IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP Sheet preview · ⁨Предпросмотр листа⁩

Sampling Distributions · ⁨Выборочные распределения⁩

AP Statistics · Topic 5 · ⁨Тема 5⁩

View Slides · ⁨Просмотр слайдов⁩ Train · ⁨Тренировать⁩
Video lesson for this topic · ⁨Видеоурок по этой теме⁩ Open the video page · ⁨Открыть страницу видео⁩
7:32

Выборочные распределения

Две тысячи учеников учатся в этой школе, и некоторые из них приезжают на велосипедах. Мы хотим узнать, какова их доля. Никто не может спросить всех двух тысяч, поэтому мы спрашиваем случайную сотню.…

English narration · English + 中文 subtitles burned in · ⁨Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)⁩

5.1

Why Two Samples Never Match: Sampling Variability · ⁨Почему две выборки никогда не совпадают: вариация выборки⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Enduring Understanding (VAR-1): Given that variation may be random or not, conclusions are uncertain.

Learning Objective VAR-1.G: Identify questions suggested by variation in statistics for samples collected from the same population. [Skill 1.A]

  • VAR-1.G.1 Variation in statistics for samples taken from the same population may be random or not.
Русский

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Цель обучения VAR-1.G: Определять вопросы, возникающие из-за вариации статистик в выборках, собранных из одной генеральной совокупности. [Навык 1.A]

  • VAR-1.G.1 Вариация статистик в выборках, взятых из одной генеральной совокупности, может быть случайной или неслучайной.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A statistic 统计量 (like a sample mean $\bar{x}$ or sample proportion $\hat{p}$) is computed from a sample and varies from sample to sample – this is sampling variability 抽样变异. A parameter 参数 ($\mu$ or $p$) is the fixed truth about the population. The sampling distribution 抽样分布 is the distribution of a statistic over all possible samples of a given size – it is the bridge from one sample to inference.

Русский

Статистика (например, выборочное среднее $\bar{x}$ или выборочная доля $\hat{p}$) вычисляется на основе выборки и варьируется от выборки к выборке — это вариация выборки. Параметр ($\mu$ или $p$) — это фиксированная истина о генеральной совокупности. Выборочное распределение — это распределение статистики по всем возможным выборкам данного размера — оно служит мостом от одной выборки к выводу.

5.2

The Normal Curve as a Model for a Statistic · ⁨Нормальная кривая как модель статистики⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
Enduring UnderstandingLearning ObjectiveEssential Knowledge

VAR-6
The normal distribution may be used to model variation.

VAR-6.A
Calculate the probability that a particular value lies in a given interval of a normal distribution. [Skill 3.A]

  • VAR-6.A.1 A continuous random variable is a variable that can take on any value within a specified domain. Every interval within the domain has a probability associated with it.
  • VAR-6.A.2 A continuous random variable with a normal distribution is commonly used to describe populations. The distribution of a normal random variable can be described by a normal, or "bell-shaped," curve.
  • VAR-6.A.3 The area under a normal curve over a given interval represents the probability that a particular value lies in that interval.
    • Illustrative examples for VAR-6.A: Continuous random variable: If one looks at a clock at a random time, the probability that the minute hand is between the 3 and the 6 is one fourth.

VAR-6.B
Determine the interval associated with a given area in a normal distribution. [Skill 3.A]

  • VAR-6.B.1 The boundaries of an interval associated with a given area in a normal distribution can be determined using $z$-scores or technology, such as a calculator, a standard normal table, or computer-generated output.
  • VAR-6.B.2 Intervals associated with a given area in a normal distribution can be determined by assigning appropriate inequalities to the boundaries of the intervals:
    • a. $P(X < x_a) = \dfrac{p}{100}$ means that the lowest $p\%$ of values lie to the left of $x_a$.
    • b. $P(x_a < X < x_b) = \dfrac{p}{100}$ means that $p\%$ of values lie between $x_a$ and $x_b$.
    • c. $P(X > x_b) = \dfrac{p}{100}$ means that the highest $p\%$ of values lie to the right of $x_b$.
    • d. To determine the most extreme $p\%$ of values requires dividing the area associated with $p\%$ into two equal areas on either extreme of the distribution: $P(X < x_a) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ and $P(X > x_b) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ means that half of the $p\%$ most extreme values lie to the left of $x_a$ and half of the $p\%$ most extreme values lie to the right of $x_b$.

