Cargas eléctricas, campos y ley de Gauss

AP Física C: Electricidad y Magnetismo · Topic 8 · ⁨Tema 8⁩

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8.1

Carga Eléctrica y Fuerza Eléctrica

Syllabus

English

Learning Objective 8.1.A: Describe the electric force that results from the interactions between charged objects or systems.

8.1.A.1 Charge is a fundamental property of all matter.
- 8.1.A.1.i Charge is a scalar quantity and is described as positive or negative.
- 8.1.A.1.ii The magnitude of the charge of a single electron or proton, the elementary charge $e$, can be considered to be the smallest indivisible amount of charge.
- 8.1.A.1.iii The charge of an electron is $-e$ and the charge of a proton is $+e$, and a neutron has no electric charge.
- 8.1.A.1.iv A point charge is a model in which the physical size of a charged object or system is negligible in the context of the situation being analyzed.
8.1.A.2 Coulomb's law describes the electrostatic force between two charged objects as directly proportional to the magnitude of each of the charges and inversely proportional to the square of the distance between the objects.
- Relevant equation: $\left| \vec{F}_E \right| = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$
8.1.A.3 The direction of the electrostatic force depends on the signs of the charges of the interacting objects and is along the line of separation between the objects.
- 8.1.A.3.i Two objects with charges of the same sign exert repulsive forces on each other.
- 8.1.A.3.ii Two objects with charges of opposite signs exert attractive forces on each other.
8.1.A.4 Electric forces are responsible for some of the macroscopic properties of objects in everyday experiences. However, the large number of particle interactions that occur make it more convenient to treat everyday forces in terms of nonfundamental forces called contact forces, such as normal force, friction, and tension.

Learning Objective 8.1.B: Describe the electric and gravitational forces that result from interactions between charged objects with mass.

8.1.B.1 Electrostatic forces can be attractive or repulsive, while gravitational forces are always attractive.
8.1.B.2 For any two objects that have mass and electric charge, the magnitude of the gravitational force is usually much smaller than the magnitude of the electrostatic force.
8.1.B.3 Gravitational forces dominate at larger scales even though they are weaker than electrostatic forces, because systems at large scales tend to be electrically neutral.

Learning Objective 8.1.C: Describe the electric permittivity of a material or medium.

8.1.C.1 Electric permittivity is a measurement of the degree to which a material or medium is polarized in the presence of an electric field.
8.1.C.2 Electric polarization can be modeled as the induced rearrangement of electrons by an external electric field, resulting in a separation of positive and negative charges within a material or medium.
8.1.C.3 Free space has a constant value of electric permittivity, $\varepsilon_0$, that appears in physical relationships.
8.1.C.4 The permittivity of matter has a value different from that of free space that arises from the matter's composition and arrangement.
- 8.1.C.4.i In a given material, electric permittivity is determined by the ease with which electrons can change configurations within the material.
- 8.1.C.4.ii Conductors are made from electrically conducting materials in which charge carriers move easily; insulators are made from electrically nonconducting materials in which charge carriers cannot move easily.

Boundary statement: AP Physics C: Electricity & Magnetism only expects students to make calculations of the electric force between four or fewer interacting charged objects or systems. The analysis of the resulting electric force from more charges is allowed in situations of high symmetry. Note that students are expected to calculate the electric fields of charge distributions, as described in Topics 8.4 and 8.6.

Español

Objetivo de aprendizaje 8.1.A: Describir la fuerza eléctrica que resulta de las interacciones entre objetos o sistemas cargados.

8.1.A.1 La carga es una propiedad fundamental de toda la materia.
- 8.1.A.1.i La carga es una cantidad escalar y se describe como positiva o negativa.
- 8.1.A.1.ii La magnitud de la carga de un solo electrón o protón, la carga elemental $e$, puede considerarse como la cantidad más pequeña e indivisible de carga.
- 8.1.A.1.iii La carga de un electrón es $-e$ y la carga de un protón es $+e$, mientras que un neutrón no tiene carga eléctrica.
- 8.1.A.1.iv Una carga puntual es un modelo en el que el tamaño físico de un objeto o sistema cargado es despreciable en el contexto de la situación que se está analizando.
8.1.A.2 La ley de Coulomb describe la fuerza electrostática entre dos objetos cargados como directamente proporcional a la magnitud de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los objetos.
- Ecuación relevante: $\left| \vec{F}_E \right| = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$
8.1.A.3 La dirección de la fuerza electrostática depende de los signos de las cargas de los objetos interactuantes y actúa a lo largo de la línea de separación entre ellos.
- 8.1.A.3.i Dos objetos con cargas del mismo signo ejercen fuerzas repulsivas entre sí.
- 8.1.A.3.ii Dos objetos con cargas de signos opuestos ejercen fuerzas atractivas entre sí.
8.1.A.4 Las fuerzas eléctricas son responsables de algunas de las propiedades macroscópicas de los objetos en experiencias cotidianas. Sin embargo, el gran número de interacciones de partículas que ocurren hace que sea más conveniente tratar las fuerzas cotidianas en términos de fuerzas no fundamentales llamadas fuerzas de contacto, tales como la fuerza normal, la fricción y la tensión.

Objetivo de aprendizaje 8.1.B: Describir las fuerzas eléctricas y gravitacionales que resultan de las interacciones entre objetos cargados con masa.

