Probability, Random Variables, and Probability Distributions · ⁨Вероятность, случайные величины и распределения вероятностей⁩

AP Statistics · Topic 4 · ⁨Тема 4⁩

View Slides · ⁨Просмотр слайдов⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

Video lesson for this topic · ⁨Видеоурок по этой теме⁩ Open the video page · ⁨Открыть страницу видео⁩

4.1

Random and Non-Random Patterns · ⁨Случайные и неслучайные паттерны⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (VAR-1): Given that variation may be random or not, conclusions are uncertain.

Learning Objective VAR-1.F: Identify questions suggested by patterns in data. [Skill 1.A]

VAR-1.F.1 Patterns in data do not necessarily mean that variation is not random.

Русский

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Цель обучения VAR-1.F: Определять вопросы, возникающие из паттернов в данных. [Навык 1.A]

VAR-1.F.1 Паттерны в данных не обязательно означают, что вариация не является случайной.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Something is random 随机 if individual outcomes are uncertain but a regular pattern emerges over many repetitions. Short-run results look erratic; long-run relative frequencies settle down. This long-run stability is what makes probability useful.

Русский

Что-то случайно, если индивидуальные исходы непредсказуемы, но за множеством повторений проявляется регулярный паттерн. Краткосрочные результаты выглядят хаотичными; долгосрочные относительные частоты стабилизируются. Именно эта долгосрочная стабильность делает вероятность полезной.

4.2

Estimating Probabilities Using Simulation · ⁨Оценка вероятностей с помощью симуляции⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (UNC-2): Simulation allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-2.A: Estimate probabilities using simulation. [Skill 3.A]

UNC-2.A.1 A random process generates results that are determined by chance.
UNC-2.A.2 An outcome is the result of a trial of a random process.
UNC-2.A.3 An event is a collection of outcomes.
UNC-2.A.4 Simulation is a way to model random events, such that simulated outcomes closely match real-world outcomes. All possible outcomes are associated with a value to be determined by chance. Record the counts of simulated outcomes and the count total.
UNC-2.A.5 The relative frequency of an outcome or event in simulated or empirical data can be used to estimate the probability of that outcome or event.
UNC-2.A.6 The law of large numbers states that simulated (empirical) probabilities tend to get closer to the true probability as the number of trials increases.
- Illustrative examples for UNC-2.A:
  - An outcome: Rolling a particular value on a six-sided number cube is one of six possible outcomes.
  - An event: When rolling two six-sided number cubes, an event would be a sum of seven. The corresponding collection of outcomes would be $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, and $(6, 1)$, where the ordered pairs indicate (face value on one cube, face value on the other cube).

Русский

Постоянное понимание (UNC-2): Симуляция позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-2.A: Оценивать вероятности с использованием симуляции. [Навык 3.A]

UNC-2.A.1 Случайный процесс порождает результаты, которые определяются случайностью.
UNC-2.A.2 Исход — это результат испытания случайного процесса.
UNC-2.A.3 Событие — это совокупность исходов.
UNC-2.A.4 Симуляция — это способ моделирования случайных событий, так что симулированные исходы близко совпадают с реальными исходами. Все возможные исходы связаны со значением, которое определяется случайностью. Запишите количества симулированных исходов и общее количество.
UNC-2.A.5 Относительная частота исхода или события в смоделированных или эмпирических данных может использоваться для оценки вероятности этого исхода или события.
UNC-2.A.6 Закон больших чисел гласит, что смоделированные (эмпирические) вероятности стремятся приблизиться к истинной вероятности по мере увеличения числа испытаний.
- Иллюстративные примеры для UNC-2.A:
  - Исход: Выпадение определенного значения на шестигранном игральной кости является одним из шести возможных исходов.
  - Событие: При бросании двух шестигранных кубиков событием будет сумма семь. Соответствующая совокупность исходов включает $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$ и $(6, 1)$, где упорядоченные пары указывают (значение грани на одном кубике, значение грани на другом кубике).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A simulation 模拟 imitates a chance process using random digits or technology. Steps: state the model, assign digits to outcomes, run many trials, and record the proportion of trials meeting the condition. The resulting proportion estimates the probability – more trials give a better estimate.

