Exploring Two-Variable Data · ⁨Mengeksplorasi Data Dua Variabel⁩

AP Statistics · ⁨AP Statistik⁩ · Topic 2 · ⁨Topik 2⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

2.1

Are Two Variables Related? · ⁨Apakah Dua Variabel Berkaitan?⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-1): Given that variation may be random or not, conclusions are uncertain.

Learning Objective VAR-1.D: Identify questions to be answered about possible relationships in data. [Skill 1.A]

VAR-1.D.1 Apparent patterns and associations in data may be random or not.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (VAR-1): Mengingat variasi bisa bersifat acak atau tidak, kesimpulan bersifat tidak pasti.

Tujuan Pembelajaran VAR-1.D: Identifikasi pertanyaan yang akan dijawab mengenai kemungkinan hubungan dalam data. [Keterampilan 1.A]

VAR-1.D.1 Pola dan asosiasi yang tampak dalam data bisa bersifat acak atau tidak.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Two-variable data let us ask whether two characteristics are associated 关联 – whether knowing one tells you something about the other. An explanatory variable 解释变量 (the "input") may help predict a response variable 响应变量 (the "output"). Association is not the same as causation.

Bahasa Indonesia

Data dua variabel memungkinkan kita bertanya apakah dua karakteristik terkait—apakah mengetahui satu memberi informasi tentang yang lain. Variabel penjelas ("input") dapat membantu memprediksi variabel respons ("output"). Asosiasi bukan berarti sebab-akibat.

2.2

Two Categorical Variables · ⁨Dua Variabel Kategorikal⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-1): Graphical representations and statistics allow us to identify and represent key features of data.

Learning Objective UNC-1.P: Compare numerical and graphical representations for two categorical variables. [Skill 2.D]

UNC-1.P.1 Side-by-side bar graphs, segmented bar graphs, and mosaic plots are examples of bar graphs for one categorical variable, broken down by categories of another categorical variable.
UNC-1.P.2 Graphical representations of two categorical variables can be used to compare distributions and/or determine if variables are associated.
UNC-1.P.3 A two-way table, also called a contingency table, is used to summarize two categorical variables. The entries in the cells can be frequency counts or relative frequencies.
UNC-1.P.4 A joint relative frequency is a cell frequency divided by the total for the entire table.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (UNC-1): Representasi grafis dan statistik memungkinkan kita untuk mengidentifikasi dan merepresentasikan fitur utama dari data.

Tujuan Pembelajaran UNC-1.P: Bandingkan representasi numerik dan grafis untuk dua variabel kategorikal. [Keterampilan 2.D]

UNC-1.P.1 Diagram batang berdampingan, diagram batang segmentasi, dan plot mozaik adalah contoh diagram batang untuk satu variabel kategorikal, yang diuraikan berdasarkan kategori dari variabel kategorikal lainnya.
UNC-1.P.2 Representasi grafis dari dua variabel kategorikal dapat digunakan untuk membandingkan distribusi dan/atau menentukan apakah variabel saling berasosiasi.
UNC-1.P.3 Tabel dua arah, juga disebut tabel kontingensi, digunakan untuk meringkas dua variabel kategorikal. Entri dalam sel dapat berupa jumlah frekuensi atau frekuensi relatif.
UNC-1.P.4 Frekuensi relatif gabungan adalah frekuensi sel dibagi dengan total keseluruhan tabel.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A two-way table 双向表 (contingency table) counts individuals by two categorical variables at once. A marginal distribution 边缘分布 is a row or column total written as a fraction of the grand total (the totals themselves are just counts). Comparing the inside cells shows whether the variables are related.

Bahasa Indonesia

Tabel dua arah (tabel kontingensi) menghitung jumlah individu berdasarkan dua variabel kategorikal sekaligus. Distribusi marginal adalah total baris atau kolom yang ditulis sebagai pecahan dari total keseluruhan (total itu sendiri hanyalah hitungan). Membandingkan sel-sel di bagian dalam menunjukkan apakah variabel tersebut terkait.

2.3

Comparing Groups with Conditional Distributions · ⁨Membandingkan Kelompok dengan Distribusi Bersyarat⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-1): Graphical representations and statistics allow us to identify and represent key features of data.