8.1.B.1 Las fuerzas electrostáticas pueden ser atractivas o repulsivas, mientras que las fuerzas gravitacionales siempre son atractivas.
8.1.B.2 Para cualquier par de objetos que tienen masa y carga eléctrica, la magnitud de la fuerza gravitacional suele ser mucho menor que la magnitud de la fuerza electrostática.
8.1.B.3 Las fuerzas gravitacionales dominan a escalas grandes incluso though son más débiles que las fuerzas electrostáticas, porque los sistemas a grandes escalas tienden a ser eléctricamente neutrales.

Objetivo de aprendizaje 8.1.C: Describir la permitividad eléctrica de un material o medio.

8.1.C.1 La permitividad eléctrica es una medida del grado en que un material o medio se polariza ante la presencia de un campo eléctrico.
8.1.C.2 La polarización eléctrica puede modelarse como la reordenamiento inducido de electrones por un campo eléctrico externo, lo que resulta en una separación de cargas positivas y negativas dentro de un material o medio.
8.1.C.3 El espacio libre tiene un valor constante de permitividad eléctrica, $\varepsilon_0$, que aparece en relaciones físicas.
8.1.C.4 La permitividad de la materia tiene un valor diferente al del espacio libre que surge de la composición y disposición de la materia.
- 8.1.C.4.i En un material dado, la permitividad eléctrica está determinada por la facilidad con la que los electrones pueden cambiar de configuración dentro del material.
- 8.1.C.4.ii Los conductores están hechos de materiales conductoras eléctricamente en los que los portadores de carga se mueven fácilmente; los aislantes están hechos de materiales no conductores eléctricamente en los que los portadores de carga no pueden moverse fácilmente.

Enunciado sobre límites: AP Physics C: Electricidad y Magnetismo solo espera que los estudiantes realicen cálculos de la fuerza eléctrica entre cuatro o menos objetos o sistemas interactuantes. El análisis de la fuerza eléctrica resultante de más cargas está permitido en situaciones de alta simetría. Tenga en cuenta que se espera que los estudiantes calculen los campos eléctricos de distribuciones de carga, como se describe en los Temas 8.4 y 8.6.

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English

Electric charge 电荷 comes in positive and negative; like charges repel, opposites attract. Charge is quantized 量子化 – every charge is a whole-number multiple of the elementary charge 基本电荷 $e=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$ – and obeys conservation of charge 电荷守恒: charge is never created or destroyed, only moved. The force between two point charges 点电荷 is Coulomb's law 库仑定律:

$$\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{r},$$

an inverse-square 平方反比 force along the line joining them, with $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=k=9.0\times10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$. For several charges (AP uses four or fewer, unless symmetry helps), add the force vectors on the charge you care about – superposition 叠加.

Charge is a fundamental property 基本属性 of matter, and a point charge is a model that ignores the size of a charged object. The constant $\varepsilon_0$ is the permittivity of free space 真空介电常数 – a material property of the vacuum. The permittivity of matter differs from $\varepsilon_0$, set by how easily the material polarizes, which is why a dielectric between charges weakens the force. Note too that although the electric force is far stronger than gravity, gravity dominates at astronomical scales because large bodies are nearly neutral.

Worked example. Two $+2.0\ \mu\text{C}$ charges sit $0.30\ \text{m}$ apart: $F=\dfrac{kq_1q_2}{r^2}=\dfrac{9.0\times10^{9}(2.0\times10^{-6})^2}{(0.30)^2}=0.40\ \text{N}$, repulsive.

Worked example (vectors). Charges $+3.0\ \mu\text{C}$ and $-3.0\ \mu\text{C}$ sit at two corners of a right angle, each $0.30\ \text{m}$ from a $+1.0\ \mu\text{C}$ charge at the corner. Each exerts $F=\dfrac{(9.0\times10^{9})(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{0.09}=0.30\ \text{N}$ – one a push, one a pull, at right angles to each other. The net force is $F_{\text{net}}=\sqrt{0.30^2+0.30^2}=0.42\ \text{N}$, pointing between them. Never add magnitudes blindly: components first.

Español

La carga eléctrica viene en positiva y negativa; las cargas iguales se repelen, las opuestas se atraen. La carga está cuantizada – toda carga es un múltiplo entero de la carga elemental $e=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$ – y obedece la conservación de la carga: la carga nunca se crea ni se destruye, solo se mueve. La fuerza entre dos cargas puntuales es la ley de Coulomb:

$$\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{r},$$

una fuerza inverse-square 平方反比 a lo largo de la línea que une las cargas, con $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=k=9.0\times10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$. Para varias cargas (AP usa cuatro o menos, a menos que la simetría ayude), suma los vectores de fuerza sobre la carga que te interesa – superposición 叠加.

La carga es una propiedad fundamental 基本属性 de la materia, y una carga puntual es un modelo que ignora el tamaño de un objeto cargado. La constante $\varepsilon_0$ es la permitividad del vacío 真空介电常数 – una propiedad del material del vacío. La permitividad de la materia difiere de $\varepsilon_0$, determinada por qué tan fácilmente se polariza el material, por lo que un dieléctrico entre cargas debilita la fuerza. Ten en cuenta también que, aunque la fuerza eléctrica es mucho más fuerte que la gravedad, la gravedad domina a escala astronómica porque los cuerpos grandes son casi neutrales.

