A-Level Further Mathematics · A-Level رياضيات متقدمة · Topic 2 · الموضوع 2
11:29
رياضيات بحتة متقدمة 2
انظر إلى أي سلسلة معلقة، أو خط كهرباء، أو كابل معلّق. تستقر دائماً في منحنٍ خاص واحد. قد تخمن أنه قطع مكافئ — لكنه ليس كذلك. إنه…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
This handout covers Topic 2: Further Pure Mathematics 进阶纯数学 2. It adds hyperbolic functions, eigenvalues, new differentiation and integration, de Moivre's theorem, and methods for differential equations.
يغطي هذا الملف الموضوع 2: رياضيات نقية متقدمة 2. يضيف الدوال الزائدية والقيم الذاتية والتفاضل والتكامل الجديد ونظرية دي مويفر وطرق المعادلات التفاضلية.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the definitions of the hyperbolic functions $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\text{sech } x$, $\text{cosech } x$, $\text{coth } x$ in terms of the exponential function | |
| sketch the graphs of hyperbolic functions | |
| prove and use identities involving hyperbolic functions | e.g. $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$, $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$, and similar results corresponding to the standard trigonometric identities. |
| understand and use the definitions of the inverse hyperbolic functions and derive and use the logarithmic forms |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم تعريفات الدوال الزائدية $\sinh x$، $\cosh x$، $\tanh x$، $\text{sech } x$، $\text{cosech } x$، $\text{coth } x$ بدلالة الدالة الأسية | |
| رسم منحنيات الدوال الزائدية | |
| برهان واستخدام المتطابقات التي تتضمن الدوال الزائدية | مثلًا: $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$، $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$، ونتائج مماثلة مقابلة للمتطابقات المثلثية القياسية. |
| فهم واستخدام تعريفات الدوال الزائدية العكسية واستنتاج واستخدام الأشكال اللوغاريتمية لها |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
The hyperbolic functions 双曲函数 are built from the exponential function:
They obey identities much like the trigonometric ones, the main one being $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. The three reciprocals complete the set: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, and $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ – all built from $e^x$ too, and worth recognising in integrals and mark schemes. The inverse hyperbolic functions 反双曲函数 have a logarithmic form 对数形式, for example $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.
Worked example. Show that $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
الدوال الزائدية مبنية من الدالة الأسية:
تخضع لهويات مشابهة جداً للهويات المثلثية، وأهمها $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. المقلوبات الثلاث تكمل المجموعة: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$، $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$، و $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ — جميعها مبنية أيضاً من $e^x$، وهي تستحق التمييز في التكاملات ومخططات الدرجات. الدوال الزائدية العكسية لها صيغة لوغاريتمية، على سبيل المثال $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.
مثال محلول. أثبت أن $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
y = a cosh(x)
cosh is the catenary (a hanging chain) — even, with its minimum at (0, a). · cosh هو الكاتينار (سلسلة معلقة) — دالة زوجية، يكون فيها الحد الأدنى عند (0, a).