VAR-6.C
Determine the appropriateness of using the normal distribution to approximate probabilities for unknown distributions. [Skill 3.C]

  • VAR-6.C.1 Normal distributions are symmetrical and "bell-shaped." As a result, normal distributions can be used to approximate distributions with similar characteristics.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English
The normal distribution

For large enough samples, many sampling distributions are approximately normal. That lets us describe a statistic by a center (its mean), a spread (its standard error 标准误), and a normal shape – and then compute how likely a given sample result is.

Русский
Нормальное распределение

Для достаточно больших выборок многие выборочные распределения приблизительно нормальны. Это позволяет описать статистику через центр (ее среднее), разброс (ее стандартную ошибку) и нормальную форму, а затем вычислить, насколько вероятен данный результат выборки.

Explore · ⁨Исследовать⁩

Use the normal curve to find a proportion · ⁨Используйте нормальную кривую для нахождения пропорции⁩

A normal model turns a range of values into an area = a proportion. Shade a band to read off the fraction of samples falling within it (the 68-95-99.7 rule). · ⁨Нормальное преобразование диапазона значений в площадь = долю. Закрасьте полосу, чтобы определить fraction выборки, попадающей в этот диапазон (правило 68-95-99.7).⁩

5.3

The Central Limit Theorem · ⁨Центральная предельная теорема⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.H: Estimate sampling distributions using simulation. [Skill 3.C]

  • UNC-3.H.1 A sampling distribution of a statistic is the distribution of values for the statistic for all possible samples of a given size from a given population.
  • UNC-3.H.2 The central limit theorem (CLT) states that when the sample size is sufficiently large, a sampling distribution of the mean of a random variable will be approximately normally distributed.
  • UNC-3.H.3 The central limit theorem requires that the sample values are independent of each other and that $n$ is sufficiently large.
  • UNC-3.H.4 A randomization distribution is a collection of statistics generated by simulation assuming known values for the parameters. For a randomized experiment, this means repeatedly randomly reallocating/reassigning the response values to treatment groups.
  • UNC-3.H.5 The sampling distribution of a statistic can be simulated by generating repeated random samples from a population.
Русский

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.H: Оценивать выборочные распределения с помощью моделирования. [Навык 3.C]

  • UNC-3.H.1 Выборочное распределение статистики — это распределение значений этой статистики для всех возможных выборок данного размера из данной генеральной совокупности.
  • UNC-3.H.2 Центральная предельная теорема (ЦПТ) гласит, что при достаточном размере выборки выборочное распределение среднего значения случайной величины будет приблизительно нормальным.
  • UNC-3.H.3 Центральная предельная теорема требует, чтобы значения выборки были независимы друг от друга и чтобы $n$ было достаточно большим.
  • UNC-3.H.4 Случайное распределение — это набор статистик, полученных путем моделирования при известных значениях параметров. Для рандомизированного эксперимента это означает многократное случайное перераспределение/переназначение значений ответа на группы обработки.
  • UNC-3.H.5 Выборочное распределение статистики можно смоделировать, генерируя повторяющиеся случайные выборки из генеральной совокупности.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English
The Central Limit Theorem

The Central Limit Theorem 中心极限定理 (CLT): for a sample mean, if the sample size $n$ is large enough (a common rule is $n\ge 30$), the sampling distribution of $\bar{x}$ is approximately normal, regardless of the population's shape. The larger $n$, the more normal and the tighter the distribution.

Русский
Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема (ЦПТ): для выборочного среднего, если размер выборки $n$ достаточно велик (общее правило — $n\ge 30$), выборочное распределение $\bar{x}$ приблизительно нормально, независимо от формы генеральной совокупности. Чем больше $n$, тем более нормальным становится распределение и тем плотнее оно.

