Cette fiche couvre le Sujet 1 : Mathématiques Pures Avancées 进阶纯数学 1. Elle ajoute de nouveaux concepts d'algèbre, les matrices, les coordonnées polaires, davantage de vecteurs et la démonstration par récurrence.
Mathématiques Supplémentaires 1
Mathématiques Supérieures A-Level · Sujet 1
14:28
Mathématiques Supplémentaires 1
Voici une équation cubique, traversant l'axe en trois racines. Trouver ces racines exactement peut être difficile — voire impossible à la main. Mais voici une belle…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
1.1
Racines des équations polynomiales
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • rappel et utilisation des relations entre les racines et les coefficients des équations polynomiales | ex. pour évaluer des fonctions symétriques des racines ou résoudre des problèmes impliquant des coefficients inconnus dans les équations ; limité aux équations de degré 2, 3 ou 4 uniquement. |
| • utiliser une substitution pour obtenir une équation dont les racines sont liées de manière simple à celles de l'équation originale | Les substitutions ne seront pas données pour les cas les plus faciles, ex. où les nouvelles racines sont des réciproques, des carrés ou une fonction linéaire simple des anciennes racines. |
Source : Programme Cambridge International
Pour une équation polynomiale, les racines 根 sont liées aux coefficients 系数. Pour $ax^2 + bx + c = 0$ avec racines $\alpha, \beta$ :
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}.$$
Pour un polynôme $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ avec racines $\alpha, \beta, \gamma$ :
$$\sum\alpha = -\frac{b}{a}, \qquad \sum\alpha\beta = \frac{c}{a}, \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}.$$
Les sommes comme $\sum\alpha$ et $\sum\alpha\beta$ sont des fonctions symétriques 对称函数 des racines (inchangées si les racines sont permutées). Pour trouver une équation dont les racines changent simplement, utiliser une substitution 代换 (par exemple, poser $w = \alpha + 1$).
Exemple résolu. L'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ a pour racines $\alpha, \beta$. Trouver l'équation ayant pour racines $\alpha + 1, \beta + 1$.
Ici $\alpha + \beta = 5$ et $\alpha\beta = 6$. La nouvelle somme est $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, et le nouveau produit est $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Donc la nouvelle équation est
$$x^2 - 7x + 12 = 0.$$
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Racines d'un polynôme
y = ax³ + bx² + cx + d
Les racines sont là où la courbe rencontre l'axe x — leur somme et produit lient aux coefficients.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 进阶纯数学 | jìn jiē chún shù xué |
| roots/ruːts/ | 根 | gēn |
| coefficients/ˌkəʊɪˈfɪʃənts/ | 系数 | xì shù |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 代换 | dài huàn |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 有理函数 | yǒu lǐ hán shù |
1.2
Fonctions rationnelles et graphes
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • tracer des graphes de simples fonctions rationnelles, y compris la détermination d'asymptotes obliques, dans les cas où le degré du numérateur et du dénominateur sont au plus 2 | Y compris la détermination de l'ensemble des valeurs prises par la fonction, ex. par l'utilisation d'un discriminant. Un tracé détaillé des courbes ne sera pas requis, mais des esquisses montreront généralement des caractéristiques importantes, telles que les points tournants, les asymptotes et les intersections avec les axes. |
| • comprendre et utiliser les relations entre les graphes de $y = f(x)$, $y^2 = f(x)$, $y = \frac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ et $y = f(|x|)$ | Y compris l'utilisation de tels graphes schématiques dans le cadre de la résolution d'équations ou d'inégalités. |
Source : Programme Cambridge International
Une fonction rationnelle 有理函数 est une fraction de deux polynômes. Lorsque le numérateur a exactement un degré de plus que le dénominateur, le graphe possède une asymptote oblique 斜渐近线 (une ligne inclinée vers laquelle la courbe tend) ; on la trouve en effectuant la division. Vous devriez également savoir relier le graphe de $y = f(x)$ à ceux de $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ et $y = f(|x|)$. Trouver l'ensemble des valeurs prises par la fonction à l'aide du discriminant 判别式, et localiser ses points stationnaires 驻点.
Exemple résolu. Trouver l'asymptote oblique de $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Effectuer la division de la fraction : $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Quand $x \to \pm\infty$, le reste $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, donc la courbe tend vers la droite $y = x$ — l'asymptote oblique.
