Cette fiche couvre le Sujet 2 : Mathématiques Pures Avancées 进阶纯数学 2. Elle ajoute les fonctions hyperboliques, les valeurs propres, de nouvelles techniques de dérivation et d'intégration, le théorème de De Moivre, et des méthodes pour les équations différentielles.
Mathématiques Supplémentaires 2
Mathématiques Supérieures A-Level · Sujet 2
11:29
Mathématiques Supplémentaires 2
Regardez n'importe quelle chaîne suspendue, n'importe quelle ligne électrique, n'importe quel câble de suspension. Elle finit toujours par se stabiliser dans une courbe spéciale. Vous pourriez deviner une parabole — mais ce n'est pas le cas. C'est…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
2.1
Fonctions hyperboliques
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| comprendre les définitions des fonctions hyperboliques $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\text{sech } x$, $\text{cosech } x$, $\text{coth } x$ en fonction de la fonction exponentielle | |
| tracer les graphes des fonctions hyperboliques | |
| démontrer et utiliser des identités impliquant des fonctions hyperboliques | ex. $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$, $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$, et des résultats similaires correspondant aux identités trigonométriques standards. |
| comprendre et utiliser les définitions des fonctions hyperboliques inverses et dériver et utiliser leurs formes logarithmiques |
Source : Programme Cambridge International
Les fonctions hyperboliques 双曲函数 sont construites à partir de la fonction exponentielle :
$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}.$$
Elles vérifient des identités similaires aux trigonométriques, la principale étant $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Les trois réciproques complètent l'ensemble : $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$ et $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ – tous construits à partir de $e^x$ aussi, et utiles à reconnaître dans les intégrales et les barèmes. Les fonctions hyperboliques inverses 反双曲函数 ont une forme logarithmique 对数形式, par exemple $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.
Exemple résolu. Montrer que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1.$$
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Fonctions hyperboliques
y = a cosh(x)
cosh est la caténaire (une chaîne suspendue) — paire, avec son minimum en (0, a).
2.2
Matrices
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| formuler un problème impliquant la résolution de 3 équations linéaires simultanées à 3 inconnues comme un problème impliquant la résolution d'une équation matricielle, ou vice versa | |
| comprendre les cas qui peuvent survenir concernant la cohérence ou l'incohérence de 3 équations linéaires simultanées, les relier à la singularité ou non de la matrice correspondante, résoudre les systèmes cohérents, et interpréter géométriquement en termes de droites et de plans | ex. trois plans se coupant en un point commun, ou en une droite commune, ou n'ayant aucun point commun. |
| comprendre les termes 'équation caractéristique', 'valeur propre' et 'vecteur propre', appliqués aux matrices carrées | Y compris l'utilisation de la définition $\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$ pour démontrer des propriétés simples, ex. que $\lambda^n$ est une valeur propre de $\mathbf{A}^n$. |
| trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $2 \times 2$ et $3 \times 3$ matrices | Limité aux cas où les valeurs propres sont réelles et distinctes. |
| exprimer une matrice carrée sous la forme $\mathbf{QDQ}^{-1}$, où $\mathbf{D}$ est une matrice diagonale des valeurs propres et $\mathbf{Q}$ est une matrice dont les colonnes sont des vecteurs propres, et utiliser cette expression | ex. dans le calcul des puissances de $2 \times 2$ ou $3 \times 3$ matrices. |
| utiliser le fait qu'une matrice carrée satisfait sa propre équation caractéristique. | ex. pour trouver des puissances successives d'une matrice ou trouver une matrice inverse ; limité aux matrices $2 \times 2$ ou $3 \times 3$ uniquement. |
Source : Programme Cambridge International
On peut écrire trois équations linéaires à trois inconnues sous la forme d'une seule équation matricielle 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Si $A$ est non singulière, il y a une solution ; si $A$ est singulière, les équations sont soit incohérentes (pas de solution), soit admettent une infinité de solutions.
Pour une matrice carrée $A$, l'équation caractéristique 特征方程 est $\det(A - \lambda I) = 0$. Ses solutions sont les valeurs propres 特征值 $\lambda$, et pour chacune d'elles, le vecteur $\mathbf{v}$ vérifiant $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ est un vecteur propre 特征向量. On peut alors écrire $A = QDQ^{-1}$, où $D$ est une matrice diagonale 对角矩阵 des valeurs propres et les colonnes de $Q$ sont les vecteurs propres.