Выборочное среднее почти нормально, независимо от формы генеральной совокупности
Выборочное среднее почти нормально, независимо от формы генеральной совокупности
Explore · ⁨Исследовать⁩

Watch a sampling distribution turn normal · ⁨Наблюдайте, как выборочное распределение становится нормальным⁩

The Central Limit Theorem: for a large enough sample, the distribution of the sample mean is approximately normal — whatever the shape of the population. · ⁨Центральная предельная теорема: для достаточно большого выборки распределение среднего выборки приблизительно нормально — независимо от формы генеральной совокупности.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩
English Русский
statistic/stəˈtɪstɪk/ статистикой
sampling variability/ˈsæmplɪŋ ˌveərɪəˈbɪlɪti/ вариабельность выборки
parameter/pəˈræmɪtə/ параметром
sampling distribution/ˈsæmplɪŋ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ выборочное распределение
standard error/ˈstændəd ˈerə/ стандартная ошибка
5.4

Good Guesses and Bad Guesses: Bias · ⁨Хорошие и плохие оценки: смещение⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.I: Explain why an estimator is or is not unbiased. [Skill 4.B]

  • UNC-3.I.1 When estimating a population parameter, an estimator is unbiased if, on average, the value of the estimator is equal to the population parameter.

Learning Objective UNC-3.J: Calculate estimates for a population parameter. [Skill 3.B]

  • UNC-3.J.1 When estimating a population parameter, an estimator exhibits variability that can be modeled using probability.
  • UNC-3.J.2 A sample statistic is a point estimator of the corresponding population parameter.
Русский

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.I: Объяснять, является ли оценщик смещенным или несмещенным. [Навык 4.B]

  • UNC-3.I.1 При оценке параметра генеральной совокупности оценщик считается несмещенным, если в среднем его значение равно параметру генеральной совокупности.

Цель обучения UNC-3.J: Вычислять оценки для параметра генеральной совокупности. [Навык 3.B]

  • UNC-3.J.1 При оценке параметра генеральной совокупности оценочная функция демонстрирует изменчивость, которую можно смоделировать с помощью теории вероятностей.
  • UNC-3.J.2 Выборочная статистика является точечной оценкой соответствующего параметра генеральной совокупности.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A statistic is unbiased 无偏 if the mean of its sampling distribution equals the parameter – it is correct on average. Bias is about the center being off; variability is about the spread. A good estimator is both unbiased (centered right) and low-variability (precise); larger samples reduce variability but do not fix bias from bad sampling.

Русский

Статистика является несмещенной, если среднее ее выборочного распределения равно параметру — она верна в среднем. Смещение касается смещения центра; вариативность касается разброса. Хорошая оценка должна быть одновременно несмещенной (правильный центр) и маловариативной (точность); большие выборки снижают вариативность, но не устраняют смещение, вызванное плохой выборкой.

Четыре выборочных распределения пересекают смещение и вариативность относительно истинного параметра
Смещение и изменчивость — это отдельные ошибки. Только верхний левый оценщик одновременно центрирован относительно $\theta$ и обладает высокой точностью; нижний левый точен, но систематически ошибается, и никакое количество дополнительных данных не исправит эту проблему.
5.5

The Sampling Distribution of a Sample Proportion · ⁨Выборочное распределение выборочной доли⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.K: Determine parameters of a sampling distribution for sample proportions. [Skill 3.B]

  • UNC-3.K.1 For independent samples (sampling with replacement) of a categorical variable from a population with population proportion, $p$, the sampling distribution of the sample proportion, $\hat{p}$, has a mean, $\mu_{\hat{p}} = p$ and a standard deviation, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
  • UNC-3.K.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the sample proportion is smaller than what is given by the formula above. If the sample size is less than 10% of the population size, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.L: Determine whether a sampling distribution for a sample proportion can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