Ejemplo resuelto. Dos cargas de $+2.0\ \mu\text{C}$ están separadas $0.30\ \text{m}$: $F=\dfrac{kq_1q_2}{r^2}=\dfrac{9.0\times10^{9}(2.0\times10^{-6})^2}{(0.30)^2}=0.40\ \text{N}$, repulsiva.

Ejemplo resuelto (vectores). Las cargas $+3.0\ \mu\text{C}$ y $-3.0\ \mu\text{C}$ se sitúan en dos esquinas de un ángulo recto, cada una a $0.30\ \text{m}$ de una carga de $+1.0\ \mu\text{C}$ en la esquina. Cada una ejerce $F=\dfrac{(9.0\times10^{9})(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{0.09}=0.30\ \text{N}$ – uno empuja, otro atrae, perpendiculares entre sí. La fuerza neta es $F_{\text{net}}=\sqrt{0.30^2+0.30^2}=0.42\ \text{N}$, apuntando entre ellas. Nunca sumes magnitudes ciegamente: primero las componentes.

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Explorar el campo de una carga fuente

Cambia el signo y tamaño de la carga. Las líneas apuntan lejos de positivo y hacia negativo, y su agrupamiento $1/r^2$ cerca de la carga refleja por qué la fuerza de Coulomb $F = k\,|q_1 q_2|/r^2$ disminuye con la distancia.

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Electric charge/ɪˈlektrɪk tʃɑːdʒ/	电荷	diàn hè
quantized/ˈkwɒntaɪzd/	量子化	liàng zǐ huà
elementary charge/ˌelɪˈmentəri tʃɑːdʒ/	基本电荷	jī běn diàn hè
conservation of charge/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv tʃɑːdʒ/	电荷守恒	diàn hè shǒu héng
point charges/pɔɪnt ˈtʃɑːdʒɪz/	点电荷	diǎn diàn hè
Coulomb's law/ˈkuːlɒmz lɔː/	库仑定律	kù lún dìng lǜ
inverse-square/ɪnˈvɜːs skweə/	平方反比	píng fāng fǎn bǐ
superposition/ˌsuːpəpəˈzɪʃn/	叠加	dié jiā
fundamental property/ˌfʌndəˈmentl ˈprɒpəti/	基本属性	jī běn shǔ xìng
permittivity of free space/ˌpɜːmɪˈtɪvəti ɒv friː speɪs/	真空介电常数	zhēn kōng jiè diàn cháng shù

8.2

Electric Charge and the Process of Charging · ⁨Carga Eléctrica y el Proceso de Carga⁩

Syllabus

English

Learning Objective 8.2.A: Describe the behavior of a system using conservation of charge.

8.2.A.1 The net charge or charge distribution of a system can change in response to the presence of, or changes in, the net charge or charge distribution of other systems.
- 8.2.A.1.i The net charge of a system can change due to friction or contact between systems.
- 8.2.A.1.ii Induced charge separation occurs when the electrostatic force between two systems alters the distribution of charges within the systems, resulting in the polarization of one or both systems.
- 8.2.A.1.iii Induced charge separation can occur in neutral systems.
8.2.A.2 Any change to a system's net charge is due to a transfer of charge between the system and its surroundings.
- 8.2.A.2.i The charging of a system typically involves the transfer of electrons to and from the system.
- 8.2.A.2.ii The net charge of a system will be constant unless there is a transfer of charge to or from the system.
8.2.A.3 Grounding involves electrically connecting a charged object to a much larger and approximately neutral system (e.g., Earth).

Español

Objetivo de aprendizaje 8.2.A: Describir el comportamiento de un sistema mediante la conservación de la carga.

8.2.A.1 La carga neta o la distribución de carga de un sistema puede cambiar en respuesta a la presencia, o cambios, en la carga neta o distribución de carga de otros sistemas.
- 8.2.A.1.i La carga neta de un sistema puede cambiar debido a la fricción o al contacto entre sistemas.
- 8.2.A.1.ii La separación de cargas inducida ocurre cuando la fuerza electrostática entre dos sistemas altera la distribución de cargas dentro de los sistemas, resultando en la polarización de uno o ambos sistemas.
- 8.2.A.1.iii La separación de cargas inducida puede ocurrir en sistemas neutros.
8.2.A.2 Cualquier cambio en la carga neta de un sistema se debe a una transferencia de carga entre el sistema y su entorno.
- 8.2.A.2.i La carga de un sistema típicamente implica la transferencia de electrones hacia y desde el sistema.
- 8.2.A.2.ii La carga neta de un sistema será constante a menos que haya una transferencia de carga hacia o desde el sistema.
8.2.A.3 La conexión a tierra implica conectar eléctricamente un objeto cargado a un sistema mucho más grande y aproximadamente neutro (por ejemplo, la Tierra).

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English

A conductor 导体 lets charge move freely; an insulator 绝缘体 holds it in place. Objects gain net charge three ways:

Charging by friction 摩擦起电: rubbing transfers electrons from one surface to the other.
Charging by conduction 传导起电: touching a charged object shares charge of the same sign.
Charging by induction 感应起电: a nearby charge pushes the conductor's charge apart; ground 接地 the far side, remove the ground wire first, and the conductor is left with the opposite sign – all without contact.

