Sampling Distributions · ⁨Distribusi Sampling⁩

AP Statistics · ⁨AP Statistik⁩ · Topic 5 · ⁨Topik 5⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

5.1

Why Two Samples Never Match: Sampling Variability · ⁨Mengapa Dua Sampel Tidak Pernah Sama: Variabilitas Pengambilan Sampel⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-1): Given that variation may be random or not, conclusions are uncertain.

Learning Objective VAR-1.G: Identify questions suggested by variation in statistics for samples collected from the same population. [Skill 1.A]

VAR-1.G.1 Variation in statistics for samples taken from the same population may be random or not.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (VAR-1): Mengingat variasi bisa bersifat acak atau tidak, kesimpulan bersifat tidak pasti.

Tujuan Pembelajaran VAR-1.G: Mengidentifikasi pertanyaan yang muncul dari variasi statistik pada sampel yang dikumpulkan dari populasi yang sama. [Keterampilan 1.A]

VAR-1.G.1 Variasi statistik pada sampel yang diambil dari populasi yang sama dapat bersifat acak atau tidak.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A statistic 统计量 (like a sample mean $\bar{x}$ or sample proportion $\hat{p}$) is computed from a sample and varies from sample to sample – this is sampling variability 抽样变异. A parameter 参数 ($\mu$ or $p$) is the fixed truth about the population. The sampling distribution 抽样分布 is the distribution of a statistic over all possible samples of a given size – it is the bridge from one sample to inference.

Bahasa Indonesia

A statistic (like a sample mean $\bar{x}$ or sample proportion $\hat{p}$) is computed from a sample and varies from sample to sample – this is sampling variability. A parameter ($\mu$ or $p$) is the fixed truth about the population. The sampling distribution is the distribution of a statistic over all possible samples of a given size – it is the bridge from one sample to inference.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
statistic/stəˈtɪstɪk/	statistik
sampling variability/ˈsæmplɪŋ ˌveərɪəˈbɪlɪti/	variabilitas pengambilan sampel
parameter/pəˈræmɪtə/	parameter
sampling distribution/ˈsæmplɪŋ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	distribusi sampel

5.2

The Normal Curve as a Model for a Statistic · ⁨Kurva Normal sebagai Model untuk Statistik⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-6): The normal distribution may be used to model variation.

Learning Objective VAR-6.A: Calculate the probability that a particular value lies in a given interval of a normal distribution. [Skill 3.A]

VAR-6.A.1 A continuous random variable is a variable that can take on any value within a specified domain. Every interval within the domain has a probability associated with it.
VAR-6.A.2 A continuous random variable with a normal distribution is commonly used to describe populations. The distribution of a normal random variable can be described by a normal, or "bell-shaped," curve.
VAR-6.A.3 The area under a normal curve over a given interval represents the probability that a particular value lies in that interval.
- Illustrative examples for VAR-6.A: Continuous random variable: If one looks at a clock at a random time, the probability that the minute hand is between the 3 and the 6 is one fourth.

Learning Objective VAR-6.B: Determine the interval associated with a given area in a normal distribution. [Skill 3.A]

VAR-6.B.1 The boundaries of an interval associated with a given area in a normal distribution can be determined using $z$-scores or technology, such as a calculator, a standard normal table, or computer-generated output.
VAR-6.B.2 Intervals associated with a given area in a normal distribution can be determined by assigning appropriate inequalities to the boundaries of the intervals:
- a. $P(X < x_a) = \dfrac{p}{100}$ means that the lowest $p\%$ of values lie to the left of $x_a$.
- b. $P(x_a < X < x_b) = \dfrac{p}{100}$ means that $p\%$ of values lie between $x_a$ and $x_b$.
- c. $P(X > x_b) = \dfrac{p}{100}$ means that the highest $p\%$ of values lie to the right of $x_b$.
- d. To determine the most extreme $p\%$ of values requires dividing the area associated with $p\%$ into two equal areas on either extreme of the distribution: $P(X < x_a) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ and $P(X > x_b) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ means that half of the $p\%$ most extreme values lie to the left of $x_a$ and half of the $p\%$ most extreme values lie to the right of $x_b$.

