Esta hoja de trabajo cubre el Tema 3: Mecánica Avanzada. Extiende la mecánica a los proyectiles, cuerpos rígidos, movimiento circular, cuerdas elásticas, fuerzas variables y colisiones. Tome $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Mecánica Avanzada
A-Level Matemáticas Avanzadas · Tema 3
8:04
Mecánica Adicional
Lanza una pelota, dispara un chorro de agua, lanza cualquier cosa al aire —y traza la misma curva elegante: una parábola. El secreto es dividir el movimiento en dos.…
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3.1
Movimiento de un proyectil
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • modelar el movimiento de un proyectil como una partícula que se mueve con aceleración constante y comprender las limitaciones del modelo | No se requieren métodos vectoriales |
| • utilizar las ecuaciones horizontales y verticales del movimiento para resolver problemas sobre el movimiento de proyectiles, incluyendo el cálculo de la magnitud y dirección de la velocidad en un tiempo o posición dado, el alcance en un plano horizontal y la altura máxima alcanzada | |
| • derivar y utilizar la ecuación cartesiana de la trayectoria de un proyectil, incluyendo problemas en los que la velocidad inicial y/o el ángulo de proyección pueden ser desconocidos. | No se incluye el conocimiento de la 'parábola envolvente' para puntos accesibles. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un proyectil se mueve libremente bajo la acción de la gravedad, por lo que tiene una aceleración constante $g$ hacia abajo y ninguna aceleración horizontal. Trate los movimientos horizontal y vertical por separado. Si es lanzado con velocidad $u$ y ángulo $\alpha$:
$$\text{horizontal: } x = u\cos\alpha\,\cdot t, \qquad \text{vertical: } y = u\sin\alpha\,\cdot t - \tfrac12 g t^2.$$
Al eliminar $t$, se obtiene la ecuación cartesiana de la trayectoria (la trayectoria del movimiento), que es una parábola. Para una velocidad de lanzamiento fija, todas las trayectorias quedan por debajo de una parábola envolvente (el envoltorio de los puntos alcanzables). El alcance en terreno nivelado es $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ y la altura máxima es $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$.
Ejemplo resuelto. Una pelota es lanzada con $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ a $30^\circ$ respecto a la horizontal. Encuentre el alcance y la altura máxima.
$$\text{range} = \frac{20^2\sin 60^\circ}{10} = 40\times 0.866 = 34.6\ \text{m}, \qquad \text{height} = \frac{20^2\sin^2 30^\circ}{2\times 10} = \frac{400\times 0.25}{20} = 5\ \text{m}.$$
Explorar
Lanzar un proyectil
Lanza la pelota, luego cambia el ángulo y la velocidad. El movimiento horizontal es constante mientras la gravedad la atrae hacia abajo — juntos trazan una parábola. Encuentra el ángulo para el mayor alcance e intenta con la Luna.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | 进阶力学 | jìn jiē lì xué |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | 抛射体 | pāo shè tǐ |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | 匀加速 | yún jiā sù |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | 直角坐标方程 | zhí jiǎo zuò biāo fāng chéng |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | 轨迹 | guǐ jì |
3.2
Equilibrio de un cuerpo rígido
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • calcular el momento de una fuerza respecto a un punto | Para preguntas que involucran únicamente fuerzas coplanares; no se requiere comprensión de la naturaleza vectorial de los momentos. |
| • utilizar el resultado de que el efecto de la gravedad sobre un cuerpo rígido es equivalente a una única fuerza actuando en el centro de masa del cuerpo, e identificar la posición del centro de masa de un cuerpo uniforme mediante consideraciones de simetría | |
| • utilizar información dada sobre la posición del centro de masa de una lámina triangular y otras formas simples | No se requieren demostraciones de los resultados dados en la Lista de fórmulas MF19. |
| • determinar la posición del centro de masa de un cuerpo compuesto considerando un sistema equivalente de partículas | Solo casos simples, p. ej., una lámina en forma de L uniforme, o un cono uniforme unido en su base a un hemisferio uniforme del mismo radio. |
| • utilizar el principio de que si un cuerpo rígido está en equilibrio bajo la acción de fuerzas coplanares, entonces la suma vectorial de las fuerzas es cero y la suma de los momentos de las fuerzas respecto a cualquier punto es cero, y la recíproca de esto | |
| • resolver problemas que involucren el equilibrio de un único cuerpo rígido bajo la acción de fuerzas coplanares, incluidos aquellos que implican volcamiento o deslizamiento. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
El momento de una fuerza respecto a un punto es fuerza $\times$ distancia perpendicular; mide el efecto de giro. El peso de un cuerpo actúa en su centro de masa, que puede encontrar usando simetría para una forma plana uniforme (una lámina), o tratando un cuerpo compuesto como un conjunto de partículas.
