Matemática Avançada do A-Level · Topic 2 · Tópico 2
11:29
Matemática Pura 2
Olhe para qualquer corrente suspensa, qualquer fio de energia, qualquer cabo de suspensão. Ela sempre se estabelece em uma curva especial. Você poderia pensar numa parábola — mas não é. É…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
This handout covers Topic 2: Further Pure Mathematics 进阶纯数学 2. It adds hyperbolic functions, eigenvalues, new differentiation and integration, de Moivre's theorem, and methods for differential equations.
Este material cobre o Tópico 2: Matemática Pura Avançada 进阶纯数学 2. Ele adiciona funções hiperbólicas, autovalores, nova diferenciação e integração, teorema de De Moivre e métodos para equações diferenciais.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the definitions of the hyperbolic functions $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\text{sech } x$, $\text{cosech } x$, $\text{coth } x$ in terms of the exponential function | |
| sketch the graphs of hyperbolic functions | |
| prove and use identities involving hyperbolic functions | e.g. $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$, $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$, and similar results corresponding to the standard trigonometric identities. |
| understand and use the definitions of the inverse hyperbolic functions and derive and use the logarithmic forms |
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender as definições das funções hiperbólicas $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\text{sech } x$, $\text{cosech } x$, $\text{coth } x$ em termos da função exponencial | |
| esboçar os gráficos das funções hiperbólicas | |
| provar e usar identidades envolvendo funções hiperbólicas | p.ex. $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$, $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$, e resultados similares correspondentes às identidades trigonométricas padrão. |
| compreender e usar as definições das funções hiperbólicas inversas e derivar e usar as formas logarítmicas |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
The hyperbolic functions 双曲函数 are built from the exponential function:
They obey identities much like the trigonometric ones, the main one being $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. The three reciprocals complete the set: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, and $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ – all built from $e^x$ too, and worth recognising in integrals and mark schemes. The inverse hyperbolic functions 反双曲函数 have a logarithmic form 对数形式, for example $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.
Worked example. Show that $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
As funções hiperbólicas 双曲函数 são construídas a partir da função exponencial:
Elas obedecem identidades muito semelhantes às trigonométricas, a principal sendo $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Os três reciprocais completam o conjunto: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, e $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ – todos construídos a partir de $e^x$ também, e dignos de reconhecimento em integrais e gabaritos. As funções hiperbólicas inversas 反双曲函数 têm uma forma logarítmica 对数形式, por exemplo $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.
Exemplo resolvido. Mostre que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
y = a cosh(x)
cosh é a catenária (uma corrente pendurada) — par, com seu mínimo em (0, a).
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| formulate a problem involving the solution of 3 linear simultaneous equations in 3 unknowns as a problem involving the solution of a matrix equation, or vice versa | |
| understand the cases that may arise concerning the consistency or inconsistency of 3 linear simultaneous equations, relate them to the singularity or otherwise of the corresponding matrix, solve consistent systems, and interpret geometrically in terms of lines and planes | e.g. three planes meeting in a common point, or in a common line, or having no common points. |
| understand the terms 'characteristic equation', 'eigenvalue' and 'eigenvector', as applied to square matrices | Including use of the definition $\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$ to prove simple properties, e.g. that $\lambda^n$ is an eigenvalue of $\mathbf{A}^n$. |
| find eigenvalues and eigenvectors of $2 \times 2$ and $3 \times 3$ matrices | Restricted to cases where the eigenvalues are real and distinct. |
| express a square matrix in the form $\mathbf{QDQ}^{-1}$, where $\mathbf{D}$ is a diagonal matrix of eigenvalues and $\mathbf{Q}$ is a matrix whose columns are eigenvectors, and use this expression | e.g. in calculating powers of $2 \times 2$ or $3 \times 3$ matrices. |
| use the fact that a square matrix satisfies its own characteristic equation. | e.g. in finding successive powers of a matrix or finding an inverse matrix; restricted to $2 \times 2$ or $3 \times 3$ matrices only. |
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| formular um problema envolvendo a solução de 3 equações lineares simultâneas em 3 incógnitas como um problema envolvendo a solução de uma equação matricial, ou vice-versa | |
| compreender os casos que podem surgir quanto à consistência ou inconsistência de 3 equações lineares simultâneas, relacioná-los à singularidade ou não da matriz correspondente, resolver sistemas consistentes e interpretar geometricamente em termos de retas e planos | p.ex. três planos se encontrando em um ponto comum, ou em uma reta comum, ou sem pontos comuns. |