Learning Objective VAR-6.C: Determine the appropriateness of using the normal distribution to approximate probabilities for unknown distributions. [Skill 3.C]

VAR-6.C.1 Normal distributions are symmetrical and "bell-shaped." As a result, normal distributions can be used to approximate distributions with similar characteristics.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (VAR-6): Distribusi normal dapat digunakan untuk memodelkan variasi.

Tujuan Pembelajaran VAR-6.A: Menghitung probabilitas bahwa nilai tertentu berada dalam interval tertentu dari distribusi normal. [Keterampilan 3.A]

VAR-6.A.1 Variabel acak kontinu adalah variabel yang dapat mengambil nilai apa pun dalam domain yang ditentukan. Setiap interval dalam domain memiliki probabilitas yang terkait dengannya.
VAR-6.A.2 Variabel acak kontinu dengan distribusi normal sering digunakan untuk mendeskripsikan populasi. Distribusi dari variabel acak normal dapat digambarkan oleh kurva normal atau "berbentuk lonceng".
VAR-6.A.3 Luas di bawah kurva normal atas interval tertentu mewakili probabilitas bahwa nilai tertentu berada dalam interval tersebut.
- Contoh ilustratif untuk VAR-6.A: Variabel acak kontinu: Jika seseorang melihat jam pada waktu secara acak, probabilitas jarum menit berada antara angka 3 dan 6 adalah satu perempat.

Tujuan Pembelajaran VAR-6.B: Menentukan interval yang berkaitan dengan luas tertentu dalam distribusi normal. [Keterampilan 3.A]

VAR-6.B.1 Batas-batas interval yang terkait dengan area tertentu dalam distribusi normal dapat ditentukan menggunakan skor $z$ atau teknologi, seperti kalkulator, tabel normal standar, atau output yang dihasilkan komputer.
VAR-6.B.2 Interval yang berkaitan dengan luas tertentu dalam distribusi normal dapat ditentukan dengan menetapkan pertidaksamaan yang sesuai pada batas-batas interval:
- a. $P(X < x_a) = \dfrac{p}{100}$ berarti $p\%$ terendah dari nilai-nilai terletak di sebelah kiri $x_a$.
- b. $P(x_a < X < x_b) = \dfrac{p}{100}$ berarti $p\%$ dari nilai-nilai terletak di antara $x_a$ dan $x_b$.
- c. $P(X > x_b) = \dfrac{p}{100}$ berarti $p\%$ tertinggi dari nilai-nilai terletak di sebelah kanan $x_b$.
- d. Untuk menentukan $p\%$ nilai-nilai yang paling ekstrem, perlu membagi luas yang berkaitan dengan $p\%$ menjadi dua area yang sama di setiap ujung distribusi: $P(X < x_a) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ dan $P(X > x_b) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ berarti setengah dari $p\%$ nilai-nilai paling ekstrem terletak di sebelah kiri $x_a$ dan setengah dari $p\%$ nilai-nilai paling ekstrem terletak di sebelah kanan $x_b$.

Tujuan Pembelajaran VAR-6.C: Menentukan kesesuaian penggunaan distribusi normal untuk mengaproksimasi probabilitas pada distribusi yang tidak diketahui. [Keterampilan 3.C]

VAR-6.C.1 Distribusi normal simetris dan "berbentuk lonceng." Akibatnya, distribusi normal dapat digunakan untuk mengaproksimasi distribusi dengan karakteristik serupa.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The normal distribution

For large enough samples, many sampling distributions are approximately normal. That lets us describe a statistic by a center (its mean), a spread (its standard error 标准误), and a normal shape – and then compute how likely a given sample result is.

Bahasa Indonesia

Distribusi normal

For large enough samples, many sampling distributions are approximately normal. That lets us describe a statistic by a center (its mean), a spread (its standard error), and a normal shape – and then compute how likely a given sample result is.

