A-Level Matemáticas Avanzadas · Topic 1 · Tema 1
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Matemáticas Puras Adicionales 1
Aquí hay una ecuación cúbica, cruzando el eje en tres raíces. Encontrar esas raíces exactamente puede ser difícil —o incluso imposible a mano. Pero aquí hay una hermosa…
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This handout covers Topic 1: Further Pure Mathematics 进阶纯数学 1. It adds new algebra, matrices, polar coordinates, more vectors, and proof by induction.
Este folleto cubre el Tema 1: Matemáticas Puras Avanzadas 进阶纯数学 1. Añade nueva álgebra, matrices, coordenadas polares, más vectores y demostración por inducción.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • recall and use the relations between the roots and coefficients of polynomial equations | e.g. to evaluate symmetric functions of the roots or to solve problems involving unknown coefficients in equations; restricted to equations of degree 2, 3 or 4 only. |
| • use a substitution to obtain an equation whose roots are related in a simple way to those of the original equation | Substitutions will not be given for the easiest cases, e.g. where the new roots are reciprocals or squares or a simple linear function of the old roots. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • recordar y utilizar las relaciones entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones polinómicas | p. ej., para evaluar funciones simétricas de las raíces o para resolver problemas que involucran coeficientes desconocidos en ecuaciones; restringido únicamente a ecuaciones de grado 2, 3 o 4. |
| • utilizar una sustitución para obtener una ecuación cuyas raíces estén relacionadas de manera simple con las de la ecuación original | No se proporcionarán sustituciones para los casos más sencillos, p. ej., cuando las nuevas raíces son recíprocas, cuadrados o una función lineal simple de las raíces antiguas. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
For a polynomial equation, the roots 根 are linked to the coefficients 系数. For $ax^2 + bx + c = 0$ with roots $\alpha, \beta$:
Worked example. The equation $x^2 - 5x + 6 = 0$ has roots $\alpha, \beta$. Find the equation with roots $\alpha + 1, \beta + 1$.
Here $\alpha + \beta = 5$ and $\alpha\beta = 6$. The new sum is $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, and the new product is $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. So the new equation is
Para una ecuación polinómica, las raíces 根 están vinculadas a los coeficientes 系数. Para $ax^2 + bx + c = 0$ con raíces $\alpha, \beta$:
Ejemplo resuelto. La ecuación $x^2 - 5x + 6 = 0$ tiene raíces $\alpha, \beta$. Encuentre la ecuación con raíces $\alpha + 1, \beta + 1$.
Aquí $\alpha + \beta = 5$ y $\alpha\beta = 6$. La nueva suma es $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, y el nuevo producto es $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Por lo tanto, la nueva ecuación es
y = ax³ + bx² + cx + d
Las raíces son los puntos donde la curva intersecta el eje x — su suma y producto se relacionan con los coeficientes.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • sketch graphs of simple rational functions, including the determination of oblique asymptotes, in cases where the degree of the numerator and the denominator are at most 2 | Including determination of the set of values taken by the function, e.g. by the use of a discriminant. Detailed plotting of curves will not be required, but sketches will generally be expected to show significant features, such as turning points, asymptotes and intersections with the axes. |
| • understand and use relationships between the graphs of $y = f(x)$, $y^2 = f(x)$, $y = \frac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ and $y = f(|x|)$ | Including use of such sketch graphs in the course of solving equations or inequalities. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • dibujar a mano alzada las gráficas de funciones racionales simples, incluida la determinación de asíntotas oblicuas, en casos en que el grado del numerador y del denominador sea como máximo 2 | Incluye la determinación del conjunto de valores tomados por la función, p. ej., mediante el uso de un discriminante. No se requerirá una representación detallada de las curvas, pero generalmente se esperará que los bocetos muestren características significativas, tales como puntos de giro, asíntotas e intersecciones con los ejes. |
| • comprender y utilizar las relaciones entre las gráficas de $y = f(x)$, $y^2 = f(x)$, $y = \frac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ y $y = f(|x|)$ | Incluye el uso de dichas gráficas a mano alzada durante la resolución de ecuaciones o inecuaciones. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A rational function 有理函数 is a fraction of two polynomials. When the top has degree exactly one higher than the bottom, the graph has an oblique asymptote 斜渐近线 (a slanted line the curve approaches); find it by dividing out. You should also be able to relate the graph of $y = f(x)$ to those of $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ and $y = f(|x|)$. Find the set of values the function can take using the discriminant 判别式, and locate its turning points 驻点.