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| formulate a problem involving the solution of 3 linear simultaneous equations in 3 unknowns as a problem involving the solution of a matrix equation, or vice versa | |
| understand the cases that may arise concerning the consistency or inconsistency of 3 linear simultaneous equations, relate them to the singularity or otherwise of the corresponding matrix, solve consistent systems, and interpret geometrically in terms of lines and planes | e.g. three planes meeting in a common point, or in a common line, or having no common points. |
| understand the terms 'characteristic equation', 'eigenvalue' and 'eigenvector', as applied to square matrices | Including use of the definition $\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$ to prove simple properties, e.g. that $\lambda^n$ is an eigenvalue of $\mathbf{A}^n$. |
| find eigenvalues and eigenvectors of $2 \times 2$ and $3 \times 3$ matrices | Restricted to cases where the eigenvalues are real and distinct. |
| express a square matrix in the form $\mathbf{QDQ}^{-1}$, where $\mathbf{D}$ is a diagonal matrix of eigenvalues and $\mathbf{Q}$ is a matrix whose columns are eigenvectors, and use this expression | e.g. in calculating powers of $2 \times 2$ or $3 \times 3$ matrices. |
| use the fact that a square matrix satisfies its own characteristic equation. | e.g. in finding successive powers of a matrix or finding an inverse matrix; restricted to $2 \times 2$ or $3 \times 3$ matrices only. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| صياغة مسألة تتضمن حل 3 معادلات خطية متزامنة في 3 مجاهيل كمسألة تتعلق بحل معادلة مصفوفة، أو العكس | |
| فهم الحالات التي قد تنشأ فيما يتعلق بتوافق أو عدم توافق 3 معادلات خطية متزامنة، وربطها بـ انفراد المصفوفة المقابلة أو عكسه، وحل الأنظمة المتوافقة، وتفسيرها هندسيًا بدلالة الخطوط والمستويات | مثال: ثلاثة مستويات تتقاطع في نقطة مشتركة، أو في خط مشترك، أو ليس لها نقاط مشتركة. |
| فهم مصطلحات 'المعادلة المميزة' و'قيمة ذاتية' و'متجه ذاتي'، كما تنطبق على المصفوفات المربعة | بما في ذلك استخدام التعريف $\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$ لإثبات خصائص بسيطة، مثل أن $\lambda^n$ هي قيمة ذاتية لـ $\mathbf{A}^n$. |
| إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفات $2 \times 2$ و$3 \times 3$ | مقيد بحالات تكون فيها القيم الذاتية حقيقية ومختلفة. |
| التعبير عن مصفوفة مربعة على الصورة $\mathbf{QDQ}^{-1}$، حيث $\mathbf{D}$ هي مصفوفة قطرية للقيم الذاتية و$\mathbf{Q}$ هي مصفوفة أعمدتها متجهات ذاتية، واستخدام هذا التعبير | مثلًا في حساب قوى المصفوفات $2 \times 2$ أو $3 \times 3$. |
| استخدام حقيقة أن المصفوفة المربعة تحقق معادلتها المميزة. | مثلًا في إيجاد القوى المتتالية لمصفوفة ما أو إيجاد معكوسها؛ مقيد بمصفوفات $2 \times 2$ أو $3 \times 3$ فقط. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
You can write three linear equations in three unknowns as a single matrix equation 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. If $A$ is non-singular there is one solution; if $A$ is singular the equations are either inconsistent (no solution) or have infinitely many.
For a square matrix $A$, the characteristic equation 特征方程 is $\det(A - \lambda I) = 0$. Its solutions are the eigenvalues 特征值 $\lambda$, and for each one the vector $\mathbf{v}$ with $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ is an eigenvector 特征向量. You can then write $A = QDQ^{-1}$, where $D$ is a diagonal matrix 对角矩阵 of eigenvalues and the columns of $Q$ are the eigenvectors.
Worked example. Find the eigenvalues of $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
The characteristic equation is
يمكنك كتابة ثلاثة معادلات خطية بثلاثة مجاهيل كمعادلة مصفوفة واحدة $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. إذا كانت $A$ غير صفرية (غير مفردة)، فستكون هناك حل واحد؛ وإذا كانت $A$ صفراً (مفردة)، فإما أن تكون المعادلات غير متسقة (لا حل) أو يكون لها لا نهائي من الحلول.
بالنسبة لمصفوفة مربعة $A$، المعادلة المميزة هي $\det(A - \lambda I) = 0$. حلولها هي القيم الذاتية $\lambda$، ولكل قيمة منها، المتجه $\mathbf{v}$ الذي يحقق $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ هو متجه ذاتي. يمكنك حينئذٍ كتابة $A = QDQ^{-1}$، حيث $D$ هي مصفوفة قطرية للقيم الذاتية وأعمدة $Q$ هي المتجهات الذاتية.