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Fonctions rationnelles
y = a/(x − b) + c
Une fonction rationnelle a des asymptotes que la courbe approche mais ne touche jamais.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | 斜渐近线 | xié jiàn jìn xiàn |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | 差分法 | chā fēn fǎ |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判别式 | pàn bié shì |
| turning points/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnts/ | 驻点 | zhù diǎn |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分式 | bù fèn fēn shì |
1.3
Sommation de séries
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • utiliser les résultats standards pour $\sum r$, $\sum r^2$, $\sum r^3$ afin de trouver des sommes associées | |
| • utiliser la méthode des différences pour obtenir la somme d'une série finie | L'utilisation de fractionnement en parties simples pour exprimer un terme général sous une forme appropriée peut être requise. |
| • reconnaître, par considération directe d'une somme à $n$ termes, quand une série est convergente, et trouver la somme à l'infini dans de tels cas |
Source : Programme Cambridge International
Apprendre les résultats standards :
$$\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2.$$
La méthode des différences 差分法 somme une série en annulant les termes intermédiaires : si on écrit chaque terme sous forme de fractions partielles 部分分式 $f(r) - f(r+1)$, presque tout s'annule. À partir de la somme des $n$ premiers termes, on peut déterminer si une série est convergente 收敛 et, si tel est le cas, trouver sa somme à l'infini 无穷和.
Exemple résolu. Trouver $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.
$$\sum_{r=1}^{n}(2r + 1) = 2\sum_{r=1}^{n} r + \sum_{r=1}^{n} 1 = 2\cdot\tfrac12 n(n+1) + n = n(n+1) + n = n(n+2).$$
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Suites et leurs sommes
Parcourez les termes et le total cumulé — l'idée derrière une série et sa somme à n termes.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| convergent/kənˈvɜːdʒənt/ | 收敛 | shōu liǎn |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | 无穷和 | wú qióng hé |
1.4
Matrices
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| effectuer des opérations d'addition de matrices, de soustraction et de multiplication, et reconnaître les termes matrice nulle et matrice identité (ou unité) | Y compris les matrices non carrées. Les matrices auront au maximum 3 lignes et colonnes. |
| rappeler la signification des termes singulière et non singulière appliqués aux matrices carrées et, pour les matrices $2 \times 2$ et $3 \times 3$, évaluer les déterminants et trouver les inverse des matrices non singulières | Les notations $\det \mathbf{M}$ pour le déterminant d'une matrice $\mathbf{M}$, et $\mathbf{I}$ pour la matrice identité, seront utilisées. |
| comprendre et utiliser le résultat, pour les matrices non singulières, $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ | Une extension au produit de plus de deux matrices peut être requise. |
| comprendre l'utilisation des matrices $2 \times 2$ pour représenter certaines transformations géométriques dans le plan $x$-$y$, en particulier : – comprendre la relation entre les transformations représentées par $\mathbf{A}$ et $\mathbf{A}^{-1}$ – reconnaître que le produit matriciel $\mathbf{AB}$ représente la transformation résultant de la transformation représentée par $\mathbf{B}$ suivie de la transformation représentée par $\mathbf{A}$ – rappeler comment le facteur d'échelle d'aire d'une transformation est lié au déterminant de la matrice correspondante – trouver la matrice représentant une transformation donnée ou une séquence de transformations | La compréhension des termes rotation, réflexion, agrandissement, étirement et cisaillement pour les transformations 2D sera requise. D'autres transformations 2D peuvent être incluses, mais aucune connaissance particulière n'est attendue. |
| comprendre la signification de invariant appliqué aux points et droites dans le contexte des transformations représentées par des matrices, et résoudre de simples problèmes impliquant des points invariants et des droites invariantes. | ex. localiser les points invariants de la transformation représentée par $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, ou trouver les droites invariantes passant par l'origine pour $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, ou montrer que toute droite de pente 1 est invariante pour $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. |
Source : Programme Cambridge International
Une matrice 矩阵 est un bloc rectangulaire de nombres. L'addition matricielle additionne les entrées correspondantes ; on peut aussi soustraire et multiplier des matrices (la multiplication se fait ligne ⟨$\times$⟩ colonne). La matrice nulle 零矩阵 a toutes ses entrées égales à $0$, et la matrice identité 单位矩阵 (ou matrice unité) $I$ laisse toute matrice inchangée lors d'une multiplication.