Worked example. Find the oblique asymptote of $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Divide out the fraction: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. As $x \to \pm\infty$ the remainder $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, so the curve approaches the line $y = x$ — the oblique asymptote.
Una función racional 有理函数 es una fracción de dos polinomios. Cuando el numerador tiene un grado exactamente uno mayor que el denominador, la gráfica tiene una asíntota oblicua 斜渐近线 (una línea inclinada a la que se aproxima la curva); ábrala mediante división larga. También debe ser capaz de relacionar la gráfica de $y = f(x)$ con las de $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ y $y = f(|x|)$. Encuentre el conjunto de valores que puede tomar la función usando el discriminante 判别式, y localice sus puntos de inflexión 驻点.
Ejemplo resuelto. Encuentre la asíntota oblicua de $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Divida la fracción: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Cuando $x \to \pm\infty$, el residuo $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, por lo que la curva se acerca a la línea $y = x$ —la asíntota oblicua.
y = a/(x − b) + c
Una función racional tiene asíntotas, la curva se acerca pero nunca las toca.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 进阶纯数学 | jìn jiē chún shù xué |
| roots/ruːts/ | 根 | gēn |
| coefficients/ˌkəʊɪˈfɪʃənts/ | 系数 | xì shù |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 代换 | dài huàn |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 有理函数 | yǒu lǐ hán shù |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | 斜渐近线 | xié jiàn jìn xiàn |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | 差分法 | chā fēn fǎ |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判别式 | pàn bié shì |
| turning points/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnts/ | 驻点 | zhù diǎn |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分式 | bù fèn fēn shì |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | 旋转 | xuán zhuǎn |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | 放大 | fàng dà |
| stretch/stretʃ/ | 拉伸 | lā shēn |
| shear/ʃɪə/ | 切变 | qiē biàn |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • use the standard results for $\sum r$, $\sum r^2$, $\sum r^3$ to find related sums | |
| • use the method of differences to obtain the sum of a finite series | Use of partial fractions to express a general term in a suitable form may be required. |
| • recognise, by direct consideration of a sum to $n$ terms, when a series is convergent, and find the sum to infinity in such cases |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • utilizar los resultados estándar para $\sum r$, $\sum r^2$, $\sum r^3$ para encontrar sumas relacionadas | |
| • utilizar el método de diferencias para obtener la suma de una serie finita | Puede ser necesario el uso de fracciones parciales para expresar un término general en una forma adecuada. |
| • reconocer, mediante la consideración directa de una suma hasta $n$ términos, cuándo una serie es convergente, y hallar la suma al infinito en tales casos |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Learn the standard results:
Worked example. Find $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.
Aprende los resultados estándar:
Ejemplo resuelto. Halla $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.
Recorre los términos y el total acumulado: la idea detrás de una serie y su suma hasta n términos.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| convergent/kənˈvɜːdʒənt/ | 收敛 | shōu liǎn |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | 无穷和 | wú qióng hé |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| carry out operations of matrix addition, subtraction and multiplication, and recognise the terms zero matrix and identity (or unit) matrix | Including non-square matrices. Matrices will have at most 3 rows and columns. |
| recall the meaning of the terms singular and non-singular as applied to square matrices and, for $2 \times 2$ and $3 \times 3$ matrices, evaluate determinants and find inverses of non-singular matrices | The notations $\det \mathbf{M}$ for the determinant of a matrix $\mathbf{M}$, and $\mathbf{I}$ for the identity matrix, will be used. |
| understand and use the result, for non-singular matrices, $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ | Extension to the product of more than two matrices may be required. |
