الاحتمالات، المتغيرات العشوائية، والتوزيعات الاحتمالية

الفهم الدائم (VAR-1): بما أن التباين قد يكون عشوائياً أو غير ذلك، فإن الاستنتاجات تكون غير مؤكدة.

هدف التعلم VAR-1.F: حدد الأسئلة المقترحة من الأنماط في البيانات. [مهارة 1.A]

• VAR-1.F.1 لا تعني الأنماط في البيانات بالضرورة أن التباين ليس عشوائيًا.

الفهم الدائم (UNC-2): تسمح لنا المحاكاة بتوقع الأنماط في البيانات.

هدف التعلم UNC-2.A: قدر الاحتمالات باستخدام المحاكاة. [مهارة 3.A]

• UNC-2.A.1 العملية العشوائية تولد نتائج تحدها الصدفة.
• UNC-2.A.2 النتيجة هي ناتج محاولة للعملية العشوائية.
• UNC-2.A.3 الحدث هو مجموعة من النتائج.
• UNC-2.A.4 المحاكاة هي طريقة لنمذجة الأحداث العشوائية، بحيث تتطابق النتائج المحاكاة closely مع النتائج الواقعية. جميع النتائج الممكنة مرتبطة بقيمة يتم تحديدها بالصدفة. سجل عدادات النتائج المحاكاة والعدد الإجمالي.
• UNC-2.A.5 يمكن استخدام التكرار النسبي لنتيجة أو حدث في البيانات المحاكاة أو التجريبية لتقدير احتمال تلك النتيجة أو الحدث.
• UNC-2.A.6 تنص قانون الأعداد الكبيرة على أن الاحتمالات المحاكاة (التجريبية) تميل إلى الاقتراب من الاحتمال الحقيقي كلما زاد عدد المحاولات.
  • أمثلة توضيحية لـ UNC-2.A:
    • نتيجة: الحصول على قيمة معينة عند رمي مكعب سداسي الأوجه هو أحد النتائج الستة الممكنة.
    • حدث: عند رمي مكعبين سداسيي الأوجه، يكون مجموع السبع حدثاً. المجموعة المقابلة للنتائج ستكون $(1, 6)$، $(2, 5)$، $(3, 4)$، $(4, 3)$، $(5, 2)$، و $(6, 1)$، حيث تمثل الأزواج المرتبة (قيمة الوجه على المكعب الأول، قيمة الوجه على المكعب الثاني).

فهم دائم (VAR-4): يمكن كمّة احتماليةحدث عشوائي.

هدف التعلم VAR-4.A: احسب احتمالات الأحداث ومكمّلاتها. [مهارة 3.A]

• VAR-4.A.1 فضاء العينة لعملية عشوائية هو مجموعة كل النتائج الممكنة غير المتداخلة.
• VAR-4.A.2 إذا كانت جميع النتائج في فضاء العينة متساوية في الاحتمال، فإن احتمال حدوث حدث E يُعرّف بأنه الكسر: $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
• VAR-4.A.3 احتمال الحدث هو رقم بين 0 و 1، شاملاً الحدين.
• VAR-4.A.4 احتمال مكمّل حدث E، $E'$ أو $E^{C}$، (أي عدم E) يساوي $1 - P(E)$.

هدف التعلم VAR-4.B: فسّر احتمالات الأحداث. [مهارة 4.B]

• VAR-4.B.1 يمكن تفسير احتمالات الأحداث في المواقف القابلة للتكرار على أنها التكرار النسبي الذي سيحدث فيه الحدث على المدى الطويل.

فهم دائم (VAR-4): يمكن كمّة احتماليةحدث عشوائي.

هدف التعلم VAR-4.C: اشرح لماذا يكون حدثان (أو لا يكونا) متبادلي الاستبعاد. [مهارة 4.B]

• VAR-4.C.1 احتمال حدوث كل من $A$ و $B$، والذي يُطلق أحياناً الاحتمال المشترك، هو احتمال تقاطع $A$ و $B$، ويُرمز له بـ $P(A \cap B)$.
• VAR-4.C.2 يكون الحدثان متبادلي الاستبعاد أو منفصلين إذا لم يستطعا الحدوث معاً. لذا $P(A \cap B) = 0$.

