Pensez à deux engrenages joints ensemble. Tournez le premier, et il entraîne le second. Si le second tourne trois fois plus vite que le premier, et que le premier tourne…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
3.1
The Chain Rule · La règle de composition
Syllabus · Programme
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.C: Calculate derivatives of compositions of differentiable functions.
FUN-3.C.1 The chain rule provides a way to differentiate composite functions.
Français
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.C : Calculer les dérivées de compositions de fonctions dérivable.
FUN-3.C.1 La règle de la chaîne fournit un moyen de dériver des fonctions composées.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
English
The chain rule
Unit 2 differentiated single functions. Unit 3 differentiates functions built inside other functions. The chain rule 链式法则 differentiates a composite function 复合函数$f\big(g(x)\big)$:
"Derivative of the outer function (leaving the inside alone), times the derivative of the inside." The inner derivative $g'(x)$ is the piece students forget, so always ask "what is the inside, and what is its derivative?" Example:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
In Leibniz notation, with $y=f(u)$ and $u=g(x)$, the rule reads $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – the intermediate $du$ appears to "cancel." Exam questions often give a table for $f$, $g$, $f'$, $g'$ and ask for $h'(a)$ where $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evaluate $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ by reading values.
Worked example. Differentiate $h(x)=(2x^2+1)^5$. The outer function is "(something)$^5$" and the inner is $2x^2+1$:
$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$
Français
Un sentier de montagne : les fonctions composées emboîtent les taux de variation (règle de chaîne)La règle de composition
L'unité 2 a dérivé des fonctions simples. L'unité 3 dérive des fonctions construites à l'intérieur d'autres fonctions. La règle de composition 链式法则 dérive une fonction composée 复合函数$f\big(g(x)\big)$ :
"Dérivée de la fonction externe (en laissant l'interne tel quel), fois la dérivée de l'interne." La dérivée interne $g'(x)$ est la pièce que les étudiants oublient le plus, alors posez toujours "qu'est-ce qui est à l'intérieur, et quelle est sa dérivée ?" Exemple :
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
En notation de Leibniz, avec $y=f(u)$ et $u=g(x)$, la règle s'écrit $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – l'intermédiaire $du$ semble "s'annuler." Les questions d'examen donnent souvent un tableau pour $f$, $g$, $f'$, $g'$ et demandent $h'(a)$ où $h(x)=f\big(g(x)\big)$ ; évaluez $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ en lisant des valeurs.
Exemple résolu. Dérivez $h(x)=(2x^2+1)^5$. La fonction externe est "(quelque chose)$^5$" et l'interne est $2x^2+1$ :
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.D: Calculate derivatives of implicitly defined functions.
FUN-3.D.1 The chain rule is the basis for implicit differentiation.
Français
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.D : Calculer les dérivées de fonctions définies implicitement.
FUN-3.D.1 La règle de la chaîne est à la base de la dérivation implicite.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
English
Some curves are defined implicitly – by an equation in $x$ and $y$ that is not solved for $y$, such as $x^2+y^2=25$. Implicit differentiation 隐函数求导 finds $\dfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$ first. It is just the chain rule, treating $y$ as a function of $x$.
The method: differentiate both sides with respect to $x$; every time you differentiate a $y$-term, multiply by $\dfrac{dy}{dx}$ (the chain rule); then solve algebraically for $\dfrac{dy}{dx}$. For $x^2+y^2=25$:
Worked example. Find the tangent to $x^2+y^2=25$ at $(3,4)$. Here $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, so the tangent line is $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendicular to the radius, as geometry predicts.
Exam skill – "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". This exact prompt appears most years (e.g. "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Because the target is given, you must show every algebra step cleanly: differentiate both sides, use the product/chain rules on mixed $xy$ terms, collect all $\dfrac{dy}{dx}$ terms on one side, factor, and divide. A correct final line that skips the algebra earns little. Follow-up parts then ask for a tangent line, or where the tangent is horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, so the numerator is $0$) or vertical (the denominator is $0$).
Français
Certaines courbes sont définies implicitemement – par une équation en $x$ et $y$ qui n'est pas résolue pour $y$, telle que $x^2+y^2=25$. La différentiation implicite 隐函数求导 trouve $\dfrac{dy}{dx}$ sans résoudre pour $y$ d'abord. C'est simplement la règle de composition, traitant $y$ comme une fonction de $x$.
