Conductores y capacitores

AP Física C: Electricidad y Magnetismo · Tema 10

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10.1

Electrostática con Conductores

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 10.1.A: Describir la distribución de carga dentro de un conductor.

10.1.A.1 Un conductor ideal es un material en el que los electrones pueden moverse libremente.
10.1.A.2 Cuando un conductor se encuentra en equilibrio electrostático, la repulsión mutua entre los portadores de exceso de carga hace que estos residan exclusivamente en la superficie del conductor.
- 10.1.A.2.i En un conductor con carga neta negativa, los electrones en exceso residen en la superficie del conductor.
- 10.1.A.2.ii En un conductor con carga neta positiva, la superficie presenta una deficiencia de electrones y puede modelarse como si portadores de carga positiva residieran en la superficie del conductor.
10.1.A.3 Las cargas en exceso se desplazarán hacia la superficie de un conductor para crear un estado de equilibrio electrostático en su interior.
- 10.1.A.3.i El intervalo de tiempo necesario para que las cargas alcancen el equilibrio electrostático dentro de un conductor es tan breve que resulta despreciable.
- 10.1.A.3.ii Cuando un conductor alcanza el equilibrio electrostático, todos los puntos sobre su superficie tienen el mismo potencial eléctrico, y el conductor se convierte en una superficie equipotencial.
- 10.1.A.3.iii La densidad de carga en la superficie de un conductor será mayor donde existan puntas o bordes en comparación con áreas planas.
10.1.A.4 Todo exceso de carga reside en la superficie de un conductor, lo que implica que no hay carga neta en el interior del conductor y que el campo eléctrico es cero en su interior.
10.1.A.5 El campo eléctrico es perpendicular a la superficie exterior de un conductor.
10.1.A.6 Un conductor puede polarizarse en presencia de un campo eléctrico externo. Esto es una consecuencia del hecho de que el conductor permanece siendo una superficie equipotencial.
10.1.A.7 El blindaje electrostático es el proceso de rodear un área con una carcasa conductora cerrada para crear una región en el interior del conductor que esté exenta de campos eléctricos externos.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

En un conductor 导体 ideal, los electrones se mueven libremente. Si se coloca carga adicional en uno de ellos, las cargas se repelen entre sí hasta que, casi instantáneamente, se asientan en un equilibrio electrostático 静电平衡. En ese estado, el conductor posee cuatro propiedades que debes ser capaz de enunciar y utilizar:

El campo eléctrico dentro del conductor es cero. De no ser así, los electrones libres seguirían moviéndose.
Toda la carga excesiva se encuentra en la superficie. (Carga neta negativa = electrones adicionales en la superficie; positiva = escasez de electrones allí).
El campo justo fuera de la superficie es perpendicular 垂直 a ella, con magnitud $E=\sigma/\varepsilon_0$. Cualquier componente paralela empujaría la carga lateralmente a lo largo de la superficie.
Todo el conductor constituye una única superficie equipotencial 等势面: cada punto, tanto dentro como sobre la superficie, se encuentra al mismo potencial.

La densidad de carga es mayor donde la superficie tiene una curvatura pronunciada —en puntos y bordes—, por lo que el campo exterior es más intenso en esas zonas. Ante un campo externo, un conductor se polariza: la carga se redistribuye en su superficie para que el interior permanezca libre de campo y el cuerpo mantenga su condición de equipotencial. Rodear una región con una carcasa conductora cerrada bloquea completamente los campos exteriores —blindaje electrostático 静电屏蔽—, principio fundamental detrás de la jaula de Faraday 法拉第笼.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
conductor/kənˈdʌktə/	导体	dǎo tǐ
electrostatic equilibrium/ɪˌlektrəʊˈstætɪk ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	静电平衡	jìng diàn píng héng
perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/	垂直	chuí zhí
equipotential surface/ˌiːkwɪpəˈtenʃl ˈsɜːfɪs/	等势面	děng shì miàn
electrostatic shielding/ɪˌlektrəʊˈstætɪk ˈʃiːldɪŋ/	静电屏蔽	jìng diàn píng bì
Faraday cage/ˈfærədeɪ keɪdʒ/	法拉第笼	fǎ lā dì lóng
ground/ɡraʊnd/	接地	jiē dì
induced charge/ɪnˈdjuːst tʃɑːdʒ/	感应电荷	gǎn yìng diàn hè