فهم دائم (VAR-4): يمكن كمّة احتماليةحدث عشوائي.

هدف التعلم VAR-4.D: احسب الاحتمالات الشرطية. [مهارة 3.A]

• VAR-4.D.1 احتمال حدوث $A$ بشرط حدوث $B$ يُسمى احتمالاشرطياً ويُرمز له بـ $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• VAR-4.D.2 تنص قاعدة الضرب على أن احتمال وقوع كل من الحدثين $A$ و$B$ يساوي احتمال وقوع الحدث $A$ مضروبًا في احتمال وقوع الحدث $B$، بشرط وقوع $A$. ويُرمز لذلك بـ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

فهم دائم (VAR-4): يمكن كمّة احتماليةحدث عشوائي.

هدف التعلم VAR-4.E: احسب احتمالات الأحداث المستقلة واحتمالات اتحاد حدثين. [مهارة 3.A]

• VAR-4.E.1 تكون $A$ و $B$ مستقلتين إذا وفقط إذا كان معرفة ما إذا كان $A$ قد حدث (أو سيحدث) لا يغير احتمال حدوث $B$.
• VAR-4.E.2 إذا وفقط إذا كان الحدثان $A$ و$B$ مستقلين، فإن $P(A \mid B) = P(A)$، $P(B \mid A) = P(B)$، و$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• VAR-4.E.3 احتمال حدوث الحدث $A$ أو الحدث $B$ (أو كليهما) هو احتمال اتحاد $A$ و$B$، ويُرمز له بـ $P(A \cup B)$.
• VAR-4.E.4 تنص قاعدة الجمع على أن احتمال وقوع الحدث $A$ أو الحدث $B$ أو كليهما يساوي احتمال وقوع الحدث $A$ زائد احتمال وقوع الحدث $B$ ناقص احتمال وقوع كل من الحدثين $A$ و$B$ معاً. يُرمز لذلك بـ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

فهم دائم (VAR-5): يمكن استخدام توزيعات الاحتمال لنمذجة التباين في المجموعات السكانية.

هدف التعلم VAR-5.A: مثّل التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع. [مهارة 2.B]

• VAR-5.A.1 قيم المتغير العشوائي هي النتائج العددية للسلوك العشوائي.
• VAR-5.A.2 المتغير العشوائي المتقطع هو متغير يمكنه فقط取值 عدد قابل للعد من القيم. لكل قيمة احتمال مرتبط بها. يجب أن يكون مجموع الاحتمالات لجميع القيم الممكنة مساوياً 1.
• VAR-5.A.3 يمكن تمثيل التوزيع الاحتمالي كرسم بياني، جدول، أو دالة تظهر الاحتمالات المرتبطة بقيم المتغير العشوائي.
• VAR-5.A.4 يمكن تمثيل التوزيع التراكمي الاحتمالي كجدول أو دالة تظهر احتمال أن تكون القيمة أقل من أو تساوي كل قيمة للمتغير العشوائي.
  • أمثلة توضيحية لـ VAR-5.A: نتائج تجارب عملية عشوائية:
    • مجموع النتائج عند رمي حجري نرد
    • عدد الجرو في قاع randomly مختار لفصيلة معينة من الكلاب

هدف التعلم VAR-5.B: فسّر توزيع احتمالي. [مهارة 4.B]

• VAR-5.B.1 تقديم تفسير للتوزيع الاحتمالي يوفر معلومات حول الشكل والمركز والتشتت لمجموعة سكانية ويتيح إجراء استنتاجات حول المجموعة ذات الاهتمام.

فهم دائم (VAR-5): يمكن استخدام توزيعات الاحتمال لنمذجة التباين في المجموعات السكانية.

هدف التعلم VAR-5.C: احسب المعلمات للمتغير العشوائي المتقطع. [مهارة 3.B]

• VAR-5.C.1 القيمة العددية التي تقيس سمة للمجموعة السكانية أو توزيع متغير عشوائي تُعرف بالمعيار (parameter)، وهو قيمة فردية ثابتة.
• VAR-5.C.2 المتوسط، أو القيمة المتوقعة، للمتغير العشوائي المتقطع $X$ هو $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
• VAR-5.C.3 الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المتقطع $X$ هو $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

هدف التعلم VAR-5.D: تفسير المعلمات للمتغير العشوائي المتقطع. [مهارة 4.B]

• VAR-5.D.1 يجب تفسير معلمات المتغير العشوائي المتقطع باستخدام وحدات مناسبة وفي سياق مجتمع إحصائي محدد.