Learning Objective UNC-1.Q: Calculate statistics for two categorical variables. [Skill 2.C]

UNC-1.Q.1 The marginal relative frequencies are the row and column totals in a two-way table divided by the total for the entire table.
UNC-1.Q.2 A conditional relative frequency is a relative frequency for a specific part of the contingency table (e.g., cell frequencies in a row divided by the total for that row).

Learning Objective UNC-1.R: Compare statistics for two categorical variables. [Skill 2.D]

UNC-1.R.1 Summary statistics for two categorical variables can be used to compare distributions and/or determine if variables are associated.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (UNC-1): Representasi grafis dan statistik memungkinkan kita untuk mengidentifikasi dan merepresentasikan fitur utama dari data.

Tujuan Pembelajaran UNC-1.Q: Hitung statistik untuk dua variabel kategorikal. [Keterampilan 2.C]

UNC-1.Q.1 Frekuensi relatif marginal adalah total baris dan kolom dalam tabel dua arah yang dibagi dengan total keseluruhan tabel.
UNC-1.Q.2 Frekuensi bersyarat adalah frekuensi relatif untuk bagian spesifik dari tabel kontingensi (misalnya, frekuensi sel dalam sebuah baris dibagi dengan total untuk baris tersebut).

Tujuan Pembelajaran UNC-1.R: Bandingkan statistik untuk dua variabel kategorikal. [Keterampilan 2.D]

UNC-1.R.1 Statistik ringkasan untuk dua variabel kategorikal dapat digunakan untuk membandingkan distribusi dan/atau menentukan apakah variabel-variabel tersebut相关联.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A conditional distribution 条件分布 is the distribution of one variable within a fixed category of the other (found by dividing each cell by its row or column total). If the conditional distributions differ across groups, the two variables are associated; if they are the same, there is no association. Segmented bar charts 分段条形图 or mosaic plots display them.

Bahasa Indonesia

Sebuah distribusi bersyarat adalah distribusi satu variabel di dalam kategori tetap dari variabel lainnya (ditemukan dengan membagi setiap sel dengan total baris atau kolomnya). Jika distribusi bersyarat berbeda di seluruh kelompok, kedua variabel tersebut terkait; jika sama, tidak ada asosiasi. Graf batang segmen atau plot mozaik menampilkan mereka.

2.4

Scatterplots for Two Quantitative Variables · ⁨Diagram Sebar untuk Dua Variabel Kuantitatif⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-1): Graphical representations and statistics allow us to identify and represent key features of data.

Learning Objective UNC-1.S: Represent bivariate quantitative data using scatterplots. [Skill 2.B]

UNC-1.S.1 A bivariate quantitative data set consists of observations of two different quantitative variables made on individuals in a sample or population.
UNC-1.S.2 A scatterplot shows two numeric values for each observation, one corresponding to the value on the $x$-axis and one corresponding to the value on the $y$-axis.
UNC-1.S.3 An explanatory variable is a variable whose values are used to explain or predict corresponding values for the response variable.

Enduring Understanding (DAT-1): Regression models may allow us to predict responses to changes in an explanatory variable.

Learning Objective DAT-1.A: Describe the characteristics of a scatter plot. [Skill 2.A]

DAT-1.A.1 A description of a scatter plot includes form, direction, strength, and unusual features.
DAT-1.A.2 The direction of the association shown in a scatterplot, if any, can be described as positive or negative.
DAT-1.A.3 A positive association means that as values of one variable increase, the values of the other variable tend to increase. A negative association means that as values of one variable increase, values of the other variable tend to decrease.
DAT-1.A.4 The form of the association shown in a scatterplot, if any, can be described as linear or non-linear to varying degrees.
DAT-1.A.5 The strength of the association is how closely the individual points follow a specific pattern, e.g., linear, and can be shown in a scatterplot. Strength can be described as strong, moderate, or weak.
DAT-1.A.6 Unusual features of a scatter plot include clusters of points or points with relatively large discrepancies between the value of the response variable and a predicted value for the response variable.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (UNC-1): Representasi grafis dan statistik memungkinkan kita untuk mengidentifikasi dan merepresentasikan fitur utama dari data.