10.2

Redistribución de Carga entre Conductores

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 10.2.A: Describir el movimiento de la carga y las interacciones resultantes cuando los conductores están en contacto físico.

10.2.A.1 Cuando los conductores están en contacto eléctrico, la carga se redistribuirá de modo que las superficies de cada conductor se encuentren al mismo potencial eléctrico.
10.2.A.2 La tierra es un punto de referencia idealizado que tiene un potencial eléctrico cero y puede absorber o proporcionar una cantidad infinita de carga sin cambiar su potencial eléctrico.
10.2.A.3 Se puede inducir carga en un conductor al conectarlo a tierra en presencia de un campo eléctrico externo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando dos conductores se ponen en contacto (o se conectan mediante un cable), la carga fluye entre ellos hasta que ambas superficies alcanzan el mismo potencial; esa es la condición de equilibrio, no "cargas iguales". Una esfera más grande almacena más carga al mismo potencial ($V=kQ/R$), por lo que absorbe la parte mayoritaria.

Ejemplo resuelto. Una pequeña esfera de radio $R$ que porta $+6.0\ \mu\text{C}$ toca una esfera distante de radio $2R$, y luego se separan. La igualdad de potenciales exige $\dfrac{kq_1}{R}=\dfrac{kq_2}{2R}$, por lo tanto $q_2=2q_1$. Con $q_1+q_2=6.0\ \mu\text{C}$: $q_1=2.0\ \mu\text{C}$ y $q_2=4.0\ \mu\text{C}$.

El tierra 接地 es una referencia idealizada a potencial cero que puede absorber o suministrar cualquier cantidad de carga. Al conectar a tierra un conductor mientras hay una carga externa cercana, este queda con una carga inducida 感应电荷 neta: el campo externo empuja la carga de un signo hacia la tierra, y al desconectar el cable de tierra antes de retirar la carga externa, se atrapa el resto.

10.3

Condensadores

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 10.3.A: Describir las propiedades físicas de un capacitor de placas paralelas.

10.3.A.1 Un capacitor de placas paralelas consiste en dos superficies conductoras paralelas separadas que pueden almacenar cantidades iguales de carga con signos opuestos.
10.3.A.2 La capacitancia relaciona la magnitud de la carga almacenada en cada placa con la diferencia de potencial eléctrico creada por la separación de esas cargas.
- Ecuación: $C = \dfrac{Q}{\Delta V}$
- 10.3.A.2.i La capacitancia de un capacitor depende únicamente de las propiedades físicas del capacitor, como su forma y el material utilizado para separar las placas.
- 10.3.A.2.ii La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de una de sus placas e inversamente proporcional a la distancia entre sus placas. La constante de proporcionalidad es el producto de la constante dieléctrica, $\kappa$, del material entre las placas y la permitividad eléctrica del vacío, $\varepsilon_0$.
  - Ecuación: $C = \dfrac{\kappa \varepsilon_0 A}{d}$
10.3.A.3 El campo eléctrico entre dos placas paralelas cargadas con distribución uniforme de carga eléctrica, como en un capacitor de placas paralelas, es constante tanto en magnitud como en dirección, excepto cerca de los bordes de las placas.
- 10.3.A.3.i La magnitud del campo eléctrico entre dos placas paralelas cargadas, donde la separación de las placas es mucho menor que las dimensiones de estas, puede determinarse aplicando la ley de Gauss y el principio de superposición.
  - Ecuación: $E = \dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}$
- 10.3.A.3.ii El campo eléctrico es proporcional a la densidad superficial de carga en cualquiera de las placas del capacitor.
- 10.3.A.3.iii Una partícula cargada entre dos placas paralelas con cargas opuestas experimenta una aceleración constante, por lo que su movimiento comparte características con el movimiento de proyectiles de un objeto con masa en el campo gravitatorio cerca de la superficie terrestre.
10.3.A.4 La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor es igual al trabajo realizado por una fuerza externa para separar esa cantidad de carga en el capacitor.
10.3.A.5 La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor se describe mediante la ecuación $U_C = \dfrac{1}{2} Q \Delta V$.