An insulator cannot pass charge, but it can develop polarization 极化: its molecules stretch or turn so one face is slightly positive and the other slightly negative. That is why a charged comb picks up neutral paper scraps. An electroscope 验电器 shows net charge by its leaves repelling; on any isolated conductor the excess charge sits entirely on the outer surface.

Español

Un conductor 导体 lets charge move freely; an insulator 绝缘体 holds it in place. Objects gain net charge three ways:

Carga por fricción 摩擦起电: frotar transfiere electrones de una superficie a otra.
Carga por conducción 传导起电: tocar un objeto cargado comparte carga del mismo signo.
Carga por inducción 感应起电: una carga cercana separa la carga del conductor; conecta a tierra 接地 el lado lejano, retira el cable de tierra primero, y el conductor queda con el signo opuesto – todo sin contacto.

Un aislante no puede transmitir carga, pero puede desarrollar polarización 极化: sus moléculas se estiran o giran de modo que una cara es ligeramente positiva y la otra ligeramente negativa. Esa es la razón por la que un peine cargado recoge trozos de papel neutro. Un electroscopio 验电器 muestra la carga neta por la repulsión de sus hojas; en cualquier conductor aislado, el exceso de carga reside enteramente en la superficie exterior.

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Explorar la carga por frotamiento

Frotar transfiere electrones al objeto, dejándolo negativo. Un objeto cargado entonces atrae una pared neutra o el pelo (por polarización) pero repela a otro objeto con carga similar: la misma transferencia de electrones detrás de la fricción, conducción e inducción.

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English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
conductor/kənˈdʌktə/	导体	dǎo tǐ
insulator/ˈɪnsjuːleɪtə/	绝缘体	jué yuán tǐ
Charging by friction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ ˈfrɪkʃn/	摩擦起电	mó cā qǐ diàn
Charging by conduction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ kənˈdʌkʃn/	传导起电	chuán dǎo qǐ diàn
Charging by induction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ ɪnˈdʌkʃn/	感应起电	gǎn yìng qǐ diàn
ground/ɡraʊnd/	接地	jiē dì
polarization/ˌpəʊləraɪˈzeɪʃn/	极化	jí huà
electroscope/ɪˌlektrəʊˈskəʊp/	验电器	yàn diàn qì

8.3

Campos eléctricos

Syllabus

English

Learning Objective 8.3.A: Describe the electric field produced by a charged object or configuration of point charges.

8.3.A.1 Electric fields may originate from charged objects.
8.3.A.2 The electric field at a given point is the ratio of the electric force exerted on a test charge at the point to the charge of the test charge.
- Relevant equation: $\vec{E} = \dfrac{\vec{F}_E}{q}$
- 8.3.A.2.i A test charge is a point charge of small enough magnitude such that its presence does not significantly affect an electric field in its vicinity.
- 8.3.A.2.ii An electric field points away from isolated positive charges and toward isolated negative charges.
- 8.3.A.2.iii The electric force exerted on a positive test charge by an electric field is in the same direction as the electric field.
8.3.A.3 The electric field is a vector quantity and can be represented in space using vector field maps.
- 8.3.A.3.i The net electric field at a given location is the vector sum of individual electric fields created by nearby charged objects.
- 8.3.A.3.ii Electric field maps use vectors to depict the magnitude and direction of the electric field at many locations within a given region.
- 8.3.A.3.iii Electric field line diagrams are simplified models of electric field maps and can be used to determine the relative magnitude and direction of the electric field at any position in the diagram.

Learning Objective 8.3.B: Describe the electric field generated by charged conductors or insulators.

8.3.B.1 While in electrostatic equilibrium, the excess charge of a conductor is distributed on the surface of the conductor, and the electric field within the conductor is zero.
- 8.3.B.1.i At the surface of a charged conductor, the electric field is perpendicular to the surface.
- 8.3.B.1.ii The electric field outside an isolated sphere with spherically symmetric charge distribution is the same as the electric field due to a point charge with the same net charge as the sphere located at the center of the sphere.
8.3.B.2 While in electrostatic equilibrium, the excess charge of an insulator is distributed throughout the interior of the insulator as well as at the surface, and the electric field within the insulator may have a nonzero value.

Español

Objetivo de aprendizaje 8.3.A: Describir el campo eléctrico producido por un objeto cargado o una configuración de cargas puntuales.

8.3.A.1 Los campos eléctricos pueden originarse en objetos cargados.
8.3.A.2 El campo eléctrico en un punto dado es la razón entre la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de prueba en ese punto y la magnitud de dicha carga de prueba.
- Ecuación relevante: $\vec{E} = \dfrac{\vec{F}_E}{q}$
- 8.3.A.2.i Una carga de prueba es una carga puntual de magnitud lo suficientemente pequeña tal que su presencia no afecta significativamente un campo eléctrico en sus proximidades.
- 8.3.A.2.ii Un campo eléctrico se aleja de las cargas positivas aisladas y se dirige hacia las cargas negativas aisladas.
- 8.3.A.2.iii La fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de prueba positiva por un campo eléctrico tiene la misma dirección que el campo eléctrico.
8.3.A.3 El campo eléctrico es una cantidad vectorial y puede representarse en el espacio mediante mapas de campo vectorial.
- 8.3.A.3.i El campo eléctrico neto en una ubicación dada es la suma vectorial de los campos eléctricos individuales creados por objetos cargados cercanos.
- 8.3.A.3.ii Los mapas del campo eléctrico utilizan vectores para representar la magnitud y dirección del campo eléctrico en múltiples ubicaciones dentro de una región determinada.
- 8.3.A.3.iii Los diagramas de líneas de campo eléctrico son modelos simplificados de los mapas del campo eléctrico y pueden utilizarse para determinar la magnitud relativa y dirección del campo eléctrico en cualquier posición del diagrama.

