A-Level Matemáticas Avanzadas · Topic 2 · Tema 2
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Matemáticas Puras Adicionales 2
Mira cualquier cadena colgante, cualquier cable de energía, cualquier cable de suspensión. Siempre se asienta en una curva especial. Podrías suponer una parábola —pero no lo es. Es…
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This handout covers Topic 2: Further Pure Mathematics 进阶纯数学 2. It adds hyperbolic functions, eigenvalues, new differentiation and integration, de Moivre's theorem, and methods for differential equations.
Esta hoja cubre el Tema 2: Matemáticas Puras Avanzadas 进阶纯数学 2. Añade funciones hiperbólicas, autovalores, nuevas técnicas de diferenciación e integración, el teorema de De Moivre y métodos para ecuaciones diferenciales.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the definitions of the hyperbolic functions $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\text{sech } x$, $\text{cosech } x$, $\text{coth } x$ in terms of the exponential function | |
| sketch the graphs of hyperbolic functions | |
| prove and use identities involving hyperbolic functions | e.g. $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$, $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$, and similar results corresponding to the standard trigonometric identities. |
| understand and use the definitions of the inverse hyperbolic functions and derive and use the logarithmic forms |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender las definiciones de las funciones hiperbólicas $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\text{sech } x$, $\text{cosech } x$, $\text{coth } x$ en términos de la función exponencial | |
| trazar gráficas de las funciones hiperbólicas | |
| demostrar e identificar identidades que involucren funciones hiperbólicas | p. ej. $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$, $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$, y resultados análogos correspondientes a las identidades trigonométricas estándar. |
| comprender e identificar las definiciones de las funciones hiperbólicas inversas y derivar e identificar sus formas logarítmicas |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
The hyperbolic functions 双曲函数 are built from the exponential function:
They obey identities much like the trigonometric ones, the main one being $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. The three reciprocals complete the set: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, and $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ – all built from $e^x$ too, and worth recognising in integrals and mark schemes. The inverse hyperbolic functions 反双曲函数 have a logarithmic form 对数形式, for example $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.
Worked example. Show that $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
Las funciones hiperbólicas 双曲函数 se construyen a partir de la función exponencial:
Cumplen identidades similares a las trigonométricas, siendo la principal $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Los tres recíprocos completan el conjunto: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, y $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$– todos construidos también a partir de $e^x$, y valen la pena reconocerlos en integrales y esquemas de corrección. Las funciones hiperbólicas inversas 反双曲函数 tienen una forma logarítmica 对数形式, por ejemplo $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.
Ejemplo resuelto. Demuestre que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
y = a cosh(x)
cosh es la catenaria (una cadena colgante) — par, con su mínimo en (0, a).
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| formulate a problem involving the solution of 3 linear simultaneous equations in 3 unknowns as a problem involving the solution of a matrix equation, or vice versa | |
| understand the cases that may arise concerning the consistency or inconsistency of 3 linear simultaneous equations, relate them to the singularity or otherwise of the corresponding matrix, solve consistent systems, and interpret geometrically in terms of lines and planes | e.g. three planes meeting in a common point, or in a common line, or having no common points. |
| understand the terms 'characteristic equation', 'eigenvalue' and 'eigenvector', as applied to square matrices | Including use of the definition $\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$ to prove simple properties, e.g. that $\lambda^n$ is an eigenvalue of $\mathbf{A}^n$. |
| find eigenvalues and eigenvectors of $2 \times 2$ and $3 \times 3$ matrices | Restricted to cases where the eigenvalues are real and distinct. |
| express a square matrix in the form $\mathbf{QDQ}^{-1}$, where $\mathbf{D}$ is a diagonal matrix of eigenvalues and $\mathbf{Q}$ is a matrix whose columns are eigenvectors, and use this expression | e.g. in calculating powers of $2 \times 2$ or $3 \times 3$ matrices. |
| use the fact that a square matrix satisfies its own characteristic equation. | e.g. in finding successive powers of a matrix or finding an inverse matrix; restricted to $2 \times 2$ or $3 \times 3$ matrices only. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| plantear un problema que implique la solución de 3 ecuaciones lineales simultáneas en 3 incógnitas como un problema de solución de una ecuación matricial, o viceversa | |
| comprender los casos que pueden surgir respecto a la consistencia o inconsistencia de 3 ecuaciones lineales simultáneas, relacionarlos con la singularidad o no de la matriz correspondiente, resolver sistemas consistentes e interpretarlos geométricamente en términos de rectas y planos | p. ej., tres planos que se cortan en un punto común, o en una línea común, o que no tienen puntos comunes. |
| comprender los términos 'ecuación característica', 'valor propio' y 'vector propio', aplicados a matrices cuadradas | Incluyendo el uso de la definición $\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$ para demostrar propiedades simples, p. ej., que $\lambda^n$ es un valor propio de $\mathbf{A}^n$. |
| encontrar los valores propios y vectores propios de matrices $2 \times 2$ y $3 \times 3$ | Limitado a casos en los que los valores propios sean reales y distintos. |
| expresar una matriz cuadrada en la forma $\mathbf{QDQ}^{-1}$, donde $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal de valores propios y $\mathbf{Q}$ es una matriz cuyas columnas son vectores propios, y utilizar esta expresión | p. ej., en el cálculo de potencias de matrices $2 \times 2$ o $3 \times 3$. |
| utilizar el hecho de que una matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. | p. ej., para encontrar potencias sucesivas de una matriz o para hallar una matriz inversa; limitado únicamente a matrices $2 \times 2$ o $3 \times 3$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
You can write three linear equations in three unknowns as a single matrix equation 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. If $A$ is non-singular there is one solution; if $A$ is singular the equations are either inconsistent (no solution) or have infinitely many.