Tujuan Pembelajaran UNC-1.S: Representasikan data kuantitatif bivariat menggunakan scatterplot. [Keterampilan 2.B]

UNC-1.S.1的一组数据 kuantitatif bivariat terdiri dari pengamatan dua variabel kuantitatif berbeda yang dilakukan pada individu dalam sampel atau populasi.
UNC-1.S.2 Scatterplot menunjukkan dua nilai numerik untuk setiap pengamatan, satu sesuai dengan nilai pada sumbu $x$ dan satu sesuai dengan nilai pada sumbu $y$.
UNC-1.S.3 Variabel penjelas adalah variabel yang nilainya digunakan untuk menjelaskan atau memprediksi nilai-nilai yang sesuai untuk variabel respons.

Pemahaman Berkelanjutan (DAT-1): Model regresi mungkin memungkinkan kita memprediksi respons terhadap perubahan pada variabel penjelas.

Tujuan Pembelajaran DAT-1.A: Jelaskan karakteristik scatter plot. [Keterampilan 2.A]

DAT-1.A.1 Deskripsi scatter plot mencakup bentuk, arah, kekuatan, dan fitur tidak biasa.
DAT-1.A.2 Arah asosiasi yang ditunjukkan dalam scatterplot, jika ada, dapat digambarkan sebagai positif atau negatif.
DAT-1.A.3 Asosiasi positif berarti bahwa ketika nilai satu variabel meningkat, nilai variabel lainnya cenderung meningkat. Asosiasi negatif berarti bahwa ketika nilai satu variabel meningkat, nilai variabel lainnya cenderung menurun.
DAT-1.A.4 Bentuk asosiasi yang ditunjukkan dalam scatterplot, jika ada, dapat digambarkan sebagai linear atau non-linear dengan tingkat tertentu.
DAT-1.A.5 Kekuatan asosiasi adalah seberapa dekat titik-titik individu mengikuti pola tertentu, mis., linear, dan dapat ditampilkan dalam scatterplot. Kekuatan dapat digambarkan sebagai kuat, sedang, atau lemah.
DAT-1.A.6 Fitur tidak biasa dari scatter plot meliputi kluster titik atau titik dengan ketidaksesuaian yang relatif besar antara nilai variabel respons dan nilai prediksi untuk variabel respons.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A scatterplot 散点图 plots each individual as a point, explanatory variable on the $x$-axis and response on the $y$-axis. Describe it with DUFS: Direction (positive/negative), Unusual features (outliers, clusters), Form (linear or curved), and Strength (how tightly the points follow the pattern) – always in context.

Bahasa Indonesia

Graf sebar (scatterplot) memplotkan setiap individu sebagai titik, variabel penjelasan pada sumbu $x$ dan variabel respons pada sumbu $y$. Deskripsikan dengan DUFS: Arah (positif/negatif), Fitur Tidak Biasa (pencilan, klaster), Bentuk (linear atau melengkung), dan Kekuatan (seberapa rapat titik-titik mengikuti pola) – selalu dalam konteks.

Garis regresi terbaik berjalan melalui tengah titik-titik yang tersebar — Garis regresi terbaik berjalan di tengah-titik-titik yang tersebar

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
associated/əˈsəʊsɪeɪtɪd/	berasosiasi
explanatory variable/ekˈsplænətəri ˈveərɪəbl/	variabel penjelasan
response variable/rɪˈspɒns ˈveərɪəbl/	variabel respons
two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/	tabel silang
marginal distributions/ˈmɑːdʒɪnl ˌdɪstrɪˈbjuːʃnz/	distribusi marginal
conditional distribution/kənˈdɪʃənl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	distribusi kondisional
Segmented bar charts/seɡˈmentɪd bɑː tʃɑːts/	Grafik batang tersegmentasi
scatterplot/ˈskætəplɒt/	scatterplot
correlation coefficient/ˌkɒrɪˈleɪʃn ˌkəʊɪˈfɪʃənt/	koefisien korelasi
least-squares regression line/liːst skweəz rɪˈɡreʃn laɪn/	garis regresi kuadrat terkecil

2.5

Correlation · ⁨Korelasi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (DAT-1): Regression models may allow us to predict responses to changes in an explanatory variable.

Learning Objective DAT-1.B: Determine the correlation for a linear relationship. [Skill 2.C]

DAT-1.B.1 The correlation, $r$, gives the direction and quantifies the strength of the linear association between two quantitative variables.
DAT-1.B.2 The correlation coefficient can be calculated by: $r = \dfrac{1}{n-1} \sum \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)$. However, the most common way to determine $r$ is by using technology.
DAT-1.B.3 A correlation coefficient close to 1 or $-1$ does not necessarily mean that a linear model is appropriate.

