Cette feuille couvre le Topic 3 : Mécanique avancée 进阶力学. Elle étend la mécanique aux projectiles, corps rigides, mouvement circulaire, cordons élastiques, forces variables et chocs. Prendre $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Mécanique Supplémentaire
Mathématiques Supérieures A-Level · Sujet 3
8:04
Mécanique Supplémentaire
Lancez une balle, tirez un jet d'eau, lancez quoi que ce soit dans les airs — et il trace la même courbe élégante : une parabole. Le secret est de diviser le mouvement en deux.…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
3.1
Mouvement d'un projectile
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • modéliser le mouvement d'un projectile comme une particule se déplaçant avec une accélération constante et comprendre les limites éventuelles du modèle | Les méthodes vectorielles ne sont pas requises |
| • utiliser les équations horizontales et verticales du mouvement pour résoudre des problèmes sur le mouvement des projectiles, y compris la détermination de la grandeur et de la direction de la vitesse à un instant ou à une position donnée, de la portée sur un plan horizontal et de la hauteur maximale atteinte | |
| • dériver et utiliser l'équation cartésienne de la trajectoire d'un projectile, y compris les problèmes où la vitesse initiale et/ou l'angle de tir peuvent être inconnus. | La connaissance de la 'parabole enveloppe' pour les points accessibles n'est pas incluse. |
Source : Programme Cambridge International
Un projectile 抛射体 se déplace librement sous l'effet de la gravité, il a donc une accélération constante 匀加速 $g$ vers le bas et aucune accélération horizontale. Traitez les mouvements horizontal et vertical séparément. S'il est lancé à une vitesse $u$ et un angle $\alpha$ :
$$\text{horizontal: } x = u\cos\alpha\,\cdot t, \qquad \text{vertical: } y = u\sin\alpha\,\cdot t - \tfrac12 g t^2.$$
En éliminant $t$, on obtient l'équation cartésienne 直角坐标方程 de la trajectoire 轨迹 (le chemin), qui est une parabole. Pour une vitesse de lancement fixe, toutes les trajectoires sont sous une parabole enveloppe 包络抛物线 (l'enveloppe des points atteignables). La portée sur sol plat est $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ et la hauteur maximale est $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$.
Exemple résolu. Une balle est lancée à $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ à $30^\circ$ par rapport à l'horizontale. Trouver la portée et la hauteur maximale.
$$\text{range} = \frac{20^2\sin 60^\circ}{10} = 40\times 0.866 = 34.6\ \text{m}, \qquad \text{height} = \frac{20^2\sin^2 30^\circ}{2\times 10} = \frac{400\times 0.25}{20} = 5\ \text{m}.$$
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Lancer un projectile
Tirez la balle, puis changez l'angle et la vitesse. Le mouvement horizontal est régulier tandis que la gravité l'attire vers le bas — ensemble ils tracent une parabole. Trouvez l'angle pour la portée maximale, et essayez la Lune.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | 进阶力学 | jìn jiē lì xué |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | 抛射体 | pāo shè tǐ |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | 匀加速 | yún jiā sù |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | 直角坐标方程 | zhí jiǎo zuò biāo fāng chéng |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | 轨迹 | guǐ jì |
3.2
Équilibre d'un corps rigide
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • calculer le moment d'une force par rapport à un point | Pour les questions impliquant uniquement des forces coplanaires ; la compréhension de la nature vectorielle des moments n'est pas requise. |
| • utiliser le résultat selon lequel l'effet de la gravité sur un corps rigide est équivalent à une seule force agissant au centre de masse du corps, et identifier la position du centre de masse d'un corps uniforme en utilisant des considérations de symétrie | |
| • utiliser des informations données sur la position du centre de masse d'une lamelle triangulaire et d'autres formes simples | Les démonstrations des résultats donnés dans la Liste de formules MF19 ne sont pas requises. |
| • déterminer la position du centre de masse d'un corps composé en considérant un système équivalent de particules | Cas simples uniquement, ex. une lamelle en L uniforme, ou un cône uniforme assemblé à sa base à une hémisphère uniforme de même rayon. |
| • utiliser le principe selon lequel si un corps rigide est en équilibre sous l'action de forces coplanaires, alors la somme vectorielle des forces est nulle et la somme des moments des forces par rapport à tout point est nulle, et la réciproque de cela | |
| • résoudre des problèmes impliquant l'équilibre d'un seul corps rigide sous l'action de forces coplanaires, y compris ceux impliquant le basculement ou le glissement. |
Source : Programme Cambridge International
Le moment 力矩 d'une force par rapport à un point est force $\times$ distance perpendiculaire ; il mesure l'effet de rotation. Le poids d'un corps agit à son centre de masse 质心, que vous pouvez trouver en utilisant la symétrie 对称 pour une forme plane uniforme (une lamelle 薄片), ou en traitant un corps composite comme un ensemble de particules.