La méthode : dériver les deux côtés par rapport à $x$ ; chaque fois que vous dérivez un terme $y$, multipliez par $\dfrac{dy}{dx}$ (la règle de composition) ; puis résolvez algébriquement pour $\dfrac{dy}{dx}$. Pour $x^2+y^2=25$ :
Exemple résolu. Trouvez la tangente à $x^2+y^2=25$ au point $(3,4)$. Ici $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, donc la tangente est $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendiculaire au rayon, comme le prévoit la géométrie.
La différentiation implicite donne la tangente à un cercle, perpendiculaire au rayon
Compétence d'examen – "Montrer que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Cette consigne exacte apparaît chaque année (par ex. "Montrer que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Puisque la cible est donnée, vous devez montrer chaque étape algébrique proprement : dériver les deux côtés, utiliser les règles du produit/composition sur les termes mixtes $xy$, rassembler tous les termes $\dfrac{dy}{dx}$ d'un côté, factoriser, et diviser. Une ligne finale correcte qui saute l'algèbre rapporte peu de points. Les parties suivantes demandent ensuite une tangente, ou où la tangente est horizontale ($\tfrac{dy}{dx}=0$, donc le numérateur est $0$) ou verticale (le dénominateur est $0$).
3.3
Differentiating Inverse Functions · Dérivation des fonctions inverses
Syllabus · Programme
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.1 The chain rule and definition of an inverse function can be used to find the derivative of an inverse function, provided the derivative exists.
Français
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.E : Calculer les dérivées des fonctions réciproques et trigonométriques réciproques.
FUN-3.E.1 La règle de la chaîne et la définition d'une fonction réciproque peuvent être utilisées pour trouver la dérivée d'une fonction réciproque, à condition que cette dérivée existe.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
English
If $g$ is the inverse function 反函数 of $f$ (so $f(g(x))=x$), the chain rule links their derivatives:
In words: the derivative of the inverse at a point is the reciprocal 倒数 of the derivative of the original function at the matching point. A common exam setup gives a table and a point $(a,b)$ on $f$ (so $(b,a)$ is on $g$), then asks for $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Worked example. If $f(2)=5$ and $f'(2)=3$, and $g$ is the inverse of $f$, then $(5,2)$ lies on $g$ and $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
Français
Si $g$ est la fonction inverse 反函数 de $f$ (donc $f(g(x))=x$), la règle de composition lie leurs dérivées :
En mots : la dérivée de l'inverse en un point est le reciproque 倒数 de la dérivée de la fonction originale au point correspondant. Un dispositif d'examen courant donne un tableau et un point $(a,b)$ sur $f$ (donc $(b,a)$ est sur $g$), puis demande $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Exemple résolu. Si $f(2)=5$ et $f'(2)=3$, et $g$ est l'inverse de $f$, alors $(5,2)$ se trouve sur $g$ et $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
La fonction inverse est l'image miroir de la fonction dans la droite y = x
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Une exponentielle et son inverse le log
y = a·e^(bx) + c
Les fonctions inverses sont miroir à travers $y=x$ et leurs pentes sont réciproques. Là où l'une est raide, son inverse est peu raide.
3.4
Differentiating Inverse Trigonometric Functions · Dérivation des fonctions trigonométriques inverses
Syllabus · Programme
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.2 The chain rule applied with the definition of an inverse function, or the formula for the derivative of an inverse function, can be used to find the derivatives of inverse trigonometric functions.
Français
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.E : Calculer les dérivées des fonctions réciproques et trigonométriques réciproques.
FUN-3.E.2 L'application de la règle de la chaîne avec la définition d'une fonction réciproque, ou la formule de la dérivée d'une fonction réciproque, permet de trouver les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
English
The same idea gives the derivatives of the inverse trigonometric functions 反三角函数. The three you should know:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combine these with the chain rule when the input is itself a function, e.g. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
Français
La même idée donne les dérivées des fonctions trigonométriques inverses 反三角函数. Les trois que vous devriez connaître :
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combinez-les avec la règle de composition lorsque l'argument est lui-même une fonction, par ex. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
Selecting Procedures for Calculating Derivatives · Sélection des procédures pour calculer des dérivées
Syllabus · Programme
English
This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for calculating derivatives. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to calculating derivatives.
Français
Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence consistant à sélectionner une procédure appropriée pour calculer des dérivées. Les élèves doivent avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs au calcul des dérivées.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
English
A skill topic: real derivatives mix several rules, so read the structure of the expression first, from the outside in.