Русский

Симуляция имитирует процесс случайного выбора с использованием случайных цифр или технологий. Шаги: опишите модель, назначьте цифры исходам, проведите множество испытаний и запишите долю испытаний, удовлетворяющих условию. Полученная доля оценивает вероятность — чем больше испытаний, тем точнее оценка.

4.3

Introduction to Probability · ⁨Введение в теорию вероятностей⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (VAR-4): The likelihood of a random event can be quantified.

Learning Objective VAR-4.A: Calculate probabilities for events and their complements. [Skill 3.A]

VAR-4.A.1 The sample space of a random process is the set of all possible non-overlapping outcomes.
VAR-4.A.2 If all outcomes in the sample space are equally likely, then the probability an event E will occur is defined as the fraction: $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
VAR-4.A.3 The probability of an event is a number between 0 and 1, inclusive.
VAR-4.A.4 The probability of the complement of an event E, $E'$ or $E^{C}$, (i.e., not E) is equal to $1 - P(E)$.

Learning Objective VAR-4.B: Interpret probabilities for events. [Skill 4.B]

VAR-4.B.1 Probabilities of events in repeatable situations can be interpreted as the relative frequency with which the event will occur in the long run.

Русский

Пронизывающее понимание (VAR-4): Вероятность случайного события может быть количественно выражена.

Цель обучения VAR-4.A: Вычислять вероятности событий и их дополнений. [Навык 3.A]

VAR-4.A.1 Пространство элементарных исходов случайного процесса — это множество всех возможных непересекающихся исходов.
VAR-4.A.2 Если все исходы в пространстве элементарных исходов равновероятны, то вероятность наступления события E определяется как отношение: $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
VAR-4.A.3 Вероятность события — это число от 0 до 1 включительно.
VAR-4.A.4 Вероятность дополнения события E, $E'$ или $E^{C}$ (т.е. ненаступления E), равна $1 - P(E)$.

Цель обучения VAR-4.B: Интерпретировать вероятности событий. [Навык 4.B]

VAR-4.B.1 Вероятности событий в повторяемых ситуациях можно интерпретировать как относительную частоту, с которой событие будет происходить в долгосрочной перспективе.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The probability 概率 of an event is a number from $0$ to $1$ giving its long-run relative frequency. The sample space 样本空间 is the set of all outcomes. For an event $A$, the complement 补 rule: $P(A^c)=1-P(A)$. Probabilities of all outcomes sum to $1$.

Русский

Вероятность события — число от $0$ до $1$, дающее его долгосрочную относительную частоту. Пространство элементарных исходов — множество всех возможных исходов. Для события $A$ правило дополнения: $P(A^c)=1-P(A)$. Вероятности всех исходов в сумме дают $1$.

Вероятность изменяется от 0 (невозможно) до 1 (точно) — Вероятность варьируется от 0 (невозможно) до 1 (точно)

Четыре туза из колоды игральных карт — Колода карт — классический источник вероятностей: 52 равновероятных исхода делают подсчёт шансов простым

Explore · ⁨Исследовать⁩

Explore probability with dice · ⁨Исследуйте вероятность с помощью кубиков⁩

Probability is the long-run fraction of times an outcome happens. Roll the dice many times and watch the experimental proportions settle toward the theoretical values. · ⁨Вероятность — это долгосрочная доля времени, когда наступает исход. Бросьте кубики много раз и наблюдайте, как экспериментальные пропорции стабилизируются вокруг теоретических значений.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
random/ˈrændəm/	случайный
simulation/ˌsɪmjʊˈleɪʃn/	симуляция
probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/	вероятность

4.4

Mutually Exclusive Events · ⁨Нечестно совместимые события⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (VAR-4): The likelihood of a random event can be quantified.

Learning Objective VAR-4.C: Explain why two events are (or are not) mutually exclusive. [Skill 4.B]

VAR-4.C.1 The probability that events $A$ and $B$ both will occur, sometimes called the joint probability, is the probability of the intersection of $A$ and $B$, denoted $P(A \cap B)$.
VAR-4.C.2 Two events are mutually exclusive or disjoint if they cannot occur at the same time. So $P(A \cap B) = 0$.

Русский

Пронизывающее понимание (VAR-4): Вероятность случайного события может быть количественно выражена.

