Este material cobre o Tópico 3: Mecânica Avançada 进阶力学. Estende a mecânica a projéteis, corpos rígidos, movimento circular, cordas elásticas, forças variáveis e colisões. Pegue $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Mecânica Avançada
Matemática Avançada do A-Level · Tópico 3
8:04
Mecânica Avançada
Lance uma bola, dispare um jato de água, lance qualquer coisa para o ar — e ela traça a mesma curva elegante: uma parábola. O segredo é dividir o movimento em duas.…
Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
3.1
Movimento de um projétil
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| modelar o movimento de um projétil como uma partícula movendo-se com aceleração constante e compreender quaisquer limitações do modelo | Métodos vetoriais não são exigidos |
| • usar as equações horizontais e verticais de movimento para resolver problemas sobre o movimento de projéteis, incluindo encontrar a magnitude e direção da velocidade em um tempo ou posição dados, o alcance em um plano horizontal e a altura máxima atingida | |
| • derivar e usar a equação cartesiana da trajetória de um projétil, incluindo problemas em que a velocidade inicial e/ou o ângulo de projeção podem ser desconhecidos. | O conhecimento da 'parábola delimitadora' para pontos acessíveis não é incluído. |
Fonte: Programa Cambridge International
Um projétil 抛射体 move-se livremente sob a gravidade, portanto tem aceleração constante 匀加速 $g$ para baixo e nenhuma aceleração horizontal. Trate os movimentos horizontal e vertical separadamente. Se for lançado com velocidade $u$ e ângulo $\alpha$:
$$\text{horizontal: } x = u\cos\alpha\,\cdot t, \qquad \text{vertical: } y = u\sin\alpha\,\cdot t - \tfrac12 g t^2.$$
Eliminando $t$ obtém-se a equação cartesiana 直角坐标方程 da trajetória 轨迹 (o caminho), que é uma parábola. Para uma velocidade de lançamento fixa, todas as trajetórias ficam abaixo de uma parábola delimitadora 包络抛物线 (o envoltório dos pontos alcançáveis). O alcance no solo nivelado é $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ e a altura máxima é $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$.
Exemplo resolvido. Uma bola é lançada a $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ num ângulo de $30^\circ$ em relação à horizontal. Encontre o alcance e a altura máxima.
$$\text{range} = \frac{20^2\sin 60^\circ}{10} = 40\times 0.866 = 34.6\ \text{m}, \qquad \text{height} = \frac{20^2\sin^2 30^\circ}{2\times 10} = \frac{400\times 0.25}{20} = 5\ \text{m}.$$
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Lance um projétil
Dispare a bola, depois altere o ângulo e a velocidade. O movimento horizontal é constante enquanto a gravidade a puxa para baixo — juntos traçam uma parábola. Encontre o ângulo para o maior alcance, e tente a Lua.
Vocabulário
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| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | 进阶力学 | jìn jiē lì xué |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | 抛射体 | pāo shè tǐ |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | 匀加速 | yún jiā sù |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | 直角坐标方程 | zhí jiǎo zuò biāo fāng chéng |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | 轨迹 | guǐ jì |
3.2
Equilíbrio de um corpo rígido
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • calcular o momento de uma força em relação a um ponto | Para questões envolvendo apenas forças coplanares; compreensão da natureza vetorial dos momentos não é exigida. |
| • usar o resultado de que o efeito da gravidade sobre um corpo rígido é equivalente a uma única força atuando no centro de massa do corpo, e identificar a posição do centro de massa de um corpo uniforme usando considerações de simetria | |
| • usar informações dadas sobre a posição do centro de massa de uma placa triangular e outras formas simples | Provas dos resultados fornecidos na Lista de fórmulas MF19 não são exigidas. |
| • determinar a posição do centro de massa de um corpo composto considerando um sistema equivalente de partículas | Apenas casos simples, p.ex. uma placa uniforme em forma de L, ou um cone uniforme unido em sua base a um hemisfério uniforme do mesmo raio. |
| • usar o princípio de que se um corpo rígido está em equilíbrio sob a ação de forças coplanares, então a soma vetorial das forças é zero e a soma dos momentos das forças em relação a qualquer ponto é zero, e o contrário disso | |
| • resolver problemas envolvendo o equilíbrio de um único corpo rígido sob a ação de forças coplanares, incluindo aqueles envolvendo toplamemto ou deslizamento. |
Fonte: Programa Cambridge International
Momento 力矩 de uma força em relação a um ponto é força $\times$ distância perpendicular; mede o efeito de torção. O peso de um corpo atua no seu centro de massa 质心, que pode ser encontrado usando simetria 对称 para uma forma plana uniforme (uma chapa 薄片), ou tratando um corpo composto como um conjunto de partículas.