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Use the normal curve to find a proportion · ⁨Gunakan kurva normal untuk menemukan proporsi⁩

A normal model turns a range of values into an area = a proportion. Shade a band to read off the fraction of samples falling within it (the 68-95-99.7 rule). · ⁨Model normal mengubah rentang nilai menjadi luas area = proporsi. arsir pita untuk membaca bagian sampel yang jatuh di dalamnya (aturan 68-95-99.7).⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
standard error/ˈstændəd ˈerə/	kesalahan baku

5.3

The Central Limit Theorem · ⁨Teorema Limit Pusat⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.H: Estimate sampling distributions using simulation. [Skill 3.C]

UNC-3.H.1 A sampling distribution of a statistic is the distribution of values for the statistic for all possible samples of a given size from a given population.
UNC-3.H.2 The central limit theorem (CLT) states that when the sample size is sufficiently large, a sampling distribution of the mean of a random variable will be approximately normally distributed.
UNC-3.H.3 The central limit theorem requires that the sample values are independent of each other and that $n$ is sufficiently large.
UNC-3.H.4 A randomization distribution is a collection of statistics generated by simulation assuming known values for the parameters. For a randomized experiment, this means repeatedly randomly reallocating/reassigning the response values to treatment groups.
UNC-3.H.5 The sampling distribution of a statistic can be simulated by generating repeated random samples from a population.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (UNC-3): Penalaran probabilistik memungkinkan kita memperkirakan pola dalam data.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.H: Mengestimasi distribusi sampling menggunakan simulasi. [Keterampilan 3.C]

UNC-3.H.1 Distribusi sampling dari suatu statistik adalah distribusi nilai-nilai untuk statistik tersebut untuk semua kemungkinan sampel dengan ukuran tertentu dari populasi yang diberikan.
UNC-3.H.2 Teorema limit pusat (CLT) menyatakan bahwa ketika ukuran sampel cukup besar, distribusi sampling dari rata-rata variabel acak akan terdistribusi secara normal secara aproksimasi.
UNC-3.H.3 Teorema limit pusat mensyaratkan bahwa nilai-nilai sampel saling bebas satu sama lain dan bahwa $n$ cukup besar.
UNC-3.H.4 Distribusi randomisasi adalah kumpulan statistik yang dihasilkan oleh simulasi dengan asumsi nilai-nilai parameter yang diketahui. Untuk eksperimen yang diacak, ini berarti mengalokasikan ulang/menugaskan kembali nilai respons secara acak ke kelompok perlakuan berulang kali.
UNC-3.H.5 Distribusi sampling dari suatu statistik dapat disimulasikan dengan menghasilkan sampel acak berulang dari populasi.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The Central Limit Theorem

The Central Limit Theorem 中心极限定理 (CLT): for a sample mean, if the sample size $n$ is large enough (a common rule is $n\ge 30$), the sampling distribution of $\bar{x}$ is approximately normal, regardless of the population's shape. The larger $n$, the more normal and the tighter the distribution.

Bahasa Indonesia

Teorema Limit Pusat

The Central Limit Theorem (CLT): for a sample mean, if the sample size $n$ is large enough (a common rule is $n\ge 30$), the sampling distribution of $\bar{x}$ is approximately normal, regardless of the population's shape. The larger $n$, the more normal and the tighter the distribution.

The sample mean is nearly normal whatever the shape of the population

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Watch a sampling distribution turn normal · ⁨Saksikan distribusi sampling berubah menjadi normal⁩

The Central Limit Theorem: for a large enough sample, the distribution of the sample mean is approximately normal — whatever the shape of the population. · ⁨The Central Limit Theorem: untuk sampel yang cukup besar, distribusi rata-rata sampel mendekati normal — apa pun bentuk populasinya.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/	Teorem Had Pusat

5.4

Good Guesses and Bad Guesses: Bias · ⁨Taksiran Baik dan Buruk: Bias⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.I: Explain why an estimator is or is not unbiased. [Skill 4.B]

UNC-3.I.1 When estimating a population parameter, an estimator is unbiased if, on average, the value of the estimator is equal to the population parameter.

