemble — Un ballon montant : les taux liés relient la rapidité avec laquelle le rayon, le volume et la hauteur changent ensemble

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/	相关变化率	xiāng guān biàn huà lǜ
local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/	局部线性	jú bù xiàn xìng
linear approximation/ˈlɪnɪə əˌprɒksɪˈmeɪʃn/	线性近似	xiàn xìng jìn sì
concavity/kənˈkævɪti/	凹凸性	āo tū xìng
underestimate/ˌʌndəˈrestɪmət/	低估	dī gū
overestimate/ˌəʊvəˈrestɪmət/	高估	gāo gū
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	未定式	wèi dìng shì
L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/	洛必达法则	luò bì dá fǎ zé

4.5

Résoudre les Problèmes de Taux Liés

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.E : Interpréter les taux de variation liés dans des contextes appliqués.

CHA-3.E.1 La dérivée peut être utilisée pour résoudre des problèmes de taux de variation liés, c'est-à-dire trouver le taux de variation d'une quantité en la reliant à d'autres quantités dont les taux de variation sont connus.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une procédure fiable – et un modèle plein score sur l'examen :

Nommez les variables et notez les taux donnés et le taux inconnu (ex. « $\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/jour, trouver $\dfrac{dV}{dt}$ »).
Écrivez une équation reliant les quantités (souvent une formule géométrique ou de volume).
Dérivez les deux côtés par rapport à $t$ (règle de la chaîne) – avant de substituer les nombres.
Substituez les valeurs connues à l'instant d'intérêt, et résolvez pour le taux inconnu.
Énoncez la réponse avec des unités et le bon signe (une quantité décroissante a un taux négatif).

Substituer les nombres trop tôt est l'erreur classique : différenciez d'abord la relation générale, puis insérez.

Exemple résolu. Le volume d'une ballon sphérique augmente à $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. De $V=\tfrac43\pi r^3$, différenciez d'abord : $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. À $r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, donc $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

Un ballon gonflant relie dV/dt et dr/dt via la règle de la chaîne — Un ballon gonflé relie dV/dt et dr/dt via la règle de la chaîne

4.6

Approximer des valeurs en utilisant la linéarité locale et la linéarisation

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.F : Approximer une valeur sur une courbe en utilisant l'équation d'une tangente.

CHA-3.F.1 La tangente est la représentation graphique d'une approximation linéaire locale de la fonction près du point de tangence.
CHA-3.F.2 Pour une approximation par tangente, le comportement de la fonction près du point de tangence peut déterminer si la valeur de la tangente est une sous-estimation ou une surestimation de la valeur correspondante de la fonction.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Linéarité locale et linéarisation

Près d'un point de tangence, une courbe lisse ressemble à sa tangente – c'est la linéarité locale 局部线性. Ainsi, la tangente fournit une approximation linéaire 线性近似 (linéarisation) de la fonction près de ce point :

$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$

Utilisez-la pour estimer $f$ à un $x$ proche de $a$.

Sur- ou sous-estimation ? La réponse dépend de la convexité 凹凸性. Si la courbe est concave vers le haut près de $a$ (elle s'incurve au-dessus de sa tangente), la valeur de la tangente est une sous-estimation 低估. Si elle est concave vers le bas, la tangente est au-dessus de la courbe, donnant une surestimation 高估. Les parties d'examen testent ce raisonnement, donc justifiez avec le signe de $f''$.

La tangente est une approximation linéaire locale ; la convexité fixe la surestimation ou la sous-estimation

Explorer

Approximer une courbe avec sa droite tangente

y = ax³ + bx² + cx + d

Linéarité locale : près d'un point, une courbe lisse ressemble à sa droite tangente, de sorte que la tangente donne une bonne approximation linéaire des valeurs voisines.

4.7

Utiliser la règle de L'Hospital pour les formes indéterminées

Programme

Compris essentiel (LIM-4) : La règle de L'Hôpital permet de déterminer les limites de certaines formes indéterminées.

Objectif d'apprentissage LIM-4.A : Déterminer les limites de fonctions qui conduisent à des formes indéterminées.

LIM-4.A.1 Lorsque le rapport de deux fonctions tend vers $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ dans la limite, ces formes sont dites indéterminées.
- Énoncé d'exclusion : Il existe de nombreuses autres formes indéterminées, telles que $\infty - \infty$ par exemple, mais celles-ci ne seront pas évaluées lors de l'examen AP Calculus AB ou BC. Cependant, les enseignants peuvent inclure ces sujets si le temps le permet.
LIM-4.A.2 Les limites des formes indéterminées $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ peuvent être évaluées en utilisant la règle de L'Hôpital.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Quand la substitution directe dans un quotient de limites donne la forme indéterminée 未定式 $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$, vous pouvez utiliser la Règle de L'Hospital 洛必达法则 :

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

à condition que la limite à droite existe. Dérivez le numérateur et le dénominateur séparément (ceci n'est pas la règle du quotient), puis essayez la limite à nouveau. Confirmez d'abord que la forme est bien $\tfrac{0}{0}$ ou $\tfrac{\infty}{\infty}$ – appliquer la règle à toute autre forme est une erreur.

Exemple résolu. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ donne $\tfrac00$, donc dérivez le numérateur et le dénominateur : $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. Et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ est aussi $\tfrac00$ ; il devient $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

4.7

Conseils d'examen

Dans les problèmes de mouvement : la vitesse est la dérivée de la position, l'accélération est la dérivée de la vitesse ; la vitesse augmente quand la vitesse et l'accélération partagent un signe.
Pour les taux liés, dérivez l'équation liante par rapport au temps, puis substituez les valeurs données en dernier.
Utilisez la tangente pour une approximation linéaire près d'un point connu ; elle n'est précise que tout près.
Lisez le signe d'un taux : positif signifie que les quantités évoluent ensemble, négatif signifie qu'elles évoluent en sens inverse.
Énoncez toujours les unités et interprétez la réponse dans le contexte.

Applications analytiques de la dérivation

Regarder la leçon

Ouvrir ce sujet sur sa propre page

5.1

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (Théorème des accroissements finis)

Programme

Objectif d'apprentissage FUN-1.B : Justifier des conclusions sur des fonctions en appliquant le théorème des accroissements finis sur un intervalle.

FUN-1.B.1 Si une fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ et dérivable sur l'intervalle $(a, b)$, alors le théorème des accroissements finis garantit l'existence d'un point dans cet intervalle ouvert où le taux de variation instantané est égal au taux de variation moyen sur l'intervalle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Théorème des valeurs intermédiaires

Le Théorème des valeurs intermédiaires 中值定理 (MVT) relie le taux de changement moyen à un taux instantané :

Oui $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$, alors il existe au moins un point $c$ dans $(a,b)$ tel que
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

En mots : quelque part à l'intérieur de l'intervalle, le taux instantané égale le taux moyen. Géométriquement, certaines tangentes sont parallèles à la corde reliant les extrémités.

Le Théorème des accroissements finis : certaines tangentes sont parallèles à la sécante sur l'intervalle — Théorème des valeurs intermédiaires : certaines tangentes sont parallèles à la sécante sur l'intervalle

Compétence d'examen. Comme le TVI, le MVT est un théorème d'existence, et les questions demandent de justifier. Plein score nécessite : (1) énoncer que $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$ ; (2) calculer le taux moyen $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ; (3) conclure « par le MVT, il existe un $c$ dans $(a,b)$ tel que $f'(c)$ soit égal à cette valeur. » Les deux hypothèses doivent être nommées.

Exemple résolu. Pour $f(x)=x^2$ sur $[1,3]$, le taux moyen est $\dfrac{9-1}{2}=4$ ; en posant $f'(c)=2c=4$, on obtient $c=2$, qui se trouve dans $(1,3)$ – le point garanti.

Explorer

Le Théorème des Valeurs Moyennes en action

y = ax³ + bx² + cx + d

Le Théorème des Valeurs Moyennes garantit un point où la tangente est parallèle à la sécante sur un intervalle — le taux instantané est égal au taux moyen quelque part à l'intérieur.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/	中值定理	zhōng zhí dìng lǐ
Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/	极值定理	jí zhí dìng lǐ
critical point/ˈkrɪtɪkl pɔɪnt/	临界点	lín jiè diǎn
local (relative) extrema/ˈləʊkl ekˈstremə/	局部极值	jú bù jí zhí
increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/	递增	dì zēng
decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/	递减	dì jiǎn
local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/	极大值	jí dà zhí
local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/	极小值	jí xiǎo zhí
concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/	上凹	shàng āo
concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/	下凹	xià āo
point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/	拐点	guǎi diǎn

5.2

Valeurs extrêmes, extrema globaux vs locaux, et points critiques

Programme

Objectif d'apprentissage FUN-1.C : Justifier des conclusions sur des fonctions en appliquant le théorème des valeurs extrêmes.

FUN-1.C.1 Si une fonction $f$ est continue sur l'intervalle $(a, b)$, alors le Théorème des Valeurs Extrêmes garantit que $f$ possède au moins une valeur minimale et au moins une valeur maximale sur $[a, b]$.
FUN-1.C.2 Un point sur une fonction où la première dérivée est égale à zéro ou n'existe pas est un point critique de la fonction.
FUN-1.C.3 Tous les extrema locaux (relatifs) se produisent aux points critiques d'une fonction, bien que tous les points critiques ne soient pas des extrema locaux.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un sommet de montagne : les extrema et les points critiques marquent les valeurs maximales et minimales

Le Théorème des valeurs extrêmes 极值定理 (EVT) garantit l'existence d'extrema : une fonction continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ atteint les deux un maximum absolu et un minimum absolu dessus.

À un maximum ou un minimum, la dérivée est nulle — Au maximum ou au minimum, la dérivée est zéro

Un point critique 临界点 est un point intérieur où $f'(x)=0$ ou $f'(x)$ n'existe pas. Tous les extrema locaux (relatifs) 局部极值 se produisent aux points critiques – mais pas tous les points critiques sont des extrema. Donc les points critiques sont les candidats ; vous devez tester chacun.

5.3

Où une fonction croît ou décroît

Programme

Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.

FUN-4.A.1 La première dérivée d'une fonction peut fournir des informations sur la fonction et son graphique, y compris les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La première dérivée vous indique où $f$ monte ou descend :

$f'(x) > 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ est croissante 递增 là-bas;
$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ est décroissante 递减.