Learning Objective DAT-1.C: Interpret the correlation for a linear relationship. [Skill 4.B]

DAT-1.C.1 The correlation, $r$, is unit-free, and always between $-1$ and 1, inclusive. A value of $r = 0$ indicates that there is no linear association. A value of $r = 1$ or $r = -1$ indicates that there is a perfect linear association.
DAT-1.C.2 A perceived or real relationship between two variables does not mean that changes in one variable cause changes in the other. That is, correlation does not necessarily imply causation.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (DAT-1): Model regresi mungkin memungkinkan kita memprediksi respons terhadap perubahan pada variabel penjelas.

Tujuan Pembelajaran DAT-1.B: Tentukan korelasi untuk hubungan linear. [Keterampilan 2.C]

DAT-1.B.1 Korelasi, $r$, memberikan arah dan mengukur kekuatan asosiasi linear antara dua variabel kuantitatif.
DAT-1.B.2 Koefisien korelasi dapat dihitung dengan: $r = \dfrac{1}{n-1} \sum \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)$. Namun, cara paling umum untuk menentukan $r$ adalah dengan menggunakan teknologi.
DAT-1.B.3 Koefisien korelasi yang mendekati 1 atau $-1$ tidak selalu berarti model linear sesuai.

Tujuan Pembelajaran DAT-1.C: Interpretasikan korelasi untuk hubungan linear. [Keterampilan 4.B]

DAT-1.C.1 Korelasi, $r$, bebas satuan, dan selalu berada di antara $-1$ dan 1, inklusif. Nilai $r = 0$ menunjukkan bahwa tidak ada asosiasi linear. Nilai $r = 1$ atau $r = -1$ menunjukkan bahwa terdapat asosiasi linear sempurna.
DAT-1.C.2 Hubungan yang dirasakan atau nyata antara dua variabel tidak berarti bahwa perubahan pada satu variabel menyebabkan perubahan pada variabel lain. Artinya, korelasi tidak selalu menyiratkan kausalitas.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

What r actually measures

The correlation coefficient 相关系数 $r$ measures the strength and direction of a linear relationship. It runs from $-1$ to $1$: near $\pm 1$ is strong linear, near $0$ is weak linear. $r$ has no units and does not change if you swap the variables. Warnings: $r$ only measures linear strength, it is not resistant to outliers, and a strong $r$ does not prove causation.

Bahasa Indonesia

Apa yang sebenarnya diukur oleh r

Koefisien korelasi $r$ mengukur kekuatan dan arah hubungan linear. Nilainya berkisar dari $-1$ hingga $1$: mendekati $\pm 1$ menunjukkan linear kuat, mendekati $0$ menunjukkan linear lemah. $r$ tidak memiliki satuan dan tidak berubah jika Anda menukar variabelnya. Peringatan: $r$ hanya mengukur kekuatan linear, tidak tahan terhadap pencilan, dan $r$ yang kuat tidak membuktikan sebab-akibat.

Korelasi positif naik bersama; korelasi negatif bergerak berlawanan arah

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Strength of a linear relationship · ⁨Kekuatan hubungan linear⁩

Correlation $r$ runs from $-1$ to $1$: near $\pm1$ the points hug a line, near 0 they scatter. Change it and watch the cloud tighten or spread. · ⁨Korelasi $r$ berkisar dari $-1$ hingga $1$: dekat $\pm1$ titik-titik menempel pada garis, dekat 0 mereka berserakan. Ubah dan saksikan awan menyempit atau melebar.⁩

2.6

Linear Regression Models · ⁨Model Regresi Linear⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (DAT-1): Regression models may allow us to predict responses to changes in an explanatory variable.

Learning Objective DAT-1.D: Calculate a predicted response value using a linear regression model. [Skill 2.C]

DAT-1.D.1 A simple linear regression model is an equation that uses an explanatory variable, $x$, to predict the response variable, $y$.
DAT-1.D.2 The predicted response value, denoted by $\hat{y}$, is calculated as $\hat{y} = a + bx$, where $a$ is the $y$-intercept and $b$ is the slope of the regression line, and $x$ is the value of the explanatory variable.
DAT-1.D.3 Extrapolation is predicting a response value using a value for the explanatory variable that is beyond the interval of $x$-values used to determine the regression line. The predicted value is less reliable as an estimate the further we extrapolate.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (DAT-1): Model regresi mungkin memungkinkan kita memprediksi respons terhadap perubahan pada variabel penjelas.