Pour une matrice $2\times 2$ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, le déterminant 行列式 est $\det A = ad - bc$. Si $\det A \neq 0$, la matrice est non singulière (sinon c'est une matrice singulière 奇异矩阵), et la matrice inverse 逆matrice est
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$
Pour un produit, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Une matrice $2\times 2$ peut représenter une transformation géométrique 几何变换 du plan — une rotation 旋转, une réflexion 反射, une agrandissement 放大, un étirement 拉伸 ou un cisaillement 切变 : le déterminant donne le facteur d'échelle des aires, et un produit $AB$ signifie « faire $B$, puis $A$ ». Les points ou droites qui ne bougent pas sont appelés points invariants 不变点 et droites invariantes 不变直线.
Exemple résolu. Trouver l'inverse de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, donc
$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}.$$
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Matrices comme transformations
Changez les quatre entrées et observez le carré unitaire se mapper vers une nouvelle forme. Le déterminant est le facteur d'échelle de l'aire.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | 矩阵 | jǔ zhèn |
| zero matrix/ˈzɪərəʊ ˈmeɪtrɪks/ | 零矩阵 | líng jǔ zhèn |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | 单位矩阵 | dān wèi jǔ zhèn |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | 行列式 | háng liè shì |
| singular matrix/ˈsɪŋɡjʊlə ˈmeɪtrɪks/ | 奇异矩阵 | qí yì jǔ zhèn |
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | 逆矩阵 | nì jǔ zhèn |
| geometric transformation/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 几何变换 | jǐ hé biàn huàn |
| invariant points/ɪnˈveərɪənt pɔɪnts/ | 不变点 | bù biàn diǎn |
| invariant lines/ɪnˈveərɪənt laɪnz/ | 不变直线 | bù biàn zhí xiàn |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | 极坐标 | jí zuò biāo |
| Cartesian coordinates/kɑːˈtiːzɪən kəʊˈɔːdɪnəts/ | 直角坐标 | zhí jiǎo zuò biāo |
| polar curves/ˈpəʊlə kɜːvz/ | 极坐标曲线 | jí zuò biāo qū xiàn |
| plane/pleɪn/ | 平面 | píng miàn |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | 旋转 | xuán zhuǎn |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | 放大 | fàng dà |
| stretch/stretʃ/ | 拉伸 | lā shēn |
| shear/ʃɪə/ | 切变 | qiē biàn |
1.5
Coordonnées polaires
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre les relations entre les coordonnées cartésiennes et polaires, et convertir les équations de courbes de la forme cartésienne à polaire et vice versa | La convention $r \geqslant 0$ sera utilisée. |
| tracer simplement des courbes polaires, pour $0 \leqslant \theta < 2\pi$ ou $-\pi < \theta \leqslant \pi$ ou un sous-ensemble de ces intervalles | Un tracé détaillé des courbes ne sera pas requis, mais des esquisses montreront généralement des caractéristiques importantes, telles que la symétrie, les coordonnées des intersections avec la ligne initiale, la forme de la courbe au pôle et les valeurs minimales/maximales de $r$. |
| rappeler la formule $\frac{1}{2} \int r^2 \mathrm{d}\theta$ pour l'aire d'un secteur, et utiliser cette formule dans des cas simples. |
Source : Programme Cambridge International
Les coordonnées polaires 极坐标 définissent un point par sa distance $r$ à l'origine et son angle $\theta$. Elles sont liées aux coordonnées cartésiennes 直角坐标 par
$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad r^2 = x^2 + y^2.$$
Vous devez pouvoir dessiner de simples courbes polaires 极坐标曲线, et trouver l'aire d'un secteur avec
$$\text{area} = \tfrac12\int r^2\,d\theta.$$
Exemple résolu. Convertir l'équation polaire $r = 4\cos\theta$ en forme cartésienne.
Multiplier les deux côtés par $r$ : $r^2 = 4r\cos\theta$, donc $x^2 + y^2 = 4x$. En complétant le carré, on obtient $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, un cercle de rayon $2$ centré en $(2, 0)$.
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Courbes polaires
Choisissez une courbe et changez a. En forme polaire, un point est défini par sa distance r et son angle θ — cela dessine des roses, des cardioides et des spirales.