Цель обучения VAR-4.C: Объяснить, почему два события являются (или не являются) взаимоисключающими. [Навык 4.B]

VAR-4.C.1 Вероятность того, что события $A$ и $B$ произойдут одновременно, иногда называемая совместной вероятностью, есть вероятность пересечения $A$ и $B$, обозначаемая $P(A \cap B)$.
VAR-4.C.2 Два события называются взаимоисключающими или несовместными, если они не могут произойти одновременно. Следовательно, $P(A \cap B) = 0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Two events are mutually exclusive 互斥 (disjoint) if they cannot both happen. Then the addition rule simplifies:

$$P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)\quad(\text{if mutually exclusive}).$$

In general, $P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ and }B)$ – subtract the overlap so it is not counted twice.

Русский

Два события несовместны (разъединены), если они не могут произойти одновременно. Тогда правило сложения упрощается:

$$P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)\quad(\text{if mutually exclusive}).$$

В общем случае $P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ and }B)$ — вычтите пересечение, чтобы оно не было посчитано дважды.

Диаграмма Венна: пересечение двух событий обозначает область их совпадения

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/	взаимоисключающие

4.5

Conditional Probability · ⁨Условная вероятность⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (VAR-4): The likelihood of a random event can be quantified.

Learning Objective VAR-4.D: Calculate conditional probabilities. [Skill 3.A]

VAR-4.D.1 The probability that event $A$ will occur given that event $B$ has occurred is called a conditional probability and denoted $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
VAR-4.D.2 The multiplication rule states that the probability that events $A$ and $B$ both will occur is equal to the probability that event $A$ will occur multiplied by the probability that event $B$ will occur, given that $A$ has occurred. This is denoted $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Русский

Пронизывающее понимание (VAR-4): Вероятность случайного события может быть количественно выражена.

Цель обучения VAR-4.D: Вычислять условные вероятности. [Навык 3.A]

VAR-4.D.1 Вероятность того, что событие $A$ произойдет при условии, что событие $B$ уже произошло, называется условной вероятностью и обозначается $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
VAR-4.D.2 Правило умножения гласит, что вероятность одновременного наступления событий $A$ и $B$ равна вероятности наступления события $A$, умноженной на вероятность наступления события $B$ при условии, что произошло $A$. Это обозначается $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Conditional probability

The conditional probability 条件概率 of $A$ given $B$ is

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\text{ and }B)}{P(B)}.$$

It is the chance of $A$ once you know $B$ happened. Two-way tables make these easy: restrict to the row/column for $B$, then find $A$'s share.

Русский

Условная вероятность

Условная вероятность $A$ при условии $B$ равна

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\text{ and }B)}{P(B)}.$$

Это вероятность $A$ при условии, что произошло $B$. Двусторонние таблицы делают это простым: ограничьтесь строкой/столбцом для $B$, затем найдите долю $A$.

На диаграмме дерева умножайте вероятности вдоль ветвей

Explore · ⁨Исследовать⁩

Update a probability on new information · ⁨Обновите вероятность на основе новой информации⁩

Conditional probability $P(B\mid A)$ is the chance of $B$ once you know $A$ happened. Change the branch probabilities and watch how conditioning reshapes the outcome. · ⁨Условная вероятность $P(B\mid A)$ — это шанс $B$ после того, как вы узнали, что произошло $A$. Изменяйте условные вероятности и наблюдайте, как условие перестраивает исход.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	условная вероятность

4.6

Independent Events and Unions of Events · ⁨Независимые события и объединение событий⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (VAR-4): The likelihood of a random event can be quantified.

Learning Objective VAR-4.E: Calculate probabilities for independent events and for the union of two events. [Skill 3.A]

VAR-4.E.1 Events $A$ and $B$ are independent if, and only if, knowing whether event $A$ has occurred (or will occur) does not change the probability that event $B$ will occur.
VAR-4.E.2 If, and only if, events $A$ and $B$ are independent, then $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$, and $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
VAR-4.E.3 The probability that event $A$ or event $B$ (or both) will occur is the probability of the union of $A$ and $B$, denoted $P(A \cup B)$.
VAR-4.E.4 The addition rule states that the probability that event $A$ or event $B$ or both will occur is equal to the probability that event $A$ will occur plus the probability that event $B$ will occur minus the probability that both events $A$ and $B$ will occur. This is denoted $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Русский

Пронизывающее понимание (VAR-4): Вероятность случайного события может быть количественно выражена.