Exemple résolu. Trouver les valeurs propres de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
L'équation caractéristique est
$$\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \;\Rightarrow\; 2 - \lambda = \pm 1.$$
Donc $\lambda = 1$ ou $\lambda = 3$. (Le vecteur propre pour $\lambda = 3$ est $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et celui pour $\lambda = 1$ est $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.)
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Transformations et déterminant
Changez la matrice pour tourner, étirer ou cisaillement le carré unitaire ; le déterminant montre comment l'aire change.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 进阶纯数学 | jìn jiē chún shù xué |
| hyperbolic functions/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 双曲函数 | shuāng qū hán shù |
| inverse hyperbolic functions/ɪnˈvɜːs ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 反双曲函数 | fǎn shuāng qū hán shù |
| logarithmic form/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk fɔːm/ | 对数形式 | duì shù xíng shì |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | 矩阵方程 | jǔ zhèn fāng chéng |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | 特征方程 | tè zhēng fāng chéng |
| eigenvalues/ˈaɪdʒənvæljuːz/ | 特征值 | tè zhēng zhí |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | 特征向量 | tè zhēng xiàng liàng |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | 对角矩阵 | duì jiǎo jǔ zhèn |
| Maclaurin's series/məˈklɔːrɪnz ˈsɪəriːz/ | 麦克劳林级数 | mài kè láo lín jí shù |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | 配方法 | pèi fāng fǎ |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | 递推公式 | dì tuī gōng shì |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧长 | hú zhǎng |
| surface area of revolution/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | 旋转曲面面积 | xuán zhuǎn qū miàn miàn jī |
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | 黎曼和 | lí màn hé |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | 复数 | fù shù |
| De Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | 棣莫弗定理 | dì mò fú dìng lǐ |
2.3
Dérivation
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • dériver des fonctions hyperboliques et dériver $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, $\cosh^{-1}x$ et $\tanh^{-1}x$ | |
| • obtenir une expression pour $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ dans les cas où la relation entre $x$ et $y$ est définie implicitement ou paramétriquement | |
| • dériver et utiliser les premiers termes d'une série de Maclaurin pour une fonction. | La dérivation d'un terme général n'est pas incluse, mais des étapes successives de dérivation 'implicite' peuvent être nécessaires, ex. pour $y = \tan x$ après un réarrangement initial de la dérivation sous la forme $y' = 1 + y^2$. |
Source : Programme Cambridge International
Vous pouvez maintenant dériver les fonctions hyperboliques et les fonctions inverses $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, etc. Vous pouvez aussi trouver $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ pour des courbes données implicitement ou paramétriquement.
Une série de Maclaurin 麦克劳林级数 écrit une fonction comme une série entière :
$$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}\,x^3 + \cdots$$
Par exemple $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$
Exemple résolu. Trouver la série de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ jusqu'au terme en $x^3$.
$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ donc $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ donc $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ donc $f'''(0) = 2$. En substituant dans la série :
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$
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La pente en un point
pente = dy/dx
La dérivée est la pente de la tangente, quelle que soit l'exoticité de la fonction.