  • UNC-3.L.1 For a categorical variable, the sampling distribution of the sample proportion, $\hat{p}$, will have an approximate normal distribution, provided the sample size is large enough: $np \geq 10$ and $n(1-p) \geq 10$

Learning Objective UNC-3.M: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample proportion. [Skill 4.B]

  • UNC-3.M.1 Probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample proportion should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population.
Русский

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.K: Определять параметры выборочного распределения для выборочных долей. [Навык 3.B]

  • UNC-3.K.1 Для независимых выборок (выборки с возвращением) категориальной переменной из генеральной совокупности с долей $p$, выборочное распределение выборочной доли, $\hat{p}$, имеет среднее значение $\mu_{\hat{p}} = p$ и стандартное отклонение $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
  • UNC-3.K.2 Если выборка проводится без возвращения, стандартное отклонение выборочной доли меньше, чем указано в формуле выше. Если размер выборки составляет менее 10% от размера генеральной совокупности, разница является незначительной.

Цель обучения UNC-3.L: Определять, может ли выборочное распределение для выборочной доли быть описано как приблизительно нормальное. [Навык 3.C]

  • UNC-3.L.1 Для категориальной переменной выборочное распределение выборочной доли, $\hat{p}$, будет иметь приблизительно нормальное распределение при условии достаточного размера выборки: $np \geq 10$ и $n(1-p) \geq 10$

Цель обучения UNC-3.M: Интерпретировать вероятности и параметры выборочного распределения для выборочных долей. [Навык 4.B]

  • UNC-3.M.1 Вероятности и параметры выборочного распределения для выборочных долей следует интерпретировать с использованием соответствующих единиц измерения и в контексте конкретной генеральной совокупности.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

For a sample proportion $\hat{p}$ from an SRS: the mean is $p$ (unbiased), and the standard deviation is

$$\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$
This spread has two names: it is the standard deviation of the sampling distribution, and it is called the standard error once you must estimate it from the sample (replacing $p$ by $\hat p$) — which is exactly what the later inference units do. It is approximately normal when $np\ge 10$ and $n(1-p)\ge 10$ (the Large Counts condition), and the $10\%$ condition ($n\le 0.10N$) keeps the observations near-independent.

Worked example. Suppose $40\%$ of voters favor a measure ($p=0.4$) and you sample $n=100$. The standard error is $\sigma_{\hat p}=\sqrt{\dfrac{0.4(0.6)}{100}}=0.049$. The chance a sample gives $\hat{p}>0.5$ is $z=\dfrac{0.5-0.4}{0.049}=2.04$, so $P(\hat p>0.5)\approx0.02$ – a majority in the sample would be surprising.

Русский

Для выборочной доли $\hat{p}$ из СВС: среднее равно $p$ (несмещенная), а стандартное отклонение равно

$$\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$
Это разброс имеет два названия: он является стандартным отклонением выборочного распределения и называется стандартной ошибкой, когда его нужно оценивать по выборке (заменяя $p$ на $\hat p$) — именно так поступают в последующих разделах о выводе статистических заключений. Оно приблизительно нормально, когда выполняются условия $np\ge 10$ и $n(1-p)\ge 10$ (условие больших выборок), а условие $10\%$ ($n\le 0.10N$) обеспечивает почти независимость наблюдений.

Разбор примера. Предположим, что $40\%$ избирателей поддерживают меру ($p=0.4$), а размер вашей выборки составляет $n=100$. Стандартная ошибка равна $\sigma_{\hat p}=\sqrt{\dfrac{0.4(0.6)}{100}}=0.049$. Вероятность того, что выборка покажет результат $\hat{p}>0.5$, составляет $z=\dfrac{0.5-0.4}{0.049}=2.04$, поэтому $P(\hat p>0.5)\approx0.02$ — большинство в выборке было бы неожиданным.

