Mira estos números. Una pila pequeña dice uno punto cinco voltios. Una batería de coche dice doce. Una línea de transmisión de alta tensión transporta cuatrocientos mil. Un…
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9.1
Energía Potencial Eléctrica
Syllabus
English
Learning Objective 9.1.A: Describe the electric potential energy of a system.
9.1.A.1 The electric potential energy of a system of two point charges equals the amount of work required for an external force to bring the point charges to their current positions from infinitely far away.
9.1.A.2 The general form for the electric potential energy between two charged objects is given by the equation
9.1.A.3 The total electric potential energy of a system can be determined by finding the sum of the electric potential energies of the individual interactions between each pair of charged objects in the system.
Español
Objetivo de aprendizaje 9.1.A: Describir la energía potencial eléctrica de un sistema.
9.1.A.1 La energía potencial eléctrica de un sistema de dos cargas puntuales es igual a la cantidad de trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer las cargas puntuales a sus posiciones actuales desde el infinito.
9.1.A.2 La forma general para la energía potencial eléctrica entre dos objetos cargados está dada por la ecuación:
9.1.A.3 La energía potencial eléctrica total de un sistema puede determinarse calculando la suma de las energías potenciales eléctricas de las interacciones individuales entre cada par de objetos cargados en el sistema.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fuente: College Board AP Course and Exam Description
English
When you push two like charges together, you do work 功 against the electric force. That work is stored by the pair as electric potential energy 电势能:
$U_E$ is defined as the work an external force must do to bring the charges from infinitely far away to a distance $r$ apart. The signs carry the physics:
Like charges:$U_E>0$. An outside push was needed to bring them together. If released, they fly apart, and the stored energy becomes kinetic energy 动能.
Opposite charges:$U_E<0$. The pair is bound. You must supply $|U_E|$ of work to pull them apart to infinity.
The electric force is a conservative force 保守力: the work it does depends only on the start and end points, not the path, and equals $-\Delta U_E$.
For a system 系统 of several charges, add the potential energy of every distinct pair:
Worked example. Three $+2.0\ \mu\text{C}$ charges sit at the corners of an equilateral triangle with sides $0.30\ \text{m}$. Each pair stores $U=\dfrac{kq^2}{r}=\dfrac{(9.0\times10^{9})(2.0\times10^{-6})^2}{0.30}=0.12\ \text{J}$. There are three pairs, so $U_{\text{total}}=3\times0.12\ \text{J}=0.36\ \text{J}$. This is the work needed to assemble the triangle from infinity – and the kinetic energy the charges would share if all three were released.
Español
Cuando empujas dos cargas iguales juntas, realizas trabajo 功 contra la fuerza eléctrica. Ese trabajo es almacenado por el par como energía potencial eléctrica 电势能:
$U_E$ se define como el trabajo que una fuerza externa debe realizar para traer las cargas desde el infinito hasta una distancia $r$ entre sí. Los signos portan la física:
Cargas iguales:$U_E>0$. Se necesitó un empuje externo para acercarlas. Si se liberan, vuelan en direcciones opuestas y la energía almacenada se convierte en energía cinética 动能.
Cargas opuestas:$U_E<0$. El par está ligado. Debes suministrar $|U_E|$ de trabajo para separarlas hasta el infinito.
La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa 保守力: el trabajo que realiza depende únicamente de los puntos inicial y final, no del camino, e iguala $-\Delta U_E$.
Para un sistema 系统 de varias cargas, suma la energía potencial de cada par distinto:
Ejercicio resuelto. Tres $+2.0\ \mu\text{C}$ cargas se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero con lados $0.30\ \text{m}$. Cada par almacena $U=\dfrac{kq^2}{r}=\dfrac{(9.0\times10^{9})(2.0\times10^{-6})^2}{0.30}=0.12\ \text{J}$. Hay tres pares, por lo tanto $U_{\text{total}}=3\times0.12\ \text{J}=0.36\ \text{J}$. Esta es la cantidad de trabajo necesaria para ensamblar el triángulo desde el infinito —y la energía cinética que compartirían las cargas si todas fueran liberadas.