| compreender os termos 'equação característica', 'valor próprio' e 'vetor próprio', aplicados a matrizes quadradas | Incluindo uso da definição $\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$ para provar propriedades simples, p.ex. que $\lambda^n$ é um valor próprio de $\mathbf{A}^n$. |
| encontrar valores próprios e vetores próprios de matrizes $2 \times 2$ e $3 \times 3$ | Restrito a casos onde os valores próprios são reais e distintos. |
| expressar uma matriz quadrada na forma $\mathbf{QDQ}^{-1}$, onde $\mathbf{D}$ é uma matriz diagonal de valores próprios e $\mathbf{Q}$ é uma matriz cujas colunas são vetores próprios, e usar esta expressão | p.ex. no cálculo de potências de matrizes $2 \times 2$ ou $3 \times 3$. |
| usar o fato de que uma matriz quadrada satisfaz sua própria equação característica. | p.ex. no cálculo de potências sucessivas de uma matriz ou no cálculo de uma matriz inversa; restrito apenas a matrizes $2 \times 2$ ou $3 \times 3$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
You can write three linear equations in three unknowns as a single matrix equation 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. If $A$ is non-singular there is one solution; if $A$ is singular the equations are either inconsistent (no solution) or have infinitely many.
For a square matrix $A$, the characteristic equation 特征方程 is $\det(A - \lambda I) = 0$. Its solutions are the eigenvalues 特征值 $\lambda$, and for each one the vector $\mathbf{v}$ with $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ is an eigenvector 特征向量. You can then write $A = QDQ^{-1}$, where $D$ is a diagonal matrix 对角矩阵 of eigenvalues and the columns of $Q$ are the eigenvectors.
Worked example. Find the eigenvalues of $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
The characteristic equation is
Você pode escrever três equações lineares em três incógnitas como uma única equação matricial 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Se $A$ é não singular há uma solução; se $A$ é singular as equações são inconsistentes (sem solução) ou têm infinitas soluções.
Para uma matriz quadrada $A$, a equação característica 特征方程 é $\det(A - \lambda I) = 0$. Suas soluções são os autovalores 特征值 $\lambda$, e para cada um o vetor $\mathbf{v}$ com $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ é um autovetor 特征向量. Você pode então escrever $A = QDQ^{-1}$, onde $D$ é uma matriz diagonal 对角矩阵 de autovalores e as colunas de $Q$ são os autovetores.
Exemplo resolvido. Encontre os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
A equação característica é
Altere a matriz para girar, esticar ou cisalhar o quadrado unitário; o determinante mostra como a área muda.
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 进阶纯数学 | jìn jiē chún shù xué |
| hyperbolic functions/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 双曲函数 | shuāng qū hán shù |
| inverse hyperbolic functions/ɪnˈvɜːs ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 反双曲函数 | fǎn shuāng qū hán shù |
| logarithmic form/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk fɔːm/ | 对数形式 | duì shù xíng shì |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | 矩阵方程 | jǔ zhèn fāng chéng |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | 特征方程 | tè zhēng fāng chéng |
| eigenvalues/ˈaɪdʒənvæljuːz/ | 特征值 | tè zhēng zhí |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | 特征向量 | tè zhēng xiàng liàng |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | 对角矩阵 | duì jiǎo jǔ zhèn |
| Maclaurin's series/məˈklɔːrɪnz ˈsɪəriːz/ | 麦克劳林级数 | mài kè láo lín jí shù |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | 配方法 | pèi fāng fǎ |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | 递推公式 | dì tuī gōng shì |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧长 | hú zhǎng |
| surface area of revolution/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | 旋转曲面面积 | xuán zhuǎn qū miàn miàn jī |
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | 黎曼和 | lí màn hé |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | 复数 | fù shù |
| De Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | 棣莫弗定理 | dì mò fú dìng lǐ |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • differentiate hyperbolic functions and differentiate $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, $\cosh^{-1}x$ and $\tanh^{-1}x$ | |
| • obtain an expression for $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ in cases where the relation between $x$ and $y$ is defined implicitly or parametrically | |
| • derive and use the first few terms of a Maclaurin's series for a function. | Derivation of a general term is not included, but successive 'implicit' differentiation steps may be required, e.g. for $y = \tan x$ following an initial differentiation rearranged as $y' = 1 + y^2$. |
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • derivar funções hiperbólicas e derivar $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, $\cosh^{-1}x$ e $\tanh^{-1}x$ | |
| • obter uma expressão para $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ nos casos em que a relação entre $x$ e $y$ é definida implicitamente ou parametricamente | |
| • derivar e usar os primeiros termos de uma série de Maclaurin para uma função. | A derivação de um termo geral não é incluída, mas etapas sucessivas de 'derivação implícita' podem ser necessárias, p.ex. para $y = \tan x$ após um rearranjo inicial de derivada como $y' = 1 + y^2$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
You can now differentiate the hyperbolic functions and the inverse functions $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ and so on. You can also find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ for curves given implicitly or parametrically.