Tujuan Pembelajaran DAT-1.D: Hitung nilai respons prediksi menggunakan model regresi linear. [Keterampilan 2.C]

DAT-1.D.1 Model regresi linear sederhana adalah persamaan yang menggunakan variabel penjelas, $x$, untuk memprediksi variabel respons, $y$.
DAT-1.D.2 Nilai respons prediksi, ditandai dengan $\hat{y}$, dihitung sebagai $\hat{y} = a + bx$, di mana $a$ adalah intercept-$y$ dan $b$ adalah kemiringan garis regresi, dan $x$ adalah nilai variabel penjelas.
DAT-1.D.3 Ekstrapolasi adalah memprediksi nilai respons menggunakan nilai untuk variabel penjelas yang berada di luar interval nilai $x$ yang digunakan untuk menentukan garis regresi. Nilai prediksi menjadi kurang andal sebagai estimasi semakin jauh kita melakukan ekstrapolasi.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The least-squares regression line 最小二乘回归线 predicts the response: $\hat{y}=a+bx$, where $\hat{y}$ is the predicted response. The slope 斜率 $b$ is the predicted change in $y$ per one-unit increase in $x$; the $y$-intercept 截距 $a$ is the predicted $y$ when $x=0$. Interpret both in context and with units – a graded skill. Avoid extrapolation 外推 (predicting far outside the data).

Worked example. A study of hours studied ($x$) and test score ($y$) gives $\hat{y}=20+3x$. The slope means each extra hour of study is associated with a predicted $3$-point increase. A student who studies $5$ hours is predicted to score $\hat{y}=20+3(5)=35$.

Bahasa Indonesia

Garis regresi kuadrat terkecil memprediksi respons: $\hat{y}=a+bx$, di mana $\hat{y}$ adalah respons yang diprediksi. Kemiringan (slope) $b$ adalah perubahan yang diprediksi dalam $y$ per kenaikan satu unit dalam $x$; intersept $y$ $a$ adalah $y$ yang diprediksi ketika $x=0$. Interpretasikan keduanya dalam konteks dan dengan satuan – keterampilan bernilai. Hindari ekstrapolasi (memprediksi jauh di luar data).

Contoh kerja. Sebuah studi tentang jam belajar ($x$) dan skor tes ($y$) menghasilkan $\hat{y}=20+3x$. Kemiringan berarti setiap tambahan jam belajar dikaitkan dengan peningkatan skor yang diprediksi sebesar $3$ poin. Seorang siswa yang belajar $5$ jam diprediksi akan mendapat skor $\hat{y}=20+3(5)=35$.

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Fit a least-squares line · ⁨Sesuaikan garis kuadrat terkecil⁩

A regression line is the best straight-line fit, minimising the squared vertical distances. Its slope predicts how $y$ changes per unit of $x$. · ⁨A garis regresi adalah garis lurus terbaik, meminimalkan jarak vertikal kuadrat. Kemiringannya memprediksi bagaimana $y$ berubah per unit $x$.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
slope/sləʊp/	kemiringan grafik
y-intercept/waɪ ˌɪntəˈsept/	perpotongan sumbu-y
extrapolation/ekˈstræpəleɪʃn/	ekstrapolasi

2.7

Residuals · ⁨Residual⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (DAT-1): Regression models may allow us to predict responses to changes in an explanatory variable.

Learning Objective DAT-1.E: Represent differences between measured and predicted responses using residual plots. [Skill 2.B]

DAT-1.E.1 The residual is the difference between the actual value and the predicted value: $\text{residual} = y - \hat{y}$.
DAT-1.E.2 A residual plot is a plot of residuals versus explanatory variable values or predicted response values.

Learning Objective DAT-1.F: Describe the form of association of bivariate data using residual plots. [Skill 2.A]

DAT-1.F.1 Apparent randomness in a residual plot for a linear model is evidence of a linear form to the association between the variables.
DAT-1.F.2 Residual plots can be used to investigate the appropriateness of a selected model.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (DAT-1): Model regresi mungkin memungkinkan kita memprediksi respons terhadap perubahan pada variabel penjelas.