1.6
Vecteurs
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| utiliser l'équation d'un plan sous l'une des formes $ax + by + cz = d$, $\mathbf{r.n} = p$ ou $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ et convertir les équations de plans d'une forme à une autre selon les besoins pour résoudre des problèmes | |
| rappeler que le produit vectoriel $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ de deux vecteurs peut s'exprimer soit comme $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$, où $\hat{\mathbf{n}}$ est un vecteur unitaire, soit sous forme de composantes comme $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | |
| utiliser les équations de droites et de plans, ainsi que le produit scalaire et le produit vectoriel lorsque cela est approprié, pour résoudre des problèmes concernant les distances, les angles et les intersections, y compris : – déterminer si une droite se trouve dans un plan, est parallèle à un plan ou coupe un plan, et trouver le point d'intersection d'une droite et d'un plan lorsqu'il existe – trouver le pied de la perpendiculaire abaissée d'un point sur un plan – trouver l'angle entre une droite et un plan, et l'angle entre deux plans – trouver une équation de la droite d'intersection de deux plans – calculer la distance minimale entre deux droites gauches – trouver une équation de la perpendiculaire commune à deux droites gauches. |
Source : Programme Cambridge International
En trois dimensions, un plan 平面 peut s'écrire $ax + by + cz = d$, ou $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, ou $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Outre le produit scalaire, il existe le produit vectoriel 向量积 de deux vecteurs 向量 :
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta\;\hat{\mathbf{n}},$$
qui donne un vecteur perpendiculaire aux deux. Avec les produits scalaire et vectoriel, on peut trouver des distances, des angles et l'intersection de droites et de plans — y compris la distance minimale entre des droites gauches 异面直线.
Exemple résolu. Trouver $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ pour $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ et $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = \mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}.$$
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Vecteurs
a · b = |a||b|cos θ
Le produit scalaire est zéro exactement lorsque deux vecteurs sont perpendiculaires.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | 向量积 | xiàng liàng jī |
| vectors/ˈvektəz/ | 向量 | xiàng liàng |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | 异面直线 | yì miàn zhí xiàn |
| mathematical induction/ˌmæθɪˈmætɪkl ɪnˈdʌkʃn/ | 数学归纳法 | shù xué guī nà fǎ |
1.7
Démonstration par récurrence
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| utiliser la méthode de récurrence mathématique pour établir un résultat donné | ex. $\sum_{r=1}^{n} r^4 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$, $u_n = \frac{1}{2}(1 + 3^{n-1})$ pour la suite définie par $u_{n+1} = 3u_n - 1$ et $u_1 = 1$, $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 3 \times 2^n - 2 & 1 - 2^n \\ 3 \times 2^{n+1} - 6 & 3 - 2^{n+1} \end{pmatrix}$, $3^{2n} + 2 \times 5^n - 3$ est divisible par 8. |
| reconnaître les situations où une conjecture basée sur un essai limité suivie d'une démonstration inductive constitue une stratégie utile, et la mettre en œuvre dans des cas simples. | ex. trouver la dérivée $n$ de $x e^x$, trouver $\sum_{r=1}^{n} r \times r!$. |
Source : Programme Cambridge International
L'induction mathématique 数学归纳法 prouve un résultat pour tout entier positif $n$ en deux étapes :
- Cas de base : montrer que le résultat est vrai pour $n = 1$.
- Étape inductive : supposer qu'il est vrai pour $n = k$, puis le prouver pour $n = k + 1$.
Si les deux étapes fonctionnent, le résultat est vrai pour tous les $n$. Souvent, on formule d'abord une conjecture 猜想 (un essai raisonnable) à partir de quelques cas, puis on la confirme par une démonstration inductive 归纳证明.
Exemple résolu. Prouver que $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.
Cas de base $n = 1$ : le côté gauche est $1$ et le côté droit est $\tfrac12(1)(2) = 1$. Vrai. Étape inductive : supposons que $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Alors
$$\sum_{r=1}^{k+1} r = \tfrac12 k(k+1) + (k+1) = (k+1)\left(\tfrac{k}{2} + 1\right) = \tfrac12 (k+1)(k+2).$$
C'est la formule avec $n = k + 1$, donc par récurrence, elle est valide pour tous les $n$.
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Chemin de la démonstration par récurrence
Considérer la récurrence comme un premier domino plus une règle qui pousse chaque cas suivant.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | 猜想 | cāi xiǎng |
| inductive proof/ɪnˈdʌktɪv pruːf/ | 归纳证明 | guī nà zhèng míng |
| symmetric functions/sɪˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 对称函数 | duì chèn hán shù |
1.7
Conseils d'examen
- Utiliser les relations entre racines et coefficients (somme, somme des paires, produit) plutôt que de résoudre le polynôme.
- Pour la démonstration par récurrence, présenter le cas de base, supposer le résultat pour $n = k$, le prouver pour $n = k+1$, et rédiger une conclusion claire.
- Dessiner les graphes de fonctions rationnelles avec leurs asymptotes et points stationnaires ; utiliser la méthode des différences pour une sommation.
- Pour les matrices, connaître le déterminant, l'inverse et les droites invariantes, et interpréter géométriquement chaque transformation.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.