| understand the use of $2 \times 2$ matrices to represent certain geometric transformations in the $x$-$y$ plane, in particular: – understand the relationship between the transformations represented by $\mathbf{A}$ and $\mathbf{A}^{-1}$ – recognise that the matrix product $\mathbf{AB}$ represents the transformation that results from the transformation represented by $\mathbf{B}$ followed by the transformation represented by $\mathbf{A}$ – recall how the area scale factor of a transformation is related to the determinant of the corresponding matrix – find the matrix that represents a given transformation or sequence of transformations | Understanding of the terms rotation, reflection, enlargement, stretch and shear for 2D transformations will be required. Other 2D transformations may be included, but no particular knowledge of them is expected. |
| understand the meaning of invariant as applied to points and lines in the context of transformations represented by matrices, and solve simple problems involving invariant points and invariant lines. | e.g. to locate the invariant points of the transformation represented by $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, or to find the invariant lines through the origin for $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, or to show that any line with gradient 1 is invariant for $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| realizar operaciones de suma, resta y multiplicación de matrices, y reconocer los términos matriz nula y matriz identidad (o unidad) | Incluyendo matrices no cuadradas. Las matrices tendrán como máximo 3 filas y columnas. |
| recordar el significado de los términos singular y no singular aplicados a matrices cuadradas, y para matrices $2 \times 2$ y $3 \times 3$, evaluar determinantes y hallar las inversas de matrices no singulares | Se utilizarán las notaciones $\det \mathbf{M}$ para el determinante de una matriz $\mathbf{M}$, e $\mathbf{I}$ para la matriz identidad. |
| comprender y usar el resultado, para matrices no singulares, $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ | Puede requerirse la extensión al producto de más de dos matrices. |
| comprender el uso de matrices $2 \times 2$ para representar ciertas transformaciones geométricas en el plano $x$-$y$, en particular: – comprender la relación entre las transformaciones representadas por $\mathbf{A}$ y $\mathbf{A}^{-1}$ – reconocer que el producto matricial $\mathbf{AB}$ representa la transformación resultante de aplicar primero la transformación representada por $\mathbf{B}$ y luego la transformación representada por $\mathbf{A}$ – recordar cómo se relaciona el factor de escala de área de una transformación con el determinante de la matriz correspondiente – hallar la matriz que representa una transformación dada o una secuencia de transformaciones | Se requerirá comprensión de los términos rotación, reflexión, agrandamiento, estiramiento y cizallamiento para transformaciones 2D. Pueden incluirse otras transformaciones 2D, pero no se espera conocimiento específico de ellas. |
| comprender el significado de invariante aplicado a puntos y líneas en el contexto de transformaciones representadas por matrices, y resolver problemas sencillos que involucren puntos invariantes y líneas invariantes. | p. ej., localizar los puntos invariantes de la transformación representada por $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, o hallar las líneas invariantes que pasan por el origen para $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, o demostrar que cualquier recta con pendiente 1 es invariante para $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A matrix 矩阵 is a rectangular block of numbers. Matrix addition adds entries in matching positions; you can also subtract and multiply matrices (multiplication is row $\times$ column). The zero matrix 零矩阵 has every entry $0$, and the identity matrix 单位矩阵 (or unit matrix) $I$ leaves any matrix unchanged under multiplication.
For a $2\times 2$ matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, the determinant 行列式 is $\det A = ad - bc$. If $\det A \neq 0$ the matrix is non-singular (otherwise it is a singular matrix 奇异矩阵), and the inverse matrix 逆矩阵 is
Worked example. Find the inverse of $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, so
Una matriz 矩阵 es un bloque rectangular de números. La suma de matrices añade entradas en posiciones coincidentes; también puedes restar y multiplicar matrices (la multiplicación es fila $\times$ columna). La matriz nula 零矩阵 tiene todas sus entradas $0$, y la matriz identidad 单位矩阵 (o matriz unitaria) $I$ deja cualquier matriz sin cambios bajo la multiplicación.