Sur l'examen, « trouvez les intervalles où $f$ est croissante » signifie : trouvez les points critiques, testez ensuite le signe de $f'$ entre eux, et justifiez avec le signe de $f'$ (une raison énoncée, pas seulement un intervalle).

5.4

Le premier critère de dérivée pour les extrema locaux

Programme

Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.

FUN-4.A.2 La première dérivée d'une fonction peut déterminer l'emplacement des extrema relatifs (locaux) de la fonction.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour classifier un point critique $x=c$ comme max local, min local, ni l'un ni l'autre, vérifiez comment $f'$ change de signe là :

$f'$ change de $+$ à $-$ en $c$ $\Rightarrow$ maximum local 极大值;
$f'$ change de $-$ à $+$ en $c$ $\Rightarrow$ minimum local 极小值;
$f'$ ne change pas de signe $\Rightarrow$ ni l'un ni l'autre.

Énoncez toujours le changement de signe comme votre justification.

Exemple résolu. Pour $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ est zéro en $x=0,2$. Les signes donnent $+,-,+$, donc $x=0$ est un maximum local ($f=0$) et $x=2$ non minimum local ($f=-4$).

Le signe de f-prime détermine où une fonction croît ou décroît et localise ses extrema locaux — Où $f' > 0$ la courbe monte et où $f' < 0$ elle descend ; un maximum local se situe là où $f'$ passe de $+$ à $-$, un minimum local là où elle passe de $-$ à $+$.

5.5

Le test des candidats pour les extrema absolus

Programme

Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.

FUN-4.A.3 Les extrema absolus (globaux) d'une fonction sur un intervalle fermé ne peuvent se produire qu'aux points critiques ou aux extrémités.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Sur un intervalle fermé, les extrema absolus (globaux) ne se produisent qu'en points critiques ou aux extrémités. Le test des candidats :

Répertorier tous les points critiques dans $[a,b]$ et les deux extrémités.
Évaluer $f$ à chaque candidat.
La plus grande valeur est le maximum absolu ; la plus petite est le minimum absolu.

Présenter le tableau des valeurs – la comparaison est l'argument.

5.6

Concavité et points d'inflexion

Programme

Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.

FUN-4.A.4 Le graphique d'une fonction est convexe (concave) sur un intervalle ouvert si la dérivée de la fonction est croissante (décroissante) sur cet intervalle.
FUN-4.A.5 La dérivée seconde d'une fonction fournit des informations sur la fonction et son graphique, y compris les intervalles de concavité ascendante ou descendante.
FUN-4.A.6 La dérivée seconde d'une fonction peut être utilisée pour localiser les points d'inflexion du graphique de la fonction originale.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La dérivée seconde décrit la courbure :

$f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ est concave vers le haut 上凹 (courbe comme un bol ; $f'$ est croissante) ;
$f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ est concave vers le bas 下凹 ($f'$ est décroissante).

Un point d'inflexion 拐点 est là où la concavité changement, c'est-à-dire où $f''$ change de signe (pas simplement où $f''=0$). Indiquer sa coordonnée $x$ et justifier par le changement de signe de $f''$.

La concavité vient du signe de la dérivée seconde ; elle s'inverse en un point d'inflexion

Explorer

Trouver où la concavité bascule

y = ax³ + bx² + cx + d

La concavité est le signe de la dérivée seconde : concave vers le haut là où la courbe retient l'eau, concave vers le bas là où elle la laisse couler. Un point d'inflexion est là où elle change.

5.7

Le second critère de dérivée pour les extrema

Programme

Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.

FUN-4.A.7 La dérivée seconde d'une fonction peut déterminer si un point critique est l'emplacement d'un maximum ou minimum relatif (local).
FUN-4.A.8 Lorsqu'une fonction continue possède un seul point critique sur un intervalle de son domaine et que ce point correspond à un extremum relatif (local) de la fonction sur cet intervalle, alors ce point critique correspond également à l'extremum absolu (global) de la fonction sur cet intervalle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une autre façon de classifier un point critique $c$ où $f'(c)=0$ :

$f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ concave vers le haut $\Rightarrow$ minimum local ;
$f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ concave vers le bas $\Rightarrow$ maximum local ;
$f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ le test est non concluant – revenir au test de la dérivée première.

Cas particulier : si une fonction continue n'a qu'un seul point critique sur un intervalle et qu'il est un extremum local, ce point est aussi l'extremum absolu sur cet intervalle.

5.8

Tracer une fonction et sa dérivée

Programme

Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.

FUN-4.A.9 Les caractéristiques clés des fonctions et de leurs dérivées peuvent être identifiées et reliées à leurs représentations graphique, numérique et analytique.
FUN-4.A.10 Les informations graphiques, numériques et analytiques de $f'$ et $f''$ peuvent être utilisées pour prédire et expliquer le comportement de $f$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Les caractéristiques clés de $f$, $f'$ et $f''$ se reflètent mutuellement. Pour tracer ou lire des graphiques :

$f$ croissante $\Leftrightarrow$ $f'$ au-dessus de l'axe ; $f$ a un max local $\Leftrightarrow$ $f'$ traverse de $+$ à $-$.
$f$ concave vers le haut $\Leftrightarrow$ $f'$ croissante $\Leftrightarrow$ $f''$ au-dessus de l'axe ; $f$ a un point d'inflexion $\Leftrightarrow$ $f'$ a un extremum local $\Leftrightarrow$ $f''$ traverse zéro.

5.9

Relier $f$, $f'$ et $f''$

Programme

Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.

FUN-4.A.11 Les caractéristiques clés des graphes de $f$, $f'$ et $f''$ sont liées les unes aux autres.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

C'est la compétence de lire un graphique pour décrire un autre. Un dispositif d'examen très courant donne le graphique de $f'$ et pose des questions sur $f$ : où $f$ est croissante (où $f'>0$), où sont les extrema de $f$ (où $f'$ traverse zéro, avec un changement de signe), où $f$ est concave vers le haut (où $f'$ est croissante). Répondre aux questions sur $f$ en utilisant la hauteur et la pente du graphique de $f'$.

Explorer

Lire la pente et la courbure depuis le graphique

y = ax³ + bx² + cx + d

Là où $f'>0$ la fonction monte ; là où $f''>0$ elle se courbe vers le haut. Glissez la tangente pour relier la forme de $f$ aux signes de ses dérivées première et seconde.

5.10

Introduction aux problèmes d'optimisation

Programme

Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.B : Calculer des valeurs minimales et maximales dans des contextes appliqués ou dans l'analyse de fonctions.

FUN-4.B.1 La dérivée peut être utilisée pour résoudre des problèmes d'optimisation, c'est-à-dire trouver une valeur minimale ou maximale d'une fonction sur un intervalle donné.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Optimisation : la meilleure boîte

L'optimisation 最优化 utilise la dérivée pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une grandeur sur un intervalle. C'est la mécanique des tests des candidats/dérivatives appliquée à un objectif réel.

Enclos clôturés : l'optimisation trouve les dimensions qui maximisent l'aire pour une longueur de clôture fixe

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
Optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/	最优化	zuì yōu huà

5.11

Résoudre des problèmes d'optimisation

Programme

Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.C : Interpréter les valeurs minimales et maximales calculées dans des contextes appliqués.

FUN-4.C.1 Les valeurs minimales et maximales d'une fonction ont des significations spécifiques dans les contextes appliqués.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une procédure fiable :

Écrire la quantité à optimiser comme fonction d'une seule variable (utiliser une équation de contrainte pour éliminer les variables superflues).
Définir l'intervalle des entrées autorisées.
Trouver les points critiques ($f'=0$ ou non défini) et les tester (test de la dérivée première ou seconde, ou test des candidats si l'intervalle est fermé).
Répondre à la question posée, avec unités et interprétation dans le contexte – le maximum d'aire, le minimum de coût, etc.

Exemple résolu. Avec $100\ \text{m}$ de clôture pour un parc rectangulaire contre un mur (seulement trois côtés clôturés), laissez les extrémités être $x$ et le côté éloigné $y=100-2x$. L'aire $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ a un $A'(x)=100-4x=0$ à $x=25$ ; puisque $A''=-4<0$ c'est le maximum, donnant $y=50$ et $A=1250\ \text{m}^2$.

5.12

Explorer les comportements des relations implicites

Programme

Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.D : Déterminer les points critiques de relations implicites.

FUN-4.D.1 Un point sur une relation implicite où la première dérivée est égale à zéro ou n'existe pas est un point critique de la fonction.

Objectif d'apprentissage FUN-4.E : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction définie implicitement sur la base de preuves issues de ses dérivées.

FUN-4.E.1 Les applications des dérivées peuvent être étendues aux fonctions définies implicitement.
FUN-4.E.2 Les dérivées secondes impliquant la dérivation implicite peuvent être des relations de $x$, $y$ et $\dfrac{dy}{dx}$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Tout cela s'étend aux relations définies implicitement. Un point critique d'une relation implicite est là où $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangente horizontale) ou est non défini (tangente verticale). Puisque $\dfrac{dy}{dx}$ est généralement une relation en $x$ et $y$, et que la dérivée seconde implique $x$, $y$ et $\dfrac{dy}{dx}$, substituer votre expression de la première dérivée lors du calcul de $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, puis raisonner sur la concavité à partir de son signe.

5.12

Conseils d'examen

$f'>0$ signifie croissant, $f'<0$ décroissant ; les candidats aux extrema sont là où $f'=0$ est zéro ou non défini.
Classifier un point critique avec le changement de signe de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maximum).
$f''>0$ est concave vers le haut, $f''<0$ concave vers le bas ; un point d'inflexion est là où la concavité change ($f''$ change de signe).
Pour un extremum absolu sur un intervalle fermé, vérifier aussi les extrémités.
Justifier chaque conclusion en citant le signe de $f'$ ou $f''$ – l'examen exige le raisonnement, pas seulement la réponse.

Intégration et accumulation de variation

Regarder la leçon

Ouvrir ce sujet sur sa propre page

6.1

Explorer les accumulations de variation

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.A : Interpréter le sens des aires associées au graphe d'un taux de variation dans leur contexte.