Learning Objective UNC-3.J: Calculate estimates for a population parameter. [Skill 3.B]

UNC-3.J.1 When estimating a population parameter, an estimator exhibits variability that can be modeled using probability.
UNC-3.J.2 A sample statistic is a point estimator of the corresponding population parameter.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (UNC-3): Penalaran probabilistik memungkinkan kita memperkirakan pola dalam data.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.I: Menjelaskan mengapa suatu estimator bias atau tidak bias. [Keterampilan 4.B]

UNC-3.I.1 Saat mengestimasi parameter populasi, suatu estimator disebut tidak bias jika, pada rata-rata, nilai estimator tersebut sama dengan parameter populasi.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.J: Menghitung estimasi untuk parameter populasi. [Keterampilan 3.B]

UNC-3.J.1 Saat mengestimasi parameter populasi, sebuah estimator menunjukkan variabilitas yang dapat dimodelkan menggunakan probabilitas.
UNC-3.J.2 Statistik sampel adalah estimator titik dari parameter populasi yang sesuai.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A statistic is unbiased 无偏 if the mean of its sampling distribution equals the parameter – it is correct on average. Bias is about the center being off; variability is about the spread. A good estimator is both unbiased (centered right) and low-variability (precise); larger samples reduce variability but do not fix bias from bad sampling.

Bahasa Indonesia

A statistic is unbiased if the mean of its sampling distribution equals the parameter – it is correct on average. Bias is about the center being off; variability is about the spread. A good estimator is both unbiased (centered right) and low-variability (precise); larger samples reduce variability but do not fix bias from bad sampling.

Four sampling distributions crossing bias with variability, against the true parameter — Bias dan variabilitas adalah kesalahan yang terpisah. Hanya penduga di kiri atas yang terpusat pada $\theta$ dan ketat; yang di kiri bawah presisi tetapi selalu salah, yang tidak akan diperbaiki oleh tambahan data berapa pun.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
unbiased/ʌnˈbaɪəst/	tak bias

5.5

The Sampling Distribution of a Sample Proportion · ⁨Distribusi Sampel dari Proporsi Sampel⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.K: Determine parameters of a sampling distribution for sample proportions. [Skill 3.B]

UNC-3.K.1 For independent samples (sampling with replacement) of a categorical variable from a population with population proportion, $p$, the sampling distribution of the sample proportion, $\hat{p}$, has a mean, $\mu_{\hat{p}} = p$ and a standard deviation, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
UNC-3.K.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the sample proportion is smaller than what is given by the formula above. If the sample size is less than 10% of the population size, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.L: Determine whether a sampling distribution for a sample proportion can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

UNC-3.L.1 For a categorical variable, the sampling distribution of the sample proportion, $\hat{p}$, will have an approximate normal distribution, provided the sample size is large enough: $np \geq 10$ and $n(1-p) \geq 10$

Learning Objective UNC-3.M: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample proportion. [Skill 4.B]

UNC-3.M.1 Probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample proportion should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (UNC-3): Penalaran probabilistik memungkinkan kita memperkirakan pola dalam data.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.K: Menentukan parameter distribusi sampling untuk proporsi sampel. [Keterampilan 3.B]

UNC-3.K.1 Untuk sampel independen (pengambilan dengan pengembalian) dari variabel kategorikal dari populasi dengan proporsi populasi $p$, distribusi sampling dari proporsi sampel, $\hat{p}$, memiliki rata-rata, $\mu_{\hat{p}} = p$ dan simpangan baku, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
UNC-3.K.2 Jika pengambilan tanpa pengembalian, simpangan baku dari proporsi sampel lebih kecil daripada yang diberikan oleh rumus di atas. Jika ukuran sampel kurang dari 10% dari ukuran populasi, perbedaannya dapat diabaikan.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.L: Menentukan apakah distribusi sampling untuk proporsi sampel dapat digambarkan sebagai mendekati normal. [Keterampilan 3.C]