For a square matrix $A$, the characteristic equation 特征方程 is $\det(A - \lambda I) = 0$. Its solutions are the eigenvalues 特征值 $\lambda$, and for each one the vector $\mathbf{v}$ with $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ is an eigenvector 特征向量. You can then write $A = QDQ^{-1}$, where $D$ is a diagonal matrix 对角矩阵 of eigenvalues and the columns of $Q$ are the eigenvectors.
Worked example. Find the eigenvalues of $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
The characteristic equation is
Puede escribir tres ecuaciones lineales con tres incógnitas como una única ecuación matricial 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Si $A$ no es singular existe una solución; si $A$ es singular las ecuaciones son bien inconsistentes (sin solución) o tienen infinitas soluciones.
Para una matriz cuadrada $A$, la ecuación característica 特征方程 es $\det(A - \lambda I) = 0$. Sus soluciones son los autovalores 特征值 $\lambda$, y para cada uno el vector $\mathbf{v}$ con $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ es un autovector 特征向量. Luego puede escribir $A = QDQ^{-1}$, donde $D$ es una matriz diagonal 对角矩阵 de autovalores y las columnas de $Q$ son los autovectores.
Ejemplo resuelto. Encuentre los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
La ecuación característica es
Cambia la matriz para rotar, estirar o cizallar el cuadrado unitario; el determinante muestra cómo cambia el área.
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 进阶纯数学 | jìn jiē chún shù xué |
| hyperbolic functions/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 双曲函数 | shuāng qū hán shù |
| inverse hyperbolic functions/ɪnˈvɜːs ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 反双曲函数 | fǎn shuāng qū hán shù |
| logarithmic form/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk fɔːm/ | 对数形式 | duì shù xíng shì |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | 矩阵方程 | jǔ zhèn fāng chéng |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | 特征方程 | tè zhēng fāng chéng |
| eigenvalues/ˈaɪdʒənvæljuːz/ | 特征值 | tè zhēng zhí |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | 特征向量 | tè zhēng xiàng liàng |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | 对角矩阵 | duì jiǎo jǔ zhèn |
| Maclaurin's series/məˈklɔːrɪnz ˈsɪəriːz/ | 麦克劳林级数 | mài kè láo lín jí shù |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | 配方法 | pèi fāng fǎ |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | 递推公式 | dì tuī gōng shì |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧长 | hú zhǎng |
| surface area of revolution/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | 旋转曲面面积 | xuán zhuǎn qū miàn miàn jī |
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | 黎曼和 | lí màn hé |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • differentiate hyperbolic functions and differentiate $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, $\cosh^{-1}x$ and $\tanh^{-1}x$ | |
| • obtain an expression for $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ in cases where the relation between $x$ and $y$ is defined implicitly or parametrically | |
| • derive and use the first few terms of a Maclaurin's series for a function. | Derivation of a general term is not included, but successive 'implicit' differentiation steps may be required, e.g. for $y = \tan x$ following an initial differentiation rearranged as $y' = 1 + y^2$. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • derivar funciones hiperbólicas y derivar $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, $\cosh^{-1}x$ y $\tanh^{-1}x$ | |
| • obtener una expresión para $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ en casos donde la relación entre $x$ e $y$ está definida de forma implícita o paramétrica | |
| • deducir y utilizar los primeros términos de una serie de Maclaurin para una función. | La deducción de un término general no se incluye, pero pueden requerirse pasos sucesivos de diferenciación 'implícita', p. ej., para $y = \tan x$ tras una reordenación inicial de la diferenciación como $y' = 1 + y^2$. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
You can now differentiate the hyperbolic functions and the inverse functions $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ and so on. You can also find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ for curves given implicitly or parametrically.