CHA-4.A.1 L'aire de la région comprise entre le graphe d'une fonction de taux de variation et l'axe $x$ donne l'accumulation de variation.
CHA-4.A.2 Dans certains cas, l'accumulation de variation peut être évaluée en utilisant la géométrie.
CHA-4.A.3 Si un taux de variation est positif (négatif) sur un intervalle, alors la variation accumulée est positive (négative).
CHA-4.A.4 L'unité pour l'aire d'une région définie par un taux de variation est l'unité du taux de variation multipliée par l'unité de la variable indépendante.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un réservoir d'eau : l'intégration accumule la variation – volume total à partir d'un débit

Là où une dérivée mesure un taux, une intégrale 积分 mesure une accumulation 累积 – un total construit à partir d'un taux. Si un taux de variation agit sur un intervalle, l'aire entre sa courbe et l'axe donne le changement net accumulé. Cette idée "aire = changement total" est la fondation du calcul intégral.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	累积	lěi jī

6.2

Approximer des aires avec les sommes de Riemann

Programme

Compréhension durable (LIM-5) : Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes géométriques et numériques.

Objectif d'apprentissage LIM-5.A : Approcher une intégrale définie à l'aide de méthodes géométriques et numériques.

LIM-5.A.1 Les intégrales définies peuvent être approchées pour des fonctions représentées graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement.
LIM-5.A.2 Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide d'une somme de Riemann gauche, d'une somme de Riemann droite, d'une somme de Riemann au milieu ou d'une somme trapézoïdale ; les approximations peuvent être calculées à l'aide de partitions uniformes ou non uniformes.
LIM-5.A.3 Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes numériques, avec ou sans technologie.
LIM-5.A.4 Selon le comportement d'une fonction, il peut être possible de déterminer si une approximation pour une intégrale définie est une sous-estimation ou une surestimation de la valeur de cette intégrale définie.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

L'intégrale comme aire (sommes de Riemann)

Les sommes trapézoïdales approchent l'aire

Une somme de Riemann 黎曼和 estime l'aire sous une courbe en additionnant les aires de fines rectangles. Divisez $[a,b]$ en sous-intervalles et utilisez la hauteur de la fonction à l'extrémité gauche, droite ou milieu de chacun. Une somme trapézoïdale 梯形法 utilise des trapèzes au lieu de cela, moyennant les hauteurs des deux extrémités – généralement plus précis. Avec plus de rectangles fins, l'estimation s'améliore.

Une somme de Riemann approxime l'aire sous une courbe avec des rectangles

Des bandes de largeur h approximent l'aire sous une courbe — Des rectangles de largeur h approchent l'aire sous une courbe

Compétence d'examen : savoir calculer les estimations gauche, droite, milieu et trapézoïdale à partir d'un tableau ou d'un graphique, et indiquer si chaque estimation est une surestimation ou une sous-estimation selon que la fonction est croissante/décroissante ou convexe/concave.

Explorer

Approximer l'aire avec des rectangles

y = ax³ + bx² + cx + d

Une somme de Riemann approxime l'aire sous une courbe avec des rectangles. Ajoutez-en plus, plus fins, et l'estimation converge vers l'intégrale définie exacte.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	黎曼和	lí màn hé
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	梯形法	tī xíng fǎ
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	定积分	dìng jī fēn

6.3

Sommes de Riemann, notation de sommation et notation d'intégrale définie

Programme

Compréhension durable (LIM-5) : Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes géométriques et numériques.

Objectif d'apprentissage LIM-5.B : Interpréter le cas limite de la somme de Riemann comme une intégrale définie.

LIM-5.B.1 La limite d'une somme de Riemann approximante peut être interprétée comme une intégrale définie.
LIM-5.B.2 Une somme de Riemann, qui nécessite une partition d'un intervalle $I$, est la somme de produits, chacun étant la valeur de la fonction en un point d'un sous-intervalle multiplié par la longueur de ce sous-intervalle de la partition.

Objectif d'apprentissage LIM-5.C : Représenter le cas limite de la somme de Riemann comme une intégrale définie.

LIM-5.C.1 L'intégrale définie d'une fonction continue $f$ sur l'intervalle $[a, b]$, notée $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, est la limite des sommes de Riemann lorsque les largeurs des sous-intervalles tendent vers 0. C'est-à-dire, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, où $n$ est le nombre de sous-intervalles, $\Delta x_i$ est la largeur du $i$e sous-intervalle, et $x_i^*$ est une valeur dans le $i$e sous-intervalle.
LIM-5.C.2 Une intégrale définie peut être traduite en la limite d'une somme de Riemann associée, et la limite d'une somme de Riemann peut être écrite comme une intégrale définie.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Écrire une somme de Riemann avec une notation de sommation $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ et laisser le nombre de rectangles tendre vers l'infini donne l'aire exacte – l'intégrale définie 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

L'intégrale est la limite des sommes de Riemann ; $a$ et $b$ sont les bornes d'intégration.

6.4

Le théorème fondamental du calcul et les fonctions d'accumulation

Programme

Compréhension durable (FUN-5) : Le théorème fondamental du calcul relie la dérivation et l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-5.A : Représenter les fonctions d'accumulation à l'aide d'intégrales définies.

FUN-5.A.1 L'intégrale définie peut être utilisée pour définir de nouvelles fonctions.
- Exemples illustratifs pour FUN-5.A.1 : $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Oui $f$ est une fonction continue sur un intervalle contenant $a$, alors $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, où $x$ est dans l'intervalle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le Théorème fondal du calcul

Une fonction d'accumulation 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ donne l'aire accumulée de $a$ jusqu'à $x$. Le Théorème fondamental du calcul (FTC) 微积分基本定理 dit que sa dérivée est l'intégrande :

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

La dérivation et l'intégration sont des opérations inverse. Avec une borne supérieure variable et la règle de la chaîne, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

La fonction d'accumulation ajoute l'aire signée ; le TFC dit que sa dérivée est f

Explorer

Accumuler l'aire comme une intégrale

y = ax³ + bx² + cx + d

Une fonction d'accumulation $\int_a^x f(t)\,dt$ accumule l'aire signée lorsque $x$ se déplace. Le Théorème Fondamental dit que sa dérivée est simplement $f(x)$.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	累积函数	lěi jī hán shù
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	微积分基本定理	wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	原函数	yuán hán shù
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	不定积分	bù dìng jī fēn
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	换元积分	huàn yuán jī fēn
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	分部积分	fēn bù jī fēn
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	部分分式	bù fèn fēn shì

6.5

Interpréter le comportement des fonctions d'accumulation

Programme

Compréhension durable (FUN-5) : Le théorème fondamental du calcul relie la dérivation et l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-5.A : Représenter les fonctions d'accumulation à l'aide d'intégrales définies.

FUN-5.A.3 Les représentations graphiques, numériques, analytiques et verbales d'une fonction $f$ fournissent des informations sur la fonction $g$ définie comme $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Parce que $g'(x)=f(x)$, le graphique de $f$ vous dit tout sur $g$ : $g$ augmente là où $f>0$, diminue là où $f<0$, présente des extrema là où $f$ traverse zéro, et est convexe là où $f$ est croissant. Lire ces connexions sur un graphique de $f$ est une tâche classique de réponse libre.

6.6

Appliquer les propriétés des intégrales définies

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.A : Calculer une intégrale définie en utilisant des aires et des propriétés des intégrales définies.

FUN-6.A.1 Dans certains cas, une intégrale définie peut être évaluée en utilisant la géométrie et le lien entre l'intégrale définie et l'aire.
FUN-6.A.2 Les propriétés des intégrales définies incluent l'intégrale d'une constante fois une fonction, l'intégrale de la somme de deux fonctions, l'inversion des bornes d'intégration, et l'intégrale d'une fonction sur des intervalles adjacents.
FUN-6.A.3 La définition de l'intégrale définie peut être étendue aux fonctions présentant des discontinuités amovibles ou à saut.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Les intégrales définies obéissent à des règles utiles : inverser les bornes change le signe de la valeur ($\int_b^a=-\int_a^b$), une intégrale sur un intervalle de largeur nulle vaut $0$, elles s'additionnent sur des intervalles adjacents ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), et les constantes se factorisent. Utilisez ces règles pour combiner ou séparer des valeurs d'intégrales données.

6.7

Théorème fondamental du calcul et intégrales définies

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.B : Évaluer des intégrales définies analytiquement à l'aide du théorème fondamental du calcul.

FUN-6.B.1 Une primitive d'une fonction $f$ est une fonction $g$ dont la dérivée est $f$.
FUN-6.B.2 Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$, la fonction définie par $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ est une primitive de $f$ pour $x$ dans l'intervalle.
FUN-6.B.3 Oui $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ et que $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La forme d'évaluation du FTC calcule une intégrale définie à partir d'une primitive 原函数 $F$ (où $F'=f$) :

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Ainsi, intégrer un taux de variation sur $[a,b]$ donne le changement net dans la quantité – le résultat le plus utilisé dans le cours.

Exemple résolu. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$ : une primitive est $F(x)=x^2+x$, donc la valeur est $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Une intégrale définie est l'aire signée entre la courbe et l'axe des x

6.8

Trouver des primitives et intégrales indéfinies

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.C : Déterminer les primitives de fonctions et les intégrales indéfinies, en utilisant les connaissances sur les dérivées.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ est une intégrale indéfinie de la fonction $f$ et peut s'exprimer sous la forme $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, où $F'(x) = f(x)$ et $C$ est une constante quelconque.
FUN-6.C.2 Les règles de dérivation constituent la base pour trouver des primitives.
FUN-6.C.3 De nombreuses fonctions n'ont pas de primitives fermées.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une intégrale indéfinie 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ est la famille de toutes les primitives (d'où la constante d'intégration $C$). Inversez chaque règle de dérivation : la règle de puissance devient $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (pour $n\neq-1$), avec $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, et les primitives de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ et $\sec^2 x$ viennent directement de leurs dérivées.

6.9

Intégration par substitution

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.D : Pour les intégrandes nécessitant une substitution ou une réécriture sous forme équivalente : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. (b) Évaluer les intégrales définies.

FUN-6.D.1 La substitution de variables est une technique pour trouver des primitives.
FUN-6.D.2 Pour une intégrale définie, la substitution de variables nécessite des changements correspondants aux bornes d'intégration.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Substitution u 换元积分 inverse la règle de la chaîne : choisissez $u=g(x)$ de sorte que $g'(x)$ apparaisse aussi, transformant $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ en $\int f(u)\,du$. N'oubliez pas de convertir $dx$ en $du$ et, pour une intégrale définie, soit changez les bornes en valeurs $u$, soit convertissez en $x$ à la fin.

