Probabilidade e Estatística Avançadas

Uma variável contínua $X$ é descrita por uma função densidade de probabilidade 概率密度函数 $f(x)$, que pode ser definida por partes. A probabilidade sobre um intervalo é a área sob $f$, e a média de qualquer função de $X$ é

A função de distribuição acumulada 累积分布函数 $F(x) = P(X \leqslant x)$ é o total acumulado: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, e $f(x) = F'(x)$. Use $F$ para encontrar probabilidades e percentis 百分位数 (por exemplo, a mediana 中imedia resolve $F(x) = 0.5$).

Exemplo resolvido. Uma variável tem $f(x) = \tfrac12 x$ para $0 \leqslant x \leqslant 2$. Encontre a mediana.

A função de distribuição acumulada é $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Defina $F(m) = 0.5$:

A distribuição de uma variável relacionada. Se $Y=g(X)$, encontre a distribuição de $Y$ através de sua função cumulativa. Para $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, então diferencie para $f_Y=F_Y'$. Quando $g$ é monotonicamente crescente há um atalho, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.

Exemplo resolvido. Com $f_X(x)=\tfrac12 x$ em $[0,2]$ (logo $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), seja $Y=X^2$. Para $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, logo $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – isto é, $Y$ é uniforme em $[0,4]$.

Quando uma amostra é pequena e a variância populacional é desconhecida, baseie seu teste de hipótese 假设检验 na distribuição $t$ em vez da normal. A mesma ideia dá um intervalo de confiança 置信区间 para a média:

onde $t$ vem das tabelas $t$ com $n - 1$ graus de liberdade. Para comparar duas populações, use um teste t de amostra dupla (2-sample) ou amostra pareada $t$, após encontrar uma estimativa agrupada 合并估计 da variância compartilhada quando apropriado.

Exemplo resolvido. Uma amostra de $n = 10$ tem média $\bar{x} = 50$ e desvio padrão $s = 4$. Encontre um intervalo de confiança $95\%$ para a média (use $t = 2.262$ para $9$ graus de liberdade).

Um teste $\chi^2$ (teste qui-quadrado 卡方检验) compara contagens observadas $O$ com contagens esperadas $E$ de uma distribuição teórica 理论分布:

Compare isso com um valor de tabela para o número correto de graus de liberdade 自由度. Dois usos: um teste de ajuste de bondade 拟合优度 (se os dados seguem o modelo proposto?) e um teste de independência 独立性 de duas variáveis em uma tabela de contingência 列联表.

Exemplo resolvido. Quatro categorias igualmente prováveis dão contagens observadas $20, 30, 25, 25$ (logo cada contagem esperada é $25$). Teste o ajuste no nível $5\%$.

Com $4 - 1 = 3$ graus de liberdade, o valor da tabela é $7.815$. Como $2 < 7.815$, não rejeite o modelo.

Um teste não paramétrico 非参数检验 não faz suposição de que os dados são normais, sendo útil quando essa suposição falha. Os básicos são:

• o teste dos sinais 符号检验: conte quantos valores estão acima e abaixo de uma mediana proposta, e teste essas contagens com um modelo binomial;
• o teste de posto sinalizado de Wilcoxon 威尔科克森符号秩检验 (o teste para pareamento matched-pairs para dados pareados), que também usa os tamanhos das diferenças, não apenas seus sinais;
• o teste de soma de postos de Wilcoxon 威尔科克森秩和检验, para comparar duas amostras separadas.

Exemplo resolvido. Teste se uma mediana é $5$. Em uma amostra de $10$ valores (nenhum igual a $5$), $9$ ficam acima $5$ e $1$ fica abaixo. Teste no nível $5\%$ (bilateral).

Sob $H_0$ (mediana $= 5$), o número acima segue $B(10, 0.5)$. O resultado observado ($9$ acima) é extremo, então encontre $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. Para um teste bilateral, compare com $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Como $0.0107 < 0.025$, rejeite $H_0$: há evidências de que a mediana não é $5$.

A função geradora de probabilidade 概率母函数 de uma variável discreta $X$ é

Ela compacta toda a distribuição em uma única função. A média e a variância vêm de suas derivadas em $t = 1$: $E(X) = G'(1)$ e $\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$. Além disso, a FGP de uma soma de variáveis independentes é o produto de suas FGPs.

Exemplo resolvido. $X$ tem $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Encontre $E(X)$ usando a FGP.

Aqui $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, então $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ e

• Para uma variável aleatória contínua, a pdf integra-se a $1$ sobre seu intervalo, e $E(X) = \int x f(x)\,dx$.
• Use a distribuição $t$ quando a amostra é pequena e a variância populacional é desconhecida; declare os graus de liberdade.
• Para um teste qui-quadrado, compute $\sum (O-E)^2/E$, compare com o valor crítico nos graus de liberdade corretos, e combine classes com $E < 5$.
• Declare $H_0$ e $H_1$ e dê a conclusão no contexto para todo teste.