Objetivo de aprendizaje 8.3.B: Describir el campo eléctrico generado por conductores o aislantes cargados.

8.3.B.1 En equilibrio electrostático, el exceso de carga de un conductor se distribuye en la superficie del conductor, y el campo eléctrico dentro del conductor es cero.
- 8.3.B.1.i En la superficie de un conductor cargado, el campo eléctrico es perpendicular a la superficie.
- 8.3.B.1.ii El campo eléctrico fuera de una esfera aislada con distribución de carga esféricamente simétrica es igual al campo eléctrico debido a una carga puntual con la misma carga neta que la esfera, ubicada en el centro de la esfera.
8.3.B.2 En equilibrio electrostático, el exceso de carga de un aislante se distribuye tanto en el interior del aislante como en la superficie, y el campo eléctrico dentro del aislante puede tener un valor distinto de cero.

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English

The electric field of a dipole

The electric field 电场 at a point is the force per unit charge that a small positive test charge 检验电荷 would feel there:

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q},\qquad \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{r}\ \text{(point charge)}.$$

A charge placed in a field feels $\vec{F}=q\vec{E}$ – positive charges along the field, negative charges against it. Fields from several sources add as vectors (superposition again). Field lines 电场线 make the field visible: they point away from positive charge and toward negative, their density shows the strength, and they never cross.

In a uniform 均匀 field a charge feels a constant force, so it accelerates uniformly – launched sideways, it follows a parabola, just like a projectile in gravity.

Español

El campo eléctrico de un dipolo

Una bobina Tesla coronada por un anillo metálico, lanzando largas chispas púrpura al aire — Una bobina Tesla lanza chispas: eleva el voltaje tanto que el campo eléctrico ioniza el aire circundante, y la carga salta a través como una descarga visible

El campo eléctrico 电场 at a point is the force per unit charge that a small positive test charge 检验电荷 would feel there:

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q},\qquad \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{r}\ \text{(point charge)}.$$

Una carga colocada en un campo siente $\vec{F}=q\vec{E}$ – las cargas positivas a lo largo del campo, las negativas en contra. Los campos de varias fuentes se suman como vectores (superposición nuevamente). Las líneas de campo 电场hacen visible el campo: apuntan alejándose de la carga positiva y hacia la negativa, su densidad muestra la fuerza, y nunca se cruzan.

Patrones de líneas de campo eléctrico para placas paralelas, un dipolo y una carga puntual

Las líneas de campo eléctrico de un dipolo apuntan desde la carga positiva a la negativa

En un campo uniforme 均匀, una carga experimenta una fuerza constante, por lo que se acelera uniformemente; lanzada lateralmente, sigue una parábola, igual que un proyectil bajo la gravedad.

Una carga que cruza un campo uniforme sigue una trayectoria parabólica

Una persona tocando un generador de Van de Graaff con el pelo erizado — La carga se distribuye por la cúpula y sobre el cabello; las cargas iguales se repelen, por lo que los mechones se empujan mutuamente

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Explorar las líneas de campo de una carga puntual

Establece la carga como positiva o negativa. Las líneas de campo comienzan en positivo y terminan en negativo, nunca se cruzan, y se agrupan donde $\vec{E}$ es más fuerte: la densidad de líneas es proporcional a la magnitud del campo.

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English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
electric field/ɪˈlektrɪk fiːld/	电场	diàn chǎng
test charge/test tʃɑːdʒ/	检验电荷	jiǎn yàn diàn hè
Field lines/fiːld laɪnz/	电场线	diàn chǎng xiàn
uniform/ˈjuːnɪfɔːm/	均匀	jūn yún
continuous charge distribution/kənˈtɪnjuːəs tʃɑːdʒ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	连续电荷分布	lián xù diàn hè fēn bù
linear charge density/ˈlɪnɪə tʃɑːdʒ ˈdensɪti/	线电荷密度	xiàn diàn hè mì dù
surface charge density/ˈsɜːfɪs tʃɑːdʒ ˈdensɪti/	面电荷密度	miàn diàn hè mì dù
volume charge density/ˈvɒljuːm tʃɑːdʒ ˈdensɪti/	体电荷密度	tǐ diàn hè mì dù

8.4

Electric Fields of Charge Distributions · ⁨Campos Elécttricas de Distribuciones de Carga⁩

Syllabus

English

Learning Objective 8.4.A: Describe the electric field resulting from a given charge distribution.

8.4.A.1 Expressions for the electric field of specified charge distributions can be found using integration and the principle of superposition.
- Relevant equation: $\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \displaystyle\int \dfrac{dq}{r^2} \hat{r}$
8.4.A.2 Symmetry considerations of certain charge distributions can simplify analysis of the electric field resulting from those charge distributions.