9.2
Potencial Eléctrico
Syllabus
English
Learning Objective 9.2.A: Describe the electric potential due to a configuration of charged objects.
9.2.A.1 Electric potential describes the electric potential energy per unit charge at a point in space.
9.2.A.2 Expressions for the electric potential of charge distributions can be found using integration and the principle of superposition.
9.2.A.2.i The electric potential for single point charge is
Equation:$V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
9.2.A.2.ii The electric potential due to multiple point charges can be determined by the principle of scalar superposition of the electric potential due to each of the point charges.
9.2.A.3 The electric potential difference between two points is the change in electric potential energy per unit charge when a test charge is moved between the two points.
Equation:$\Delta V = \dfrac{\Delta U_E}{q}$
9.2.A.4 Electric potential difference may also result from chemical processes that cause positive and negative charges to separate, such as in a battery.
Boundary statement: AP Physics C: Electricity & Magnetism only expects students to use calculus to find the electric potential resulting from the following charge distributions and locations: an infinitely long, uniformly charged wire or cylinder at a distance from its central axis, a thin ring of charge at a location along the axis of the ring, a semicircular arc or part of a semicircular arc at its center, and a finite wire or line charge at a point collinear with the line charge or at a location along its perpendicular bisector.
Learning Objective 9.2.B: Describe the relationship between electric potential and electric field.
9.2.B.1 The value of an electric field component in any direction at a given location is equal to the negative of the spatial rate of change in electric potential at that location.
Equation:$E_x = -\dfrac{dV}{dx}$
9.2.B.2 The change in electric potential between two points can be determined by integrating the dot product of the electric field and the displacement along the path connecting the points.
Equation:$\Delta V = V_b - V_a = -\displaystyle\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{r}$
9.2.B.3 Electric field vector maps and equipotential lines are tools to describe the field produced by a charge or configuration of charges and can be used to predict the motion of charged objects in the field.
9.2.B.3.i Equipotential lines represent lines of equal electric potential. These lines are also referred to as isolines of electric potential.
9.2.B.3.ii Isolines are perpendicular to electric field vectors. An isoline map of electric potential can be constructed from an electric field vector map, and an electric field map may be constructed from an isoline map.
9.2.B.3.iii An electric field vector points in the direction of decreasing potential.
9.2.B.3.iv There is no component of an electric field along an isoline.
Español
Objetivo de Aprendizaje 9.2.A: Describir el potencial eléctrico debido a una configuración de objetos cargados.
9.2.A.1 El potencial eléctrico describe la energía potencial eléctrica por unidad de carga en un punto del espacio.
9.2.A.2 Las expresiones para el potencial eléctrico de distribuciones de carga se pueden encontrar utilizando la integración y el principio de superposición.
9.2.A.2.i El potencial eléctrico para una carga puntual única es:
Ecuación:$V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
9.2.A.2.ii El potencial eléctrico debido a múltiples cargas puntuales puede determinarse mediante el principio de superposición escalar del potencial eléctrico de cada una de las cargas puntuales.
9.2.A.3 La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos es el cambio en la energía potencial eléctrica por unidad de carga cuando se mueve una carga de prueba entre los dos puntos.
Ecuación:$\Delta V = \dfrac{\Delta U_E}{q}$
9.2.A.4 La diferencia de potencial eléctrico también puede resultar de procesos químicos que causan la separación de cargas positivas y negativas, como ocurre en una batería.