Tujuan Pembelajaran DAT-1.E: Representasikan perbedaan antara respons terukur dan diprediksi menggunakan plot residual. [Keterampilan 2.B]

DAT-1.E.1 Residu adalah selisih antara nilai aktual dan nilai prediksi: $\text{residual} = y - \hat{y}$.
DAT-1.E.2 Plot residual adalah plot dari residual terhadap nilai variabel penjelas atau nilai respons prediksi.

Tujuan Pembelajaran DAT-1.F: Jelaskan bentuk asosiasi data bivariat menggunakan plot residual. [Keterampilan 2.A]

DAT-1.F.1 Acak yang tampak dalam plot residual untuk model linear adalah bukti adanya bentuk linear pada asosiasi antar variabel.
DAT-1.F.2 Plot residual dapat digunakan untuk menyelidiki kesesuaian model yang dipilih.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Least-squares regression

A residual 残差 is actual minus predicted, $y-\hat{y}$: how far a point sits above (+) or below (−) the line. A residual plot 残差图 graphs residuals against $x$. If it shows no pattern (random scatter), a linear model is appropriate; a curved or fanning pattern means the linear model is a poor fit.

Worked example. Continuing the study above, a student who studied $5$ hours actually scored $40$. The residual is $y-\hat{y}=40-35=+5$: the line under-predicted by $5$ points, so this point sits above the line.

Bahasa Indonesia

Regresi kuadrat terkecil

Residual adalah aktual dikurangi prediksi, $y-\hat{y}$: seberapa jauh sebuah titik berada di atas (+) atau di bawah (−) garis. Graf residual memplot residual terhadap $x$. Jika graf menunjukkan tidak ada pola (sebaran acak), model linear sesuai; pola melengkung atau melebar berarti model linear kurang cocok.

Contoh kerja. Melanjutkan studi di atas, seorang siswa yang belajar $5$ jam sebenarnya mendapat skor $40$. Residualnya adalah $y-\hat{y}=40-35=+5$: garis tersebut meramalkan lebih rendah (under-predicted) sebesar $5$ poin, sehingga titik ini berada di atas garis.

Empat himpunan data dengan r dan garis regresi identik namun empat bentuk berbeda — Sebuah peringatan mengenai $r$ dan garis: keempat himpunan data memiliki $r=0.82$ dan $\hat{y}=3.0+0.5x$ yang sama, namun hanya yang pertama yang benar-benar linear. Graf sebar hampir tidak berbeda — graf residual di bawahnya justru menampakkan kelengkungan, pencilan, dan titik leverage tinggi.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
residual/rɪˈsɪdʒuːəl/	residual
residual plot/rɪˈsɪdʒuːəl plɒt/	diagram residual
coefficient of determination/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv dɪˌtɜːmɪˈneɪʃn/	koefisien determinasi
high-leverage/haɪ ˈliːvərɪdʒ/	bobot tinggi
influential/ˌɪnfluːˈenʃl/	berpengaruh

2.8

Least-Squares Regression and Its Fit · ⁨Regresi Kuadrat Terkecil dan Kesesuaiannya⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (DAT-1): Regression models may allow us to predict responses to changes in an explanatory variable.

Learning Objective DAT-1.G: Estimate parameters for the least-squares regression line model. [Skill 2.C]

DAT-1.G.1 The least-squares regression model minimizes the sum of the squares of the residuals and contains the point $(\bar{x}, \bar{y})$.
DAT-1.G.2 The slope, $b$, of the regression line can be calculated as $b = r \left( \dfrac{s_y}{s_x} \right)$ where $r$ is the correlation between $x$ and $y$, $s_y$ is the sample standard deviation of the response variable, $y$, and $s_x$ is the sample standard deviation of the explanatory variable, $x$.
DAT-1.G.3 Sometimes, the $y$-intercept of the line does not have a logical interpretation in context.
DAT-1.G.4 In simple linear regression, $r^2$ is the square of the correlation, $r$. It is also called the coefficient of determination. $r^2$ is the proportion of variation in the response variable that is explained by the explanatory variable in the model.