Цель обучения VAR-4.E: Вычислять вероятности независимых событий и объединений двух событий. [Навык 3.A]

VAR-4.E.1 События $A$ и $B$ являются независимыми тогда и только тогда, когда знание о том, произошло (или произойдет ли) событие $A$, не изменяет вероятность наступления события $B$.
VAR-4.E.2 Только если события $A$ и $B$ являются независимыми, то $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$ и $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
VAR-4.E.3 Вероятность того, что наступит событие $A$ или событие $B$ (или оба сразу), равна вероятности объединения $A$ и $B$, которая обозначается как $P(A \cup B)$.
VAR-4.E.4 Правило сложения гласит, что вероятность того, что произойдет событие $A$ или событие $B$ или оба сразу, равна вероятности наступления события $A$ плюс вероятность наступления события $B$ минус вероятность одновременного наступления обоих событий $A$ и $B$. Это обозначается $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Events are independent 独立 if knowing one does not change the other's probability: $P(A\mid B)=P(A)$. Then the multiplication rule simplifies:

$$P(A\text{ and }B)=P(A)\,P(B)\quad(\text{if independent}).$$

Independent is not the same as mutually exclusive – mutually exclusive events with nonzero probability are actually dependent (if one happens, the other cannot).

Русский

События независимы, если знание одного не меняет вероятность другого: $P(A\mid B)=P(A)$. Тогда правило умножения упрощается:

$$P(A\text{ and }B)=P(A)\,P(B)\quad(\text{if independent}).$$

Независимость — это не то же самое, что несовместность; несовместные события с ненулевой вероятностью фактически зависимы (если одно происходит, другое не может).

Диаграмма пространства выборки перечисляет все равновероятные исходы

Explore · ⁨Исследовать⁩

Combine events with a Venn diagram · ⁨Объедините события с помощью диаграммы Венна⁩

For a union $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — you subtract the overlap so it isn't counted twice. Switch the operation to see each region light up. · ⁨Для объединения $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — вы вычитаете пересечение, чтобы оно не считалось дважды. Переключите операцию, чтобы увидеть, как подсвечиваются различные области.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
sample space/ˈsæmpl speɪs/	пространство исходов
complement/ˈkɒmplɪmənt/	дополнением
independent/ˌɪndɪˈpendənt/	независимы
random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/	случайная величина
probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	распределение вероятностей
mean (expected value)/miːn/	среднее значение (математическое ожидание)

4.7

Random Variables and Probability Distributions · ⁨Случайные величины и распределения вероятностей⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (VAR-5): Probability distributions may be used to model variation in populations.

Learning Objective VAR-5.A: Represent the probability distribution for a discrete random variable. [Skill 2.B]

VAR-5.A.1 The values of a random variable are the numerical outcomes of random behavior.
VAR-5.A.2 A discrete random variable is a variable that can only take a countable number of values. Each value has a probability associated with it. The sum of the probabilities over all of the possible values must be 1.
VAR-5.A.3 A probability distribution can be represented as a graph, table, or function showing the probabilities associated with values of a random variable.
VAR-5.A.4 A cumulative probability distribution can be represented as a table or function showing the probability of being less than or equal to each value of the random variable.
- Illustrative examples for VAR-5.A: Outcomes of trials of a random process:
  - The sum of the outcomes for rolling two dice
  - The number of puppies in a randomly selected litter for a certain breed of dog

Learning Objective VAR-5.B: Interpret a probability distribution. [Skill 4.B]

VAR-5.B.1 An interpretation of a probability distribution provides information about the shape, center, and spread of a population and allows one to make conclusions about the population of interest.

Русский

Пронизывающее понимание (VAR-5): Распределения вероятностей могут использоваться для моделирования вариации в генеральных совокупностях.