Enunciado de límite: AP Physics C: Electricidad y Magnetismo solo espera que los estudiantes utilicen cálculo para encontrar el potencial eléctrico resultante de las siguientes distribuciones de carga y ubicaciones: un alambre o cilindro infinitamente largo con carga uniforme a una distancia de su eje central, un anillo delgado de carga en una ubicación a lo largo del eje del anillo, un arco semicircular o parte de un arco semicircular en su centro, y un alambre finito o línea de carga en un punto colineal con la línea de carga o en una ubicación a lo largo de su bisectriz perpendicular.
Objetivo de Aprendizaje 9.2.B: Describir la relación entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico.
9.2.B.1 El valor de una componente del campo eléctrico en cualquier dirección en una ubicación dada es igual al negativo de la tasa espacial de cambio del potencial eléctrico en esa ubicación.
Ecuación:$E_x = -\dfrac{dV}{dx}$
9.2.B.2 El cambio en el potencial eléctrico entre dos puntos puede determinarse integrando el producto punto del campo eléctrico y el desplazamiento a lo largo del camino que conecta los puntos.
Ecuación:$\Delta V = V_b - V_a = -\displaystyle\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{r}$
9.2.B.3 Los mapas vectoriales del campo eléctrico y las líneas equipotenciales son herramientas para describir el campo producido por una carga o configuración de cargas y pueden usarse para predecir el movimiento de objetos cargados en el campo.
9.2.B.3.i Las líneas equipotenciales representan líneas de igual potencial eléctrico. Estas líneas también se denominan isolíneas de potencial eléctrico.
9.2.B.3.ii Las isolíneas son perpendiculares a los vectores del campo eléctrico. Un mapa de isolíneas de potencial eléctrico puede construirse a partir de un mapa vectorial del campo eléctrico, y un mapa del campo eléctrico puede construirse a partir de un mapa de isolíneas.
9.2.B.3.iii Un vector de campo eléctrico apunta en la dirección de disminución del potencial.
9.2.B.3.iv No hay componente de un campo eléctrico a lo largo de una isolínea.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fuente: College Board AP Course and Exam Description
English
Electric potential 电势 is electric potential energy per unit charge at a point in space. It is measured in volts ($1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$):
Potential is a scalar 标量: it has a sign but no direction. This makes $V$ far easier to work with than the field $\vec{E}$. For several point charges 点电荷, use scalar superposition 叠加 – add the potentials with their signs:
Worked example. The potential $0.10\ \text{m}$ from a $+3.0\ \text{nC}$ point charge is $V=\dfrac{kq}{r}=\dfrac{9.0\times10^{9}(3.0\times10^{-9})}{0.10}=270\ \text{V}$. Now add a $-3.0\ \text{nC}$ charge $0.30\ \text{m}$ from the same point: it contributes $\dfrac{9.0\times10^{9}(-3.0\times10^{-9})}{0.30}=-90\ \text{V}$, so the total is $270-90=180\ \text{V}$. Just a signed sum – no vector components to resolve.
Continuous charge distributions
For a continuous charge distribution 连续电荷分布, cut it into small pieces $dq$, treat each piece as a point charge, and integrate 积分:
This is a scalar integral, so it is usually much easier than the field integral. AP expects you to handle four shapes with calculus: a thin ring (at a point on its axis), an arc (at its centre), a finite line or wire (collinear, or on its perpendicular bisector), and an infinitely long wire or cylinder (at a distance from its axis).
Worked example (ring of charge). A thin ring of radius $R$ carries total charge $Q$. For a point $P$ on the axis a distance $z$ from the centre, every element $dq$ sits at the same distance $r=\sqrt{R^2+z^2}$ from $P$. The distance is constant, so it comes out of the integral:
On an FRQ, say that $r$ is the same for every element – that statement is the marked step. The same idea gives $V=kQ/R$ at the centre of any arc, whatever its angle.
From potential to field
Potential and field contain the same information, linked by a derivative in each direction and by a path integral:
The field is the negative gradient 梯度 of the potential: $\vec{E}$ points from high potential to low potential, "downhill". Where $V$ changes quickly, the field is strong.