Learning Objective DAT-1.H: Interpret coefficients for the least-squares regression line model. [Skill 4.B]

DAT-1.H.1 The coefficients of the least-squares regression model are the estimated slope and $y$-intercept.
DAT-1.H.2 The slope is the amount that the predicted $y$-value changes for every unit increase in $x$.
DAT-1.H.3 The $y$-intercept value is the predicted value of the response variable when the explanatory variable is equal to $0$. The formula for the $y$-intercept, $a$, is $a = \bar{y} - b\bar{x}$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (DAT-1): Model regresi mungkin memungkinkan kita memprediksi respons terhadap perubahan pada variabel penjelas.

Tujuan Pembelajaran DAT-1.G: Estimasi parameter untuk model garis regresi kuadrat terkecil. [Keterampilan 2.C]

DAT-1.G.1 Model regresi kuadrat terkecil meminimalkan jumlah kuadrat residual dan memuat titik $(\bar{x}, \bar{y})$.
DAT-1.G.2 Kemiringan, $b$, dari garis regresi dapat dihitung sebagai $b = r \left( \dfrac{s_y}{s_x} \right)$ di mana $r$ adalah korelasi antara $x$ dan $y$, $s_y$ adalah simpangan baku sampel dari variabel respons, $y$, dan $s_x$ adalah simpangan baku sampel dari variabel penjelasan, $x$.
DAT-1.G.3 Terkadang, intersep $y$ dari garis tersebut tidak memiliki interpretasi logis dalam konteksnya.
DAT-1.G.4 Dalam regresi linear sederhana, $r^2$ adalah kuadrat dari korelasi, $r$. Ini juga disebut koefisien determinasi. $r^2$ adalah proporsi variasi pada variabel respons yang dijelaskan oleh variabel penjelasan dalam model.

Tujuan Pembelajaran DAT-1.H: Interpretasikan koefisien untuk model garis regresi kuadrat terkecil. [Keterampilan 4.B]

DAT-1.H.1 Koefisien dari model regresi kuadrat terkecil adalah kemiringan yang diestimasi dan intersep $y$.
DAT-1.H.2 Kemiringan adalah jumlah perubahan nilaipredicted $y$ untuk setiap kenaikan satu satuan pada $x$.
DAT-1.H.3 Nilai intersep $y$ adalah nilai prediksi dari variabel respons ketika variabel penjelasan sama dengan $0$. Rumus untuk intersep $y$, $a$, adalah $a = \bar{y} - b\bar{x}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The line minimizes the sum of squared residuals. Its fit is measured by:

$s$, the standard deviation of the residuals – the typical prediction error, in the response's units.
$r^2$, the coefficient of determination 决定系数 – the proportion of the variation in $y$ that the linear model explains (a value between $0$ and $1$; multiply by $100$ to state it as a percent). Report it in context: "$r^2 = 0.81$ means 81% of the variation in $y$ is explained by the linear relationship with $x$."

Bahasa Indonesia

Garis kuadrat terkecil meminimalkan jumlah residual kuadratik

Garis tersebut meminimalkan jumlah residual kuadratik. Kesesuaiannya diukur oleh:

$s$, simpangan baku residual – kesalahan prediksi tipikal, dalam satuan variabel respons.
$r^2$, koefisien determinasi – proporsi variasi pada $y$ yang dijelaskan oleh model linear (nilai antara $0$ dan $1$; kalikan dengan $100$ untuk menyatakannya dalam persentase). Laporkan dalam konteks: "$r^2 = 0.81$ berarti 81% variasi dalam $y$ dijelaskan oleh hubungan linear dengan $x$."

2.9

Departures from Linearity · ⁨Penyimpangan dari Linearitas⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (DAT-1): Regression models may allow us to predict responses to changes in an explanatory variable.

Learning Objective DAT-1.I: Identify influential points in regression. [Skill 2.A]

DAT-1.I.1 An outlier in regression is a point that does not follow the general trend shown in the rest of the data and has a large residual when the Least Squares Regression Line (LSRL) is calculated.
DAT-1.I.2 A high-leverage point in regression has a substantially larger or smaller $x$-value than the other observations have.
DAT-1.I.3 An influential point in regression is any point that, if removed, changes the relationship substantially. Examples include much different slope, $y$-intercept, and/or correlation. Outliers and high leverage points are often influential.