2.4
Intégration
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • intégrer des fonctions hyperboliques et reconnaître les intégrales de fonctions de la forme $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ et $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$, et intégrer les fonctions associées en utilisant des substitutions trigonométriques ou des substitutions hyperboliques selon le cas | Y compris l'utilisation de la complétion du carré si nécessaire, ex. pour intégrer $\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$. |
| • dériver et utiliser des formules de réduction pour l'évaluation d'intégrales définies | ex. $\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$, $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$. Dans les cas plus difficiles, des indices peuvent être donnés, ex. $\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$ en considérant $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$. |
| • comprendre comment l'aire sous une courbe peut être approximée par des aires de rectangles, et utiliser des rectangles pour estimer ou fixer des bornes pour l'aire sous une courbe ou pour déduire des inégalités ou des limites concernant des sommes | Les questions peuvent impliquer soit des rectangles de largeur unitaire, soit des rectangles dont la largeur peut tendre vers zéro, ex. $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$, $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. continué |
| utiliser l'intégration pour trouver – les longueurs d'arc pour des courbes ayant des équations en coordonnées cartésiennes, y compris l'utilisation d'un paramètre, ou en coordonnées polaires – les aires de surfaces de révolution autour d'un des axes pour des courbes ayant des équations en coordonnées cartésiennes, y compris l'utilisation d'un paramètre. | Toute question impliquant l'intégration peut nécessiter des techniques du Cambridge International A Level Mathematics (9709) appliquées à des cas plus difficiles, ex. l'intégration par parties pour $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$, ou l'utilisation de la substitution $t = \tan \frac{1}{2}x$. Les aires de surfaces de révolution pour des courbes ayant des équations en coordonnées polaires ne seront pas requises. |
Source : Programme Cambridge International
Apprenez ces intégrales standards :
$$\int \frac{1}{a^2 + x^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C, \qquad \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C.$$
Une substitution trigonométrique, une substitution hyperbolique ou la méthode de complétion du carré 配方法 au dénominateur gère les formes associées. Une formule de réduction 递推公式 relie une intégrale $I_n$ à $I_{n-1}$, ce qui vous permet de descendre étape par étape. L'intégration donne aussi la longueur d'arc 弧长 d'une courbe et l'aire de surface de révolution 旋转曲面面积 lorsque la courbe est tournée autour d'un axe.
Exemple résolu. Trouver $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.
Ici $a^2 = 4$, donc $a = 2$ et
$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{2} + C.$$
Majorer une somme par une intégrale. Dessiner des rectangles de largeur unité sous ou au-dessus d'une courbe décroissante comme $y=\frac1x$. Chaque rectangle de hauteur $\frac1r$ est compris entre deux bandes d'intégrale, donc en sommant on obtient
$$\ln(n+1) < \sum_{r=1}^{n}\frac1r < 1 + \ln n.$$
Réduire la largeur du rectangle vers $\frac1n\to 0$ transforme une telle somme en une somme de Riemann 黎曼和 qui égale l'intégrale à la limite, ex. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$.
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L'aire sous la courbe
aire = ∫ f(x) dx
Chaque intégrale mesure l'aire sous la courbe — faites glisser les limites.
2.5
Nombres complexes
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • comprendre le thorème de De Moivre, pour un exposant entier positif ou négatif, en termes de l'effet géométrique de la multiplication et de la division des nombres complexes | |
| • démontrer le thorème de De Moivre pour un exposant entier positif | ex. par récurrence. |
| • utiliser le thorème de De Moivre pour un exposant rationnel positif ou négatif | ex. exprimer $\cos 5\theta$ en termes de $\cos \theta$ ou $\tan 5\theta$ en termes de $\tan \theta$. |
| – exprimer les rapports trigonométriques d'angles multiples en termes de puissances des rapports trigonométriques de l'angle fondamental | ex. exprimer $\sin^6 \theta$ en termes de $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$ et $\cos 6\theta$. |
| – exprimer les puissances de $\sin \theta$ et $\cos \theta$ en termes d'angles multiples | |
| – dans la sommation de séries | ex. en utilisant la méthode '$C + \mathrm{i}S$' pour sommer des séries telles que $\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$. |
| – dans la recherche et l'utilisation des $n$ièmes racines de l'unité. |
Source : Programme Cambridge International
Un nombre complexe 复数 sous forme polaire est $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. Le thorème de De Moivre 棣莫弗定理 dit que pour tout entier $n$,
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta.$$
Il est utilisé pour développer $\cos n\theta$ et $\sin n\theta$ en puissances, pour sommer des séries, et pour trouver les $n$ racines de l'unité 单位根 (les solutions de $z^n = 1$, régulièrement espacées autour du cercle unité).
Exemple résolu. Utiliser le théorème de De Moivre pour exprimer $\cos 3\theta$ en fonction de $\cos\theta$.
Prendre la partie réelle de $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$ :
$$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.$$
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Le diagramme d'Argand
Faites glisser le point pour explorer le module et l'argument — le langage des nombres complexes sous forme polaire (module–argument).