Is it a sum? Differentiate term by term.
A product or quotient? Apply that rule, and expect to use the chain rule inside.
A composite (something inside something)? Chain rule.
Given implicitly? Implicit differentiation.
Name the outermost operation, apply its rule, and recurse inward. Neatness prevents the sign and bookkeeping errors that cost marks.
Français
Un sujet de compétence : les vraies dérivées mélangent plusieurs règles, lisez donc la structure de l'expression d'abord, de l'extérieur vers l'intérieur.
Est-ce une somme ? Dérivez terme par terme.
Un produit ou un quotient ? Appliquez cette règle, et attendez à utiliser la règle de composition à l'intérieur.
Une composition (quelque chose à l'intérieur de quelque chose) ? Règle de composition.
Nommez l'opération la plus externe, appliquez sa règle, et récurez vers l'intérieur. La propreté évite les erreurs de signe et de tenue de registre qui coûtent des points.
3.6
Calculating Higher-Order Derivatives · Calculer des dérivées d'ordre supérieur
Syllabus · Programme
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.F: Determine higher order derivatives of a function.
FUN-3.F.1 Differentiating $f'$ produces the second derivative $f''$, provided the derivative of $f'$ exists; repeating this process produces higher-order derivatives of $f$.
FUN-3.F.2 Higher-order derivatives are represented with a variety of notations. For $y = f(x)$, notations for the second derivative include $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, and $y''$. Higher-order derivatives can be denoted $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ or $f^{(n)}(x)$.
Français
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.F : Déterminer les dérivées d'ordre supérieur d'une fonction.
FUN-3.F.1 La dérivation de $f'$ produit la dérivée seconde $f''$, à condition que la dérivée de $f'$ existe ; répéter ce processus produit des dérivées d'ordre supérieur de $f$.
FUN-3.F.2 Les dérivées d'ordre supérieur sont représentées par diverses notations. Pour $y = f(x)$, les notations de la dérivée seconde incluent $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ et $y''$. Les dérivées d'ordre supérieur peuvent être désignées $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ ou $f^{(n)}(x)$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
English
Differentiating $f'$ produces the second derivative 二阶导数$f''$; repeating gives higher-order derivatives. The notations:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
The second derivative measures how the slope is changing; it drives concavity 凹凸性 and acceleration in later units. To find $f''$ implicitly, differentiate the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ again (with the quotient and chain rules), then substitute $\dfrac{dy}{dx}$ back in.
Français
Dériver $f'$ produit la dérivée seconde 二阶导数$f''$ ; répéter donne des dérivées d'ordre supérieur. Les notations :
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
La dérivée seconde mesure comment la pente change ; elle guide la convexité/concavité 凹凸性 et l'accélération dans les unités ultérieures. Pour trouver $f''$ implicitement, dériver l'expression pour $\dfrac{dy}{dx}$ à nouveau (avec les règles du quotient et de composition), puis substituer $\dfrac{dy}{dx}$ à nouveau.
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La dérivée seconde est la pente de la pente
y = ax³ + bx² + cx + d
Différencier à nouveau donne $f''$, le taux auquel la pente change. Là où la pente augmente, la courbe se courbe vers le haut.
3.6
Exam tips · Conseils d'examen
English
Use the chain rule for composite functions — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside (the most-forgotten factor).
For implicit differentiation, differentiate both sides with respect to $x$ and attach $\tfrac{dy}{dx}$ each time $y$ is differentiated, then solve.
Get the second derivative by differentiating twice (velocity → acceleration).
Combine rules carefully in layered expressions (chain inside product, etc.).
The inverse function's graph is the reflection in $y=x$; its slope is the reciprocal of the original's at the matching point.
Français
Utilisez la règle de composition pour les fonctions composées – dériver l'extérieur, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur (le facteur le plus oublié).
Pour la différentiation implicite, dériver les deux côtés par rapport à $x$ et attacher $\tfrac{dy}{dx}$ chaque fois que $y$ est dérivé, puis résoudre.
Obtenir la dérivée seconde en dérivant deux fois (vitesse → accélération).
Combiner les règles avec précaution dans les expressions imbriquées (chaîne à l'intérieur d'un produit, etc.).
Le graphe de la fonction réciproque est la réflexion par rapport à $y=x$ ; sa pente est le reciprocal de celle de la fonction originale au point correspondant.
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