A Maclaurin's series 麦克劳林级数 writes a function as a power series:
Worked example. Find the Maclaurin series of $f(x) = \ln(1+x)$ up to the term in $x^3$.
$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ so $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ so $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ so $f'''(0) = 2$. Substituting into the series:
Agora você pode diferenciar as funções hiperbólicas e as funções inversas $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ e assim por diante. Você também pode encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para curvas dadas implicitamente ou parametricamente.
Uma série de Maclaurin 麦克劳林级数 escreve uma função como uma série de potências:
Exemplo resolvido. Encontre a série de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ até o termo em $x^3$.
$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ então $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ então $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ então $f'''(0) = 2$. Substituindo na série:
gradiente = dy/dx
A derivada é a inclinação da tangente, por mais exótica que seja a função.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • integrate hyperbolic functions and recognise integrals of functions of the form $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ and $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$, and integrate associated functions using trigonometric substitutions or hyperbolic substitutions as appropriate | Including use of completing the square where necessary, e.g. to integrate $\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$. |
| • derive and use reduction formulae for the evaluation of definite integrals | e.g. $\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$, $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$. In harder cases hints may be given, e.g. $\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$ by considering $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$. |
| • understand how the area under a curve may be approximated by areas of rectangles, and use rectangles to estimate or set bounds for the area under a curve or to derive inequalities or limits concerning sums | Questions may involve either rectangles of unit width or rectangles whose width can tend to zero, e.g. $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$, $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. continued |
| • use integration to find – arc lengths for curves with equations in Cartesian coordinates, including the use of a parameter, or in polar coordinates – surface areas of revolution about one of the axes for curves with equations in Cartesian coordinates, including the use of a parameter. | Any questions involving integration may require techniques from Cambridge International A Level Mathematics (9709) applied to more difficult cases, e.g. integration by parts for $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$, or use of the substitution $t = \tan \frac{1}{2}x$. Surface areas of revolution for curves with equations in polar coordinates will not be required. |
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • integrar funções hiperbólicas e reconhecer integrais de funções da forma $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ e $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$, e integrar funções associadas usando substituições trigonométricas ou substituições hiperbólicas conforme apropriado | Incluindo uso de completar quadrados quando necessário, p.ex. para integrar $\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$. |
| • derivar e usar fórmulas de redução para a avaliação de integrais definidas | p.ex. $\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$, $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$. Em casos mais difíceis, dicas podem ser fornecidas, p.ex. $\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$ considerando $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$. |
| • compreender como a área sob uma curva pode ser aproximada por áreas de retângulos, e usar retângulos para estimar ou definir limites para a área sob uma curva ou para derivar desigualdades ou limites concernentes a somas | As questões podem envolver retângulos de largura unitária ou retângulos cuja largura pode tender a zero, p.ex. $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$, $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. continuado |
| • usar integração para encontrar – comprimentos de arco para curvas com equações em coordenadas cartesianas, incluindo o uso de um parâmetro, ou em coordenadas polares – áreas de superfície de revolução sobre um dos eixos para curvas com equações em coordenadas cartesianas, incluindo o uso de um parâmetro. | Quaisquer questões envolvendo integração podem exigir técnicas do Cambridge International A Level Mathematics (9709) aplicadas a casos mais difíceis, p.ex. integração por partes para $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$, ou uso da substituição $t = \tan \frac{1}{2}x$. Áreas de superfície de revolução para curvas com equações em coordenadas polares não serão exigidas. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
Learn these standard integrals:
Worked example. Find $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.