مثال محلول. أوجد القيم الذاتية لـ $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
المعادلة المميزة هي
Change the matrix to rotate, stretch or shear the unit square; the determinant shows how area changes. · غيّر المصفوفة لتدوير أو تمديد أو إزاحة المربع الوحدة؛ يُظهر المحدد كيفية تغير المساحة.
| English | العربية |
|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | رياضيات نقية إضافية |
| hyperbolic functions/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | الدوال الزائدية |
| inverse hyperbolic functions/ɪnˈvɜːs ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | الدوال الزائدية العكسية |
| logarithmic form/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk fɔːm/ | الشكل اللوغاريتمي |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | معادلة مصفوفية |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | المعادلة المميزة |
| eigenvalues/ˈaɪdʒənvæljuːz/ | القيم الذاتية |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | متجه ذاتي |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | مصفوفة قطرية |
| Maclaurin's series/məˈklɔːrɪnz ˈsɪəriːz/ | متسلسلة ماكلورين |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | إكمال المربع |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | صيغة الاختزال |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | طول القوس |
| surface area of revolution/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | مساحة السطح الناتج عن الدوران |
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | مجموع ريمان |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | عدد مركب |
| De Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | نظرية دموأر |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • differentiate hyperbolic functions and differentiate $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, $\cosh^{-1}x$ and $\tanh^{-1}x$ | |
| • obtain an expression for $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ in cases where the relation between $x$ and $y$ is defined implicitly or parametrically | |
| • derive and use the first few terms of a Maclaurin's series for a function. | Derivation of a general term is not included, but successive 'implicit' differentiation steps may be required, e.g. for $y = \tan x$ following an initial differentiation rearranged as $y' = 1 + y^2$. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • اشتق الدوال الزائدية واشتق $\sin^{-1}x$، $\cos^{-1}x$، $\sinh^{-1}x$، $\cosh^{-1}x$ و$\tanh^{-1}x$ | |
| • الحصول على تعبير لـ $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ في الحالات التي يكون فيها العلاقة بين $x$ و$y$ معرفة ضمنيًا أو بارامترية | |
| • استنتاج واستخدام الحدود الأولى من متسلسلة ماكلورين لدالة ما. | لا يُشمل استنتاج الحد العام، ولكن قد تكون خطوات الاشتقاق الضمني المتتالية مطلوبة، مثلًا لـ $y = \tan x$ بعد إعادة الترتيب الابتدائي للاشتقاق كـ $y' = 1 + y^2$. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
You can now differentiate the hyperbolic functions and the inverse functions $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ and so on. You can also find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ for curves given implicitly or parametrically.
A Maclaurin's series 麦克劳林级数 writes a function as a power series:
Worked example. Find the Maclaurin series of $f(x) = \ln(1+x)$ up to the term in $x^3$.
$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ so $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ so $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ so $f'''(0) = 2$. Substituting into the series:
يمكنك الآن اشتقاق الدوال الزائدية والدوال العكسية $\sin^{-1}x$، $\tan^{-1}x$، $\sinh^{-1}x$ وهكذا. يمكنك أيضاً إيجاد $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ للمنحنيات المعطاة بشكل ضمني أو بارامترية.
متسلسلة ماكلورين تكتب الدالة كمتسلسلة قوى:
مثال محلول. أوجد متسلسلة ماكلورين لـ $f(x) = \ln(1+x)$ حتى الحد في $x^3$.