Un cuerpo rígido bajo fuerzas coplanares está en equilibrio cuando se cumplen ambas condiciones: la suma vectorial de las fuerzas es cero, y la suma de los momentos respecto a cualquier punto es cero. Un cuerpo también puede estar al borde de volcarse (girar sobre sí mismo) o deslizarse.
Ejemplo resuelto. Una viga uniforme $AB$ de longitud $4\ \text{m}$ y peso $100\ \text{N}$ descansa sobre un pivote en $A$. Una fuerza vertical $F$ en $B$ la mantiene horizontal. Encuentre $F$.
Tome momentos respecto a $A$ (el peso actúa en el centro, a $2\ \text{m}$ de $A$):
$$F\times 4 = 100\times 2 \;\Rightarrow\; F = 50\ \text{N}.$$
Explorar
Equilibrio de fuerzas
resultante = 0
Un cuerpo está en equilibrio cuando las fuerzas se suman punta con cola hasta cero.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | 力矩 | lì jǔ |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | 质心 | zhì xīn |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | 对称 | duì chèn |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | 平衡 | píng héng |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | 翻倒 | fān dǎo |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | 滑动 | huá dòng |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | 角速度 | jiǎo sù dù |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | 向心加速度 | xiàng xīn jiā sù dù |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | 水平圆 | shuǐ píng yuán |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | 竖直圆 | shù zhí yuán |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | 胡克定律 | hú kè dìng lǜ |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | 弹性模量 | tán xìng mó liàng |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | 弹性势能 | tán xìng shì néng |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程 | wēi fēn fāng chéng |
3.3
Movimiento circular
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender el concepto de velocidad angular de una partícula que se mueve en un círculo, y utilizar la relación $v = r\omega$ | |
| comprender que la aceleración de una partícula que se mueve en un círculo con velocidad constante está dirigida hacia el centro del círculo, y utilizar las fórmulas $r\omega^2$ y $\frac{v^2}{r}$. | No se requiere la demostración de las fórmulas de aceleración. |
| resolver problemas que pueden modelarse mediante el movimiento de una partícula en un círculo horizontal con velocidad constante | |
| resolver problemas que pueden modelarse mediante el movimiento de una partícula en un círculo vertical sin pérdida de energía. | Incluye el cálculo de una fuerza normal de contacto o la tensión en una cuerda, localización de puntos en los que estas son cero, y condiciones para el movimiento circular completo. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Para una partícula que se mueve en un círculo de radio $r$, la velocidad angular $\omega$ se relaciona con la velocidad lineal mediante $v = r\omega$. La aceleración apunta hacia el centro — la aceleración centrípeta — con magnitud
$$a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}.$$
En un círculo horizontal la velocidad es constante — como en un péndulo cónico (masa balanceada en una cuerda). En un círculo vertical use la conservación de la energía, porque la velocidad cambia con la altura; la fuerza de contacto normal o la tensión de la cuerda proporcionan la fuerza centrípeta.
Ejemplo resuelto. Una partícula se mueve en un círculo horizontal de radio $2\ \text{m}$ con velocidad angular $3\ \text{rad s}^{-1}$. Encuentre su velocidad y aceleración.
$$v = r\omega = 2\times 3 = 6\ \text{m s}^{-1}, \qquad a = r\omega^2 = 2\times 3^2 = 18\ \text{m s}^{-2}.$$
Explorar
Ángulo en radianes
El movimiento circular se mide en radianes: arrastra el ángulo θ y el radio r para ver el arco barrido — la velocidad angular ω convierte esto en v = rω.
3.4
Ley de Hooke
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| aplicar la ley de Hooke como modelo que relaciona la fuerza en una cuerda o resorte elástico con su elongación o compresión, y comprender el término módulo de elasticidad | |
| utilizar la fórmula para la energía potencial elástica almacenada en una cuerda o resorte | No se requiere demostrar la fórmula. |
| resolver problemas que involucren fuerzas debidas a cuerdas o resortes elásticos, incluyendo aquellos en los que es necesario considerar trabajo y energía. | p. ej., una partícula que se mueve horizontal o verticalmente o sobre un plano inclinado mientras está unida a una o más cuerdas o resortes, o una partícula unida a una cuerda elástica que actúa como un 'péndulo cónico'. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La Ley de Hooke dice que la tensión en una cuerda elástica o resorte es proporcional a su elongación $x$:
$$T = \frac{\lambda x}{L},$$
donde $L$ es la longitud natural y $\lambda$ es el módulo de elasticidad. Al estirarse almacena energía potencial elástica:
$$E = \frac{\lambda x^2}{2L}.$$
Ejemplo resuelto. Una cuerda elástica de longitud natural $2\ \text{m}$ y módulo $50\ \text{N}$ se estira $0.5\ \text{m}$. Encuentre la tensión y la energía almacenada.
$$T = \frac{50\times 0.5}{2} = 12.5\ \text{N}, \qquad E = \frac{50\times 0.5^2}{2\times 2} = 3.125\ \text{J}.$$
Explorar
Ley de Hooke
F = k·x
La fuerza es proporcional a la extensión — la pendiente es la rigidez k.