Enunciado sobre límites: Si bien otras formas también pueden separar cargas, AP Physics C: Electricidad y Magnetismo solo espera el análisis cuantitativo y la descripción de capacitores de placas paralelas, capacitores esféricos concéntricos y capacitores cilíndricos coaxiales.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Carga de un condensador (RC)

Un condensador 电容器 almacena carga en dos conductores separados por una separación: $+Q$ en una placa, $-Q$ en la otra. Su capacitancia 电容 relaciona la carga almacenada con la diferencia de potencial entre las placas:

$$C=\frac{Q}{\Delta V}.$$

La capacitancia depende únicamente de la geometría y del material presente en la separación; nunca de la $Q$ ni de la $\Delta V$ mismas.

Derivación resuelta (placas paralelas). Para un condensador de placas paralelas 平行板电容器 con área de placa $A$ y separación pequeña $d$: la ley de Gauss junto con la superposición 叠加 produce un campo uniforme 均匀 entre las placas, $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}$ (cada placa individual contribuye con $\sigma/2\varepsilon_0$; entre las placas ambas se suman, fuera se cancelan). Un campo uniforme implica $\Delta V=Ed=\dfrac{Qd}{\varepsilon_0 A}$, de modo que

$$C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{\varepsilon_0 A}{d}.$$

Esta $E\to\Delta V\to C$ cadena es una derivación estándar de FRQ —apréndela como tres pasos y cita cada uno—. El mismo método aplica a las otras dos formas que espera AP: esferas concéntricas ($C=4\pi\varepsilon_0\dfrac{ab}{b-a}$) y un cilindro coaxial de longitud $L$, donde $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ da como resultado $\Delta V=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{b}{a}$ y por consiguiente $C=\dfrac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$.

Ejemplo resuelto. Placas de área $A=0.020\ \text{m}^2$ y separación $d=1.0\ \text{mm}$: $C=\dfrac{8.85\times10^{-12}(0.020)}{1.0\times10^{-3}}=1.8\times10^{-10}\ \text{F}$. Cargado a $100\ \text{V}$ almacena $Q=CV=1.8\times10^{-8}\ \text{C}$.

Dado que el campo entre las placas es uniforme, una partícula cargada que se encuentra en él experimenta una fuerza constante, por lo que se mueve con aceleración constante —exactamente como el movimiento de proyectiles 抛体运动 bajo gravedad: velocidad constante horizontalmente, aceleración uniforme hacia una de las placas.

Una partícula cargada entre las placas sigue una parábola, como un proyectil — Una partícula cargada entre las placas sigue una parábola, similar a un proyectil

Ejemplo resuelto. Un electrón entra a medio camino entre las placas en $v_0=2.0\times10^{7}\ \text{m/s}$, paralelo a ellas. El campo es $E=1.0\times10^{3}\ \text{N/C}$ y las placas tienen $4.0\ \text{cm}$ de longitud. Aceleración: $a=\dfrac{eE}{m}=\dfrac{(1.6\times10^{-19})(1.0\times10^{3})}{9.11\times10^{-31}}=1.8\times10^{14}\ \text{m/s}^2$. Tiempo entre las placas: $t=\dfrac{0.040}{2.0\times10^{7}}=2.0\times10^{-9}\ \text{s}$. Desplazamiento: $y=\tfrac12at^{2}=\tfrac12(1.8\times10^{14})(2.0\times10^{-9})^{2}\approx3.5\times10^{-4}\ \text{m}$ – aproximadamente $0.35\ \text{mm}$ hacia la placa positiva.