Boundary statement: AP Physics C: Electricity & Magnetism only expects students to use calculus to find the electric field resulting from the following charge distributions and locations: an infinitely long, uniformly charged wire or cylinder at a distance from its central axis, a thin ring of charge at a location along the axis of the ring, a semicircular arc or part of a semicircular arc at its center, and a finite wire or line charge at a point collinear with the line charge or at a location along its perpendicular bisector.

Español

Objetivo de Aprendizaje 8.4.A: Describir el campo eléctrico resultante de una distribución de carga dada.

8.4.A.1 Las expresiones para el campo eléctrico de distribuciones de carga específicas pueden encontrarse utilizando la integración y el principio de superposición.
- Ecuación relevante: $\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \displaystyle\int \dfrac{dq}{r^2} \hat{r}$
8.4.A.2 Las consideraciones de simetría de ciertas distribuciones de carga pueden simplificar el análisis del campo eléctrico resultante de dichas distribuciones.

Enunciado de límite: AP Physics C: Electricidad y Magnetismo solo espera que los estudiantes utilicen cálculo para encontrar el campo eléctrico resultante de las siguientes distribuciones de carga y ubicaciones: un alambre o cilindro infinito con carga uniforme a una distancia de su eje central, un anillo delgado de carga en una ubicación a lo largo del eje del anillo, un arco semicircular o parte de un arco semicircular en su centro, y un alambre finito o línea de carga en un punto colineal con la línea de carga o en una ubicación a lo largo de su bisectriz perpendicular.

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English

For a continuous charge distribution 连续电荷分布, cut the object into pieces $dq$ and integrate their point-charge fields:

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\,\hat{r}.$$

Write $dq$ using the right density: $\lambda\,dl$ with the linear charge density 线电荷密度 (a line or ring), $\sigma\,dA$ with the surface charge density 面电荷密度, or $\rho\,dV$ with the volume charge density 体电荷密度. Then use symmetry 对称性 to cancel components before integrating – that sentence is usually a scored step. AP's calculus cases: a finite line (collinear point or perpendicular bisector), an infinite wire or cylinder, a ring on its axis, and an arc at its centre.

Worked example (ring, on axis). A ring of radius $R$ carries charge $Q$. At a point $z$ along the axis, each element is a distance $\sqrt{R^2+z^2}$ away, and by symmetry the sideways components cancel, leaving only the axial part ($\cos\alpha=z/\sqrt{R^2+z^2}$):

$$E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{R^2+z^2}\cdot\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qz}{(R^2+z^2)^{3/2}}.$$

Check the limits: $E=0$ at the centre ($z=0$), and far away ($z\gg R$) it becomes $kQ/z^2$ – a point charge, as it must.

Español

Para una distribución de carga continua 连续电荷分布, divida el objeto en piezas $dq$ e integre los campos de cargas puntuales:

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\,\hat{r}.$$

Escribe $dq$ usando la densidad adecuada: $\lambda\,dl$ con la densidad lineal de carga 线电荷密度 (una línea o anillo), $\sigma\,dA$ con la densidad superficial de carga 面电荷密度, o $\rho\,dV$ con la densidad volumétrica de carga 体电荷密度. Luego usa la simetría 对称性 para cancelar componentes antes de integrar – esta frase suele ser un paso evaluado. Casos de cálculo de AP: una línea finita (punto colineal o mediatriz perpendicular), un hilo o cilindro infinito, un anillo en su eje, y un arco en su centro.

Ejemplo resuelto (anillo, sobre el eje). Un anillo de radio $R$ porta carga $Q$. En un punto $z$ a lo largo del eje, cada elemento está a una distancia $\sqrt{R^2+z^2}$, y por simetría las componentes laterales se cancelan, dejando solo la parte axial ($\cos\alpha=z/\sqrt{R^2+z^2}$):

$$E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{R^2+z^2}\cdot\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qz}{(R^2+z^2)^{3/2}}.$$

Verifica los límites: $E=0$ en el centro ($z=0$), y lejos ($z\gg R$) se convierte en $kQ/z^2$ – una carga puntual, como debe ser.

8.5

Electric Flux · ⁨Flujo Eléctrico⁩

Syllabus

English

Learning Objective 8.5.A: Describe the electric flux through an arbitrary area or geometric shape.

8.5.A.1 Flux describes the amount of a given quantity that passes through a given area.
8.5.A.2 For an electric field $\vec{E}$ that is constant across an area $\vec{A}$, the electric flux through the area is defined as $\Phi_E = \vec{E} \bullet \vec{A}$.
- 8.5.A.2.i The direction of the area vector is defined as perpendicular to the plane of the surface and outward from a closed surface.
- 8.5.A.2.ii The sign of flux is given by the dot product of the electric field vector and the area vector.
8.5.A.3 The total electric flux passing through a surface is defined by the surface integral of the electric field over the surface.
- Relevant equation: $\Phi_E = \displaystyle\int \vec{E} \cdot d\vec{A}$

Español

Objetivo de aprendizaje 8.5.A: Describir el flujo eléctrico a través de un área arbitraria o forma geométrica.