3.5
Movimiento lineal bajo una fuerza variable
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| resolver problemas que pueden modelarse como el movimiento lineal de una partícula bajo la acción de una fuerza variable, planteando y resolviendo una ecuación diferencial adecuada. | Incluye el uso de $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ para la aceleración, cuando sea apropiado. El cálculo requerido se limita al contenido del Pure Mathematics 3 en las Matemáticas A Level de Cambridge International (9709). Solo se incluyen ecuaciones diferenciales en las que las variables son separables. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Cuando la fuerza depende de la posición $x$, use la aceleración en la forma $a = v\dfrac{dv}{dx}$, lo que convierte la ley de Newton en una ecuación diferencial que relaciona $v$ y $x$.
Ejemplo resuelto. Una partícula de masa $8\ \text{kg}$ se mueve a lo largo de una línea bajo una fuerza variable de magnitud $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ actuando en la dirección del movimiento. Cuando $x = 0$, $v = 1$. Encuentre $v$ en términos de $x$.
La ley de Newton da $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Separando e integrando:
$$\int 8v\,dv = \int (x^3 + 4x)\,dx \;\Rightarrow\; 4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + C.$$
En $x = 0$, $v = 1$ da $C = 4$, así que $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. Por lo tanto $v = \tfrac14 x^2 + 1$.
Explorar
Trabajo de una fuerza variable
W = ∫ F dx
Cuando la fuerza cambia, el trabajo realizado es el área bajo la gráfica de fuerza–distancia.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | 变力 | biàn lì |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | 动量守恒 | dòng liàng shǒu héng |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | 牛顿实验定律 | niú dùn shí yàn dìng lǜ |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | 恢复系数 | huī fù xì shù |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | 包络抛物线 | bāo luò pāo wù xiàn |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | 薄片 | báo piàn |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | 共面力 | gòng miàn lì |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | 圆锥摆 | yuán zhuī bǎi |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | 法向接触力 | fǎ xiàng jiē chù lì |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | 斜碰撞 | xié pèng zhuàng |
3.6
Momento lineal
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| recordar la ley experimental de Newton y la definición del coeficiente de restitución, la propiedad $0 \leqslant e \leqslant 1$, y el significado de los términos ‘perfectamente elástico’ ($e = 1$) e ‘inelástico’ ($e = 0$) | |
| utilizar la conservación del momento lineal y/o la ley experimental de Newton para resolver problemas que pueden modelarse como el impacto directo u oblicuo de dos esferas lisas, o el impacto directo u oblicuo de una esfera lisa con una superficie fija. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
En una colisión, el momento lineal total se conserva — la conservación del momento lineal. La elasticidad se mide mediante la ley experimental de Newton, que define el coeficiente de restitución $e$:
$$e = \frac{\text{speed of separation}}{\text{speed of approach}}, \qquad 0 \leqslant e \leqslant 1.$$
Aquí $e = 1$ es perfectamente elástico (sin pérdida de energía) y $e = 0$ es inelástico (los cuerpos permanecen juntos). En un impacto oblicuo, resuelva las velocidades a lo largo y perpendicular a la línea de impacto, aplicando la restitución a lo largo de ella.
Ejemplo resuelto. Una esfera $A$ de masa $2\ \text{kg}$ moviéndose a $5\ \text{m s}^{-1}$ choca contra una esfera estacionaria $B$ de masa $3\ \text{kg}$, con $e = 0.5$. Encuentre las velocidades posteriores.
Momento: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, así que $2v_A + 3v_B = 10$. Restitución: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Resolviendo conjuntamente se obtiene $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ y $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
Explorar
Una colisión
Establece cada masa y velocidad, luego colisiona. La cantidad de movimiento total se conserva: observa cómo salen las velocidades.
3.6
Consejos para el examen
- Para proyectiles, resuelva en movimiento horizontal (velocidad constante) y vertical ($a = g$), vinculados por el mismo tiempo.
- Para un cuerpo rígido en equilibrio, tome momentos respecto a un punto que elimine una fuerza desconocida.
- Para movimiento circular, use $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ hacia el centro; en un círculo vertical verifique la velocidad mínima en la parte superior.
- Con una fuerza variable, use $a = v\,\frac{dv}{dx}$ e integre; Energía Potencial Elástica $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.