UNC-3.L.1 Untuk variabel kategorikal, distribusi sampling dari proporsi sampel, $\hat{p}$, akan memiliki distribusi normal yang pendekatan, asalkan ukuran sampel cukup besar: $np \geq 10$ dan $n(1-p) \geq 10$

Tujuan Pembelajaran UNC-3.M: Menginterpretasikan probabilitas dan parameter untuk distribusi sampling untuk proporsi sampel. [Keterampilan 4.B]

UNC-3.M.1 Probabilitas dan parameter untuk distribusi sampling untuk proporsi sampel harus diinterpretasikan menggunakan satuan yang sesuai dan dalam konteks populasi spesifik.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

For a sample proportion $\hat{p}$ from an SRS: the mean is $p$ (unbiased), and the standard deviation is

$$\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$

This spread has two names: it is the standard deviation of the sampling distribution, and it is called the standard error once you must estimate it from the sample (replacing $p$ by $\hat p$) — which is exactly what the later inference units do. It is approximately normal when $np\ge 10$ and $n(1-p)\ge 10$ (the Large Counts condition), and the $10\%$ condition ($n\le 0.10N$) keeps the observations near-independent.

Worked example. Suppose $40\%$ of voters favor a measure ($p=0.4$) and you sample $n=100$. The standard error is $\sigma_{\hat p}=\sqrt{\dfrac{0.4(0.6)}{100}}=0.049$. The chance a sample gives $\hat{p}>0.5$ is $z=\dfrac{0.5-0.4}{0.049}=2.04$, so $P(\hat p>0.5)\approx0.02$ – a majority in the sample would be surprising.

Bahasa Indonesia

Untuk proporsi sampel $\hat{p}$ dari SRS: rata-ratanya adalah $p$ (tidak bias), dan simpangan standarnya adalah

$$\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$

Sebaran ini memiliki dua nama: itu adalah simpangan standar dari distribusi sampling, dan disebut standar error setelah Anda harus mengestimasi dari sampel (mengganti $p$ dengan $\hat p$) — yang persis seperti yang dilakukan unit inferensi nanti. Distribusinya mendekati normal ketika $np\ge 10$ dan $n(1-p)\ge 10$ (kondisi Jumlah Besar), dan kondisi $10\%$ ($n\le 0.10N$) menjaga observasi tetap hampir independen.

Contoh kerja. Misalkan $40\%$ pemilih mendukung suatu measures ($p=0.4$) dan Anda mengambil sampel $n=100$. Standar error-nya adalah $\sigma_{\hat p}=\sqrt{\dfrac{0.4(0.6)}{100}}=0.049$. Peluang sampel menghasilkan $\hat{p}>0.5$ adalah $z=\dfrac{0.5-0.4}{0.049}=2.04$, sehingga $P(\hat p>0.5)\approx0.02$ – mayoritas dalam sampel akan mengejutkan.

5.6

Comparing Two Groups: Difference of Sample Proportions · ⁨Membandingkan Dua Kelompok: Selisih Proporsi Sampel⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.N: Determine parameters of a sampling distribution for a difference in sample proportions. [Skill 3.B]

UNC-3.N.1 For a categorical variable, when randomly sampling with replacement from two independent populations with population proportions $p_1$ and $p_2$, the sampling distribution of the difference in sample proportions $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ has mean, $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ and standard deviation, $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
UNC-3.N.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the difference in sample proportions is smaller than what is given by the formula above. If the sample sizes are less than 10% of the population sizes, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.O: Determine whether a sampling distribution for a difference of sample proportions can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

UNC-3.O.1 The sampling distribution of the difference in sample proportions $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ will have an approximate normal distribution provided the sample sizes are large enough: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Learning Objective UNC-3.P: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a difference in proportions. [Skill 4.B]