6.10

Intégrer par division longue et complétion du carré

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

FUN-6.D.3 Les techniques pour trouver des primitives incluent des réarrangements sous formes équivalentes, telles que la division longue et la complétion du carré.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsqu'une intégrande rationnelle est « lourde en haut » (degré du numérateur $\ge$ degré du dénominateur), la division longue la réécrit comme un polynôme plus une fraction propre que vous pouvez intégrer. La complétion du carré dans un dénominateur la transforme en une forme telle que $u^2+a^2$, conduisant à une primitive arctangente $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Intégrer par parties

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.E : Pour les intégrandes nécessitant une intégration par parties : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. SEULEMENT BC (b) Évaluer les intégrales définies. SEULEMENT BC

FUN-6.E.1 L'intégration par parties est une technique permettant de trouver des primitives. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Intégration par parties 分部积分 inverse la règle du produit :

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Choisissez $u$ pour simplifier lorsqu'on la dérive et $dv$ pour être facile à intégrer (le guide LIATE : logarithmes, trigonometriques inverses, algébriques, trigonométriques, exponentielles). Cela gère des produits comme $\int x e^x\,dx$ et $\int x\ln x\,dx$, parfois appliqué deux fois.

Exemple résolu. Pour $\int x e^x\,dx$, choisissez $u=x$ ($du=dx$) et $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$) :

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

Intégrer par fractions partielles linéaires

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.F : Pour les intégrandes nécessitant une intégration par fractions partielles linéaires : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. SEULEMENT BC (b) Évaluer les intégrales définies. SEULEMENT BC

FUN-6.F.1 Certaines fonctions rationnelles peuvent être décomposées en sommes de rapports de facteurs linéaires non répétés auxquels on peut appliquer des techniques d'intégration élémentaires. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Fractions partielles 部分分式 décomposent une fonction rationnelle à dénominateur factorisable en une somme de fractions plus simples :

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

dont chacune s'intègre en un logarithme. Cette technique est essentielle pour l'équation différentielle logistique dans l'unité suivante.

6.13

Évaluer les intégrales impropre

Programme

Compréhension fondamentale (LIM-6) : L'utilisation des limites permet de montrer que les aires de régions non bornées peuvent être finies.

Objectif d'apprentissage LIM-6.A : Évaluer une intégrale impropre ou déterminer que l'intégrale diverge. SEULEMENT BC

LIM-6.A.1 Une intégrale impropre est une intégrale dont une ou les deux bornes sont infinies ou dont l'intégrande est non borné sur l'intervalle d'intégration. SEULEMENT BC
LIM-6.A.2 Les intégrales impropres peuvent être déterminées par des limites d'intégrales définies. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Intégrales impropre : convergent ou divergent

Une intégrale impropre 反常积分 a une borne d'intégration infinie ou une discontinuité infinie dans l'intégrande. Évaluez-la comme une limite : $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Si la limite est un nombre fini, l'intégrale converge 收敛 ; sinon elle diverge 发散.

Exemple résolu. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, donc elle converge vers $1$. En comparaison, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ donne $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ et diverge – la même forme d'intégrande peut aller dans les deux sens.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
integral/ˈɪntɪɡrəl/	积分	jī fēn
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	反常积分	fǎn cháng jī fēn
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	收敛	shōu liǎn
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	发散	fā sàn

6.14

Sélection des techniques pour l'antidifférentiation

Programme

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence consistant à choisir une procédure appropriée pour l'antidifférentiation. Les étudiants doivent avoir l'occasion de s'exercer à quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs à l'antidifférentiation.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

L'examen BC s'attend à ce que vous reconnaissez quelle méthode convient : règles de base, substitution (un motif de règle de la chaîne), par parties (un produit), fractions partielles (une rationnelle factorisable), ou division longue/complétion du carré. Savoir regarder une intégrale et choisir rapidement le bon outil est lui-même une compétence testée.

6.14

Conseils d'examen

L'intégration est l'antidifférentiation ; utilisez la règle de puissance $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ et n'oubliez pas la $+C$.
Le théorème fondamental lie les deux : $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, et $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approchez une intégrale définie par des sommes de Riemann ou la règle des trapèzes à partir d'un tableau de valeurs.
Une intégrale définie est une aire signée (en dessous de l'axe compte négatif) ; divisez aux changements de signe pour l'aire totale.
Utilisez la substitution u et n'oubliez pas de changer les bornes (ou de faire le contre-substituting) en conséquence.

Équations différentielles

Regarder la leçon

Ouvrir ce sujet sur sa propre page

7.1

Modélisation de situations avec des équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.A : Interpréter des énoncés verbaux de problèmes sous la forme d'équations différentielles impliquant une expression de dérivée.

FUN-7.A.1 Les équations différentielles relient une fonction d'une variable indépendante et les dérivées de cette fonction.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une équation différentielle 微分方程 relie une fonction à ses dérivées. De nombreuses situations réelles sont décrites par un taux : « la population croît à un taux proportionnel à sa taille » devient $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Poser l'équation à partir d'une description verbale – identifier ce qui change et à quoi il est proportionnel – est la première compétence.

7.2

Vérification des solutions pour les équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.B : Vérifier les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.B.1 Les dérivées peuvent être utilisées pour vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle donnée.
FUN-7.B.2 Il peut y avoir une infinité de solutions générales à une équation différentielle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une solution est une fonction qui satisfait l'équation. Pour vérifier une solution proposée, dérivez-la et substituez-la dans l'équation, en vérifiant que les deux côtés concordent. Une solution générale contient une constante $C$ ; une solution particulière fixe $C$ à partir d'une condition.

7.3

Tracer des champs de pentes

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.1 Un champ de pentes est une représentation graphique d'une équation différentielle sur un ensemble fini de points du plan.
FUN-7.C.2 Les champs de pentes fournissent des informations sur le comportement des solutions des équations différentielles du premier ordre.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Champs de pentes & courbes solutions

Un champ de pentes 斜率场 trace un court segment de ligne en de nombreux points, chacun ayant la pente $\dfrac{dy}{dx}$ que l'équation y donne. Il représente la famille des courbes solutions sans résoudre. Pour en dessiner un, évaluez le côté droit en chaque point de grille et tracez un segment de cette pente.

Un champ de pentes montre la gradient partout ; les courbes solutions le suivent — Un champ de pentes montre le gradient partout ; les courbes solutions le suivent

Explorer

Lire une équation différentielle comme un champ de pentes

Un champ de pentes dessine la pente $dy/dx$ à chaque point. Une courbe solution s'y insère, toujours tangente aux petits segments — vous pouvez la tracer en suivant le flux.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	欧拉方法	ōu lā fāng fǎ
separable/ˈsepərəbl/	可分离	kě fēn lí
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	指数增长	zhǐ shù zēng zhǎng
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	逻辑斯蒂模型	luó jí sī dì mó xíng
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	环境容纳量	huán jìng róng nà liàng

7.4

Raisonnement à l'aide de champs de pentes

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.3 Les solutions aux équations différentielles sont des fonctions ou des familles de fonctions.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une courbe solution suit les segments comme un bateau suivant un courant. À partir d'un champ de pentes, vous pouvez esquisser la solution particulière passant par un point donné, décrire le comportement à long terme et localiser où les solutions s'aplatissent (pentes proches de zéro) – raisonner sur les solutions uniquement à partir de l'image.

7.5

Approximer des solutions en utilisant la méthode d'Euler

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.4 La méthode d'Euler fournit une procédure pour approximer une solution à une équation différentielle ou un point sur une courbe solution. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Méthode d'Euler

Méthode d'Euler 欧拉方法 approxime une solution numériquement en suivant le champ de pentes. Partant d'un point connu, faites un petit pas $\Delta x$ et mettez à jour :

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Répétez pour chaque étape. Des pas plus petits donnent une meilleure approximation. (C'est une technique uniquement pour BC.)

Compétence d'examen : savoir effectuer deux ou trois étapes d'Euler à la main à partir d'un tableau, et savoir que la méthode d'Euler sous-estime ou surestime selon la concavité de la solution.

Exemple résolu. Approximer $y(1)$ pour $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, avec un pas $\Delta x=0.5$. Étape 1 : la pente à $(0,1)$ est $0+1=1$, donc $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Étape 2 : la pente à $(0.5,1.5)$ est $0.5+1.5=2$, donc $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Trouver des solutions générales par séparation des variables

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.D : Déterminer des solutions générales d'équations différentielles.

FUN-7.D.1 Certaines équations différentielles peuvent être résolues par séparation des variables.
FUN-7.D.2 L'antidifférentiation peut être utilisée pour trouver des solutions générales d'équations différentielles.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

E. coli sous un microscope : les équations différentielles modélisent la croissance exponentielle — E. coli au microscope : les équations différentielles modélisent la croissance exponentielle

Une équation différentielle séparable 可分离 peut être écrite avec tous les $y$ d'un côté et tous les $x$ de l'autre, puis intégrée :

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Cela produit la solution générale (avec une $+C$), la principale méthode analytique pour résoudre les équations différentielles dans ce cours.

Exercice résolu. Résolvez $\dfrac{dy}{dx}=xy$ avec $y(0)=2$. En séparant, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ donne $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, donc $y=Ae^{x^2/2}$. La condition $y(0)=2$ donne $A=2$, donc $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Trouver des solutions particulières en utilisant des conditions initiales

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.E : Déterminer des solutions particulières d'équations différentielles.

FUN-7.E.1 Une solution générale peut décrire une infinité de solutions à une équation différentielle. Il n'y a qu'une seule solution particulière passant par un point donné.
FUN-7.E.2 La fonction $F$ définie par $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfaisant $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Les solutions aux équations différentielles peuvent être soumises à des restrictions de domaine.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une condition initiale 初始条件 (un point connu, ex. $y(0)=5$) fixe la constante $C$. Résolvez la solution générale, substituez la condition pour trouver $C$, puis écrivez la solution particulière. Surveillez le domaine – une solution particulière n'est valide que sur l'intervalle contenant le point initial.