Learning Objective DAT-1.J: Calculate a predicted response using a least-squares regression line for a transformed data set. [Skill 2.C]

DAT-1.J.1 Transformations of variables, such as evaluating the natural logarithm of each value of the response variable or squaring each value of the explanatory variable, can be used to create transformed data sets, which may be more linear in form than the untransformed data.
DAT-1.J.2 Increased randomness in residual plots after transformation of data and/or movement of $r^2$ to a value closer to 1 offers evidence that the least-squares regression line for the transformed data is a more appropriate model to use to predict responses to the explanatory variable than the regression line for the untransformed data.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (DAT-1): Model regresi mungkin memungkinkan kita memprediksi respons terhadap perubahan pada variabel penjelas.

Tujuan Pembelajaran DAT-1.I: Identifikasi titik-titik berpengaruh dalam regresi. [Keterampilan 2.A]

DAT-1.I.1 Pencilan dalam regresi adalah titik yang tidak mengikuti tren umum yang ditunjukkan oleh sisa data dan memiliki residual besar ketika Garis Regresi Kuadrat Terkecil (LSRL) dihitung.
DAT-1.I.2 Titik high-leverage dalam regresi memiliki nilai $x$ yang secara signifikan lebih besar atau lebih kecil daripada observasi lainnya.
DAT-1.I.3 Titik berpengaruh dalam regresi adalah titik apa pun yang, jika dihapus, akan mengubah hubungan secara substansial. Contohnya termasuk kemiringan, intersep $y$, dan/atau korelasi yang jauh berbeda. Pencilan dan titik high-leverage sering kali bersifat berpengaruh.

Tujuan Pembelajaran DAT-1.J: Hitung respons yang diprediksi menggunakan garis regresi kuadrat terkecil untuk himpunan data yang ditransformasi. [Keterampilan 2.C]

DAT-1.J.1 Transformasi variabel, seperti mengevaluasi logaritma natural dari setiap nilai variabel respons atau mengkuadratkan setiap nilai variabel penjelasan, dapat digunakan untuk membuat himpunan data yang ditransformasi, yang mungkin lebih linear bentuknya dibandingkan data mentah.
DAT-1.J.2 Peningkatan keacakan dalam plot residual setelah transformasi data dan/atau pergerakan $r^2$ menuju nilai yang lebih dekat ke 1 menawarkan bukti bahwa garis regresi kuadrat terkecil untuk data yang ditransformasi adalah model yang lebih tepat untuk digunakan dalam memprediksi respons terhadap variabel penjelasan dibandingkan garis regresi untuk data mentah.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Some points strongly affect the line. A high-leverage 高杠杆 point has an extreme $x$-value; an influential 有影响的 point noticeably changes the slope or $r$ when removed; an outlier here is a point with a large residual. When the pattern is curved, transform a variable (e.g. take a log) to straighten it, then fit a line to the transformed data.

Bahasa Indonesia

Beberapa titik sangat mempengaruhi garis. Titik leverage tinggi memiliki nilai $x$ yang ekstrem; titik berpengaruh secara signifikan mengubah kemiringan atau $r$ jika dihilangkan; pencilan di sini adalah titik dengan residual besar. Ketika polanya melengkung, transformasikan variabel (misalnya ambil logaritma) untuk meluruskannya, lalu pasangkan garis pada data yang ditransformasi.

2.9

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

On a scatterplot describe direction, form, strength, and outliers; $r$ ranges $-1$ to $1$.
Correlation is not causation — a lurking variable can drive both.
Interpret the slope of the least-squares line in context ("per one unit of $x$, predicted $y$ changes by $b$").
Check a residual plot: no pattern means a line fits; a curve means it does not. Avoid extrapolation.
$r^2$ is the fraction of variation in $y$ explained by the model.

Bahasa Indonesia

Pada grafik sebar deskripsikan arah, bentuk, kekuatan, dan pencilan; $r$ berkisar dari $-1$ hingga $1$.
Korelasi bukan sebab-akibat – variabel pengganggu dapat mendorong keduanya.
Interpretasikan kemiringan garis kuadrat terkecil dalam konteks ("per satu unit dari $x$, predicted $y$ berubah sebesar $b$").
Periksa graf residual: tidak ada pola berarti garis cocok; kelengkungan berarti tidak. Hindari ekstrapolasi.
$r^2$ adalah pecahan variasi dalam $y$ yang dijelaskan oleh model.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Statistics · ⁨AP Statistik⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Statistics · ⁨AP Statistik⁩⁩