Worked example. Along the $x$-axis, $V(x)=3x^{2}-2x$ (volts, with $x$ in metres). Then $E_x=-\dfrac{dV}{dx}=2-6x\ \text{V/m}$. At $x=0.50\ \text{m}$, $E_x=-1.0\ \text{V/m}$: the field there points in the $-x$ direction.
The potential difference 电势差 between two points is the change in potential energy per unit charge moved between them: $\Delta V=\Delta U_E/q$. A battery makes a potential difference chemically: reactions inside separate positive from negative charge and hold the terminals a fixed $\Delta V$ apart.
Equipotential maps
An equipotential 等势面 line (also called an isoline 等值线) joins points that share the same potential. Four rules let you read any map:
Isolines are perpendicular 垂直 to field lines 电场线 everywhere they cross.
$\vec{E}$ points from high $V$ to low $V$ – never along an isoline. Moving a charge along an isoline takes no work.
Closely spaced isolines mean a strong field: $E\approx-\Delta V/\Delta x$.
You can sketch the field map from an isoline map, and the isoline map from a field map.
Exam skill. Given a map with isolines every $10\ \text{V}$ spaced about $2\ \text{cm}$ apart, estimate $E\approx\dfrac{10}{0.02}=500\ \text{V/m}$, pointing from the higher-value line to the lower one. The work an external agent does moving a charge $q$ slowly from $A$ to $B$ is $W=q(V_B-V_A)$ – the path taken does not matter.
Español
El potencial eléctrico 电势 es la energía potencial eléctrica por unidad de carga en un punto del espacio. Se mide en voltios ($1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$):
El potencial es un escalar 标量: tiene un signo pero no dirección. Esto hace que $V$ sea mucho más fácil de manejar que el campo $\vec{E}$. Para varias cargas puntuales 点电荷, utiliza la superposición escalar – suma los potenciales con sus signos:
Ejercicio resuelto. El potencial $0.10\ \text{m}$ generado por una $+3.0\ \text{nC}$ carga puntual es $V=\dfrac{kq}{r}=\dfrac{9.0\times10^{9}(3.0\times10^{-9})}{0.10}=270\ \text{V}$. Ahora añade una $-3.0\ \text{nC}$ carga $0.30\ \text{m}$ desde el mismo punto: contribuye con $\dfrac{9.0\times10^{9}(-3.0\times10^{-9})}{0.30}=-90\ \text{V}$, por lo que el total es $270-90=180\ \text{V}$. Simplemente una suma con signo – sin componentes vectoriales que resolver.
Distribuciones de carga continuas
Para una distribución continua de carga 连续电荷分布, divídela en pequeños fragmentos $dq$, trata cada fragmento como una carga puntual e integra 积分:
Esta es una integral escalar, por lo que suele ser mucho más sencilla que la integral del campo. AP espera que manejes cuatro formas con cálculo: un anillo delgado (en un punto sobre su eje), un arco (en su centro), una línea o alambre finito (colineal, o sobre su bisectriz perpendicular) y un alambre o cilindro infinito (a una distancia de su eje).
Un anillo de carga: cada elemento dq se encuentra a la misma distancia de un punto sobre el eje
Ejemplo resuelto (anillo de carga). Un anillo delgado de radio $R$ lleva una carga total $Q$. Para un punto $P$ en el eje a una distancia $z$ del centro, cada elemento $dq$ se encuentra a la misma distancia $r=\sqrt{R^2+z^2}$ de $P$. Dado que la distancia es constante, sale de la integral:
En una pregunta de respuesta larga (FRQ), indique que $r$ es igual para cada elemento; esa afirmación constituye el paso valorado. La misma idea da $V=kQ/R$ en el centro de cualquier arco, sin importar su ángulo.