$f(0) = 0$؛ $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ إذن $f'(0) = 1$؛ $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ إذن $f''(0) = -1$؛ $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ إذن $f'''(0) = 2$. بالتعويض في المتسلسلة:
gradient = dy/dx · الميل = dy/dx
The derivative is the slope of the tangent, however exotic the function. · المشتقة هي ميل المماس، بغض النظر عن تعقيد الدالة.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • integrate hyperbolic functions and recognise integrals of functions of the form $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ and $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$, and integrate associated functions using trigonometric substitutions or hyperbolic substitutions as appropriate | Including use of completing the square where necessary, e.g. to integrate $\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$. |
| • derive and use reduction formulae for the evaluation of definite integrals | e.g. $\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$, $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$. In harder cases hints may be given, e.g. $\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$ by considering $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$. |
| • understand how the area under a curve may be approximated by areas of rectangles, and use rectangles to estimate or set bounds for the area under a curve or to derive inequalities or limits concerning sums | Questions may involve either rectangles of unit width or rectangles whose width can tend to zero, e.g. $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$, $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. continued |
| • use integration to find – arc lengths for curves with equations in Cartesian coordinates, including the use of a parameter, or in polar coordinates – surface areas of revolution about one of the axes for curves with equations in Cartesian coordinates, including the use of a parameter. | Any questions involving integration may require techniques from Cambridge International A Level Mathematics (9709) applied to more difficult cases, e.g. integration by parts for $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$, or use of the substitution $t = \tan \frac{1}{2}x$. Surface areas of revolution for curves with equations in polar coordinates will not be required. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • تكامل الدوال الزائدية والتعرف على تكاملات الدوال من الشكل $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$، $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ و$\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$، وتكامل الدوال المرتبطة باستخدام التعويضات المثلثية أو التعويضات الزائدية حسب الاقتضاء | بما في ذلك استخدام إكمال المربع عند الحاجة، مثلًا لتكامل $\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$. |
| • استنتاج واستخدام قوانين التناقص لتقييم التكاملات المحددة | مثلًا $\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$، $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$. في الحالات الأصعب قد تُعطى إشارات، مثلًا $\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$ عن طريق النظر في $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$. |
| • فهم كيفية تقريب المساحة تحت المنحنى بواسطة مساحات المستطيلات، واستخدام المستطيلات لتقدير أو وضع حدود للمساحة تحت منحنى ما أو لاستنتاج متباينات أو حدود تتعلق بالمجموع | قد تتضمن الأسئلة مستطيلات بعرض وحدة واحدة أو مستطيلات يتجه عرضها إلى الصفر، مثلًا $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$، $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. استمرار |
| • استخدام التكامل لإيجاد – أطوال الأقواس للمنحنيات ذات المعادلات الإحداثيات الديكارتية، بما في ذلك استخدام معلم، أو في الإحداثيات القطبية – مساحات الأسطح الناتجة عن الدوران حول أحد المحاور للمنحنيات ذات المعادلات الإحداثيات الديكارتية، بما في ذلك استخدام معلم. | أي أسئلة تتضمن التكامل قد تتطلب تقنيات من منهج كامبريدج الدولي رياضيات المستوى أ (9709) مطبقة على حالات أصعب، مثلًا التكامل بالتجزئة لـ $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$، أو استخدام التعويض $t = \tan \frac{1}{2}x$. لن يُطلب مساحات الأسطح الناتجة عن الدوران للمنحنيات ذات المعادلات في الإحداثيات القطبية. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
Learn these standard integrals:
Worked example. Find $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.
Here $a^2 = 4$, so $a = 2$ and
Bounding a sum by an integral. Draw rectangles of unit width under, or over, a decreasing curve such as $y=\frac1x$. Each rectangle of height $\frac1r$ is trapped between two integral strips, so summing gives
احفظ هذه التكاملات القياسية:
مثال محلّل. أوجد $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.
هنا $a^2 = 4$، إذن $a = 2$ و
تحديد حد لمجموع باستخدام تكامل. ارسم مستطيلات بعرض وحدة تحت أو فوق منحنٍ تنازلي مثل $y=\frac1x$. كل مستطيل ارتفاعه $\frac1r$ محبوس بين شريطي تكامل، لذا فإن المجموع يعطي
area = ∫ f(x) dx · المساحة = ∫ f(x) dx