Um corpo rígido sob forças coplanares 共面力 está em equilíbrio 平衡 quando ambas as condições são satisfeitas: a soma vetorial das forças é zero, e a soma dos momentos em relação a qualquer ponto é zero. Um corpo também pode estar à beira do tombar 翻倒 (virar) ou deslizamento 滑动 (escorregar).
Exemplo resolvido. Uma viga uniforme $AB$ de comprimento $4\ \text{m}$ e peso $100\ \text{N}$ repousa sobre um pivô em $A$. Uma força vertical $F$ em $B$ mantém-na horizontal. Encontre $F$.
Tome momentos em relação a $A$ (o peso atua no centro, $2\ \text{m}$ de distância de $A$):
$$F\times 4 = 100\times 2 \;\Rightarrow\; F = 50\ \text{N}.$$
Explorar
Equilíbrio de forças
resultante = 0
Um corpo está em equilíbrio quando as forças somam ponta-a-cauda voltando a zero.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | 力矩 | lì jǔ |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | 质心 | zhì xīn |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | 对称 | duì chèn |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | 平衡 | píng héng |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | 翻倒 | fān dǎo |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | 滑动 | huá dòng |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | 角速度 | jiǎo sù dù |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | 向心加速度 | xiàng xīn jiā sù dù |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | 水平圆 | shuǐ píng yuán |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | 竖直圆 | shù zhí yuán |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | 胡克定律 | hú kè dìng lǜ |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | 弹性模量 | tán xìng mó liàng |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | 弹性势能 | tán xìng shì néng |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程 | wēi fēn fāng chéng |
3.3
Movimento circular
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender o conceito de velocidade angular para uma partícula movendo-se em um círculo, e usar a relação $v = r\omega$ | |
| compreender que a aceleração de uma partícula movendo-se em um círculo com velocidade constante é direcionada para o centro do círculo, e usar as fórmulas $r\omega^2$ e $\frac{v^2}{r}$. | A prova das fórmulas de aceleração não é exigida. |
| resolver problemas que podem ser modelados pelo movimento de uma partícula movendo-se em um círculo horizontal com velocidade constante | |
| resolver problemas que podem ser modelados pelo movimento de uma partícula em um círculo vertical sem perda de energia. | Incluindo o cálculo da força de contacto normal ou da tração numa corda, a localização dos pontos em que estas são nulas e as condições para o movimento circular completo. |
Fonte: Programa Cambridge International
Para uma partícula movendo-se em um círculo de raio $r$, a velocidade angular 角速度 $\omega$ relaciona-se à velocidade por $v = r\omega$. A aceleração aponta para o centro — a aceleração centrípeta 向心加速度 — com magnitude
$$a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}.$$
Em um círculo horizontal 水平圆 a velocidade é constante — como em um pêndulo cônico 圆锥摆 (uma massa balançada por uma corda). Em um círculo vertical 竖直圆 use conservação de energia, pois a velocidade muda com a altura; a força de contato normal 法向接触力 ou tensão da corda fornecem a força centrípeta.
Exemplo resolvido. Uma partícula move-se em um círculo horizontal de raio $2\ \text{m}$ com velocidade angular $3\ \text{rad s}^{-1}$. Encontre sua velocidade e aceleração.
$$v = r\omega = 2\times 3 = 6\ \text{m s}^{-1}, \qquad a = r\omega^2 = 2\times 3^2 = 18\ \text{m s}^{-2}.$$
Explorar
Ângulo em radianos
O movimento circular mede-se em radianos: arraste o ângulo θ e o raio r para ver o arco varrido — a velocidade angular ω transforma isto em v = rω.
3.4
Lei de Hooke
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| usar a Lei de Hooke como modelo que relaciona a força num fio elástico ou mola com a extensão ou compressão, e compreender o termo módulo de elasticidade | |
| usar a fórmula da energia potencial elástica armazenada num fio ou mola | A demonstração da fórmula não é exigida. |
| resolva problemas envolvendo forças devido a cordas elásticas ou molas, incluindo aqueles onde considerações de trabalho e energia são necessárias. | p.ex. uma partícula movendo-se horizontalmente ou verticalmente ou em um plano inclinado enquanto está presa a uma ou mais cordas ou molas, ou uma partícula presa a uma corda elástica atuando como um 'conical pendulum'. |
Fonte: Programa Cambridge International
Lei de Hooke 胡克定律 afirma que a tensão em uma corda elástica ou mola é proporcional à sua extensão $x$:
$$T = \frac{\lambda x}{L},$$
onde $L$ é o comprimento natural e $\lambda$ é o módulo de elasticidade 弹性模量. Esticar armazena energia potencial elástica 弹性势能:
$$E = \frac{\lambda x^2}{2L}.$$
Exemplo resolvido. Uma corda elástica de comprimento natural $2\ \text{m}$ e módulo $50\ \text{N}$ é esticada em $0.5\ \text{m}$. Encontre a tensão e a energia armazenada.
$$T = \frac{50\times 0.5}{2} = 12.5\ \text{N}, \qquad E = \frac{50\times 0.5^2}{2\times 2} = 3.125\ \text{J}.$$
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Lei de Hooke
F = k·x
A força é proporcional à extensão — a inclinação é a rigidez k.