Un corps rigide soumis à des forces coplanaires 共面力 est en équilibre 平衡 quand deux conditions sont remplies simultanément : la somme vectorielle des forces est nulle, et la somme des moments par rapport à n'importe quel point est nulle. Un corps peut aussi être au bord du basculement 翻倒 (renversement) ou du glissement 滑动 (dérapage).
Exemple résolu. Une poutre uniforme $AB$ de longueur $4\ \text{m}$ et de poids $100\ \text{N}$ repose sur un pivot à $A$. Une force verticale $F$ à $B$ la maintient horizontale. Trouver $F$.
Prendre les moments par rapport à $A$ (le poids agit au centre, $2\ \text{m}$ de $A$) :
$$F\times 4 = 100\times 2 \;\Rightarrow\; F = 50\ \text{N}.$$
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Équilibre des forces
résultante = 0
Un corps est en équilibre lorsque les forces s'additionnent tête-bêche pour revenir à zéro.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | 力矩 | lì jǔ |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | 质心 | zhì xīn |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | 对称 | duì chèn |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | 平衡 | píng héng |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | 翻倒 | fān dǎo |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | 滑动 | huá dòng |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | 角速度 | jiǎo sù dù |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | 向心加速度 | xiàng xīn jiā sù dù |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | 水平圆 | shuǐ píng yuán |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | 竖直圆 | shù zhí yuán |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | 胡克定律 | hú kè dìng lǜ |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | 弹性模量 | tán xìng mó liàng |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | 弹性势能 | tán xìng shì néng |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程 | wēi fēn fāng chéng |
3.3
Mouvement circulaire
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre le concept de vitesse angulaire pour une particule se déplaçant sur un cercle, et utiliser la relation $v = r\omega$ | |
| comprendre que l'accélération d'une particule se déplaçant sur un cercle à vitesse constante est dirigée vers le centre du cercle, et utiliser les formules $r\omega^2$ et $\frac{v^2}{r}$. | La démonstration des formules d'accélération n'est pas requise. |
| résoudre des problèmes qui peuvent être modélisés par le mouvement d'une particule se déplaçant sur un cercle horizontal à vitesse constante | |
| résoudre des problèmes qui peuvent être modélisés par le mouvement d'une particule dans un cercle vertical sans perte d'énergie. | Incluant la détermination d'une force de contact normale ou de la tension dans une corde, l'identification des points où celles-ci sont nulles, et les conditions pour un mouvement circulaire complet. |
Source : Programme Cambridge International
Pour une particule se déplaçant dans un cercle de rayon $r$, la vitesse angulaire 角速度 $\omega$ est liée à la vitesse par $v = r\omega$. L'accélération pointe vers le centre — l'accélération centripète 向心加速度 — avec une grandeur
$$a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}.$$
Dans un cercle horizontal 水平圆 la vitesse est constante — comme dans un pendule conique 圆锥摆 (une masse suspendue à une corde). Dans un cercle vertical 竖直圆 utiliser la conservation de l'énergie, car la vitesse change avec la hauteur ; la force normale de contact 法向接触力 ou la tension du cordon fournit la force centripète.
Exemple résolu. Une particule se déplace dans un cercle horizontal de rayon $2\ \text{m}$ avec une vitesse angulaire $3\ \text{rad s}^{-1}$. Trouver sa vitesse et son accélération.
$$v = r\omega = 2\times 3 = 6\ \text{m s}^{-1}, \qquad a = r\omega^2 = 2\times 3^2 = 18\ \text{m s}^{-2}.$$
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Angle en radians
Le mouvement circulaire est mesuré en radians : faites glisser l'angle θ et le rayon r pour voir l'arc balayé — la vitesse angulaire ω convertit cela en v = rω.
3.4
Loi de Hooke
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| utiliser la loi de Hooke comme modèle reliant la force dans une corde élastique ou un ressort à son allongement ou sa compression, et comprendre le terme module d'élasticité | |
| utiliser la formule de l'énergie potentielle élastique stockée dans une corde ou un ressort | La démonstration de la formule n'est pas requise. |
| résoudre des problèmes impliquant des forces dues à des cordes élastiques ou des ressorts, y compris ceux nécessitant des considérations de travail et d'énergie. | ex. : une particule se déplaçant horizontalement, verticalement ou sur un plan incliné tout en étant attachée à une ou plusieurs cordes ou ressorts, ou une particule attachée à une corde élastique agissant comme un « pendule conique ». |
Source : Programme Cambridge International
La loi de Hooke 胡克定律 stipule que la tension dans un cordon élastique ou un ressort est proportionnelle à son allongement $x$ :
$$T = \frac{\lambda x}{L},$$
où $L$ est la longueur naturelle et $\lambda$ est le module d'élasticité 弹性模que. Étirer stocke de l'énergie potentielle élastique 弹性势能 :
$$E = \frac{\lambda x^2}{2L}.$$
Exemple résolu. Un cordon élastique de longueur naturelle $2\ \text{m}$ et de module $50\ \text{N}$ est étiré de $0.5\ \text{m}$. Trouver la tension et l'énergie stockée.
$$T = \frac{50\times 0.5}{2} = 12.5\ \text{N}, \qquad E = \frac{50\times 0.5^2}{2\times 2} = 3.125\ \text{J}.$$
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Loi de Hooke
F = k·x
La force est proportionnelle à l'allongement — la pente est la rigidité k.