Every integral measures the area under the curve — drag the limits. · كل تكامل يقيس المساحة تحت المنحنى — اسحب حدود التكامل.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand de Moivre’s theorem, for a positive or negative integer exponent, in terms of the geometrical effect of multiplication and division of complex numbers | |
| • prove de Moivre’s theorem for a positive integer exponent | e.g. by induction. |
| • use de Moivre’s theorem for a positive or negative rational exponent | e.g. expressing $\cos 5\theta$ in terms of $\cos \theta$ or $\tan 5\theta$ in terms of $\tan \theta$. |
| – to express trigonometrical ratios of multiple angles in terms of powers of trigonometrical ratios of the fundamental angle | e.g. expressing $\sin^6 \theta$ in terms of $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$ and $\cos 6\theta$. |
| – to express powers of $\sin \theta$ and $\cos \theta$ in terms of multiple angles | |
| – in the summation of series | e.g. using the '$C + \mathrm{i}S$' method to sum series such as $\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$. |
| – in finding and using the $n$th roots of unity. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • فهم نظرية دي مويفر، لأس موجب أو سالب، من حيث التأثير الهندسي لضرب وقسم الأعداد المركبة | |
| • إثبات نظرية دي مويفر لأس موجب | مثلًا بالاستقراء. |
| • استخدم نظرية ديموافر لأسس نسبية موجبة أو سالبة | مثال: التعبير عن $\cos 5\theta$ بدلالة $\cos \theta$ أو $\tan 5\theta$ بدلالة $\tan \theta$. |
| – للتعبير عن نسب مثلثية لزوايا متعددة بدلالة قوى النسب المثلثية للزاوية الأساسية | مثلًا التعبير عن $\sin^6 \theta$ بدلالة $\cos 2\theta$، $\cos 4\theta$ و$\cos 6\theta$. |
| – للتعبير عن قوى $\sin \theta$ و$\cos \theta$ بدلالة زوايا متعددة | |
| – في مجموع المتتاليات | مثال: استخدام طريقة '$C + \mathrm{i}S$' لحساب متتاليات مثل $\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$. |
| – في إيجاد واستخدام الجذور الـ $n$th لوحدات الجذر. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
A complex number 复数 in polar form is $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. De Moivre's theorem 棣莫弗定理 says that for any integer $n$,
Worked example. Use de Moivre's theorem to express $\cos 3\theta$ in terms of $\cos\theta$.
Take the real part of $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:
العدد المركب بالصيغة القطبية هو $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. نظرية دي مويفر تنص على أنه لأي عدد صحيح $n$،
مثال محلول. استخدم نظرية دي مويفر للتعبير عن $\cos 3\theta$ بدلالة $\cos\theta$.
خذ الجزء الحقيقي من $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:
Drag the point to explore modulus and argument — the language of complex numbers in polar (modulus–argument) form. · اسحب النقطة لاستكشاف القيمة المطلقة والحجة — لغة الأعداد المركبة بالصيغة القطبية (القيمة المطلقة–الحجة).
| English | العربية |
|---|---|
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | جذور الوحدة |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | عامل التكامل |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | الحل العام |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | الدالة التكميلية |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | التكامل الخاص |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | الحل الخاص |
| separable variables/ˈsepərəbl ˈveərɪəblz/ | المتغيرات القابلة للفصل |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | المعادلة المساعدة |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • find an integrating factor for a first order linear differential equation, and use an integrating factor to find the general solution | e.g. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$, $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| • recall the meaning of the terms 'complementary function' and 'particular integral' in the context of linear differential equations, and recall that the general solution is the sum of the complementary function and a particular integral | |
| find the complementary function for a first or second order linear differential equation with constant coefficients | For second order equations, including the cases where the auxiliary equation has distinct real roots, a repeated real root or conjugate complex roots. |
| recall the form of, and find, a particular integral for a first or second order linear differential equation in the cases where a polynomial or $ae^{bx}$ or $a\cos px + b\sin px$ is a suitable form, and in other simple cases find the appropriate coefficient(s) given a suitable form of particular integral | e.g. evaluate $k$ given that $kx \cos 2x$ is a particular integral of $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| use a given substitution to reduce a differential equation to a first or second order linear equation with constant coefficients or to a first order equation with separable variables | e.g. the substitution $x = e^t$ to reduce to linear form a differential equation with terms of the form $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ , or the substitution $y = ux$ to reduce $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ to separable form. |