La constante donne une famille de courbes ; une condition initiale en sélectionne une

7.8

Modèles exponentiels avec des équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.F : Interpréter la signification d'une équation différentielle et de ses variables dans un contexte.

FUN-7.F.1 Des applications spécifiques de la recherche de solutions générales et particulières aux équations différentielles incluent le mouvement le long d'une droite et la croissance et la décroissance exponentielles.
FUN-7.F.2 Le modèle pour la croissance et la décroissance exponentielles qui découle de l'énoncé « Le taux de variation d'une quantité est proportionnel à sa taille » est $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objectif d'apprentissage FUN-7.G : Déterminer les solutions générales et particulières pour des problèmes impliquant des équations différentielles en contexte.

FUN-7.G.1 Le modèle de croissance et de décroissance exponentielle, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, avec condition initiale $y = y_0$ lorsque $t = 0$, a des solutions de la forme $y = y_0 e^{kt}$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Croissance exponentielle vs logistique

L'équation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ dit que le taux de changement est proportionnel à la quantité – donnant une croissance ou décroissance exponentielle 指数增长. Séparer les variables donne

$$y=y_0 e^{kt},$$

avec $k>0$ pour la croissance et $k<0$ pour la décroissance. Cela modélise la croissance de population illimitée, la désintégration radioactive et les intérêts composés continus.

Tasse de café refroidissant : la loi de refroidissement de Newton est un modèle classique d'équation différentielle

Explorer

Un modèle de croissance/décroissance exponentielle

y = a·e^(bx) + c

L'équation $dy/dt=ky$ a des solutions exponentielles : la quantité change à un taux proportionnel à elle-même, donnant une croissance illimitée ($k>0$) ou une décroissance vers zéro ($k<0$).

7.9

Modèles logistiques avec équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.H : Interpréter le sens du modèle de croissance logistique dans son contexte. SEULEMENT BC

FUN-7.H.1 Le modèle de croissance logistique découlant de l'énoncé « Le taux de variation d'une quantité est proportionnel conjointement à la taille de cette quantité et à la différence entre la quantité et sa capacité de charge » est $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. SEULEMENT BC
FUN-7.H.2 L'équation différentielle logistique et les conditions initiales peuvent être interprétées sans résoudre l'équation différentielle. SEULEMENT BC
FUN-7.H.3 La valeur limite (capacité de charge) d'une équation différentielle logistique lorsque la variable indépendante tend vers l'infini peut être déterminée à l'aide du modèle de croissance logistique et des conditions initiales. SEULEMENT BC
FUN-7.H.4 La valeur de la variable dépendante dans une équation différentielle logistique au moment où elle varie le plus rapidement peut être déterminée à l'aide du modèle de croissance logistique et des conditions initiales. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La croissance réelle est limitée par les ressources, donc le modèle logistique 逻辑斯蒂 modèle ajoute une capacité de charge 环境容纳量 $L$ :

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

La croissance est presque exponentielle quand $P$ est petit, ralentit lorsque $P$ approche $L$, et s'arrête à $P=L$. Faits clés BC : la population se stabilise à $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), et elle croît le plus rapidement lorsque $P=\tfrac{L}{2}$ (le point d'inflexion de la courbe en S). On s'attend à ce que vous lisiez $L$ et la valeur de croissance maximale directement depuis l'équation.

Exemple résolu. Pour $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, la capacité de charge est $L=2000$ (la population s'y aplatit), et la croissance est maximale quand $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – les deux se lisent directement depuis l'équation, sans résolution.

Le modèle logistique croît le plus rapidement à P=L/2 et se stabilise à la capacité de charge L — Le modèle logistique croît plus vite à P=L/2 et s'aplatit à la capacité de charge L

7.9

Conseils d'examen

Résolvez une équation sécable en plaçant tous les $y$ d'un côté et tous les $x$ de l'autre, puis intégrez les deux côtés (ajoutez $+C$ une seule fois).
Utilisez la condition initiale pour trouver $C$ (une solution particulière).
Tracez ou lisez un champ de pentes : les petits segments montrent $\tfrac{dy}{dx}$ en chaque point, et une courbe solution les suit.
Reconnaissez les modèles exponentiels $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (croissance/décroissance).
Une équation différentielle donne la pente ; vous devez intégrer pour retrouver la fonction.

Applications de l'intégration

Regarder la leçon

Ouvrir ce sujet sur sa propre page

8.1

Trouver la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.B : Déterminer la valeur moyenne d'une fonction à l'aide d'intégrales définies.

CHA-4.B.1 La valeur moyenne d'une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a, b]$ est $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La valeur moyenne 平均值 de $f$ sur $[a,b]$ est l'intégrale divisée par la largeur :

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

C'est la hauteur constante qu'un rectangle aurait pour avoir la même aire que la région sous $f$. Ne confondez pas cela avec la moyenne des taux de changement (qui utilise la dérivée).

Exercice résolu. La valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0,3]$ est $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explorer

La valeur moyenne d'une fonction

y = ax³ + bx² + cx + d

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est son intégrale divisée par la largeur — la hauteur constante dont le rectangle a la même aire que sous la courbe.

8.2

Relier position, vitesse et accélération en utilisant des intégrales

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.C : Déterminer des valeurs pour les positions et les taux de variation en utilisant des intégrales définies dans des problèmes de mouvement rectiligne.

CHA-4.C.1 Pour une particule en mouvement rectiligne sur un intervalle de temps, l'intégrale définie de la vitesse représente le déplacement de la particule sur cet intervalle de temps, et l'intégrale définie de la vitesse représente la distance totale parcourue par la particule sur cet intervalle de temps.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour un mouvement rectiligne, l'intégration inverse la dérivation :

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Deux distinctions clés : le déplacement 位移 est $\int_a^b v\,dt$ (changement net de position), tandis que la distance totale 总路程 est $\int_a^b |v|\,dt$ (en scindant là où $v$ change de signe). La vitesse est $|v|$.

8.3

Utiliser des fonctions d'accumulation et des intégrales définies dans des contextes appliqués

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.D : Interpréter la signification d'une intégrale définie dans des problèmes d'accumulation.

CHA-4.D.1 Une fonction définie comme une intégrale représente une accumulation d'un taux de variation.
CHA-4.D.2 L'intégrale définie du taux de variation d'une quantité sur un intervalle donne la variation nette de cette quantité sur cet intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.E : Déterminer la variation nette en utilisant des intégrales définies dans des contextes appliqués.

CHA-4.E.1 L'intégrale définie peut être utilisée pour exprimer des informations sur l'accumulation et la variation nette dans de nombreux contextes appliqués.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsqu'un taux est donné (débit, ventes par jour), l'intégrale définie donne le total accumulé, et $\int_a^b R(t)\,dt$ porte les unités de $R$ fois le temps. Une configuration courante : montant initial $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ donne le montant à un moment ultérieur. Interprétez toujours la réponse dans le contexte, avec les unités.

8.4

Trouver l'aire entre des courbes exprimées en fonction de x

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.

CHA-5.A.1 Les aires de régions dans le plan peuvent être calculées avec des intégrales définies.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un potier façonnant un récipient : les volumes de révolution font tourner une région plane autour d'un axe

L'aire entre $y=f(x)$ (en haut) et $y=g(x)$ (en bas) de $a$ à $b$ est

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Trouvez les points d'intersection pour les limites, et soustrayez toujours haut moins bas.

L'aire entre deux courbes est l'intégrale du haut moins le bas — L'aire entre deux courbes est l'intégrale de haut moins bas

Exemple résolu. Entre $y=x$ et $y=x^2$ (se croisant en $x=0,1$, avec $y=x$ en haut), l'aire est $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Trouver l'aire entre des courbes exprimées en fonction de y

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.

CHA-5.A.2 Les aires de régions dans le plan peuvent être calculées à l'aide de fonctions de $x$ ou de $y$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsque les courbes sont plus faciles à décrire comme $x=f(y)$, intégrez par rapport à $y$ au lieu de cela, en utilisant droite moins gauche :

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choisir d'intégrer en $y$ peut éviter de diviser la région en plusieurs morceaux.

8.6

Trouver l'aire entre des courbes qui s'intersectent plus de deux fois

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.

CHA-5.A.3 Les aires de certaines régions dans le plan peuvent être calculées en utilisant une somme de deux intégrales définies ou en évaluant une intégrale définie de la valeur absolue de la différence de deux fonctions.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Si deux courbes se croisent plusieurs fois, le haut et le bas changent. Divisez la région à chaque intersection et intégrez chaque morceau avec le bon haut-moins-bas (ou utilisez $\int|f-g|$), puis additionnez les morceaux.

8.7

Volumes par sections transversales : carrés et rectangles

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.B : Calculer les volumes de solides à sections transversales connues à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.B.1 Les volumes de solides à sections transversales carrées et rectangulaires peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Si les sections transversales 横截面 perpendiculaires à l'axe $x$ d'un solide sont des carrés ou des rectangles, intégrez leur aire. Avec une longueur de côté égale à la distance entre deux courbes, une section transversale carrée donne

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

La méthode consiste toujours à « intégrer l'aire de la section transversale ».

8.8

Volumes par sections transversales : triangles et demi-cercles

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.B : Calculer les volumes de solides à sections transversales connues à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.B.2 Les volumes de solides à sections transversales triangulaires peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.
CHA-5.B.3 Les volumes de solides à sections transversales semi-circulaires et autres définies géométriquement peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.
- Exemples illustratifs pour CHA-5.B.3 :
  - Le volume d'un entonnoir dont les sections transversales sont des cercles peut être calculé en utilisant la formule de l'aire d'un cercle et les intégrales définies (voir 2016 FRQ de l'examen AP #5(b)).
  - Le volume d'un solide dont l'aire de la section transversale est définie à l'aide d'une fonction peut être calculé en utilisant la fonction d'aire connue et une intégrale définie (voir 2009 FRQ de l'examen AB #4(c)).

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Même idée, formule d'aire différente : pour des sections transversales triangulaires équilatérales utilisez $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, et pour des demi-cercles $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (avec $s$ la distance entre les courbes). Remplacez la formule d'aire et intégrez.

