Probabilités et Statistiques Supplémentaires

Une variable continue $X$ est décrite par une fonction de densité de probabilité 概率密度函数 $f(x)$, qui peut être définie par morceaux. La probabilité sur un intervalle est l'aire sous $f$, et la moyenne de toute fonction de $X$ est

La fonction de répartition 累积分布函数 $F(x) = P(X \leqslant x)$ est le cumul : $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, et $f(x) = F'(x)$. Utilisez $F$ pour trouver des probabilités et les percentiles 百分位数 (par exemple, la médiane 中位数 résout $F(x) = 0.5$).

Exemple résolu. Une variable a $f(x) = \tfrac12 x$ pour $0 \leqslant x \leqslant 2$. Trouvez la médiane.

La fonction de répartition est $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Poser $F(m) = 0.5$ :

La distribution d'une variable liée. Oui $Y=g(X)$, trouvez la distribution de $Y$ via sa fonction de répartition. Pour $Y=X^2$ : $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, puis dériver pour obtenir $f_Y=F_Y'$. Quand $g$ est strictement croissante, il y a un raccourci, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.

Exemple résolu. Avec $f_X(x)=\tfrac12 x$ sur $[0,2]$ (donc $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), posons $Y=X^2$. Pour $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, donc $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – c'est-à-dire, $Y$ est uniforme sur $[0,4]$.

Quand l'échantillon est petit et la variance de la population inconnue, basez votre test d'hypothèse 假设检验 sur la distribution $t$ plutôt que sur la normale. La même idée donne un intervalle de confiance 置信区间 pour la moyenne :

où $t$ vient des tables $t$ avec $n - 1$ degrés de liberté. Pour comparer deux populations, utilisez un test $t$ à deux échantillons (2-sample) ou paires appariées, après avoir trouvé une estimation poolée 合并估计 de la variance commune si pertinent.

Exemple résolu. Un échantillon de $n = 10$ a une moyenne $\bar{x} = 50$ et un écart-type $s = 4$. Trouvez un intervalle de confiance $95\%$ pour la moyenne (utilisez $t = 2.262$ pour $9$ degrés de liberté).

Un test $\chi^2$ (test du chi-deux 卡方检验) compare les effectifs observés $O$ aux effectifs attendus $E$ issus d'une distribution théorique 理论分布 :

Comparez cela avec une valeur de tableau pour le bon nombre de degrés de liberté 自由度. Deux usages : un test d'adéquation 拟合优度 (les données suivent-elles le modèle proposé ?), et un test d'indépendance 独立性 de deux variables dans un tableau de contingence 列联表.

Exemple résolu. Quatre catégories également probables donnent des effectifs observés $20, 30, 25, 25$ (donc chaque effectif attendu est $25$). Testez l'adéquation au niveau $5\%$.

Avec $4 - 1 = 3$ degrés de liberté, la valeur du tableau est $7.815$. Puisque $2 < 7.815$, ne pas rejeter le modèle.

Un test non paramétrique 非参数检验 ne fait aucune hypothèse sur la normalité des données, ce qui est utile quand cette hypothèse échoue. Les principaux sont :

• le test des signes 符号检验 : compter combien de valeurs sont au-dessus et en dessous d'une médiane proposée, et tester ces comptes avec un modèle binomial;
• le test des rangs signés de Wilcoxon 威尔科克森符号秩检验 (le test pour paires appariées matched-pairs pour des données appariées), qui utilise aussi les amplitudes des différences, pas seulement leurs signes;
• le test de somme des rangs de Wilcoxon 威尔科克森秩和检验, pour comparer deux échantillons indépendants.

Exemple résolu. Tester si une médiane est $5$. Dans un échantillon de $10$ valeurs (aucune égale à $5$), $9$ sont au-dessus $5$ et $1$ sont en dessous. Testez au niveau $5\%$ (bilatéral).

Sous $H_0$ (médiane $= 5$), le nombre au-dessuit suit $B(10, 0.5)$. Le résultat observé ($9$ au-dessus) est extrême, donc trouvez $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. Pour un test bilatéral, comparez avec $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Puisque $0.0107 < 0.025$, rejeter $H_0$ : il y a des preuves que la médiane n'est pas $5$.

La fonction génératrice de probabilité 概率母函数 d'une variable discrète $X$ est

Elle regroupe toute la distribution dans une seule fonction. La moyenne et la variance proviennent de ses dérivées en $t = 1$ : $E(X) = G'(1)$ et $\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$. De plus, la FGP d'une somme de variables indépendantes est le produit de leurs FGP.

Exemple résolu. $X$ a $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Trouvez $E(X)$ en utilisant la FGP.

Ici $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, donc $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ et

• Pour une variable aléatoire continue, la pdf intègre à $1$ sur son domaine, et $E(X) = \int x f(x)\,dx$.
• Utilisez la distribution $t$ quand l'échantillon est petit et la variance de la population inconnue ; précisez les degrés de liberté.
• Pour un test du chi-deux, calculez $\sum (O-E)^2/E$, comparez avec la valeur critique aux bons degrés de liberté, et regroupez les classes avec $E < 5$.
• Énoncez $H_0$ et $H_1$ et donnez la conclusion dans le contexte pour chaque test.