Almacenar carga requiere trabajo: una fuerza externa debe mover cada porción de carga contra el campo de la carga ya presente. El trabajo total termina como energía potencial almacenada,

$$U_C=\tfrac12\,Q\,\Delta V=\tfrac12 C(\Delta V)^2=\frac{Q^2}{2C}.$$

La energía almacenada en un condensador es el área bajo su curva carga-voltaje — La energía almacenada en un condensador es el área bajo su línea de carga–voltaje

El factor $\tfrac12$ es el área del triángulo bajo la línea de $Q$–$\Delta V$: la primera carga movida cuesta casi nada, la última cuesta el completo $\Delta V$.

Los condensadores se combinan opuestamente a los resistores: en paralelo 并联 las capacitancias se suman ($C_{\text{eq}}=C_1+C_2$, mismo $\Delta V$, las cargas se suman), mientras que en serie 串联 los inversos se suman ($\tfrac{1}{C_{\text{eq}}}=\tfrac{1}{C_1}+\tfrac{1}{C_2}$, misma $Q$, los voltajes se suman).

Los condensadores en serie llevan la misma carga, y sus diferencias de potencial se suman — Los condensadores en serie portan la misma carga, y sus d.p.s. se suman

Ejemplo resuelto. Un condensador de $2\ \mu\text{F}$ y otro de $4\ \mu\text{F}$ en serie: $\tfrac{1}{C}=\tfrac12+\tfrac14$, por lo tanto $C=\tfrac43\ \mu\text{F}$. El mismo par en paralelo: $6\ \mu\text{F}$.

Condensadores variados: dispositivos que almacenan carga y energía en un campo eléctrico entre conductores — Condensadores diversos: dispositivos que almacenan carga y energía en un campo eléctrico entre conductores

Condensadores electrolíticos en una placa de circuito: la capacitancia almacena energía como U = ½CV²

Explorar

Cargar y descargar un condensador

Un condensador almacena carga en dos placas, llenándose y vaciándose exponencialmente con una constante de tiempo $\tau=RC$. Un valor mayor de $R$ o $C$ lo ralentiza.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
capacitor/kəˈpæsɪtə/	电容器	diàn róng qì
capacitance/kəˈpæsɪtəns/	电容	diàn róng
parallel-plate capacitor/ˈpærəlel pleɪt kəˈpæsɪtə/	平行板电容器	píng xíng bǎn diàn róng qì
superposition/ˌsuːpəpəˈzɪʃn/	叠加	dié jiā
uniform/ˈjuːnɪfɔːm/	均匀	jūn yún
projectile motion/prəˈdʒektaɪl ˈməʊʃn/	抛体运动	pāo tǐ yùn dòng
work/wɜːk/	功	gōng
series/ˈsɪəriːz/	串联	chuàn lián

10.4

Dieléctricos

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 10.4.A: Describir cómo la inserción de un dieléctrico entre las placas de un capacitor cambia las propiedades del mismo.

10.4.A.1 En un material dieléctrico, las cargas eléctricas no son tan libres para moverse como lo son en un conductor. En su lugar, el material se polariza ante la presencia de un campo eléctrico externo.
10.4.A.2 La constante dieléctrica de un material relaciona la permitividad eléctrica de ese material con la permitividad del vacío.
- Ecuación: $\kappa = \dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$
10.4.A.3 El campo eléctrico creado por un dieléctrico polarizado tiene dirección opuesta a la del campo externo.
10.4.A.4 El campo eléctrico entre las placas de un capacitor aislado de placas paralelas disminuye cuando se coloca un dieléctrico entre ellas.
- Ecuación: $\kappa = \dfrac{E_0}{E}$
10.4.A.5 La inserción de un dieléctrico en un capacitor puede modificar su capacitancia.
- Ecuación: $C = \kappa C_0$