Del potencial al campo
El potencial y el campo contienen la misma información, ligados por una derivada en cada dirección y por una integral de línea:
El campo es el negativo gradiente 梯度 del potencial: $\vec{E}$ apunta desde alto potencial hacia bajo potencial, "cuesta abajo". Donde $V$ cambia rápidamente, el campo es fuerte.
Ejemplo resuelto. A lo largo del $x$-eje, $V(x)=3x^{2}-2x$ (voltios, con $x$ en metros). Entonces $E_x=-\dfrac{dV}{dx}=2-6x\ \text{V/m}$. En $x=0.50\ \text{m}$, $E_x=-1.0\ \text{V/m}$: el campo allí apunta en la dirección $-x$.
En un campo uniforme, el potencial desciende progresivamente con la distancia
La diferencia de potencial 电势差 entre dos puntos es el cambio en energía potencial por unidad de carga movida entre ellos: $\Delta V=\Delta U_E/q$. Una batería produce una diferencia de potencial químicamente: las reacciones internas separan la carga positiva de la negativa y mantienen los terminales a una fija $\Delta V$ de distancia.
El potencial cerca de una carga puntual varía como 1/r
Mapas equipotenciales
Una línea equipotencial 等势面 (también llamada isolinia 等值线) une puntos que comparten el mismo potencial. Cuatro reglas permiten leer cualquier mapa:
Las isolíneas son perpendiculares 垂直 a las líneas de campo 电场线 dondequiera que las crucen.
$\vec{E}$ apunta de alto $V$ a bajo $V$ — nunca a lo largo de una isolínea. Mover una carga a lo largo de una isolínea no requiere trabajo.
Las isolíneas muy juntas indican un campo fuerte: $E\approx-\Delta V/\Delta x$.
Puede trazar el mapa del campo a partir de un mapa de isolíneas, y el mapa de isolíneas a partir de un mapa del campo.
Líneas equipotenciales alrededor de un dipolo cruzan las líneas de campo en ángulos rectos
Habilidad para el examen. Dado un mapa con isolíneas cada $10\ \text{V}$ espaciadas aproximadamente $2\ \text{cm}$ apartes, estime $E\approx\dfrac{10}{0.02}=500\ \text{V/m}$, apuntando desde la línea de mayor valor a la de menor valor. El trabajo que realiza un agente externo al mover una carga $q$ lentamente desde $A$ hasta $B$ es $W=q(V_B-V_A)$ — el camino seguido no importa.
Líneas de transmisión de alta tensión: la energía potencial eléctrica se convierte y transmite como corriente a alta tensión
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Líneas de campo y el potencial alrededor de una carga
El potencial eléctrico es la energía por unidad de carga. Disminuye con la distancia desde una carga positiva; las líneas de campo apuntan de alto potencial a bajo potencial.
Learning Objective 9.3.A: Describe changes in a system due to a difference in electric potential between two locations.
9.3.A.1 When a charged object moves between two locations with different electric potentials, the resulting change in the electric potential energy of the object-field system is given by the following equation.
Equation:$\Delta U_E = q\Delta V$
9.3.A.2 The movement of a charged object between two points with different electric potentials results in a change in kinetic energy of the object consistent with the conservation of energy.
Español
Objetivo de aprendizaje 9.3.A: Describir los cambios en un sistema debido a una diferencia de potencial eléctrico entre dos lugares.
9.3.A.1 Cuando un objeto cargado se mueve entre dos ubicaciones con diferentes potenciales eléctricos, el cambio resultante en la energía potencial eléctrica del sistema objeto-campo viene dado por la siguiente ecuación.