Цель обучения VAR-5.A: Представить распределение вероятностей для дискретной случайной величины. [Навык 2.B]

VAR-5.A.1 Значения случайной величины — это числовые результаты случайного поведения.
VAR-5.A.2 Дискретная случайная величина — это величина, которая может принимать лишь счетное количество значений. Каждому значению соответствует определенная вероятность. Сумма вероятностей по всем возможным значениям должна быть равна 1.
VAR-5.A.3 Распределение вероятностей может быть представлено в виде графика, таблицы или функции, показывающей вероятности, связанные со значениями случайной величины.
VAR-5.A.4 Накопительное распределение вероятностей может быть представлено в виде таблицы или функции, показывающей вероятность того, что значение случайной величины будет меньше или равно каждому конкретному значению.
- Иллюстративные примеры для VAR-5.A: Результаты испытаний случайного процесса:
  - Сумма значений при бросании двух игральных костей
  - Количество щенков в случайно выбранном помёте определенной породы собак

Цель обучения VAR-5.B: Интерпретировать распределение вероятностей. [Навык 4.B]

VAR-5.B.1 Интерпретация распределения вероятностей предоставляет информацию о форме, центре и разбросе генеральной совокупности и позволяет делать выводы о интересующей нас совокупности.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A random variable 随机变量 assigns a number to each outcome of a chance process. A probability distribution 概率分布 lists each possible value with its probability (they sum to $1$). A distribution can be discrete (a table of values) or continuous (an area-under-a-curve model like the normal).

Русский

Случайная величина присваивает число каждому исходу случайного процесса. Распределение вероятностей перечисляет каждое возможное значение с его вероятностью (они в сумме дают $1$). Распределение может быть дискретным (таблица значений) или непрерывным (модель площади под кривой, например нормальное).

4.8

Mean and Standard Deviation of Random Variables · ⁨Математическое ожидание и стандартное отклонение случайных величин⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (VAR-5): Probability distributions may be used to model variation in populations.

Learning Objective VAR-5.C: Calculate parameters for a discrete random variable. [Skill 3.B]

VAR-5.C.1 A numerical value measuring a characteristic of a population or the distribution of a random variable is known as a parameter, which is a single, fixed value.
VAR-5.C.2 The mean, or expected value, for a discrete random variable $X$ is $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
VAR-5.C.3 The standard deviation for a discrete random variable $X$ is $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Learning Objective VAR-5.D: Interpret parameters for a discrete random variable. [Skill 4.B]

VAR-5.D.1 Parameters for a discrete random variable should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population.

Русский

Пронизывающее понимание (VAR-5): Распределения вероятностей могут использоваться для моделирования вариации в генеральных совокупностях.

Цель обучения VAR-5.C: Вычислять параметры дискретной случайной величины. [Навык 3.B]

VAR-5.C.1 Числовое значение, характеризующее особенность генеральной совокупности или распределения случайной величины, известно как параметр, который представляет собой единственное фиксированное значение.
VAR-5.C.2 Математическое ожидание, или ожидаемое значение, для дискретной случайной величины $X$ равно $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
VAR-5.C.3 Среднеквадратичное отклонение для дискретной случайной величины $X$ равно $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Цель обучения VAR-5.D: Интерпретировать параметры дискретной случайной величины. [Навык 4.B]

VAR-5.D.1 Параметры дискретной случайной величины следует интерпретировать, используя соответствующие единицы измерения и в контексте конкретной генеральной совокупности.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The mean (expected value) 期望值 of a discrete random variable is the probability-weighted average:

$$\mu_X=E(X)=\sum x_i\,P(x_i).$$

The standard deviation $\sigma_X=\sqrt{\sum (x_i-\mu_X)^2\,P(x_i)}$ measures typical spread from the mean. The expected value is the long-run average outcome, not a value you expect on any single trial.

Worked example. A game pays $\$5$ with probability $0.2$ and costs you $\$1$ (a $-1$ outcome) with probability $0.8$. The expected value is

$$E(X)=5(0.2)+(-1)(0.8)=1-0.8=\$0.20,$$

so over many plays you gain about $20$ cents per play on average, even though no single play gives exactly that.

Русский

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины — это усредненное по вероятностям значение:

$$\mu_X=E(X)=\sum x_i\,P(x_i).$$

Стандартное отклонение $\sigma_X=\sqrt{\sum (x_i-\mu_X)^2\,P(x_i)}$ измеряет типичное отклонение от среднего. Математическое ожидание — это долгосрочное среднее значение, а не результат, который ожидается на каждой отдельной попытке.