3.5
Mouvement linéaire sous une force variable
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| résoudre des problèmes qui peuvent être modélisés comme le mouvement linéaire d'une particule sous l'action d'une force variable, en établissant et résolvant une équation différentielle appropriée. | Y compris l'utilisation de $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ pour l'accélération, selon le cas. Les calculs différentiels sont limités au contenu du Pure Mathematics 3 du programme A Level Cambridge International (9709). Seules les équations différentielles à variables séparables sont incluses. |
Source : Programme Cambridge International
Quand la force dépend de la position $x$, utiliser l'accélération sous la forme $a = v\dfrac{dv}{dx}$, ce qui transforme la loi de Newton en une équation différentielle 微分方程 reliant $v$ et $x$.
Exemple résolu. Une particule de masse $8\ \text{kg}$ se déplace le long d'une ligne sous l'effet d'une force variable 变力 de magnitude $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ agissant dans la direction du mouvement. Lorsque $x = 0$, $v = 1$. Trouvez $v$ en fonction de $x$.
La loi de Newton donne $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Séparer et intégrer :
$$\int 8v\,dv = \int (x^3 + 4x)\,dx \;\Rightarrow\; 4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + C.$$
À $x = 0$, $v = 1$ donne $C = 4$, donc $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. D'où $v = \tfrac14 x^2 + 1$.
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Travail d'une force variable
W = ∫ F dx
Lorsque la force change, le travail effectué est l'aire sous la courbe force-distance.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | 变力 | biàn lì |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | 动量守恒 | dòng liàng shǒu héng |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | 牛顿实验定律 | niú dùn shí yàn dìng lǜ |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | 恢复系数 | huī fù xì shù |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | 包络抛物线 | bāo luò pāo wù xiàn |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | 薄片 | báo piàn |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | 共面力 | gòng miàn lì |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | 圆锥摆 | yuán zhuī bǎi |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | 法向接触力 | fǎ xiàng jiē chù lì |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | 斜碰撞 | xié pèng zhuàng |
3.6
Impulsion
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| se souvenir de la loi expérimentale de Newton et de la définition du coefficient de restitution, la propriété $0 \leqslant e \leqslant 1$, ainsi que la signification des termes « parfaitement élastique » ($e = 1$) et « inélastique » ($e = 0$) | |
| utiliser la conservation de la quantité de mouvement linéaire et/ou la loi expérimentale de Newton pour résoudre des problèmes qui peuvent être modélisés comme l'impact direct ou oblique de deux sphères lisses, ou l'impact direct ou oblique d'une sphère lisse avec une surface fixe. |
Source : Programme Cambridge International
Lors d'une collision, la quantité de mouvement linéaire totale est conservée — la conservation de la quantité de mouvement linéaire 动量守恒. L'élasticité est mesurée par la loi expérimentale de Newton 牛顿实验定律, qui définit le coefficient de restitution 恢复系数 $e$ :
$$e = \frac{\text{speed of separation}}{\text{speed of approach}}, \qquad 0 \leqslant e \leqslant 1.$$
Ici $e = 1$ correspond à une collision parfaitement élastique (aucune perte d'énergie) et $e = 0$ à une collision inélastique (les corps restent collés). Dans un choc oblique 斜碰撞, décomposez les vitesses selon et perpendiculairement à la ligne de choc, en appliquant la restitution le long de celle-ci.
Exemple résolu. Une sphère $A$ de masse $2\ \text{kg}$ se déplaçant à $5\ \text{m s}^{-1}$ percute une sphère immobile $B$ de masse $3\ \text{kg}$, avec $e = 0.5$. Trouvez les vitesses finales.
Quantité de mouvement : $2(5) = 2v_A + 3v_B$, donc $2v_A + 3v_B = 10$. Restitution : $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Résoudre ensemble donne $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ et $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
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Une collision
Définissez chaque masse et vitesse, puis faites-les entrer en collision. La quantité de mouvement totale est conservée — voyez comment les vitesses résultantes sont calculées.
3.6
Conseils d'examen
- Pour les projectiles, décomposez en mouvement horizontal (vitesse constante) et vertical ($a = g$), liés par le même temps.
- Pour un corps rigide en équilibre, faites des moments par rapport à un point qui annule une force inconnue.
- Pour le mouvement circulaire, utilisez $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ vers le centre ; dans un cercle vertical, vérifiez la vitesse minimale au sommet.
- Avec une force variable, utilisez $a = v\,\frac{dv}{dx}$ et intégrez ; l'énergie potentielle élastique $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.