5.6

Comparing Two Groups: Difference of Sample Proportions · ⁨Сравнение двух групп: Разница выборочных долей⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.N: Determine parameters of a sampling distribution for a difference in sample proportions. [Skill 3.B]

  • UNC-3.N.1 For a categorical variable, when randomly sampling with replacement from two independent populations with population proportions $p_1$ and $p_2$, the sampling distribution of the difference in sample proportions $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ has mean, $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ and standard deviation, $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
  • UNC-3.N.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the difference in sample proportions is smaller than what is given by the formula above. If the sample sizes are less than 10% of the population sizes, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.O: Determine whether a sampling distribution for a difference of sample proportions can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

  • UNC-3.O.1 The sampling distribution of the difference in sample proportions $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ will have an approximate normal distribution provided the sample sizes are large enough: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Learning Objective UNC-3.P: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a difference in proportions. [Skill 4.B]

  • UNC-3.P.1 Parameters for a sampling distribution for a difference of proportions should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific populations.
Русский

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.N: Определять параметры выборочного распределения для разницы выборочных долей. [Навык 3.B]

  • UNC-3.N.1 Для категориальной переменной при случайной выборке с возвращением из двух независимых генеральных совокупностей с долями $p_1$ и $p_2$, выборочное распределение разницы выборочных долей $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ имеет среднее значение $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ и стандартное отклонение $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
  • UNC-3.N.2 Если выборка проводится без возвращения, стандартное отклонение разницы выборочных долей меньше, чем указано в формуле выше. Если размеры выборок составляют менее 10% от размеров генеральных совокупностей, разница является незначительной.

Цель обучения UNC-3.O: Определять, может ли выборочное распределение для разницы выборочных долей быть описано как приблизительно нормальное. [Навык 3.C]

  • UNC-3.O.1 Выборочное распределение разницы выборочных долей $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ будет иметь приблизительно нормальное распределение при условии достаточного размера выборок: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Цель обучения UNC-3.P: Интерпретировать вероятности и параметры выборочного распределения для разницы пропорций. [Навык 4.B]

  • UNC-3.P.1 Параметры выборочного распределения для разницы пропорций следует интерпретировать с использованием соответствующих единиц измерения и в контексте конкретных генеральных совокупностей.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

For $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ from two independent samples: the mean is $p_1-p_2$, and because the samples are independent the variances add:

$$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}.$$
It is approximately normal when the Large Counts condition holds in both samples.

Русский

Для разницы $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ из двух независимых выборок: среднее равно $p_1-p_2$, и поскольку выборки независимы, дисперсии складываются:

$$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}.$$
Оно приблизительно нормально, когда условие больших выборок выполняется для обеих выборок.

5.7

The Sampling Distribution of a Sample Mean · ⁨Выборочное распределение выборочного среднего⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.Q: Determine parameters for a sampling distribution for sample means. [Skill 3.B]

  • UNC-3.Q.1 For a numerical variable, when random sampling with replacement from a population with mean $\mu$ and standard deviation, $\sigma$, the sampling distribution of the sample mean has mean $\mu_{\bar{x}} = \mu$ and standard deviation $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
  • UNC-3.Q.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the sample mean is smaller than what is given by the formula above. If the sample size is less than 10% of the population size, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.R: Determine whether a sampling distribution of a sample mean can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

  • UNC-3.R.1 For a numerical variable, if the population distribution can be modeled with a normal distribution, the sampling distribution of the sample mean, $\bar{x}$, can be modeled with a normal distribution.
  • UNC-3.R.2 For a numerical variable, if the population distribution cannot be modeled with a normal distribution, the sampling distribution of the sample mean, $\bar{x}$, can be modeled approximately by a normal distribution, provided the sample size is large enough, e.g., greater than or equal to 30.

Learning Objective UNC-3.S: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample mean. [Skill 4.B]

  • UNC-3.S.1 Probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample mean should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population.
Русский

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.Q: Определять параметры выборочного распределения для выборочных средних. [Навык 3.B]

  • UNC-3.Q.1 Для количественной переменной при случайной выборке с возвращением из генеральной совокупности со средним значением $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$, выборочное распределение выборочного среднего имеет среднее значение $\mu_{\bar{x}} = \mu$ и стандартное отклонение $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
  • UNC-3.Q.2 Если выборка проводится без возвращения, стандартное отклонение выборочного среднего меньше, чем указано в формуле выше. Если размер выборки составляет менее 10% от размера генеральной совокупности, разница является незначительной.