Разобранный пример. Игра выплачивает $\$5$ with probability $0.2$ and costs you $\$1$ ($-1$ исход) с вероятностью $0.8$. Математическое ожидание равно

$$E(X)=5(0.2)+(-1)(0.8)=1-0.8=\$0.20,$$

так что при большом числе игр вы в среднем получаете около $20$ центов за игру, хотя ни одна отдельная игра не дает точно эту сумму.

4.9

Combining Random Variables · ⁨Комбинирование случайных величин⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (VAR-5): Probability distributions may be used to model variation in populations.

Learning Objective VAR-5.E: Calculate parameters for linear combinations of random variables. [Skill 3.B]

VAR-5.E.1 For random variables $X$ and $Y$ and real numbers $a$ and $b$, the mean of $aX + bY$ is $a\mu_x + b\mu_y$.
VAR-5.E.2 Two random variables are independent if knowing information about one of them does not change the probability distribution of the other.
VAR-5.E.3 For independent random variables $X$ and $Y$ and real numbers $a$ and $b$, the mean of $aX + bY$ is $a\mu_x + b\mu_y$, and the variance of $aX + bY$ is $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Learning Objective VAR-5.F: Describe the effects of linear transformations of parameters of random variables. [Skill 3.C]

VAR-5.F.1 For $Y = a + bX$, the probability distribution of the transformed random variable, $Y$, has the same shape as the probability distribution for $X$, so long as $a > 0$ and $b > 0$. The mean of $Y$ is $\mu_y = a + b\mu_x$. The standard deviation of $Y$ is $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Русский

Пронизывающее понимание (VAR-5): Распределения вероятностей могут использоваться для моделирования вариации в генеральных совокупностях.

Цель обучения VAR-5.E: Вычислять параметры линейных комбинаций случайных величин. [Навык 3.B]

VAR-5.E.1 Для случайных величин $X$ и $Y$ и действительных чисел $a$ и $b$ математическое ожидание $aX + bY$ равно $a\mu_x + b\mu_y$.
VAR-5.E.2 Две случайные величины являются независимыми, если знание информации об одной из них не изменяет вероятностное распределение другой.
VAR-5.E.3 Для независимых случайных величин $X$ и $Y$ и действительных чисел $a$ и $b$ математическое ожидание $aX + bY$ равно $a\mu_x + b\mu_y$, а дисперсия $aX + bY$ равна $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Цель обучения VAR-5.F: Описывать влияние линейных преобразований на параметры случайных величин. [Навык 3.C]

VAR-5.F.1 Для $Y = a + bX$ вероятностное преобразованной случайной величины $Y$ имеет ту же форму, что и вероятностное распределение для $X$, при условии, что $a > 0$ и $b > 0$. Математическое ожидание $Y$ равно $\mu_y = a + b\mu_x$. Среднеквадратичное отклонение $Y$ равно $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

When you add or subtract random variables, means add: $\mu_{X\pm Y}=\mu_X\pm\mu_Y$. If $X$ and $Y$ are independent, variances add (even when subtracting):

$$\sigma^2_{X\pm Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y.$$

Take the square root for the standard deviation. Also, scaling: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ and $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$.

Русский

При сложении или вычитании случайных величин средние значения складываются: $\mu_{X\pm Y}=\mu_X\pm\mu_Y$. Если $X$ и $Y$ независимы, дисперсии складываются (даже при вычитании):

$$\sigma^2_{X\pm Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y.$$

Извлеките квадратный корень для получения стандартного отклонения. Также масштабирование: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ и $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$.

4.10

Introduction to the Binomial Distribution · ⁨Введение в биномиальное распределение⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.A: Estimate probabilities of binomial random variables using data from a simulation. [Skill 3.A]

UNC-3.A.1 A probability distribution can be constructed using the rules of probability or estimated with a simulation using random number generators.
UNC-3.A.2 A binomial random variable, $X$, counts the number of successes in $n$ repeated independent trials, each trial having two possible outcomes (success or failure), with the probability of success $p$ and the probability of failure $1 - p$.

Learning Objective UNC-3.B: Calculate probabilities for a binomial distribution. [Skill 3.A]

UNC-3.B.1 The probability that a binomial random variable, $X$, has exactly $x$ successes for $n$ independent trials, when the probability of success is $p$, is calculated as $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. This is the binomial probability function.