8.9

Volume avec la méthode du disque : Rotation autour de l'axe x ou y

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.1 Les volumes de solides de révolution autour de l'axe $x$ ou de l'axe $y$ peuvent être trouvés en utilisant des intégrales définies avec la méthode du disque.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Solides de révolution : la méthode des disques

Faire tourner une région autour d'un axe crée un solide dont les sections transversales sont des disques. La méthode du disque 圆盘法 intègre $\pi(\text{radius})^2$ :

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

où le rayon $R$ est la distance de la courbe à l'axe. Utilisez $dy$ lorsque vous tournez autour de l'axe $y$-.

La méthode des disques : faire tourner y=f(x) autour de l'axe balaye des disques de rayon f(x)

Exemple résolu. Faire tourner la région sous $y=\sqrt{x}$ de $0$ à $4$ autour de l'axe $x$- donne des disques de rayon $\sqrt{x}$ : $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Faire tourner une région autour d'un axe balaye un solide de révolution

8.10

Volume avec la méthode du disque : Rotation autour d'autres axes

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.2 Les volumes de solides de révolution autour de toute ligne horizontale ou verticale dans le plan peuvent être trouvés en utilisant des intégrales définies avec la méthode du disque.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsque l'axe de rotation est une ligne horizontale ou verticale comme $y=k$ (et non un axe), le rayon s'ajuste : $R=|f(x)-k|$. Définissez le rayon comme la distance de la courbe à cette ligne, puis intégrez $\pi R^2$ comme auparavant.

8.11

Volume avec la méthode de la rondelle : Rotation autour de l'axe x ou y

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.3 Les volumes de solides de révolution autour de l'axe $x$ ou de l'axe $y$ dont les sections transversales sont en forme d'anneau peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies avec la méthode de la rondelle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Volume par la méthode des anneaux

Si la région ne touche pas l'axe, la rotation laisse un trou, donc les sections transversales sont des rondelles (anneaux). La méthode de la rondelle 垫圈法 soustrait le disque intérieur :

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identifiez les rayons extérieur et intérieur comme des distances de chaque courbe à l'axe.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	平均值	píng jūn zhí
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	位移	wèi yí
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	总路程	zǒng lù chéng
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	横截面	héng jié miàn
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	圆盘法	yuán pán fǎ
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	垫圈法	diàn juàn fǎ
arc length/ɑːk leŋθ/	弧长	hú zhǎng

8.12

Volume avec la méthode de la rondelle : Rotation autour d'autres axes

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.4 Les volumes de solides de révolution autour de toute ligne horizontale ou verticale dont les sections transversales sont en forme d'anneau peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies avec la méthode de la rondelle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Comme avec les disques, tourner autour d'une ligne $y=k$ ou $x=k$ déplace les deux rayons – chacun devient la distance de sa courbe à cette ligne. Esquissez la région et l'axe, étiquetez $R_{\text{outer}}$ et $R_{\text{inner}}$, puis intégrez la différence des carrés.

8.13

Longueur d'arc d'une courbe lisse et distance parcourue

Programme

Compréhension fondamentale (CHA-6) : Les intégrales définies permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variations de longueur sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-6.A : Déterminer la longueur d'une courbe dans le plan définie par une fonction, à l'aide d'une intégrale définie. SEULEMENT BC

CHA-6.A.1 La longueur d'une courbe plane définie par une fonction peut être calculée à l'aide d'une intégrale définie. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La longueur d'arc 弧长 de $y=f(x)$ de $a$ à $b$ est

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Cette formule uniquement BC provient de l'addition de petits hypoténuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. La même idée donne la distance qu'un particule parcourt le long d'un chemin courbe.

Exemple résolu. Trouvez la longueur d'arc de $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ de $x=0$ à $x=3$. Ici $f'(x)=x^{1/2}$, donc $1+(f')^2=1+x$ et

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Le pont Golden Gate et ses câbles principaux balayants — Le câble principal du pont pend comme une courbe lisse ; une intégrale donne sa longueur exacte

8.13

Conseils d'examen

L'aire entre courbes est $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — trouvez les points d'intersection pour les limites et gardez haut moins bas.
Pour un volume de révolution, additionnez les sections transversales de disques/anneaux d'aire $\pi r^2$ (ou $\pi(R^2-r^2)$).
La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Le changement accumulé est $\int$ d'un taux : total = valeur initiale $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
L'intégration signifie "additionner infiniment de petites pièces" — configurez l'intégrande comme une fine tranche.

Équations paramétriques, coordonnées polaires et fonctions vectorielles

Regarder la leçon

Ouvrir ce sujet sur sa propre page

9.1

Définir et dériver des équations paramétriques

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.G : Calculer les dérivées de fonctions paramétriques. SEULEMENT BC

CHA-3.G.1 Les méthodes de calcul des dérivées de fonctions à valeurs réelles peuvent être étendues aux fonctions paramétriques. SEULEMENT BC
CHA-3.G.2 Pour une courbe définie paramétriquement, la valeur de $\dfrac{dy}{dx}$ en un point de la courbe correspond à la pente de la tangente à la courbe en ce point. $\dfrac{dy}{dx}$, la pente de la tangente à une courbe définie par des équations paramétriques, peut être déterminée en divisant $\dfrac{dy}{dt}$ par $\dfrac{dx}{dt}$, à condition que $\dfrac{dx}{dt}$ ne soit pas égal à zéro. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La Station spatiale internationale en orbite : les équations paramétriques décrivent la position en fonction du temps

Les équations paramétriques 参数方程 donnent $x$ et $y$ chacun comme fonctions d'un paramètre $t$ (souvent le temps) : $x=x(t)$, $y=y(t)$. Elles tracent une courbe qui n'a pas besoin d'être une fonction de $x$. La pente de la courbe se trouve avec la règle de chaîne :

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Exemple résolu. Pour $x=t^2$, $y=t^3-t$, trouvez la pente à $t=2$. Ici $\dfrac{dx}{dt}=2t$ et $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, donc $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$ ; à $t=2$ c'est $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	参数方程	cān shù fāng chéng
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	向量值函数	xiàng liàng zhí hán shù
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	极坐标	jí zuò biāo

9.2

Dérivées secondes des équations paramétriques

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.G : Calculer les dérivées de fonctions paramétriques. SEULEMENT BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ peut être calculé en divisant $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ par $\dfrac{dx}{dt}$. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La dérivée seconde n'est pas $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Au contraire, différenciez la première dérivée par rapport à $t$, puis divisez par $dx/dt$ à nouveau :

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Utilisez-le pour tester la concavité d'une courbe paramétrique.

9.3

Trouver les longueurs d'arc des courbes données par des équations paramétriques

Programme

Compréhension fondamentale (CHA-6) : Les intégrales définies permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variations de longueur sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-6.B : Déterminer la longueur d'une courbe dans le plan définie par des fonctions paramétriques, à l'aide d'une intégrale définie. SEULEMENT BC

CHA-6.B.1 La longueur d'une courbe définie paramétriquement peut être calculée à l'aide d'une intégrale définie. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La longueur d'une courbe paramétrique pour $t$ de $a$ à $b$ est

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

C'est la version paramétrique de la longueur d'arc – additionner de petits hypoténuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$ sur le paramètre.

9.4

Définir et dériver des fonctions vectorielles

Programme

Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.

Objectif d'apprentissage CHA-3.H : Calculer les dérivées de fonctions vectorielles. SEULEMENT BC

CHA-3.H.1 Les méthodes de calcul des dérivées de fonctions à valeurs réelles peuvent être étendues aux fonctions vectorielles. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une fonction vectorielle 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ donne un vecteur position pour chaque $t$. Différenciez composante par composante : la vitesse est $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ et l'accélération est $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. La vitesse scalaire est la norme $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Une ligne vectorielle : commencez à a, puis glissez par t fois la direction b

Explorer

Ajouter des composantes vectorielles

Une fonction à valeurs vectorielles regroupe un $x(t)$ et un $y(t)$ en un seul vecteur. La dérivation de chaque composante donne le vecteur vitesse, tangent au chemin.

9.5

Intégrer des fonctions vectorielles

Programme

Compréhension fondamentale (FUN-8) : Résoudre un problème de valeur initiale permet de déterminer une expression pour la position d'une particule se déplaçant dans le plan.

Objectif d'apprentissage FUN-8.A : Déterminer une solution particulière étant donné un vecteur vitesse et des conditions initiales. SEULEMENT BC

FUN-8.A.1 Les méthodes de calcul des intégrales de fonctions à valeurs réelles peuvent être étendues aux fonctions paramétriques ou vectorielles. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Intégrez une fonction vectorielle composante par composante. Étant donné l'accélération ou la vitesse plus une condition initiale, intégrez chaque composante et utilisez la condition pour trouver les constantes – récupérant la vitesse à partir de l'accélération, ou la position à partir de la vitesse.

9.6

Résoudre des problèmes de mouvement utilisant des équations paramétriques et des fonctions vectorielles

Programme

Compréhension fondamentale (FUN-8) : Résoudre un problème de valeur initiale permet de déterminer une expression pour la position d'une particule se déplaçant dans le plan.

Objectif d'apprentissage FUN-8.B : Déterminer les valeurs des positions et des taux de variation dans les problèmes impliquant un mouvement planaire. SEULEMENT BC

FUN-8.B.1 Les dérivées peuvent être utilisées pour déterminer la vitesse, la rapidité et l'accélération d'une particule se déplaçant le long d'une courbe dans le plan définie par des fonctions paramétriques ou vectorielles. SEULEMENT BC
FUN-8.B.2 Pour une particule en mouvement planaire sur un intervalle de temps, l'intégrale définie du vecteur vitesse représente le déplacement de la particule (variation nette de position) sur cet intervalle, à partir duquel on peut déterminer sa position. L'intégrale définie de la rapidité représente la distance totale parcourue par la particule sur l'intervalle de temps. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour une particule se déplaçant dans un plan : la position est $\langle x(t),y(t)\rangle$, la vitesse et l'accélération sont ses dérivées, la vitesse scalaire est $|\vec v|$, et la distance parcourue sur $[a,b]$ est

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Compétence d'examen : ces problèmes de mouvement plan apparaissent sur la réponse écrite du BC presque chaque année – soyez à l'aise pour trouver la vitesse scalaire, la position à un instant ultérieur (point initial plus l'intégrale de la vitesse) et la distance totale.