Цель обучения UNC-3.R: Определять, может ли выборочное распределение выборочного среднего быть описано как приблизительно нормальное. [Навык 3.C]

  • UNC-3.R.1 Для количественной переменной, если распределение генеральной совокупности можно смоделировать нормальным распределением, выборочное распределение выборочного среднего, $\bar{x}$, также можно смоделировать нормальным распределением.
  • UNC-3.R.2 Для количественной переменной, если распределение генеральной совокупности нельзя смоделировать нормальным распределением, выборочное распределение выборочного среднего, $\bar{x}$, можно смоделировать приблизительно нормальным распределением при условии достаточного размера выборки, например, равного или превышающего 30.

Цель обучения UNC-3.S: Интерпретировать вероятности и параметры выборочного распределения для выборочных средних. [Навык 4.B]

  • UNC-3.S.1 Вероятности и параметры выборочного распределения для выборочных средних следует интерпретировать с использованием соответствующих единиц измерения и в контексте конкретной генеральной совокупности.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

For a sample mean $\bar{x}$ from an SRS: the mean is $\mu$ (unbiased), and the standard deviation is

$$\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$
Its shape is normal if the population is normal, or approximately normal for large $n$ by the CLT. Note the spread shrinks like $\sqrt{n}$ – quadrupling the sample halves the standard error.

Worked example. A population has $\mu=70$ and $\sigma=12$. For samples of $n=36$, the sampling distribution of $\bar{x}$ is centered at $70$ with standard error $\dfrac{12}{\sqrt{36}}=2$. The chance a sample mean exceeds $73$ is $z=\dfrac{73-70}{2}=1.5$, so $P(\bar x>73)\approx0.067$.

Русский

Для выборочного среднего $\bar{x}$ из СВС: среднее равно $\mu$ (несмещенная), а стандартное отклонение равно

$$\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$
Его форма нормальна, если генеральная совокупность нормальна, или приблизительно нормальна при большом $n$ благодаря ЦПТ. Обратите внимание, что разброс уменьшается пропорционально $\sqrt{n}$ — четверное увеличение размера выборки уменьшает стандартную ошибку вдвое.

Разбор примера. Генеральная совокупность имеет среднее $\mu=70$ и стандартное отклонение $\sigma=12$. Для выборок размера $n=36$ выборочное распределение $\bar{x}$ центрировано около $70$ со стандартной ошибкой $\dfrac{12}{\sqrt{36}}=2$. Вероятность того, что выборочное среднее превысит $73$, составляет $z=\dfrac{73-70}{2}=1.5$, следовательно, $P(\bar x>73)\approx0.067$.

Выборочное распределение среднего сужается и становится более нормальным по мере роста n
Генеральная совокупность слева сильно скошена, однако каждое выборочное распределение $\bar{x}$ центрировано относительно $\mu$. Увеличение $n$ уменьшает стандартную ошибку $\sigma/\sqrt{n}$, поэтому кривая становится выше и узже — она также выпрямляется: все еще явно скошена при $n=2$, но почти точно нормальна (пунктирная линия) при $n=30$.
Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩
English Русский
Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ Центральная предельная теорема
unbiased/ʌnˈbaɪəst/ несмещенный
5.8

Comparing Two Groups: Difference of Sample Means · ⁨Сравнение двух групп: Разница выборочных средних⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.T: Determine parameters of a sampling distribution for a difference in sample means. [Skill 3.B]

  • UNC-3.T.1 For a numerical variable, when randomly sampling with replacement from two independent populations with population means $\mu_1$ and $\mu_2$ and population standard deviations $\sigma_1$ and $\sigma_2$, the sampling distribution of the difference in sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ has mean $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ and standard deviation, $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
  • UNC-3.T.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the difference in sample means is smaller than what is given by the formula above. If the sample sizes are less than 10% of the population sizes, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.U: Determine whether a sampling distribution of a difference in sample means can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

  • UNC-3.U.1 The sampling distribution of the difference in sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ can be modeled with a normal distribution if the two population distributions can be modeled with a normal distribution.
  • UNC-3.U.2 The sampling distribution of the difference in sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ can be modeled approximately by a normal distribution if the two population distributions cannot be modeled with a normal distribution but both sample sizes are greater than or equal to 30.

