Gauss's Law · Ley de Gauss
| English | Español |
|---|---|
| Gauss's law/ˈɡaʊsɪz lɔː/ | Ley de Gauss |
| permittivity/ˌpɜːmɪˈtɪvəti/ | permitividad |
| Gaussian surface/ˈɡaʊʃn ˈsɜːfɪs/ | superficie gaussiana |
Turn a nasty integral into one line
- Finding $E$ from a big charged object by integrating is hard work.
- Gauss's law 高斯定律 offers a shortcut — when the shape is symmetric.
- It links the flux through a closed surface to the charge trapped inside.
- With the right surface, you read $E$ off in a single step.
Convierte una integral complicada en una sola línea
- Encontrar $E$ a partir de un objeto cargado grande mediante integración es un trabajo arduo.
- La Ley de Gauss 高斯定律 ofrece un atajo cuando la forma es simétrica.
- Relaciona el flujo a través de una superficie cerrada con la carga atrapada en su interior.
- Con la superficie adecuada, puedes obtener $E$ en un solo paso.
The law itself
- For any closed surface: $\oint \vec E \cdot d\vec A = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$.
- The left side is the total flux; the right is the enclosed charge over $\varepsilon_0$.
- $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}$ is the permittivity 介电常数 of free space.
- Only charge inside the surface counts.
La ley en sí misma
- Para cualquier superficie cerrada: $\oint \vec E \cdot d\vec A = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$.
- El lado izquierdo es el flujo total; el derecho es la carga encerrada dividida por $\varepsilon_0$.
- $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}$ es la permittividad 介电常数 del vacío.
- Solo cuenta la carga que está dentro de la superficie.
Flux from a charge · Flujo de una carga
Watch the field lines from a charge spread out and cross any surface around it. · Observa cómo las líneas de campo de una carga se expanden y cruzan cualquier superficie que la rodee.
In Gauss's law, the flux through a closed surface equals: · En la ley de Gauss, el flujo a través de una superficie cerrada es igual a:
$\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$.
Outside charge cancels
- A charge outside the surface sends as much flux in as out.
- So its net contribution to the closed-surface flux is zero.
- This is why only $Q_{\text{enc}}$ appears on the right.
- The field on the surface still feels outside charge — but the flux doesn't.
La carga exterior se cancela
- Una carga fuera de la superficie envía tanto flujo hacia adentro como hacia afuera.
- Por lo tanto, su contribución neta al flujo de la superficie cerrada es cero.
- Esto es por qué solo aparece $Q_{\text{enc}}$ en el lado derecho.
- El campo en la superficie aún se ve afectado por la carga exterior, pero el flujo no.
A charge outside a closed surface adds zero net flux through it. · Una carga fuera de una superficie cerrada añade un flujo neto de cero a través de ella.
Outside charge sends in as much flux as it takes out — net zero. · La carga exterior envía tanto flujo hacia adentro como lo saca — flujo neto cero.
A surface encloses $+6\ \text{nC}$ and · y $-2\ \text{nC}$. What net charge (in nC) sets its flux? · Una superficie encierra $+6\ \text{nC}$ y $-2\ \text{nC}$. ¿Qué carga neta (en nC) determina su flujo?
Only enclosed charge counts: $6 + (-2) = 4\ \text{nC}$. · Solo cuenta la carga encerrada: $6 + (-2) = 4\ \text{nC}$.
Pick a surface that matches the symmetry
- Sphere of charge → use a spherical Gaussian surface 高斯面.
- Line of charge → use a coaxial cylinder.
- Plane of charge → use a box (pillbox) through it.
- Choose it so $E$ is constant and either along or across each patch.
Elige una superficie que coincida con la simetría
- Esfera de carga → usa una superficie gaussiana esférica 高斯面.
- Línea de carga → usa un cilindro coaxial.
- Plano de carga → usa una caja (píldora) que la atraviese.
- Elígela de modo que $E$ sea constante y esté paralela o perpendicular a cada elemento de área.
The imaginary closed surface you integrate over is called a ____ surface. · La superficie imaginaria cerrada sobre la que integras se llama superficie ____.
It is a Gaussian surface, chosen to match the symmetry. · Es una superficie gaussiana, elegida para coincidir con la simetría.
Select all · todos true statements about Gauss's law. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre la ley de Gauss.
Always true, best with symmetry, driven by enclosed charge — over a closed surface. · Siempre es verdadera, mejor con simetría, determinada por la carga encerrada — sobre una superficie cerrada.
Powerful results, fast
- Outside a charged sphere: $E = \dfrac{kQ}{r^2}$ — exactly like a point charge.
- Around an infinite line: $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$.
- Near an infinite plane: $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (constant).
- Each drops out of Gauss's law in a couple of lines.
Resultados potentes, rápido
- Fuera de una esfera cargada: $E = \dfrac{kQ}{r^2}$ — exactamente como una carga puntual.
- Alrededor de una línea infinita: $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$.
- Cerca de un plano infinito: $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (constante).
- Cada una se deriva de la Ley de Gauss en unas pocas líneas.
Outside a uniformly charged sphere of charge $Q$, the field is: · Fuera de una esfera uniformemente cargada con carga $Q$, el campo es:
Gauss's law gives $E = kQ/r^2$ outside — identical to a point charge. · La ley de Gauss da $E = kQ/r^2$ fuera — idéntico al de una carga puntual.
Find $E$ a distance $r$ outside a sphere holding charge $Q$.
- A spherical Gaussian surface gives $\oint E\,dA = E(4\pi r^2)$.
- Set it equal to $Q/\varepsilon_0$: $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{kQ}{r^2}$.
Encuentra $E$ a una distancia $r$ fuera de una esfera que contiene carga $Q$.
- Una superficie gaussiana esférica da $\oint E\,dA = E(4\pi r^2)$.
- Igúalo a $Q/\varepsilon_0$: $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{kQ}{r^2}$.
Gauss's law is always true, but only useful when symmetry makes $E$ constant on your surface. For a lopsided charge you can still write $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$, but you can't pull $E$ out of the integral.
La Ley de Gauss es siempre verdadera, pero solo útil cuando la simetría hace que $E$ sea constante sobre tu superficie. Para una distribución de carga asimétrica, todavía puedes escribir $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$, pero no puedes sacar $E$ fuera de la integral.
Gauss's law says $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ — flux through a closed surface depends only on the enclosed charge. Choose a Gaussian surface matching the symmetry (sphere, cylinder, plane) to read $E$ off in one step.
La Ley de Gauss establece $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ — el flujo a través de una superficie cerrada depende únicamente de la carga encerrada. Elige una superficie gaussiana que coincida con la simetría (esfera, cilindro, plano) para obtener $E$ en un solo paso.