A Maclaurin's series 麦克劳林级数 writes a function as a power series:
Worked example. Find the Maclaurin series of $f(x) = \ln(1+x)$ up to the term in $x^3$.
$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ so $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ so $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ so $f'''(0) = 2$. Substituting into the series:
Ahora puedes derivar las funciones hiperbólicas y las funciones inversas $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ y así sucesivamente. También puedes encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para curvas dadas de forma implícita o paramétrica.
Una serie de Maclaurin 麦克劳林级数 escribe una función como una serie de potencias:
Ejemplo resuelto. Encuentra la serie de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ hasta el término en $x^3$.
$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ por lo tanto $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ por lo tanto $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ por lo tanto $f'''(0) = 2$. Sustituyendo en la serie:
pendiente = dy/dx
La derivada es la pendiente de la recta tangente, sin importar lo exótica que sea la función.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • integrate hyperbolic functions and recognise integrals of functions of the form $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ and $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$, and integrate associated functions using trigonometric substitutions or hyperbolic substitutions as appropriate | Including use of completing the square where necessary, e.g. to integrate $\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$. |
| • derive and use reduction formulae for the evaluation of definite integrals | e.g. $\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$, $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$. In harder cases hints may be given, e.g. $\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$ by considering $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$. |
| • understand how the area under a curve may be approximated by areas of rectangles, and use rectangles to estimate or set bounds for the area under a curve or to derive inequalities or limits concerning sums | Questions may involve either rectangles of unit width or rectangles whose width can tend to zero, e.g. $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$, $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. continued |
| • use integration to find – arc lengths for curves with equations in Cartesian coordinates, including the use of a parameter, or in polar coordinates – surface areas of revolution about one of the axes for curves with equations in Cartesian coordinates, including the use of a parameter. | Any questions involving integration may require techniques from Cambridge International A Level Mathematics (9709) applied to more difficult cases, e.g. integration by parts for $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$, or use of the substitution $t = \tan \frac{1}{2}x$. Surface areas of revolution for curves with equations in polar coordinates will not be required. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • integrar funciones hiperbólicas y reconocer las integrales de funciones de la forma $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ y $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$, e integrar las funciones asociadas mediante sustituciones trigonométricas o sustituciones hiperbólicas, según proceda | Incluyendo el uso del completado del cuadrado cuando sea necesario, por ejemplo, para integrar $\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$. |
| • derivar y utilizar fórmulas de reducción para la evaluación de integrales definidas | por ejemplo, $\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$, $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$. En casos más difíciles pueden darse pistas, por ejemplo, $\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$ considerando $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$. |
| • comprender cómo el área bajo una curva puede aproximarse mediante áreas de rectángulos, y utilizar rectángulos para estimar o establecer cotas para el área bajo una curva o para derivar desigualdades o límites concernientes a sumas | Las preguntas pueden implicar rectángulos de anchura unidad o rectángulos cuya anchura puede tender a cero, por ejemplo, $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$, $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. continuación |
| • utilizar la integración para encontrar – longitudes de arco de curvas con ecuaciones en coordenadas cartesianas, incluido el uso de un parámetro, o en coordenadas polares – áreas superficiales de revolución alrededor de uno de los ejes para curvas con ecuaciones en coordenadas cartesianas, incluido el uso de un parámetro. | Cualquier pregunta que implique integración puede requerir técnicas de Cambridge International A Level Mathematics (9709) aplicadas a casos más difíciles, por ejemplo, integración por partes para $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$, o el uso de la sustitución $t = \tan \frac{1}{2}x$. No se requerirán áreas superficiales de revolución para curvas con ecuaciones en coordenadas polares. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Learn these standard integrals:
Worked example. Find $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.
Here $a^2 = 4$, so $a = 2$ and
Bounding a sum by an integral. Draw rectangles of unit width under, or over, a decreasing curve such as $y=\frac1x$. Each rectangle of height $\frac1r$ is trapped between two integral strips, so summing gives
Aprende estas integrales estándar:
Ejemplo resuelto. Halla $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.