UNC-3.P.1 Parameters for a sampling distribution for a difference of proportions should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific populations.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (UNC-3): Penalaran probabilistik memungkinkan kita memperkirakan pola dalam data.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.N: Menentukan parameter distribusi sampling untuk perbedaan proporsi sampel. [Keterampilan 3.B]

UNC-3.N.1 Untuk variabel kategorikal, ketika mengambil sampel secara acak dengan pengembalian dari dua populasi independen dengan proporsi populasi $p_1$ dan $p_2$, distribusi sampling dari perbedaan proporsi sampel $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ memiliki rata-rata, $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ dan simpangan baku, $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
UNC-3.N.2 Jika pengambilan tanpa pengembalian, simpangan baku dari perbedaan proporsi sampel lebih kecil daripada yang diberikan oleh rumus di atas. Jika ukuran sampel kurang dari 10% dari ukuran populasi, perbedaannya dapat diabaikan.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.O: Menentukan apakah distribusi sampling untuk perbedaan proporsi sampel dapat digambarkan sebagai mendekati normal. [Keterampilan 3.C]

UNC-3.O.1 Distribusi sampling dari perbedaan proporsi sampel $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ akan memiliki distribusi normal pendekatan asalkan ukuran sampel cukup besar: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.P: Menginterpretasikan probabilitas dan parameter untuk distribusi sampling untuk perbedaan proporsi. [Keterampilan 4.B]

UNC-3.P.1 Parameter untuk distribusi sampling untuk perbedaan proporsi harus diinterpretasikan menggunakan satuan yang sesuai dan dalam konteks populasi spesifik.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

For $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ from two independent samples: the mean is $p_1-p_2$, and because the samples are independent the variances add:

$$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}.$$

It is approximately normal when the Large Counts condition holds in both samples.

Bahasa Indonesia

Untuk $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ dari dua sampel independen: rata-ratanya adalah $p_1-p_2$, dan karena sampelnya independen variansinya menjumlah:

$$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}.$$

Distribusinya mendekati normal ketika kondisi Jumlah Besar terpenuhi di kedua sampel.

5.7

The Sampling Distribution of a Sample Mean · ⁨Distribusi Sampel dari Rata-rata Sampel⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.Q: Determine parameters for a sampling distribution for sample means. [Skill 3.B]

UNC-3.Q.1 For a numerical variable, when random sampling with replacement from a population with mean $\mu$ and standard deviation, $\sigma$, the sampling distribution of the sample mean has mean $\mu_{\bar{x}} = \mu$ and standard deviation $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
UNC-3.Q.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the sample mean is smaller than what is given by the formula above. If the sample size is less than 10% of the population size, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.R: Determine whether a sampling distribution of a sample mean can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

UNC-3.R.1 For a numerical variable, if the population distribution can be modeled with a normal distribution, the sampling distribution of the sample mean, $\bar{x}$, can be modeled with a normal distribution.
UNC-3.R.2 For a numerical variable, if the population distribution cannot be modeled with a normal distribution, the sampling distribution of the sample mean, $\bar{x}$, can be modeled approximately by a normal distribution, provided the sample size is large enough, e.g., greater than or equal to 30.

Learning Objective UNC-3.S: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample mean. [Skill 4.B]

UNC-3.S.1 Probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample mean should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (UNC-3): Penalaran probabilistik memungkinkan kita memperkirakan pola dalam data.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.Q: Menentukan parameter untuk distribusi sampling untuk rata-rata sampel. [Keterampilan 3.B]

UNC-3.Q.1 Untuk variabel numerik, ketika pengambilan sampel acak dengan pengembalian dari populasi dengan mean $\mu$ dan simpangan baku $\sigma$, distribusi sampling dari mean sampel memiliki mean $\mu_{\bar{x}} = \mu$ dan simpangan baku $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
UNC-3.Q.2 Jika pengambilan tanpa pengembalian, simpangan baku dari rata-rata sampel lebih kecil daripada yang diberikan oleh rumus di atas. Jika ukuran sampel kurang dari 10% dari ukuran populasi, perbedaannya dapat diabaikan.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.R: Menentukan apakah distribusi sampling dari rata-rata sampel dapat digambarkan sebagai mendekati normal. [Keterampilan 3.C]