Here $a^2 = 4$, so $a = 2$ and
Bounding a sum by an integral. Draw rectangles of unit width under, or over, a decreasing curve such as $y=\frac1x$. Each rectangle of height $\frac1r$ is trapped between two integral strips, so summing gives
Aprenda estas integrais padrão:
Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.
Aqui $a^2 = 4$, então $a = 2$ e
Limitando uma soma por uma integral. Desenhe retângulos de largura unitária abaixo ou acima de uma curva decrescente como $y=\frac1x$. Cada retângulo de altura $\frac1r$ está contido entre duas tiras integrais, então somando dá
área = ∫ f(x) dx
Toda integral mede a área sob a curva — arraste os limites.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand de Moivre’s theorem, for a positive or negative integer exponent, in terms of the geometrical effect of multiplication and division of complex numbers | |
| • prove de Moivre’s theorem for a positive integer exponent | e.g. by induction. |
| • use de Moivre’s theorem for a positive or negative rational exponent | e.g. expressing $\cos 5\theta$ in terms of $\cos \theta$ or $\tan 5\theta$ in terms of $\tan \theta$. |
| – to express trigonometrical ratios of multiple angles in terms of powers of trigonometrical ratios of the fundamental angle | e.g. expressing $\sin^6 \theta$ in terms of $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$ and $\cos 6\theta$. |
| – to express powers of $\sin \theta$ and $\cos \theta$ in terms of multiple angles | |
| – in the summation of series | e.g. using the '$C + \mathrm{i}S$' method to sum series such as $\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$. |
| – in finding and using the $n$th roots of unity. |
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • compreender o teorema de De Moivre, para expoente inteiro positivo ou negativo, em termos do efeito geométrico da multiplicação e divisão de números complexos | |
| • provar o teorema de De Moivre para um expoente inteiro positivo | p.ex. por indução. |
| • usar o teorema de De Moivre para um expoente racional positivo ou negativo | p.ex. expressando $\cos 5\theta$ em termos de $\cos \theta$ ou $\tan 5\theta$ em termos de $\tan \theta$. |
| – para expressar razões trigonométricas de ângulos múltiplos em termos de potências de razões trigonométricas do ângulo fundamental | p.ex. expressando $\sin^6 \theta$ em termos de $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$ e $\cos 6\theta$. |
| – expressar potências de $\sin \theta$ e $\cos \theta$ em termos de ângulos múltiplos | |
| – na soma de séries | p.ex. usando o método '$C + \mathrm{i}S$' para somar séries como $\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$. |
| – no encontrar e usar as $n$-ésimas raízes da unidade. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
A complex number 复数 in polar form is $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. De Moivre's theorem 棣莫弗定理 says that for any integer $n$,
Worked example. Use de Moivre's theorem to express $\cos 3\theta$ in terms of $\cos\theta$.
Take the real part of $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:
Um número complexo 复数 na forma polar é $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. O teorema de De Moivre 棣莫弗定理 diz que para qualquer inteiro $n$,
Exemplo resolvido. Use o teorema de De Moivre para expressar $\cos 3\theta$ em termos de $\cos\theta$.
Tome a parte real de $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:
Arraste o ponto para explorar módulo e argumento — a linguagem dos números complexos na forma polar (módulo–argumento).