Para una matriz $2\times 2$ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, el determinante 行列式 es $\det A = ad - bc$. Si $\det A \neq 0$ la matriz es no singular (de lo contrario es una matriz singular 奇异矩阵), y la matriz inversa 逆矩阵 es
Ejemplo resuelto. Halla la inversa de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, por lo tanto
Cambia las cuatro entradas y observa cómo el cuadrado unitario se mapea a una nueva forma. El determinante es el factor de escala de área.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | 矩阵 | jǔ zhèn |
| zero matrix/ˈzɪərəʊ ˈmeɪtrɪks/ | 零矩阵 | líng jǔ zhèn |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | 单位矩阵 | dān wèi jǔ zhèn |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | 行列式 | háng liè shì |
| singular matrix/ˈsɪŋɡjʊlə ˈmeɪtrɪks/ | 奇异矩阵 | qí yì jǔ zhèn |
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | 逆矩阵 | nì jǔ zhèn |
| geometric transformation/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 几何变换 | jǐ hé biàn huàn |
| invariant points/ɪnˈveərɪənt pɔɪnts/ | 不变点 | bù biàn diǎn |
| invariant lines/ɪnˈveərɪənt laɪnz/ | 不变直线 | bù biàn zhí xiàn |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | 极坐标 | jí zuò biāo |
| Cartesian coordinates/kɑːˈtiːzɪən kəʊˈɔːdɪnəts/ | 直角坐标 | zhí jiǎo zuò biāo |
| polar curves/ˈpəʊlə kɜːvz/ | 极坐标曲线 | jí zuò biāo qū xiàn |
| plane/pleɪn/ | 平面 | píng miàn |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the relations between Cartesian and polar coordinates, and convert equations of curves from Cartesian to polar form and vice versa | The convention $r \geqslant 0$ will be used. |
| sketch simple polar curves, for $0 \leqslant \theta < 2\pi$ or $-\pi < \theta \leqslant \pi$ or a subset of either of these intervals | Detailed plotting of curves will not be required, but sketches will generally be expected to show significant features, such as symmetry, coordinates of intersections with the initial line, the form of the curve at the pole and least/greatest values of $r$. |
| recall the formula $\frac{1}{2} \int r^2 \mathrm{d}\theta$ for the area of a sector, and use this formula in simple cases. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender las relaciones entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares, y convertir ecuaciones de curvas de forma cartesiana a polar y viceversa | Se utilizará la convención $r \geqslant 0$. |
| esbozar curvas polares simples, para $0 \leqslant \theta < 2\pi$ o $-\pi < \theta \leqslant \pi$ o un subconjunto de cualquiera de estos intervalos | No se requerirá el trazado detallado de curvas, pero generalmente se esperará que los esbozos muestren características significativas, como simetría, coordenadas de intersección con la línea inicial, la forma de la curva en el polo y los valores mínimo/máximo de $r$. |
| recordar la fórmula $\frac{1}{2} \int r^2 \mathrm{d}\theta$ para el área de un sector, y utilizar esta fórmula en casos sencillos. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Polar coordinates 极坐标 give a point by its distance $r$ from the origin and its angle $\theta$. They link to Cartesian coordinates 直角坐标 by
You should sketch simple polar curves 极坐标曲线, and find the area of a sector with
Worked example. Convert the polar equation $r = 4\cos\theta$ to Cartesian form.
Multiply both sides by $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, so $x^2 + y^2 = 4x$. Completing the square gives $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, a circle of radius $2$ centred at $(2, 0)$.
Las coordenadas polares 极坐标 dan un punto por su distancia $r$ al origen y su ángulo $\theta$. Se relacionan con las coordenadas cartesianas 直角坐标 mediante
Debes dibujar a mano curvas polares simples 极坐标曲线, y hallar el área de un sector con
Ejemplo resuelto. Convierta la ecuación polar $r = 4\cos\theta$ a forma cartesiana.
Multiplique ambos lados por $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, por lo tanto $x^2 + y^2 = 4x$. Completar el cuadrado da como resultado $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, un círculo de radio $2$ centrado en $(2, 0)$.
Elige una curva y cambia a. En forma polar, un punto se define por su distancia r y ángulo θ: eso dibuja rosas, cardioides y espirales.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the equation of a plane in any of the forms $ax + by + cz = d$ or $\mathbf{r.n} = p$ or $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ and convert equations of planes from one form to another as necessary in solving problems | |
| recall that the vector product $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ of two vectors can be expressed either as $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$, where $\hat{\mathbf{n}}$ is a unit vector, or in component form as $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | |
| use equations of lines and planes, together with scalar and vector products where appropriate, to solve problems concerning distances, angles and intersections, including: – determining whether a line lies in a plane, is parallel to a plane or intersects a plane, and finding the point of intersection of a line and a plane when it exists – finding the foot of the perpendicular from a point to a plane – finding the angle between a line and a plane, and the angle between two planes – finding an equation for the line of intersection of two planes – calculating the shortest distance between two skew lines – finding an equation for the common perpendicular to two skew lines. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| usar la ecuación de un plano en cualquiera de las formas $ax + by + cz = d$ o $\mathbf{r.n} = p$ o $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ y convertir ecuaciones de planos de una forma a otra según sea necesario para resolver problemas | |
| recordar que el producto vectorial $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ de dos vectores puede expresarse bien como $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$, donde $\hat{\mathbf{n}}$ es un vector unitario, o en forma de componentes como $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | |
| usar ecuaciones de rectas y planos, junto con productos escalares y vectoriales cuando corresponda, para resolver problemas relacionados con distancias, ángulos e intersecciones, incluyendo: – determinar si una recta se encuentra en un plano, es paralela a un plano o intersecta un plano, y encontrar el punto de intersección de una recta y un plano cuando existe – encontrar el pie de la perpendicular desde un punto a un plano – encontrar el ángulo entre una recta y un plano, y el ángulo entre dos planos – encontrar una ecuación para la recta de intersección de dos planos – calcular la distancia más corta entre dos rectas alabeadas – encontrar una ecuación para la perpendicular común a dos rectas alabeadas. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
In three dimensions a plane 平面 can be written as $ax + by + cz = d$, or $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, or $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Besides the scalar product, there is the vector product 向量积 of two vectors 向量:
Worked example. Find $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ for $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ and $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.