Aquí $a^2 = 4$, por lo tanto $a = 2$ y
Acotar una suma mediante una integral. Dibuja rectángulos de ancho unitario debajo o encima de una curva decreciente como $y=\frac1x$. Cada rectángulo de altura $\frac1r$ queda atrapado entre dos franjas integrales, por lo que al sumar obtenemos
área = ∫ f(x) dx
Toda integral mide el área bajo la curva — arrastra los límites.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand de Moivre’s theorem, for a positive or negative integer exponent, in terms of the geometrical effect of multiplication and division of complex numbers | |
| • prove de Moivre’s theorem for a positive integer exponent | e.g. by induction. |
| • use de Moivre’s theorem for a positive or negative rational exponent | e.g. expressing $\cos 5\theta$ in terms of $\cos \theta$ or $\tan 5\theta$ in terms of $\tan \theta$. |
| – to express trigonometrical ratios of multiple angles in terms of powers of trigonometrical ratios of the fundamental angle | e.g. expressing $\sin^6 \theta$ in terms of $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$ and $\cos 6\theta$. |
| – to express powers of $\sin \theta$ and $\cos \theta$ in terms of multiple angles | |
| – in the summation of series | e.g. using the '$C + \mathrm{i}S$' method to sum series such as $\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$. |
| – in finding and using the $n$th roots of unity. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • comprender el teorema de De Moivre, para un exponente entero positivo o negativo, en términos del efecto geométrico de la multiplicación y división de números complejos | |
| • demostrar el teorema de De Moivre para un exponente entero positivo | p. ej., por inducción. |
| • usar el teorema de De Moivre para un exponente racional positivo o negativo | p. ej., expresando $\cos 5\theta$ en términos de $\cos \theta$ o $\tan 5\theta$ en términos de $\tan \theta$. |
| – expresar razones trigonométricas de ángulos múltiplos en términos de potencias de las razones trigonométricas del ángulo fundamental | p. ej., expresando $\sin^6 \theta$ en términos de $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$ y $\cos 6\theta$. |
| – expresar potencias de $\sin \theta$ y $\cos \theta$ en términos de ángulos múltiplos | |
| – en la suma de series | p. ej., usando el método '$C + \mathrm{i}S$' para sumar series como $\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$. |
| – al encontrar y utilizar las raíces $n$-ésimas de la unidad. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
A complex number 复数 in polar form is $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. De Moivre's theorem 棣莫弗定理 says that for any integer $n$,
Worked example. Use de Moivre's theorem to express $\cos 3\theta$ in terms of $\cos\theta$.
Take the real part of $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:
Un número complejo 复数 en forma polar es $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. El teorema de De Moivre 棣莫弗定理 establece que para cualquier entero $n$,
Ejemplo resuelto. Use el teorema de De Moivre para expresar $\cos 3\theta$ en términos de $\cos\theta$.
Tome la parte real de $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:
Arrastra el punto para explorar módulo y argumento: el lenguaje de los números complejos en forma polar (módulo–argumento).