Русский

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.A: Оценивать вероятности биномиальных случайных переменных, используя данные симуляции. [Навык 3.A]

UNC-3.A.1 Распределение вероятностей может быть построено с помощью правил теории вероятностей или оценено с помощью симуляции, использующей генераторы случайных чисел.
UNC-3.A.2 Биномиальная случайная величина, $X$, подсчитывает число успехов в $n$ повторяющихся независимых испытаниях, каждое из которых имеет два возможных исхода (успех или неудача), с вероятностью успеха $p$ и вероятностью неудачи $1 - p$.

Цель обучения UNC-3.B: Рассчитывать вероятности для биномиального распределения. [Навык 3.A]

UNC-3.B.1 Вероятность того, что биномиальная случайная переменная, $X$, имеет ровно $x$ успехов для $n$ независимых испытаний, когда вероятность успеха составляет $p$, рассчитывается как $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. Это функция биномиальной вероятности.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The binomial distribution

A binomial 二项 setting (BINS): a fixed number $n$ of Independent trials, each with two outcomes (success/failure) and the same success probability $p$. The random variable $X=$ number of successes. Its probability:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$

Русский

Биномиальное распределение

Биномиальная ситуация (BINS): фиксированное число $n$ независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода (успех/неудача) и одинаковую вероятность успеха $p$. Случайная величина $X=$ — количество успехов. Ее вероятность:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$

Биномиальное распределение, среднее n умножить на p

Explore · ⁨Исследовать⁩

Shape a binomial distribution · ⁨Формируйте биномиальное распределение⁩

A binomial distribution counts successes in $n$ independent trials each with probability $p$. Change $n$ and $p$ and watch the bars shift and spread. · ⁨Биномиальное распределение считает успехи в $n$ независимых испытаниях, каждое с вероятностью $p$. Изменяйте $n$ и $p$ и наблюдайте, как столбцы смещаются и распространяются.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
binomial/baɪˈnəʊmɪəl/	биномиальное
geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/	геометрическим

4.11

Parameters for a Binomial Distribution · ⁨Параметры биномиального распределения⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.C: Calculate parameters for a binomial distribution. [Skill 3.B]

UNC-3.C.1 If a random variable is binomial, its mean, $\mu_x$, is $np$ and its standard deviation, $\sigma_x$, is $\sqrt{np(1 - p)}$.

Learning Objective UNC-3.D: Interpret probabilities and parameters for a binomial distribution. [Skill 4.B]

UNC-3.D.1 Probabilities and parameters for a binomial distribution should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population or situation.

Русский

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.C: Рассчитывать параметры биномиального распределения. [Навык 3.B]

UNC-3.C.1 Если случайная переменная является биномиальной, её среднее значение, $\mu_x$, равно $np$, а стандартное отклонение, $\sigma_x$, равно $\sqrt{np(1 - p)}$.

Цель обучения UNC-3.D: Интерпретировать вероятности и параметры биномиального распределения. [Навык 4.B]

UNC-3.D.1 Вероятности и параметры биномиального распределения следует интерпретировать, используя соответствующие единицы измерения и в контексте конкретной популяции или ситуации.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

For a binomial $X$ with $n$ trials and success probability $p$:

$$\mu_X=np,\qquad \sigma_X=\sqrt{np(1-p)}.$$

Use these for "how many successes do we expect, and how much do they vary" questions.

Worked example. A player makes $70\%$ of free throws. In $n=10$ shots, the probability of exactly $8$ makes is

$$P(X=8)=\binom{10}{8}(0.7)^8(0.3)^2=45\times0.0576\times0.09\approx0.23,$$

and the expected number of makes is $\mu=np=10(0.7)=7$, with $\sigma=\sqrt{10(0.7)(0.3)}\approx1.45$.

Русский

Для биномиального распределения $X$ с $n$ испытаниями и вероятностью успеха $p$:

$$\mu_X=np,\qquad \sigma_X=\sqrt{np(1-p)}.$$

Используйте их для вопросов «сколько успехов мы ожидаем и насколько они варьируются».