Learning Objective UNC-3.V: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a difference in sample means. [Skill 4.B]

  • UNC-3.V.1 Probabilities and parameters for a sampling distribution for a difference of sample means should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific populations.
Русский

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.T: Определять параметры выборочного распределения для разницы выборочных средних. [Навык 3.B]

  • UNC-3.T.1 Для количественной переменной при случайной выборке с возвращением из двух независимых генеральных совокупностей со средними значениями $\mu_1$ и $\mu_2$ и стандартными отклонениями $\sigma_1$ и $\sigma_2$, выборочное распределение разницы выборочных средних $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ имеет среднее значение $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ и стандартное отклонение $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
  • UNC-3.T.2 Если выборка проводится без возвращения, стандартное отклонение разницы выборочных средних меньше, чем указано в формуле выше. Если размеры выборок составляют менее 10% от размеров генеральных совокупностей, разница является незначительной.

Цель обучения UNC-3.U: Определять, может ли выборочное распределение для разницы выборочных средних быть описано как приблизительно нормальное. [Навык 3.C]

  • UNC-3.U.1 Выборочное распределение разности выборочных средних $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ можно аппроксимировать нормальным распределением, если обе генеральные совокупности имеют нормальное распределение.
  • UNC-3.U.2 Выборочное распределение разности выборочных средних $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ можно приблизительно аппроксимировать нормальным распределением, если генеральные совокупности не имеют нормального распределения, но размеры обеих выборок больше или равны 30.

Цель обучения UNC-3.V: Интерпретировать вероятности и параметры для выборочного распределения разности выборочных средних. [Навык 4.B]

  • UNC-3.V.1 Вероятности и параметры выборочного распределения разности выборочных средних следует интерпретировать с использованием соответствующих единиц измерения и в контексте конкретных генеральных совокупностей.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

For $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ from two independent samples: the mean is $\mu_1-\mu_2$, and (independent, so variances add)

$$\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.$$
This is the foundation for two-sample inference in the next units.

Русский

Для разницы $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ из двух независимых выборок: среднее равно $\mu_1-\mu_2$, а (независимые, поэтому дисперсии складываются)

$$\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.$$
Это основа для двухвыборочного вывода в последующих разделах.

5.8

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩
English
  • A sampling distribution is the distribution of a statistic over many samples, centered on the true parameter.
  • The Central Limit Theorem: for a large enough sample the sample mean is approximately normal, even if the population is not.
  • Larger samples give less variability (a smaller standard error).
  • Check the conditions (random, independent/10%, large enough) before using a normal model.
  • Keep straight what varies — the statistic — versus the fixed parameter.
Русский
  • Выборочное распределение — это распределение статистики по множеству выборок, центрированное относительно истинного параметра.
  • Центральная предельная теорема: при достаточно большом размере выборки выборочное среднее приблизительно нормально, даже если генеральная совокупность не нормальна.
  • Большие выборки дают меньшую изменчивость (меньшую стандартную ошибку).
  • Проверяйте условия (случайность, независимость/10%, достаточный размер) перед использованием нормальной модели.
  • Не путайте изменяющуюся величину — статистику — с фиксированным параметром.

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

Past Papers · ⁨Архив экзаменационных работ⁩

More topics in AP Statistics · ⁨Больше тем в AP Statistics⁩

Log in or create account · ⁨Войти или создать аккаунт⁩

IGCSE, A-Level & AP