| use initial conditions to find a particular solution to a differential equation, and interpret a solution in terms of a problem modelled by a differential equation. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • إيجاد عامل تكامل لمعادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى، واستخدام عامل تكامل لإيجاد الحل العام | مثلًا $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$، $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$، $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| • تذكر معنى حددي 'الدالة التكميلية' و'المكامل الخاص' في سياق المعادلات التفاضلية الخطية، وتذكر أن الحل العام هو مجموع الدالة التكميلية والمكامل الخاص | |
| إيجاد الدالة التكميلية لمعادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى أو الثانية بمعاملات ثابتة | للمعادلات من الرتبة الثانية، بما في ذلك الحالات التي يكون فيها المعادلة المساعدة جذورها الحقيقية المختلفة، جذر حقيقي مكرر أو جذور مركبة مرافقة. |
| تذكر شكل ويجاد مكامل خاص لمعادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى أو الثانية في الحالات التي يكون فيها كثير حدود أو $ae^{bx}$ أو $a\cos px + b\sin px$ شكلاً مناسبًا، وفي حالات بسيطة أخرى إيجاد المعامل(ات) المناسبة مع给定 شكل مناسب للمكامل الخاص | مثلًا تقييم $k$ مع العلم أن $kx \cos 2x$ مكامل خاص لـ $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| استخدام تعويض معطى لتبسيط معادلة تفاضلية إلى معادلة خطية من الرتبة الأولى أو الثانية بمعاملات ثابتة أو إلى معادلة من الرتبة الأولى بـ متغيرات قابلة للفصل | مثلًا التعويض $x = e^t$ لتبسيط معادلة تفاضلية ذات حدود من الشكل $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ إلى صورة خطية، أو التعويض $y = ux$ لتبسيط $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ إلى صورة قابلة للفصل. |
| استخدام الشروط الأولية لإيجاد حل خاص لمعادلة تفاضلية، وتفسير حل بدلالة نموذج مشكلة نمذجتها معادلة تفاضلية. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
For a first order linear equation $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiply by the integrating factor 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. The left side then becomes $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, so you can integrate directly.
For a linear equation with constant coefficients, the general solution 通解 is the sum of two parts: the complementary function 余函数 (the solution of the equation with the right side set to $0$, found from the auxiliary equation) and a particular integral 特积分 (any one solution of the full equation). Initial conditions then fix the constants to give the particular solution 特解; simpler equations with separable variables 可分离变量 are integrated directly.
Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.
The integrating factor is $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Multiplying through gives $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, so
Second order, constant coefficients. For $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, solve the auxiliary equation 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. The complementary function depends on its roots:
Then add a particular integral by trying a form matching $f(x)$ (a polynomial, $ae^{bx}$, or $a\cos px+b\sin px$); if that trial already appears in the complementary function, multiply it by $x$.
Worked example. Solve $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. The auxiliary equation $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ has a repeated root $m=2$, so $y=(A+Bx)e^{2x}$.
بالنسبة لمعادلة خطية من الرتبة الأولى $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$، اضرب في عامل التكامل $\mu = e^{\int P\,dx}$. يصبح الطرف الأيسر حينئذٍ $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$، sehingga يمكنك التكامل مباشرة.
بالنسبة لمعادلة خطية بمعاملات ثابتة، الحل العام هو مجموع جزأين: الدالة المكملة (حل المعادلة مع جعل الطرف الأيمن مساوياً لـ $0$، يُوجد من المعادلة المساعدة) وتكامل خاص (أي حل واحد من المعادلة الكاملة). ثم تحدد الشروط الابتدائية الثوابت للحصول على الحل الخاص؛ المعادلات البسيطة ذات المتغيرات القابلة للفصل تُكامل مباشرة.
مثال محلول. حل $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.
عامل التكامل هو $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. بالضرب في الطرفين نحصل على $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$، لذا
من الدرجة الثانية، معاملات ثابتة. بالنسبة لـ $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$، حل المعادلة المساعدة $m^2+bm+c=0$. تعتمد الدالة التكميلية على جذورها:
ثم أضف تكاملاً خاصاً بتجربة شكل يطابق $f(x)$ (كثير حدود، $ae^{bx}$، أو $a\cos px+b\sin px$)؛ إذا كان هذا التجريب موجوداً بالفعل في الدالة التكميلية، اضربه في $x$.
مثال محلول. حل $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. المعادلة المساعدة $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ لها جذر مكرر $m=2$، لذا $y=(A+Bx)e^{2x}$.
dy/dx = a y
The equation sets the slope everywhere; the solution follows those slopes. · تحديد المعادلة الميل في كل نقطة؛ يتبع الحل تلك الميل.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.
Past Papers · أوراق الامتحانات السابقة
Loading subjects… · جار تحميل المواضيع…