Разобранный пример. Игрок делает $70\%$ бросков со штрафной. При $n=10$ бросках вероятность ровно $8$ попаданий равна

$$P(X=8)=\binom{10}{8}(0.7)^8(0.3)^2=45\times0.0576\times0.09\approx0.23,$$

а ожидаемое количество попаданий составляет $\mu=np=10(0.7)=7$, с $\sigma=\sqrt{10(0.7)(0.3)}\approx1.45$.

4.12

The Geometric Distribution · ⁨Геометрическое распределение⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.E: Calculate probabilities for geometric random variables. [Skill 3.A]

UNC-3.E.1 For a sequence of independent trials, a geometric random variable, $X$, gives the number of the trial on which the first success occurs. Each trial has two possible outcomes (success or failure) with the probability of success $p$ and the probability of failure $1 - p$.
UNC-3.E.2 The probability that the first success for repeated independent trials with probability of success $p$ occurs on trial $x$ is calculated as $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. This is the geometric probability function.

Learning Objective UNC-3.F: Calculate parameters of a geometric distribution. [Skill 3.B]

UNC-3.F.1 If a random variable is geometric, its mean, $\mu_x$, is $\dfrac{1}{p}$ and its standard deviation, $\sigma_x$, is $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Learning Objective UNC-3.G: Interpret probabilities and parameters for a geometric distribution. [Skill 4.B]

UNC-3.G.1 Probabilities and parameters for a geometric distribution should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population or situation.

Русский

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.E: Рассчитывать вероятности для геометрических случайных переменных. [Навык 3.A]

UNC-3.E.1 Для последовательности независимых испытаний геометрическая случайная переменная, $X$, указывает номер испытания, на котором происходит первый успех. Каждое испытание имеет два возможных исхода (успех или неудача) с вероятностью успеха $p$ и вероятностью неудачи $1 - p$.
UNC-3.E.2 Вероятность того, что первый успех при повторяющихся независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ произойдет именно на испытании $x$, вычисляется по формуле $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. Это геометрическая функция вероятности.

Цель обучения UNC-3.F: Рассчитывать параметры геометрического распределения. [Навык 3.B]

UNC-3.F.1 Если случайная переменная является геометрической, её среднее значение, $\mu_x$, равно $\dfrac{1}{p}$, а стандартное отклонение, $\sigma_x$, равно $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Цель обучения UNC-3.G: Интерпретировать вероятности и параметры геометрического распределения. [Навык 4.B]

UNC-3.G.1 Вероятности и параметры геометрического распределения следует интерпретировать, используя соответствующие единицы измерения и в контексте конкретной популяции или ситуации.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A geometric 几何 setting is the same as binomial but with no fixed $n$: you keep trying until the first success. The random variable $Y=$ the trial of the first success:

$$P(Y=k)=(1-p)^{k-1}\,p,\qquad \mu_Y=\frac{1}{p}.$$

So the expected number of trials until the first success is $1/p$.

Русский

Геометрическая ситуация похожа на биномиальную, но без фиксированного $n$: вы продолжаете пробовать до первого успеха. Случайная величина $Y=$ — номер испытания первого успеха:

$$P(Y=k)=(1-p)^{k-1}\,p,\qquad \mu_Y=\frac{1}{p}.$$

Таким образом, ожидаемое число испытаний до первого успеха равно $1/p$.

4.12

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩

English

A probability lies in $[0,1]$; use the complement ($1-P$) and add mutually exclusive events.
For independent events multiply; for "and/or" use the general addition and conditional rules.
Expected value = $\sum(\text{value}\times\text{probability})$.
Recognise binomial (fixed $n$, two outcomes, constant $p$) and geometric settings.
Draw a tree or table for multi-stage problems and multiply along branches.

Русский

Вероятность находится в $[0,1]$; используйте дополнение ($1-P$) и суммируйте несовместные события.
Для независимых событий перемножайте; для «и/или» используйте общее правило сложения и условные вероятности.
Математическое ожидание = $\sum(\text{value}\times\text{probability})$.
Распознавайте биномиальные (фиксированное $n$, два исхода, постоянная $p$) и геометрические ситуации.
Нарисуйте дерево или таблицу для многоэтапных задач и перемножайте вероятности вдоль ветвей.

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

Past Papers · ⁨Архив экзаменационных работ⁩

More topics in AP Statistics · ⁨Больше тем в AP Statistics⁩