8.5.A.1 El flujo describe la cantidad de una magnitud dada que atraviesa un área determinada.
8.5.A.2 Para un campo eléctrico $\vec{E}$ constante sobre un área $\vec{A}$, el flujo eléctrico a través del área se define como $\Phi_E = \vec{E} \bullet \vec{A}$.
- 8.5.A.2.i La dirección del vector de área se define como perpendicular al plano de la superficie y hacia afuera desde una superficie cerrada.
- 8.5.A.2.ii El signo del flujo viene dado por el producto escalar entre el vector del campo eléctrico y el vector de área.
8.5.A.3 El flujo eléctrico total que pasa a través de una superficie se define mediante la integral de superficie del campo eléctrico sobre dicha superficie.
- Ecuación relevante: $\Phi_E = \displaystyle\int \vec{E} \cdot d\vec{A}$

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Electric flux & Gauss's law

Electric flux 电通量 measures how much field passes through a surface:

$$\Phi_E=\int \vec{E}\cdot d\vec{A}.$$

For a uniform field through a flat area, $\Phi_E=EA\cos\theta$, where the area vector 面积矢量 is perpendicular to the surface. Flux is positive where field lines exit a closed surface and negative where they enter – only the perpendicular component of $\vec{E}$ counts.

Español

Electric flux & Gauss's law

Flujo eléctrico 电通量 measures how much field passes through a surface:

$$\Phi_E=\int \vec{E}\cdot d\vec{A}.$$

Para un campo uniforme a través de un área plana, $\Phi_E=EA\cos\theta$, donde el vector de área 面积矢量 es perpendicular a la superficie. El flujo es positivo donde las líneas de campo salen de una superficie cerrada y negativo donde entran – solo cuenta la componente perpendicular de $\vec{E}$.

El flujo eléctrico a través de una superficie depende del ángulo entre el campo y la normal a la superficie

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
Electric flux/ɪˈlektrɪk flʌks/	电通量	diàn tōng liàng
area vector/ˈeərɪə ˈvektə/	面积矢量	miàn jī shǐ liàng
Gauss's law/ˈɡaʊsɪz lɔː/	高斯定律	gāo sī dìng lǜ

8.6

Gauss's Law · ⁨Ley de Gauss⁩

Syllabus

English

Learning Objective 8.6.A: Describe the properties of a charge distribution by applying Gauss's law.

8.6.A.1 Gauss's law relates electric flux through a Gaussian surface to the charge enclosed by that surface.
- Relevant equations: $\Phi_E = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$ and $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$
8.6.A.2 A Gaussian surface is a three-dimensional, closed surface.
8.6.A.3 The total electric flux through a Gaussian surface is independent of the size of the Gaussian surface if the amount of enclosed charge remains constant.
8.6.A.4 Gaussian surfaces are typically constructed such that the electric field generated by the enclosed charge is either perpendicular or parallel to different regions of the Gaussian surface, resulting in a simplified surface integral.
8.6.A.5 If a function of charge density is given for a charge distribution, the total charge can be determined by integrating the charge density over the length (one dimension), area (two dimensions), or volume (three dimensions) of the charge distribution. For example: $Q_{\text{total}} = \displaystyle\int \rho(\vec{r})\, dV$
8.6.A.6 Maxwell's equations are the collection of equations that fully describe electromagnetism. Gauss's law is Maxwell's first equation.
- Relevant equation: $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$

Boundary statement: AP Physics C: Electricity & Magnetism only expects students to quantitatively apply Gauss's law to point charges and charge distributions that have spherical, cylindrical, or planar symmetry.

Español

Objetivo de aprendizaje 8.6.A: Describir las propiedades de una distribución de carga aplicando la ley de Gauss.

8.6.A.1 La ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie gaussiana con la carga encerrada por dicha superficie.
- Ecuaciones relevantes: $\Phi_E = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$ y $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$
8.6.A.2 Una superficie gaussiana es una superficie cerrada tridimensional.
8.6.A.3 El flujo eléctrico total a través de una superficie gaussiana es independiente del tamaño de la superficie gaussiana si la cantidad de carga encerrada permanece constante.
8.6.A.4 Las superficies gaussianas se construyen típicamente de tal manera que el campo eléctrico generado por la carga encerrada sea perpendicular o paralelo a diferentes regiones de la superficie gaussiana, lo que resulta en una integral de superficie simplificada.
8.6.A.5 Si se proporciona una función de densidad de carga para una distribución de carga, la carga total puede determinarse integrando la densidad de carga sobre la longitud (una dimensión), área (dos dimensiones) o volumen (tres dimensiones) de la distribución de carga. Por ejemplo: $Q_{\text{total}} = \displaystyle\int \rho(\vec{r})\, dV$
8.6.A.6 Las ecuaciones de Maxwell son el conjunto de ecuaciones que describen completamente el electromagnetismo. La ley de Gauss es la primera ecuación de Maxwell.
- Ecuación relevante: $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$

Declaración de límites: AP Physics C: Electricidad y Magnetismo solo espera que los estudiantes apliquen cuantitativamente la ley de Gauss a cargas puntuales y distribuciones de carga que posean simetría esférica, cilíndrica o planar.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Gauss's law 高斯定律 – the first of Maxwell's equations – relates the flux through any closed surface to the charge inside it:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.$$

It is true for any closed surface, but it solves for $E$ only when symmetry lets you choose a Gaussian surface 高斯面 on which $E$ is constant and perpendicular (or parallel, contributing zero). The three symmetries AP tests: spherical symmetry 球对称 (concentric sphere), cylindrical symmetry 柱对称 (coaxial cylinder), and planar symmetry 平面对称 (a straddling "pillbox").