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | 单位根 | dān wèi gēn |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | 积分因子 | jī fēn yīn zi |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 通解 | tōng jiě |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | 余函数 | yú hán shù |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | 特积分 | tè jī fēn |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 特解 | tè jiě |
| separable variables/ˈsepərəbl ˈveərɪəblz/ | 可分离变量 | kě fēn lí biàn liàng |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | 辅助方程 | fǔ zhù fāng chéng |
2.6
Équations différentielles
Programme
| Les candidats doivent être capables de : | Notes et exemples |
|---|---|
| • trouver un facteur intégrant pour une équation différentielle linéaire du premier ordre, et utiliser un facteur intégrant pour trouver la solution générale | ex. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$, $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| • rappeler la signification des termes 'fonction complémentaire' et 'intégrale particulière' dans le contexte des équations différentielles linéaires, et rappeler que la solution générale est la somme de la fonction complémentaire et d'une intégrale particulière | |
| trouver la fonction complémentaire pour une équation différentielle linéaire du premier ou second ordre à coefficients constants | Pour les équations du second ordre, y compris les cas où l'équation auxiliaire a des racines réelles distinctes, une racine réelle double ou des racines complexes conjuguées. |
| rappeler la forme de, et trouver, une intégrale particulière pour une équation différentielle linéaire du premier ou second ordre dans les cas où un polynôme ou $ae^{bx}$ ou $a\cos px + b\sin px$ constitue une forme appropriée, et dans d'autres cas simples trouver le(s) coefficient(s) approprié(s) étant donné une forme appropriée d'intégrale particulière | ex. évaluer $k$ sachant que $kx \cos 2x$ est une intégrale particulière de $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| utiliser une substitution donnée pour réduire une équation différentielle à une équation linéaire du premier ou second ordre à coefficients constants ou à une équation du premier ordre à variables séparables | ex. la substitution $x = e^t$ pour réduire sous forme linéaire une équation différentielle avec des termes de la forme $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ , ou la substitution $y = ux$ pour réduire $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ sous forme séparable. |
| utiliser des conditions initiales pour trouver une solution particulière à une équation différentielle, et interpréter une solution en termes d'un problème modélisé par une équation différentielle. |
Source : Programme Cambridge International
Pour une équation linéaire du premier ordre $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiplier par le facteur intégrant 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. Le côté gauche devient alors $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, donc on peut intégrer directement.
Pour une équation linéaire à coefficients constants, la solution générale 通解 est la somme de deux parties : la fonction complémentaire 余函数 (la solution de l'équation où le second membre est mis à $0$, trouvée via l'équation auxiliaire) et une intégrale particulière 特积分 (n'importe quelle solution de l'équation complète). Les conditions initiales fixent ensuite les constantes pour donner la solution particulière 特解 ; les équations plus simples à variables séparables 可分离变量 sont intégrées directement.
Exemple résolu. Résoudre $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.
Le facteur intégrant est $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. En multipliant, on obtient $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, donc
$$y\,e^{2x} = \tfrac13 e^{3x} + C \;\Rightarrow\; y = \tfrac13 e^x + C e^{-2x}.$$
Second ordre, coefficients constants. Pour $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, résoudre l'équation auxiliaire 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. La fonction complémentaire dépend de ses racines :
- deux racines réelles distinctes $m_1,m_2$ : $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
- une racine double $m$ : $y=(A+Bx)e^{mx}$;
- racines complexes $p\pm qi$ : $y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$.
Ensuite ajouter une intégrale particulière en essayant une forme correspondant à $f(x)$ (un polynôme, $ae^{bx}$, ou $a\cos px+b\sin px$) ; si cette tentative apparaît déjà dans la fonction complémentaire, multiplier par $x$.
Exemple résolu. Résoudre $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. L'équation auxiliaire $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ a une racine double $m=2$, donc $y=(A+Bx)e^{2x}$.
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Équations différentielles
dy/dx = a y
L'équation définit la pente partout ; la solution suit ces pentes.
2.6
Conseils d'examen
- Apprendre les identités hyperboliques et leurs dérivées, et utiliser les fonctions hyperboliques inverses dans l'intégration.
- Résoudre une équation différentielle linéaire comme fonction complémentaire $+$ intégrale particulière, puis appliquer les conditions aux limites.
- Utiliser le théorème de De Moivre pour les puissances et racines de nombres complexes et pour dériver des identités trigonométriques.
- Réduire une intégrale à une forme standard par une substitution spécifiée.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.