Exemple résolu. Une particule a pour position $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Sa vitesse est $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, donc à $t=1$ la vitesse est $\langle 2,\ 2\rangle$ et la vitesse scalaire est $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Sa position à $t=2$ est $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Définir les coordonnées polaires et dériver en forme polaire

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.G : Calculer les dérivées de fonctions écrites en coordonnées polaires. SEULEMENT BC

FUN-3.G.1 Les méthodes de calcul des dérivées de fonctions à valeurs réelles peuvent être étendues aux fonctions en coordonnées polaires. SEULEMENT BC
FUN-3.G.2 Pour une courbe donnée par une équation polaire $r = f(\theta)$, les dérivées de $r$, $x$ et $y$ par rapport à $\theta$, ainsi que les première et seconde dérivées de $y$ par rapport à $x$, peuvent fournir des informations sur la courbe. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Tracer une courbe polaire

Les coordonnées polaires 极坐标 localisent un point par sa distance $r$ à l'origine et son angle $\theta$ : convertissez avec $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Une courbe polaire $r=f(\theta)$ est une courbe paramétrique en $\theta$, donc sa pente est

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Les coordonnées polaires donnent un point par sa distance r et son angle theta

Explorer

Tracer une courbe polaire

Dans les coordonnées polaires, un point est à une distance $r$ et à un angle $\theta$. Faire dépendre $r$ de $\theta$ trace des courbes comme cette cardiode.

9.8

Trouver l'aire d'une région polaire

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.D : Calculer les aires de régions définies par des courbes polaires à l'aide d'intégrales définies. SEULEMENT BC

CHA-5.D.1 Le concept de calcul d'aires en coordonnées rectangulaires peut être étendu aux coordonnées polaires. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

L'aire balayée par une courbe polaire $r=f(\theta)$ de $\alpha$ à $\beta$ est

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

La région est un « éventail » de fines sectors triangulaires ; choisir les bonnes limites $\theta$ (où la courbe commence et termine de tracer la région) est le défi principal.

Exemple résolu. Trouvez l'aire d'une pétale de la rose $r=2\sin(2\theta)$ (tracée pour $\theta$ de $0$ à $\tfrac{\pi}{2}$). En utilisant $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

L'aire d'une région polaire est balayée comme la moitié de l'intégrale de r squared d theta — La région hachurée est un éventail de fins secteurs balayés de $\alpha$ à $\beta$ ; chacun a une aire $\tfrac12 r^2\,d\theta$, donc le total est $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Trouver l'aire de la région bornée par deux courbes polaires

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.D : Calculer les aires de régions définies par des courbes polaires à l'aide d'intégrales définies. SEULEMENT BC

CHA-5.D.2 Les aires de régions délimitées par des courbes polaires peuvent être calculées à l'aide d'intégrales définies. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour l'aire entre une courbe extérieure $r_1$ et une courbe intérieure $r_2$, soustrayez les secteurs :

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Trouvez d'abord les angles d'intersection (égalez $r_1=r_2$), et faites attention à quelle courbe est extérieure sur chaque intervalle – elles peuvent s'inverser.

9.9

Conseils d'examen

Pour les courbes paramétriques, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$ ; la vitesse scalaire est $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
Une fonction vectorielle porte les mêmes informations — différenciez/intégrez-la composante par composante.
En polaire, convertissez avec $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ ; l'aire balayée est $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Surveillez la direction de traçage (le signe de $dx/dt$) et définissez les bonnes limites $\theta$ pour l'aire polaire.
Éliminez le paramètre pour récupérer la forme ordinaire $y$-vs-$x$ quand cela aide.

Suites et séries infinies

Regarder la leçon

Ouvrir ce sujet sur sa propre page

10.1

Définir les séries infinies convergentes et divergentes

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.1 La $n$e somme partielle est définie comme la somme des premiers $n$ termes d'une série. SEULEMENT BC
LIM-7.A.2 Une série infinie de nombres converge vers un nombre réel $S$ (ou a pour somme $S$), si et seulement si la limite de sa suite de sommes partielles existe et est égale à $S$. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Poupées matryoshka emboîtées : une série infinie ajoute continuellement des termes – certaines convergent, d'autres divergent

Une série infinie 无穷级数 additionne infinité de termes, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Sa valeur est définie comme la limite des sommes partielles 部分和 $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Si $S_N$ approche un nombre fini $L$, la série converge 收敛 vers $L$ ; sinon elle diverge 发散. Chaque question de convergence est en réalité une question sur la limite des sommes partielles.

Les sommes partielles d'une série géométrique convergente montent vers a sur un moins r — Pour la série géométrique avec $a=1,\ r=\tfrac12$, les sommes partielles $S_1,S_2,S_3,\dots$ montent vers la limite $\dfrac{a}{1-r}=2$ – cette limite est la valeur de la série.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/	无穷级数	wú qióng jí shù
partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/	部分和	bù fèn hé
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	收敛	shōu liǎn
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	发散	fā sàn
geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	几何级数	jǐ hé jí shù
integral test/ˈɪntɪɡrəl test/	积分判别法	jī fēn pàn bié fǎ
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	调和级数	tiáo hé jí shù
Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/	直接比较	zhí jiē bǐ jiào
Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/	极限比较	jí xiàn bǐ jiào
alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/	交错级数	jiāo cuò jí shù
ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/	比值判别法	bǐ zhí pàn bié fǎ
converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/	绝对收敛	jué duì shōu liǎn
converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/	条件收敛	tiáo jiàn shōu liǎn

10.2

Travailler avec les séries géométriques

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.3 Une série géométrique est une série présentant un rapport constant entre les termes successifs. SEULEMENT BC
LIM-7.A.4 Oui $a$ est un nombre réel et $r$ est un nombre réel tel que $|r| < 1$, alors la série géométrique $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Séries géométriques & convergence

Une série géométrique 几何级数 $\sum ar^{n}$ a un rapport constante $r$ entre les termes. Elle converge exactement lorsque $|r|<1$, et alors

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

C'est la seule série dont on peut trouver la somme exactement, et elle sous-tend les séries entières plus tard dans l'unité.

Exemple résolu. Sommez $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Ici $a=3$ et $r=\tfrac12$ (avec $|r|<1$), donc la somme est $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Une suite géométrique multiplie par le même rapport à chaque étape

Explorer

Quand une série géométrique converge

Une série géométrique $\sum ar^n$ ne converge que lorsque $|r|<1$, avec une somme égale à $\frac{a}{1-r}$. Modifiez le rapport et observez les sommes partielles se stabiliser ou exploser.

10.3

Le test du n-ième terme pour la divergence

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.5 Le test du $n$-ième terme est un test de divergence d'une série. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Si les termes ne diminuent pas vers zéro, la somme ne peut pas se stabiliser : si $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, la série diverge. Ce n'est qu'un test de divergence – si les termes allent bien vers zéro, le test est concluant (la série peut encore diverger, comme la série harmonique). Vérifiez toujours ce test rapide en premier.

10.4

Test intégral de convergence

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.6 Le critère intégral est une méthode permettant de déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Oui $a_n=f(n)$ pour une fonction positive, décroissante et continue $f$, alors $\sum a_n$ et $\int_1^\infty f(x)\,dx$ convergent ou divergent tous deux. Le test intégral 积分判别法 transforme une question sur les séries en une question sur une intégrale impropre, et c'est ce qui prouve la règle des séries p ci-dessous.

10.5

Série harmonique et séries p

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.7 Outre les séries géométriques, on trouve couramment la série harmonique, la série harmonique alternée et les séries $p$. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une série p $\sum \dfrac{1}{n^p}$ converge si $p>1$ et diverge si $p\le1$. Le cas particulier $p=1$, $\sum\dfrac1n$ est la série harmonique 调和级数 – elle diverge bien que ses termes tendent vers zéro (une fameuse information à connaître par cœur). La famille des séries p sert d'étalon standard pour les tests de comparaison.

10.6

Tests de comparaison pour la convergence

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.8 Le critère de comparaison est une méthode permettant de déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC
LIM-7.A.9 Le critère de comparaison par limite est une méthode permettant de déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Comparez une série inconnue à une série connue (une série p ou une série géométrique) :

Comparaison directe 直接比较 : si $0\le a_n\le b_n$ et $\sum b_n$ converge, alors $\sum a_n$ converge aussi ; si $a_n\ge b_n\ge0$ et $\sum b_n$ diverge, alors $\sum a_n$ diverge aussi.
Comparaison par limite 极限比较 : si $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ est un nombre fini positif, les deux séries ont le même comportement. C'est plus pratique lorsque les termes ressemblent simplement à ceux d'une série connue.

10.7

Test des séries alternées pour la convergence

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.10 Le critère des séries alternées est une méthode permettant de déterminer si une série alternée converge. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une série alternée 交错级数 a des termes dont le signe change, $\sum(-1)^n b_n$. Elle converge si les $b_n$ sont positifs, décroissants et $\lim b_n=0$. Cela permet à des séries comme $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ de converger même si les mêmes termes sans les signes (la série harmonique) divergent.

10.8

Test du rapport pour la convergence

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.11 Le critère du quotient est une méthode permettant de déterminer si une série de nombres converge ou diverge. SEULEMENT BC
- Énoncé d'exclusion : Le test du n-ième terme pour la divergence, le critère intégral, le critère de comparaison, le critère de comparaison par limite, le critère des séries alternées et le critère du quotient pour la convergence sont évalués à l'examen AP Calculus BC. D'autres méthodes ne font pas l'objet d'évaluation à l'examen. Cependant, les enseignants peuvent inclure des méthodes supplémentaires dans le cours, selon les disponibilités.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le test du rapport 比值判别法 examine $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ :

$L<1$ : la série converge absolument ;
$L>1$ : elle diverge ;
$L=1$ : non concluant.

C'est le test de choix pour les séries contenant des factorielles ou des $n$ puissances, et c'est exactement ainsi qu'on trouve le rayon de convergence d'une série entière.

Exemple résolu. Tester $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. Le rapport est $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, donc la série converge.