UNC-3.R.1 Untuk variabel numerik, jika distribusi populasi dapat dimodelkan dengan distribusi normal, distribusi sampling dari rata-rata sampel, $\bar{x}$, dapat dimodelkan dengan distribusi normal.
UNC-3.R.2 Untuk variabel numerik, jika distribusi populasi tidak dapat dimodelkan dengan distribusi normal, distribusi sampling dari rata-rata sampel, $\bar{x}$, dapat dimodelkan secara pendekatan oleh distribusi normal, asalkan ukuran sampel cukup besar, mis., lebih besar atau sama dengan 30.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.S: Menginterpretasikan probabilitas dan parameter untuk distribusi sampling untuk rata-rata sampel. [Keterampilan 4.B]

UNC-3.S.1 Probabilitas dan parameter untuk distribusi sampling untuk rata-rata sampel harus diinterpretasikan menggunakan satuan yang sesuai dan dalam konteks populasi spesifik.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

For a sample mean $\bar{x}$ from an SRS: the mean is $\mu$ (unbiased), and the standard deviation is

$$\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$

Its shape is normal if the population is normal, or approximately normal for large $n$ by the CLT. Note the spread shrinks like $\sqrt{n}$ – quadrupling the sample halves the standard error.

Worked example. A population has $\mu=70$ and $\sigma=12$. For samples of $n=36$, the sampling distribution of $\bar{x}$ is centered at $70$ with standard error $\dfrac{12}{\sqrt{36}}=2$. The chance a sample mean exceeds $73$ is $z=\dfrac{73-70}{2}=1.5$, so $P(\bar x>73)\approx0.067$.

Bahasa Indonesia

Untuk rata-rata sampel $\bar{x}$ dari SRS: rata-ratanya adalah $\mu$ (tidak bias), dan simpangan standarnya adalah

$$\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$

Bentuknya normal jika populasi normal, atau mendekati normal untuk $n$ besar oleh CLT. Perhatikan bahwa sebaran menyempit sebanding dengan $\sqrt{n}$ – menggandakan empat kali ukuran sampel setengah standar error.

Contoh kerja. Sebuah populasi memiliki $\mu=70$ dan $\sigma=12$. Untuk sampel $n=36$, distribusi sampling dari $\bar{x}$ terpusat di $70$ dengan standar error $\dfrac{12}{\sqrt{36}}=2$. Peluang rata-rata sampel melebihi $73$ adalah $z=\dfrac{73-70}{2}=1.5$, sehingga $P(\bar x>73)\approx0.067$.

Distribusi sampling dari rata-rata menyempit dan menjadi lebih normal seiring n bertambah — Populasi di sebelah kiri sangat miring, namun setiap distribusi sampling dari $\bar{x}$ terpusat di $\mu$. $n$ yang lebih besar mengecilkan standar error $\sigma/\sqrt{n}$, sehingga kurva menjadi lebih tinggi dan sempit – dan juga meluruskan: masih jelas miring pada $n=2$, hampir tepat normal (garis putus-putus) oleh $n=30$.

5.8

Comparing Two Groups: Difference of Sample Means · ⁨Membandingkan Dua Kelompok: Selisih Rata-rata Sampel⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.T: Determine parameters of a sampling distribution for a difference in sample means. [Skill 3.B]

UNC-3.T.1 For a numerical variable, when randomly sampling with replacement from two independent populations with population means $\mu_1$ and $\mu_2$ and population standard deviations $\sigma_1$ and $\sigma_2$, the sampling distribution of the difference in sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ has mean $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ and standard deviation, $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
UNC-3.T.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the difference in sample means is smaller than what is given by the formula above. If the sample sizes are less than 10% of the population sizes, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.U: Determine whether a sampling distribution of a difference in sample means can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

UNC-3.U.1 The sampling distribution of the difference in sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ can be modeled with a normal distribution if the two population distributions can be modeled with a normal distribution.
UNC-3.U.2 The sampling distribution of the difference in sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ can be modeled approximately by a normal distribution if the two population distributions cannot be modeled with a normal distribution but both sample sizes are greater than or equal to 30.