Worked example (sphere). Outside a sphere of total charge $Q$, a spherical Gaussian surface of radius $r$ gives $E(4\pi r^2)=Q/\varepsilon_0$, so $E=\dfrac{kQ}{r^2}$ – identical to a point charge at the centre. Inside a uniformly charged solid sphere of radius $R$, the surface encloses only $Q_{\text{enc}}=Q\,r^3/R^3$, so $E=\dfrac{kQr}{R^3}$: zero at the centre, growing linearly to the surface.

Worked example (wire). For an infinite wire with charge per length $\lambda$, take a coaxial cylinder of radius $r$ and length $L$. The ends contribute nothing ($\vec{E}\perp d\vec{A}$), so $E(2\pi rL)=\dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}$ and $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$. The same pillbox method gives an infinite sheet's field, $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, uniform on both sides.

Exam skill. A full-credit Gauss's-law answer has four parts: name the surface, state the symmetry argument (why $E$ is constant and perpendicular on it), count $Q_{\text{enc}}$, then solve. Skipping the symmetry sentence loses the reasoning point – and remember Gauss's law also explains why $E=0$ inside any conductor in equilibrium.

Español

Ley de Gauss 高斯定律 – the first of Maxwell's equations – relates the flux through any closed surface to the charge inside it:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.$$

Es cierto para cualquier superficie cerrada, pero resuelve para $E$ solo cuando la simetría permite elegir una superficie gaussiana 高斯面 sobre la cual $E$ es constante y perpendicular (o paralela, contribuyendo cero). Las tres simetrías que prueba AP: simetría esférica 球对称 (esfera concéntrica), simetría cilíndrica 柱对称 (cilindro coaxial) y simetría plana 平面对symmetry (una "caja de galletas" que abarca).

Se elige una superficie gaussiana para coincidir con la simetría de la carga

Ejemplo resuelto (esfera). Fuera de una esfera de carga total $Q$, una superficie gaussiana esférica de radio $r$ da $E(4\pi r^2)=Q/\varepsilon_0$, así que $E=\dfrac{kQ}{r^2}$ – idéntica a una carga puntual en el centro. Dentro de una esfera sólida uniformemente cargada de radio $R$, la superficie encierra solo $Q_{\text{enc}}=Q\,r^3/R^3$, así que $E=\dfrac{kQr}{R^3}$: cero en el centro, creciendo linealmente hasta la superficie.

Ejemplo resuelto (alambre). Para un alambre infinito con carga por longitud $\lambda$, toma un cilindro coaxial de radio $r$ y longitud $L$. Los extremos no contribuyen ($\vec{E}\perp d\vec{A}$), así que $E(2\pi rL)=\dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}$ y $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$. El mismo método de caja de pastilla da el campo de una lámina infinita, $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, uniforme en ambos lados.

Habilidad de examen. Una respuesta de Ley de Gauss con puntuación completa tiene cuatro partes: nombra la superficie, declara el argumento de simetría (por qué $E$ es constante y perpendicular sobre ella), cuenta $Q_{\text{enc}}$, luego resuelve. Saltarte la frase de simetría pierde el punto de razonamiento – y recuerda que la Ley de Gauss también explica por qué $E=0$ dentro de cualquier conductor en equilibrio.

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
symmetry/ˈsɪmətri/	对称性	duì chèn xìng
Gaussian surface/ˈɡaʊʃn ˈsɜːfɪs/	高斯面	gāo sī miàn
spherical symmetry/sˈferɪkl ˈsɪmətri/	球对称	qiú duì chèn
cylindrical symmetry/sɪˈlɪndrɪkl ˈsɪmətri/	柱对称	zhù duì chèn
planar symmetry/ˈpleɪnə ˈsɪmətri/	平面对称	píng miàn duì chèn

8.6

Exam tips · ⁨Consejos para el examen⁩

English

Use Coulomb's law $F=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r^2}$ and superpose forces as vectors (components, not magnitudes).
For a continuous charge, integrate $d\vec E$ over $dq=\lambda\,dl,\ \sigma\,dA,\ \rho\,dV$; use symmetry to cancel components.
The field points away from positive and toward negative charge; draw field lines correctly.
Distinguish the force on a charge ($\vec F=q\vec E$) from the field the charge creates.
Keep the constant $k=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ straight and check units.

Español

Usa la Ley de Coulomb $F=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r^2}$ y superpone fuerzas como vectores (componentes, no magnitudes).
Para una carga continua, integra $d\vec E$ sobre $dq=\lambda\,dl,\ \sigma\,dA,\ \rho\,dV$; usa simetría para cancelar componentes.
El campo apunta alejándose de la carga positiva y hacia la carga negativa; dibuja las líneas de campo correctamente.
Distingue la fuerza sobre una carga ($\vec F=q\vec E$) del campo que crea la carga.
Mantén clara la constante $k=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ y verifica las unidades.

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