Ecuación:$\Delta U_E = q\Delta V$
9.3.A.2 El movimiento de un objeto cargado entre dos puntos con diferentes potenciales eléctricos resulta en un cambio en la energía cinética del objeto consistente con la conservación de la energía.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fuente: College Board AP Course and Exam Description
English
When a charge $q$ moves between two points that differ in potential by $\Delta V$, the potential energy of the charge–field system changes by
$$\Delta U_E=q\,\Delta V.$$
If only the electric force acts, total energy is conserved, so the kinetic energy changes by the opposite amount:
$$\Delta K=-\Delta U_E=-q\,\Delta V.$$
Watch the two signs together: a positive charge speeds up when it moves to lower potential, while a negative charge speeds up when it moves to higher potential. Both are just the system trading potential energy for kinetic energy. This is how particle accelerators give charged particles their energy, and it underlies energy analysis in circuits.
Worked example. A proton ($q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$, $m=1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) starts at rest and is accelerated through a potential drop of $500\ \text{V}$ (it moves to lower potential, so $\Delta V=-500\ \text{V}$ and $\Delta K=-q\,\Delta V=+8.0\times10^{-17}\ \text{J}$). Setting $\Delta K=\tfrac12 mv^2$:
Exam skill. Choose energy methods, not kinematics, whenever the field is non-uniform or the path curves: only the end-point potentials matter. A typical FRQ chain is $q\,\Delta V \to \Delta K \to v$, with one line of justification: "the electric force is conservative, so energy is conserved."
Español
Cuando una carga $q$ se mueve entre dos puntos que difieren en potencial por $\Delta V$, la energía potencial del sistema carga-campo cambia en
$$\Delta U_E=q\,\Delta V.$$
Si solo actúa la fuerza eléctrica, la energía total se conserva, por lo que la energía cinética cambia en la cantidad opuesta:
$$\Delta K=-\Delta U_E=-q\,\Delta V.$$
Observe ambos signos juntos: una carga positiva acelera cuando se mueve hacia un potencial menor, mientras que una carga negativa acelera cuando se mueve hacia un potencial mayor. En ambos casos, el sistema simplemente intercambia energía potencial por energía cinética. Así es como los aceleradores de partículas proporcionan energía a las partículas cargadas, y esto fundamenta el análisis energético en circuitos.
Ejemplo resuelto. Un protón ($q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$, $m=1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) parte del reposo y es acelerado a través de una caída de potencial de $500\ \text{V}$ (se mueve hacia un potencial menor, por lo que $\Delta V=-500\ \text{V}$ y $\Delta K=-q\,\Delta V=+8.0\times10^{-17}\ \text{J}$). Al establecer $\Delta K=\tfrac12 mv^2$:
Habilidad para exámenes. Elija métodos energéticos, no cinemáticos, siempre que el campo no sea uniforme o la trayectoria sea curva; solo importan los potenciales en los puntos inicial y final. Una cadena típica de preguntas de respuesta libre incluye $q\,\Delta V \to \Delta K \to v$, con una línea de justificación: "la fuerza eléctrica es conservativa, por lo tanto la energía se conserva."
9.3
Exam tips · Consejos para el examen
English
Relate field and potential by $V=-\int \vec E\cdot d\vec l$ and $\vec E=-\nabla V$ (in 1-D, $E_x=-\tfrac{dV}{dx}$).
Potential is a scalar — add contributions with signs, no vector components needed.
Potential energy of a pair is $U=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r}$; use energy conservation for a charge's speed.
Know that no work is done moving along an equipotential, which is perpendicular to $\vec E$.
Choose the zero of potential (usually infinity) and state it.
Español
Relacione el campo y el potencial mediante $V=-\int \vec E\cdot d\vec l$ y $\vec E=-\nabla V$ (en 1-D, $E_x=-\tfrac{dV}{dx}$).
El potencial es una escalar — sume las contribuciones con sus signos, sin necesidad de componentes vectoriales.
La energía potencial de un par es $U=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r}$; utilice la conservación de la energía para determinar la velocidad de una carga.
Sepa que no se realiza trabajo al moverse a lo largo de una superficie equipotencial, la cual es perpendicular a $\vec E$.
Elija el cero de potencial (generalmente el infinito) y indíquelo explícitamente.
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