Learning Objective UNC-3.V: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a difference in sample means. [Skill 4.B]

UNC-3.V.1 Probabilities and parameters for a sampling distribution for a difference of sample means should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific populations.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (UNC-3): Penalaran probabilistik memungkinkan kita memperkirakan pola dalam data.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.T: Menentukan parameter distribusi sampling untuk perbedaan rata-rata sampel. [Keterampilan 3.B]

UNC-3.T.1 Untuk variabel numerik, ketika pengambilan sampel acak dengan pengembalian dari dua populasi independen dengan mean populasi $\mu_1$ dan $\mu_2$ serta simpangan baku populasi $\sigma_1$ dan $\sigma_2$, distribusi sampling dari perbedaan mean sampel $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ memiliki mean $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ dan simpangan baku $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
UNC-3.T.2 Jika pengambilan tanpa pengembalian, simpangan baku dari perbedaan rata-rata sampel lebih kecil daripada yang diberikan oleh rumus di atas. Jika ukuran sampel kurang dari 10% dari ukuran populasi, perbedaannya dapat diabaikan.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.U: Menentukan apakah distribusi sampling dari perbedaan rata-rata sampel dapat digambarkan sebagai mendekati normal. [Keterampilan 3.C]

UNC-3.U.1 Distribusi sampling dari perbedaan rata-rata sampel $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ dapat dimodelkan dengan distribusi normal jika kedua distribusi populasi dapat dimodelkan dengan distribusi normal.
UNC-3.U.2 Distribusi sampling dari perbedaan rata-rata sampel $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ dapat dimodelkan secara pendekatan oleh distribusi normal jika kedua distribusi populasi tidak dapat dimodelkan dengan distribusi normal tetapi kedua ukuran sampel lebih besar atau sama dengan 30.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.V: Interpretasikan probabilitas dan parameter untuk distribusi sampling atas perbedaan rata-rata sampel. [Keterampilan 4.B]

UNC-3.V.1 Probabilitas dan parameter untuk distribusi sampling atas perbedaan rata-rata sampel harus diinterpretasikan menggunakan satuan yang sesuai dan dalam konteks populasi spesifik.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

For $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ from two independent samples: the mean is $\mu_1-\mu_2$, and (independent, so variances add)

$$\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.$$

This is the foundation for two-sample inference in the next units.

Bahasa Indonesia

Untuk $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ dari dua sampel independen: rata-ratanya adalah $\mu_1-\mu_2$, dan (independen, jadi varians menjumlah)

$$\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.$$

Ini adalah fondasi untuk inferensi dua-sampel di unit-unit berikutnya.

5.8

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

A sampling distribution is the distribution of a statistic over many samples, centered on the true parameter.
The Central Limit Theorem: for a large enough sample the sample mean is approximately normal, even if the population is not.
Larger samples give less variability (a smaller standard error).
Check the conditions (random, independent/10%, large enough) before using a normal model.
Keep straight what varies — the statistic — versus the fixed parameter.

Bahasa Indonesia

Distribusi sampling adalah distribusi statistik di atas banyak sampel, terpusat pada parameter sebenarnya.
Teorema Limit Pusat: untuk sampel yang cukup besar, rata-rata sampel mendekati normal, meskipun populasi tidak normal.
Sampel yang lebih besar memberikan lebih sedikit variabilitas (standar error yang lebih kecil).
Periksa kondisi (acak, independen/10%, cukup besar) sebelum menggunakan model normal.
Pahami apa yang bervariasi — yaitu statistik — versus parameter yang tetap.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Statistics · ⁨AP Statistik⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Statistics · ⁨AP Statistik⁩⁩