10.9

Déterminer la convergence absolue ou conditionnelle

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.12 Une série peut être absolument convergente, conditionnellement convergente ou divergente. SEULEMENT BC
LIM-7.A.13 Si une série converge absolument, alors elle converge. SEULEMENT BC
LIM-7.A.14 Si une série converge absolument, alors toute série obtenue à partir d'elle par regroupement ou réarrangement des termes a la même valeur. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une série converge absolument 绝对收敛 si $\sum|a_n|$ converge. Elle converge conditionnellement 条件收敛 si $\sum a_n$ converge mais $\sum|a_n|$ diverge (l'exemple classique est $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). La convergence absolue est la propriété la plus forte ; la convergence conditionnelle repose sur l'annulation mutuelle des signes.

10.10

Bornes d'erreur des séries alternées

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.B : Approximer la somme d'une série. SEULEMENT BC

LIM-7.B.1 Si une série alternée converge selon le critère des séries alternées, alors la borne d'erreur de la série alternée peut être utilisée pour borner l'écart entre une somme partielle et la valeur de la série infinie. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour une série alternée convergente, l'erreur commise en s'arrêtant à la $N$e somme partielle est inférieure ou égale au premier terme omis :

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

Cette borne simple et puissante vous permet de déterminer combien de termes garantissent une précision souhaitée.

10.11

Trouver des approximations par polynômes de Taylor

Programme

Compréhension durable (LIM-8) : Les séries entières nous permettent de représenter des fonctions associées sur un intervalle approprié.

Objectif d'apprentissage LIM-8.A : Représenter une fonction en un point sous la forme d'un polynôme de Taylor. SEULEMENT BC

LIM-8.A.1 Le coefficient du terme de degré $n$ dans un polynôme de Taylor pour une fonction $f$ centré en $x = a$ est $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. SEULEMENT BC
LIM-8.A.2 Dans de nombreux cas, lorsque le degré d'un polynôme de Taylor augmente, le polynôme de degré $n$ tendra vers la fonction originale sur un certain intervalle. SEULEMENT BC

Objectif d'apprentissage LIM-8.B : Approximer des valeurs de fonction à l'aide d'un polynôme de Taylor. SEULEMENT BC

LIM-8.B.1 Les polynômes de Taylor pour une fonction $f$ centrée en $x = a$ peuvent être utilisés pour approximer des valeurs de fonction de $f$ proches de $x = a$. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Approximation par série de Taylor

Un polynôme de Taylor 泰勒多项式 approche une fonction près d'un centre $x=a$ en utilisant ses dérivées là-bas :

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Chaque terme ajouté correspond à une dérivée supplémentaire, donc le polynôme épouse la courbe plus étroitement près de $a$. Centré sur $a=0$, c'est un polynôme de Maclaurin.

Les polynômes de Taylor de sin x épousent la courbe de plus en plus étroitement à mesure que le degré augmente — Les polynômes de Maclaurin de $\sin x$ – $T_1=x$, $T_3$, $T_5$ – correspondent chacun à une dérivée supplémentaire en $0$, donc chacun épouse $\sin x$ sur un intervalle plus large avant de s'en éloigner.

Compétence d'examen : savoir construire un polynôme de Taylor à partir d'un tableau de valeurs de dérivées et l'utiliser pour estimer une valeur de fonction.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	泰勒多项式	tài lēi duō xiàng shì
Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/	拉格朗日误差界	lā gé lǎng rì wù chā jiè
power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/	幂级数	mì jí shù
radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/	收敛半径	shōu liǎn bàn jìng
interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/	收敛区间	shōu liǎn qū jiān

10.12

Borne d'erreur de Lagrange

Programme

Compréhension durable (LIM-8) : Les séries entières nous permettent de représenter des fonctions associées sur un intervalle approprié.

Objectif d'apprentissage LIM-8.C : Déterminer la borne d'erreur associée à une approximation par un polynôme de Taylor. SEULEMENT BC

LIM-8.C.1 La borne d'erreur de Lagrange peut être utilisée pour déterminer un intervalle maximum pour l'erreur d'une approximation par un polynôme de Taylor d'une fonction. SEULEMENT BC
LIM-8.C.2 Dans certaines situations, la borne d'erreur de la série alternée peut être utilisée pour borner l'erreur d'une approximation par un polynôme de Taylor de la valeur d'une fonction. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La borne d'erreur de Lagrange 拉格朗日误差界 encadre l'écart entre un polynôme de Taylor et la valeur vraie :

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

Vous bornez la $(n+1)$e dérivée sur l'intervalle, puis calculez – c'est la méthode standard pour prouver qu'une estimation de Taylor est suffisamment précise.

10.13

Rayon et intervalle de convergence des séries entières

Programme

Compréhension durable (LIM-8) : Les séries entières nous permettent de représenter des fonctions associées sur un intervalle approprié.

Objectif d'apprentissage LIM-8.D : Déterminer le rayon de convergence et l'intervalle de convergence pour une série entière. SEULEMENT BC

LIM-8.D.1 Une série entière est une série de la forme $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, où $n$ est un entier non négatif, $\{a_n\}$ est une suite de nombres réels, et $r$ est un nombre réel. SEULEMENT BC
LIM-8.D.2 Si une série entière converge, elle converge soit en un seul point, soit possède un intervalle de convergence. SEULEMENT BC
LIM-8.D.3 Le test du rapport peut être utilisé pour déterminer le rayon de convergence d'une série entière. SEULEMENT BC
LIM-8.D.4 Le rayon de convergence d'une série entière peut être utilisé pour identifier un intervalle ouvert sur lequel la série converge, mais il est nécessaire de tester les deux extrémités de l'intervalle pour déterminer l'intervalle de convergence. SEULEMENT BC
LIM-8.D.5 Si une série entière a un rayon de convergence positif, alors la série entière est la série de Taylor de la fonction vers laquelle elle converge sur l'intervalle ouvert. SEULEMENT BC
LIM-8.D.6 Le rayon de convergence d'une série entière obtenue par dérivation ou intégration terme à terme est le même que le rayon de convergence de la série entière originale. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une série entière 幂级数 $\sum c_n(x-a)^n$ converge pour $x$ dans un rayon de convergence 收敛半径 $R$ autour du centre $a$. Trouvez $R$ avec le test du rapport. Puis testez les deux bornes séparément (le test du rapport est non concluant là-bas) pour énoncer l'intervalle de convergence 收敛区间 complet – en incluant ou excluant chaque borne.

Exemple résolu. Trouver le rayon de convergence de $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. Le test du rapport donne $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, qui est $<1$ quand $|x|<1$, donc $R=1$. En testant les bornes, $x=-1$ donne la série harmonique alternée convergente et $x=1$ la série harmonique divergente, donc l'intervalle est $[-1,1)$.

10.14

Trouver les séries de Taylor ou de Maclaurin d'une fonction

Programme

Compréhension durable (LIM-8) : Les séries entières nous permettent de représenter des fonctions associées sur un intervalle approprié.

Objectif d'apprentissage LIM-8.E : Représenter une fonction sous la forme d'une série de Taylor ou d'une série de Maclaurin. SEULEMENT BC

LIM-8.E.1 Un polynôme de Taylor pour $f(x)$ est une somme partielle de la série de Taylor pour $f(x)$. SEULEMENT BC

Objectif d'apprentissage LIM-8.F : Interpréter les séries de Taylor et les séries de Maclaurin. SEULEMENT BC

LIM-8.F.1 La série de Maclaurin pour $\dfrac{1}{1-x}$ est une série géométrique. SEULEMENT BC
LIM-8.F.2 La série de Maclaurin pour $\sin x$, $\cos x$ et $e^x$ fournit les fondements pour construire la série de Maclaurin d'autres fonctions. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Étendre un polynôme de Taylor à un nombre infini de termes donne une série de Taylor (ou de Maclaurin). Mémorisez les séries de Maclaurin clés :

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

De nouvelles séries proviennent de la manipulation de celles-ci – substitution, dérivation, intégration ou multiplication.

Exemple résolu. Trouver la série de Maclaurin de $e^{x^2}$. Remplacez $x^2$ par $x$ dans $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$ :

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

ce qui converge pour tout $x$. Cette astuce de substitution est beaucoup plus rapide que de dériver $e^{x^2}$ six fois.

Chaque terme de Maclaurin supplémentaire épouse la fonction sur une plage plus large

Explorer

La fonction approchée par une série de Taylor

y = asin(bx + c) + d

Une série de Taylor construit une fonction à partir de ses dérivées en un point ; plus il y a de termes, plus elle épouse la courbe (ici $\sin x$) sur une plage plus large.

10.15

Représenter des fonctions sous forme de séries entières

Programme

Compréhension durable (LIM-8) : Les séries entières nous permettent de représenter des fonctions associées sur un intervalle approprié.

Objectif d'apprentissage LIM-8.G : Représenter une fonction donnée sous la forme d'une série entière. SEULEMENT BC

LIM-8.G.1 À l'aide d'une série connue, on peut déduire une série entière pour une fonction donnée par des opérations telles que la dérivation terme à terme ou l'intégration terme à terme, ainsi que par diverses méthodes (p. ex., des procédés algébriques, des substitutions ou l'utilisation de propriétés des séries géométriques). SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Puisqu'une série entière peut être dérivée et intégrée terme à terme (dans son rayon), on peut construire de nouvelles séries à partir de connues – par ex., intégrer la série géométrique de $\dfrac{1}{1-x}$ pour obtenir la série de $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, ou substituer $-x^2$ pour obtenir la série de $\dfrac{1}{1+x^2}$. Représenter une fonction sous forme de série entière permet d'approximer des valeurs et des intégrales n'ayant pas de primitive élémentaire.

Compétence d'examen : la question ouverte sur les séries BC demande généralement de dériver une nouvelle série de Maclaurin à partir d'une connue, de trouver son intervalle de convergence, et d'utiliser la borne des séries alternées ou de Lagrange pour estimer l'erreur – les compétences finales du cours.

10.15

Conseils d'examen

Tester la convergence d'une série avec l'outil approprié : géométrique ($|r|<1$, somme $\tfrac{a}{1-r}$), test du $n$ terme, test du rapport, test intégral, test de comparaison ou test des séries alternées.
Une somme géométrique infinie ne converge que si $|r|<1$ ; sinon elle diverge.
Construire une série Taylor/Maclaurin pour approcher une fonction ; plus de termes donnent un meilleur ajustement près du centre.
Connaître les séries de Maclaurin standards pour $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ et $\tfrac{1}{1-x}$.
Trouver le rayon/intervalle de convergence avec le test du rapport, puis vérifier les bornes séparément.