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un dieléctrico 电介质 es un material aislante. Sus cargas no pueden desplazarse, pero bajo un campo externo cada molécula se estira o gira ligeramente – el material se polariza 极化. Las moléculas alineadas crean su propio campo pequeño opuesto al aplicado, por lo que el campo neto dentro del material disminuye:

$$E=\frac{E_0}{\kappa},\qquad \kappa=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}\ \ (\kappa>1),$$

donde $\kappa$ es la constante dieléctrica 介电常数, la relación de la permitividad del material a la permitividad del vacío 真空介电常数.

Un dieléctrico polarizado crea un campo interno opuesto al campo aplicado

Rellenar un condensador con dieléctrico multiplica su capacitancia:

$$C=\kappa\,C_0\qquad\left(\text{parallel plates: } C=\frac{\kappa\varepsilon_0 A}{d}\right).$$

Lo que sucede después depende de qué se mantiene fijo – una trampa favorita de exámenes:

	batería conectada ($\Delta V$ fija)	batería desconectada primero ($Q$ fija)
carga $Q$	aumenta hasta $\kappa Q_0$	sin cambios
voltaje $\Delta V$	sin cambios	disminuye hasta $\Delta V_0/\kappa$
campo $E$	sin cambios	disminuye hasta $E_0/\kappa$
energía $U$	aumenta hasta $\kappa U_0$	disminuye hasta $U_0/\kappa$

Ejemplo resuelto. Un $100\ \text{pF}$ capacitor se carga a $12\ \text{V}$, se desconecta y luego se llena con un dieléctrico de $\kappa=3$. $Q$ queda atrapado, por lo que $\Delta V$ disminuye hasta $4\ \text{V}$ y la energía almacenada cae a un tercio; la energía faltante se utilizó para introducir el dieléctrico. Reconectado a la batería de $12\ \text{V}$ en su lugar, el capacitor mantendría tres veces la carga y tres veces la energía.

Habilidad para el examen. Siempre comienza las preguntas sobre dieléctricos escribiendo cuál cantidad se mantiene fija ($Q$ o $\Delta V$), luego deja que $C=\kappa C_0$ determine todo lo demás a través de $Q=C\Delta V$ y $U=\tfrac12 C(\Delta V)^2$.

Explorar

Añadir un dieléctrico

Un dieléctrico entre las placas aumenta la capacitancia, por lo que el condensador retiene más carga al mismo voltaje. Observa cómo la carga se acumula más rápido.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
parallel/ˈpærəlel/	并联	bìng lián
dielectric/ˌdaɪɪˈlektrɪk/	电介质	diàn jiè zhì
polarized/ˈpəʊləraɪzd/	极化	jí huà
dielectric constant/ˌdaɪɪˈlektrɪk ˈkɒnstənt/	介电常数	jiè diàn cháng shù
permittivity of free space/ˌpɜːmɪˈtɪvəti ɒv friː speɪs/	真空介电常数	zhēn kōng jiè diàn cháng shù

10.4

Consejos para el examen

En equilibrio electrostático, un conductor tiene $\vec E=0$ dentro y todo el exceso de carga en la superficie.
Aplica la ley de Gauss $\oint \vec E\cdot d\vec A=\tfrac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ con una superficie gaussiana adaptada a la simetría (esfera, cilindro, pastilla).
Todo el conductor es una equipotencial, y el campo en la superficie es perpendicular a ella.
Para un capacitor usa $C=\tfrac{Q}{V}$, energía $U=\tfrac12 CV^2$ y cómo un dieléctrico incrementa $C$.
Elige la superficie gaussiana de modo que $\vec E$ sea constante y paralela (o cero) en cada parte.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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