| English · Inglês | Chinese · Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | 单位根 | dān wèi gēn |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | 积分因子 | jī fēn yīn zi |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 通解 | tōng jiě |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | 余函数 | yú hán shù |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | 特积分 | tè jī fēn |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 特解 | tè jiě |
| separable variables/ˈsepərəbl ˈveərɪəblz/ | 可分离变量 | kě fēn lí biàn liàng |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | 辅助方程 | fǔ zhù fāng chéng |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • find an integrating factor for a first order linear differential equation, and use an integrating factor to find the general solution | e.g. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$, $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| • recall the meaning of the terms 'complementary function' and 'particular integral' in the context of linear differential equations, and recall that the general solution is the sum of the complementary function and a particular integral | |
| find the complementary function for a first or second order linear differential equation with constant coefficients | For second order equations, including the cases where the auxiliary equation has distinct real roots, a repeated real root or conjugate complex roots. |
| recall the form of, and find, a particular integral for a first or second order linear differential equation in the cases where a polynomial or $ae^{bx}$ or $a\cos px + b\sin px$ is a suitable form, and in other simple cases find the appropriate coefficient(s) given a suitable form of particular integral | e.g. evaluate $k$ given that $kx \cos 2x$ is a particular integral of $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| use a given substitution to reduce a differential equation to a first or second order linear equation with constant coefficients or to a first order equation with separable variables | e.g. the substitution $x = e^t$ to reduce to linear form a differential equation with terms of the form $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ , or the substitution $y = ux$ to reduce $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ to separable form. |
| use initial conditions to find a particular solution to a differential equation, and interpret a solution in terms of a problem modelled by a differential equation. |
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • encontrar um fator integrante para uma equação diferencial linear de primeira ordem, e usar um fator integrante para encontrar a solução geral | p.ex. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$, $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| • recordar o significado dos termos 'função complementar' e 'integral particular' no contexto de equações diferenciais lineares, e recordar que a solução geral é a soma da função complementar e de uma integral particular | |
| encontrar a função complementar para uma equação diferencial linear de primeira ou segunda ordem com coeficientes constantes | Para equações de segunda ordem, incluindo os casos em que a equação auxiliar possui raízes reais distintas, uma raiz real repetida ou raízes complexas conjugadas. |
| recordar a forma de, e encontrar, uma integral particular para uma equação diferencial linear de primeira ou segunda ordem nos casos em que um polinômio ou $ae^{bx}$ ou $a\cos px + b\sin px$ é uma forma adequada, e em outros casos simples encontrar o(s) coeficiente(s) adequado(s) dada uma forma adequada de integral particular | p.ex. avaliar $k$ dado que $kx \cos 2x$ é uma integral particular de $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| usar uma substituição dada para reduzir uma equação diferencial a uma equação linear de primeira ou segunda ordem com coeficientes constantes ou a uma equação de primeira ordem com variáveis separáveis | p.ex. a substituição $x = e^t$ para reduzir a forma linear uma equação diferencial com termos da forma $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ , ou a substituição $y = ux$ para reduzir $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ à forma separável. |
| usar condições iniciais para encontrar uma solução particular para uma equação diferencial, e interpretar uma solução em termos de um problema modelado por uma equação diferencial. |
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
For a first order linear equation $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiply by the integrating factor 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. The left side then becomes $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, so you can integrate directly.
For a linear equation with constant coefficients, the general solution 通解 is the sum of two parts: the complementary function 余函数 (the solution of the equation with the right side set to $0$, found from the auxiliary equation) and a particular integral 特积分 (any one solution of the full equation). Initial conditions then fix the constants to give the particular solution 特解; simpler equations with separable variables 可分离变量 are integrated directly.
Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.
The integrating factor is $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Multiplying through gives $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, so
Second order, constant coefficients. For $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, solve the auxiliary equation 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. The complementary function depends on its roots:
Then add a particular integral by trying a form matching $f(x)$ (a polynomial, $ae^{bx}$, or $a\cos px+b\sin px$); if that trial already appears in the complementary function, multiply it by $x$.
Worked example. Solve $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. The auxiliary equation $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ has a repeated root $m=2$, so $y=(A+Bx)e^{2x}$.
Para uma equação linear de primeira ordem $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiplique pelo fator integrante 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. O lado esquerdo torna-se então $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, permitindo integrar diretamente.
Para uma equação linear com coeficientes constantes, a solução geral 通解 é a soma de duas partes: a função complementar 余函数 (a solução da equação com o lado direito igual a $0$, encontrada pela equação auxiliar) e uma integral particular 特积分 (qualquer uma das soluções da equação completa). Condições iniciais fixam as constantes para dar a solução particular 特解; equações mais simples com variáveis separáveis 可分离变量 são integradas diretamente.
Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.
O fator integrante é $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Multiplicando tudo resulta em $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, logo
Segunda ordem, coeficientes constantes. Para $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, resolva a equação auxiliar 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. A função complementar depende de suas raízes:
Em seguida, adicione uma integral particular tentando uma forma correspondente a $f(x)$ (um polinômio, $ae^{bx}$, ou $a\cos px+b\sin px$); se essa tentativa já aparecer na função complementar, multiplique-a por $x$.
Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. A equação auxiliar $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ tem uma raiz repetida $m=2$, logo $y=(A+Bx)e^{2x}$.
dy/dx = a y
A equação define a inclinação em todo o lado; a solução segue essas inclinações.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.
Past Papers · Provas Anteriores
Loading subjects… · Carregando matérias…