3.5
Movimento linear sob força variável
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| resolver problemas que podem ser modelados como o movimento linear de uma partícula sob a ação de uma força variável, através da formulação e resolução de uma equação diferencial adequada. | Incluindo o uso de $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ para aceleração, quando apropriado. O cálculo necessário está restrito ao conteúdo do Pure Mathematics 3 no Cambridge International A Level Mathematics (9709). Apenas equações diferenciais nas quais as variáveis são separáveis estão incluídas. |
Fonte: Programa Cambridge International
Quando a força depende da posição $x$, use a aceleração na forma $a = v\dfrac{dv}{dx}$, o que transforma a lei de Newton em uma equação diferencial 微分方程 relacionando $v$ e $x$.
Exemplo resolvido. Uma partícula de massa $8\ \text{kg}$ move-se ao longo de uma linha sob uma força variável 变力 de magnitude $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ atuando na direção do movimento. Quando $x = 0$, $v = 1$. Encontre $v$ em termos de $x$.
A lei de Newton dá $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Separando e integrando:
$$\int 8v\,dv = \int (x^3 + 4x)\,dx \;\Rightarrow\; 4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + C.$$
Em $x = 0$, $v = 1$ dá $C = 4$, logo $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. Portanto $v = \tfrac14 x^2 + 1$.
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Trabalho de uma força variável
W = ∫ F dx
Quando a força varia, o trabalho realizado é a área sob o gráfico força-distância.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | 变力 | biàn lì |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | 动量守恒 | dòng liàng shǒu héng |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | 牛顿实验定律 | niú dùn shí yàn dìng lǜ |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | 恢复系数 | huī fù xì shù |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | 包络抛物线 | bāo luò pāo wù xiàn |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | 薄片 | báo piàn |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | 共面力 | gòng miàn lì |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | 圆锥摆 | yuán zhuī bǎi |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | 法向接触力 | fǎ xiàng jiē chù lì |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | 斜碰撞 | xié pèng zhuàng |
3.6
Momento linear
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| recordar a lei experimental de Newton e a definição do coeficiente de restituição, a propriedade $0 \leqslant e \leqslant 1$, e o significado dos termos ‘elasticamente perfeito’ ($e = 1$) e ‘inelástico’ ($e = 0$) | |
| usar a conservação do momento linear e/ou a lei experimental de Newton para resolver problemas que podem ser modelados como o impacto direto ou oblíquo de duas esferas lisas, ou o impacto direto ou oblíquo de uma esfera lisa com uma superfície fixa. |
Fonte: Programa Cambridge International
Em uma colisão, o momento linear total é conservado — a conservação do momento linear 动量守恒. A elasticidade é medida pela lei experimental de Newton 牛顿实验定律, que define o coeficiente de restituição 恢复系数 $e$:
$$e = \frac{\text{speed of separation}}{\text{speed of approach}}, \qquad 0 \leqslant e \leqslant 1.$$
Aqui $e = 1$ é perfeitamente elástica (sem perda de energia) e $e = 0$ é inelástica (os corpos ficam juntos). Em um impacto oblíquo 斜碰撞, decomponha as velocidades ao longo e perpendicularmente à linha de impacto, aplicando a restituição ao longo dela.
Exemplo resolvido. Uma esfera $A$ de massa $2\ \text{kg}$ movendo-se a $5\ \text{m s}^{-1}$ colide com uma esfera estacionária $B$ de massa $3\ \text{kg}$, com $e = 0.5$. Encontre as velocidades afterwards.
Momento: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, logo $2v_A + 3v_B = 10$. Restituição: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Resolvendo conjuntamente, obtemos $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ e $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
Explorar
Uma colisão
Defina cada massa e velocidade, então colida-os. O momento total é conservado — veja como as velocidades saem.
3.6
Dicas de prova
- Para projéteis, decomponha em movimento horizontal (velocidade constante) e vertical ($a = g$), ligados pelo mesmo tempo.
- Para um corpo rígido em equilíbrio, tome momentos em um ponto que elimine uma força desconhecida.
- Para movimento circular, use $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ em direção ao centro; em um círculo vertical, verifique a velocidade mínima no topo.
- Com uma força variável, use $a = v\,\frac{dv}{dx}$ e integre; energia potencial elástica $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.