En tres dimensiones un plano 平面 se puede escribir como $ax + by + cz = d$, o $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, o $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Además del producto escalar, existe el producto vectorial 向量积 de dos vectores 向量:
Ejemplo resuelto. Encuentre $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ para $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ y $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.
a · b = |a||b|cos θ
El producto escalar es cero exactamente cuando dos vectores son perpendiculares.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | 向量积 | xiàng liàng jī |
| vectors/ˈvektəz/ | 向量 | xiàng liàng |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | 异面直线 | yì miàn zhí xiàn |
| mathematical induction/ˌmæθɪˈmætɪkl ɪnˈdʌkʃn/ | 数学归纳法 | shù xué guī nà fǎ |
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | 猜想 | cāi xiǎng |
| inductive proof/ɪnˈdʌktɪv pruːf/ | 归纳证明 | guī nà zhèng míng |
| symmetric functions/sɪˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 对称函数 | duì chèn hán shù |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the method of mathematical induction to establish a given result | e.g. $\sum_{r=1}^{n} r^4 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$, $u_n = \frac{1}{2}(1 + 3^{n-1})$ for the sequence given by $u_{n+1} = 3u_n - 1$ and $u_1 = 1$, $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 3 \times 2^n - 2 & 1 - 2^n \\ 3 \times 2^{n+1} - 6 & 3 - 2^{n+1} \end{pmatrix}$, $3^{2n} + 2 \times 5^n - 3$ is divisible by 8. |
| recognise situations where conjecture based on a limited trial followed by inductive proof is a useful strategy, and carry this out in simple cases. | e.g. find the $n$th derivative of $x e^x$, find $\sum_{r=1}^{n} r \times r!$. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| utilizar el método de inducción matemática para establecer un resultado dado | ej. $\sum_{r=1}^{n} r^4 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$, $u_n = \frac{1}{2}(1 + 3^{n-1})$ para la secuencia dada por $u_{n+1} = 3u_n - 1$ y $u_1 = 1$, $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 3 \times 2^n - 2 & 1 - 2^n \\ 3 \times 2^{n+1} - 6 & 3 - 2^{n+1} \end{pmatrix}$, $3^{2n} + 2 \times 5^n - 3$ es divisible por 8. |
| reconocer situaciones donde una conjetura basada en una prueba limitada seguida de una demostración inductiva es una estrategia útil, y llevarla a cabo en casos simples. | ej. encontrar la derivada $n$-ésima de $x e^x$, encontrar $\sum_{r=1}^{n} r \times r!$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Mathematical induction 数学归纳法 proves a result for every positive integer $n$ in two steps:
If both steps work, the result is true for all $n$. Often you first make a conjecture 猜想 (a sensible guess) from a few cases, then confirm it by inductive proof 归纳证明.
Worked example. Prove that $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.
Base case $n = 1$: the left side is $1$ and the right side is $\tfrac12(1)(2) = 1$. True. Inductive step: assume $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Then
La inducción matemática 数学归纳法 demuestra un resultado para cada entero positivo $n$ en dos pasos:
Si ambos pasos funcionan, el resultado es verdadero para todos los $n$. A menudo primero haces una conjetura 猜想 (una suposición razonable) a partir de unos pocos casos, y luego la confirmas mediante una demostración por inducción 归纳证明.
Ejemplo resuelto. Demuestra que $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.
Caso base $n = 1$: el lado izquierdo es $1$ y el lado derecho es $\tfrac12(1)(2) = 1$. Cierto. Paso inductivo: asume $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Entonces
Ver la inducción como una primera ficha de dominó más una regla que empuja cada caso siguiente.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.
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