| English · Inglés | Chinese · Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | 复数 | fù shù |
| De Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | 棣莫弗定理 | dì mò fú dìng lǐ |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | 单位根 | dān wèi gēn |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | 积分因子 | jī fēn yīn zi |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 通解 | tōng jiě |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | 余函数 | yú hán shù |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | 特积分 | tè jī fēn |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 特解 | tè jiě |
| separable variables/ˈsepərəbl ˈveərɪəblz/ | 可分离变量 | kě fēn lí biàn liàng |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | 辅助方程 | fǔ zhù fāng chéng |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • find an integrating factor for a first order linear differential equation, and use an integrating factor to find the general solution | e.g. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$, $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| • recall the meaning of the terms 'complementary function' and 'particular integral' in the context of linear differential equations, and recall that the general solution is the sum of the complementary function and a particular integral | |
| find the complementary function for a first or second order linear differential equation with constant coefficients | For second order equations, including the cases where the auxiliary equation has distinct real roots, a repeated real root or conjugate complex roots. |
| recall the form of, and find, a particular integral for a first or second order linear differential equation in the cases where a polynomial or $ae^{bx}$ or $a\cos px + b\sin px$ is a suitable form, and in other simple cases find the appropriate coefficient(s) given a suitable form of particular integral | e.g. evaluate $k$ given that $kx \cos 2x$ is a particular integral of $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| use a given substitution to reduce a differential equation to a first or second order linear equation with constant coefficients or to a first order equation with separable variables | e.g. the substitution $x = e^t$ to reduce to linear form a differential equation with terms of the form $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ , or the substitution $y = ux$ to reduce $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ to separable form. |
| use initial conditions to find a particular solution to a differential equation, and interpret a solution in terms of a problem modelled by a differential equation. |
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • encontrar un factor integrante para una ecuación diferencial lineal de primer orden, y utilizar un factor integrante para hallar la solución general | p.ej. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$, $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| • recordar el significado de los términos 'función complementaria' e 'integral particular' en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales, y recordar que la solución general es la suma de la función complementaria y una integral particular | |
| • hallar la función complementaria para una ecuación diferencial lineal de primer o segundo orden con coeficientes constantes | Para ecuaciones de segundo orden, incluyendo los casos en los que la ecuación auxiliar tiene raíces reales distintas, una raíz real repetida o raíces complejas conjugadas. |
| • recordar la forma de, y hallar, una integral particular para una ecuación diferencial lineal de primer o segundo orden en los casos en que un polinomio o $ae^{bx}$ o $a\cos px + b\sin px$ constituyen una forma adecuada, y en otros casos simples hallar el/los coeficiente(s) apropiado(s) dada una forma adecuada de integral particular | p.ej. evaluar $k$ dado que $kx \cos 2x$ es una integral particular de $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| • utilizar una sustitución dada para reducir una ecuación diferencial a una ecuación lineal de primer o segundo orden con coeficientes constantes, o a una ecuación de primer orden con variables separables | p.ej. la sustitución $x = e^t$ para reducir a forma lineal una ecuación diferencial con términos de la forma $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ , o la sustitución $y = ux$ para reducir $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ a forma separable. |
| • utilizar condiciones iniciales para hallar una solución particular a una ecuación diferencial, e interpretar una solución en términos de un problema modelado mediante una ecuación diferencial. |
Source: Cambridge International syllabus · Fuente: Plan de estudios Cambridge International
For a first order linear equation $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiply by the integrating factor 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. The left side then becomes $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, so you can integrate directly.
For a linear equation with constant coefficients, the general solution 通解 is the sum of two parts: the complementary function 余函数 (the solution of the equation with the right side set to $0$, found from the auxiliary equation) and a particular integral 特积分 (any one solution of the full equation). Initial conditions then fix the constants to give the particular solution 特解; simpler equations with separable variables 可分离变量 are integrated directly.
Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.
The integrating factor is $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Multiplying through gives $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, so
Second order, constant coefficients. For $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, solve the auxiliary equation 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. The complementary function depends on its roots:
Then add a particular integral by trying a form matching $f(x)$ (a polynomial, $ae^{bx}$, or $a\cos px+b\sin px$); if that trial already appears in the complementary function, multiply it by $x$.
Worked example. Solve $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. The auxiliary equation $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ has a repeated root $m=2$, so $y=(A+Bx)e^{2x}$.
Para una ecuación lineal de primer orden $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiplique por el factor integrante 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. El lado izquierdo se convierte entonces en $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, por lo que puede integrar directamente.
Para una ecuación lineal con coeficientes constantes, la solución general 通解 es la suma de dos partes: la función complementaria 余函数 (la solución de la ecuación con el lado derecho igual a $0$, encontrada a partir de la ecuación auxiliar) y un integral particular 特积分 (cualquier solución de la ecuación completa). Las condiciones iniciales then fixan las constantes para dar la solución particular 特解; las ecuaciones más simples con variables separables 可分离变量 se integran directamente.
Ejemplo resuelto. Resuelva $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.
El factor integrante es $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Al multiplicar toda la expresión se obtiene $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, por lo tanto
Segundo orden, coeficientes constantes. Para $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, resuelva la ecuación auxiliar 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. La función complementaria depende de sus raíces:
Luego agregue un integral particular probando una forma que coincida con $f(x)$ (un polinomio, $ae^{bx}$, o $a\cos px+b\sin px$); si esa prueba ya aparece en la función complementaria, multiplíquela por $x$.
Ejemplo resuelto. Resuelva $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. La ecuación auxiliar $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ tiene una raíz repetida $m=2$, por lo que $y=(A+Bx)e^{2x}$.
dy/dx = a y
La ecuación establece la pendiente en todos lados; la solución sigue esas pendientes.
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