فهم دائم (VAR-5): يمكن استخدام توزيعات الاحتمال لنمذجة التباين في المجموعات السكانية.

هدف التعلم VAR-5.E: حساب معلمات التراكيب الخطية للمتغيرات العشوائية. [مهارة 3.B]

• VAR-5.E.1 للمتغيرات العشوائية $X$ و$Y$ والأعداد الحقيقية $a$ و$b$، فإن المتوسط لـ $aX + bY$ هو $a\mu_x + b\mu_y$.
• VAR-5.E.2 يُعتبر متغيران عشوائيان مستقلين إذا لم يغير معرفة معلومات عن أحدهما التوزيع الاحتمالي للآخر.
• VAR-5.E.3 للمتغيرات العشوائية المستقلة $X$ و$Y$ والأعداد الحقيقية $a$ و$b$، يكون المتوسط الحسابي لـ $aX + bY$ هو $a\mu_x + b\mu_y$، وتكون التباين لـ $aX + bY$ هو $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

هدف التعلم VAR-5.F: وصف تأثيرات التحويلات الخطية لمعلمات المتغيرات العشوائية. [مهارة 3.C]

• VAR-5.F.1 بالنسبة لـ $Y = a + bX$، فإن التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المحول $Y$ له نفس شكل التوزيع الاحتمالي لـ $X$، طالما $a > 0$ و$b > 0$. المتوسط الحسابي لـ $Y$ هو $\mu_y = a + b\mu_x$. الانحراف المعياري لـ $Y$ هو $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

الفهم الدائم (UNC-3): يتيح التفكير الاحتمالي لنا توقع الأنماط في البيانات.

هدف التعلم UNC-3.A: قدر احتمالات المتغيرات العشوائية الثنائية باستخدام بيانات من محاكاة. [مهارة 3.A]

• UNC-3.A.1 يمكن إنشاء توزيع احتمالي باستخدام قواعد الاحتمال أو تقديره بمحاكاة باستخدام مولدات الأرقام العشوائية.
• UNC-3.A.2 المتغير العشوائي الثنائي $X$ يعد عدد النجاحات في $n$ محاولة مستقلة متكررة، كل محاولة لها نتيجتان محتملتان (نجاح أو فشل)، باحتمالية نجاح $p$ واحتمالية فشل $1 - p$.

هدف التعلم UNC-3.B: احسب احتمالات التوزيع الثنائي. [مهارة 3.A]

• UNC-3.B.1 احتمال أن يكون للمتغير العشوائي الثنائي $X$ بالضبط $x$ نجاحات لـ $n$ محاولة مستقلة، عندما تكون احتمالية النجاح $p$، يُحسب كما يلي $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. هذا هو دالة الاحتمال الثنائي.

الفهم الدائم (UNC-3): يتيح التفكير الاحتمالي لنا توقع الأنماط في البيانات.

هدف التعلم UNC-3.C: احسب معايير التوزيع الثنائي. [مهارة 3.B]

• UNC-3.C.1 إذا كانت متغيرًا عشوائيًا ثنائي الحدود، فإن متوسطه $\mu_x$ يساوي $np$ وانحرافه المعياري $\sigma_x$ يساوي $\sqrt{np(1 - p)}$.

هدف التعلم UNC-3.D: فسر احتمالات ومعايير التوزيع الثنائي. [مهارة 4.B]

• UNC-3.D.1 يجب تفسير احتمالات ومعايير التوزيع الثنائي باستخدام وحدات مناسبة وفي سياق مجتمعة معينة أو موقف محدد.

الفهم الدائم (UNC-3): يتيح التفكير الاحتمالي لنا توقع الأنماط في البيانات.

هدف التعلم UNC-3.E: احسب احتمالات المتغيرات العشوائية الهندسية. [مهارة 3.A]

• UNC-3.E.1 لسلسلة من المحاولات المستقلة، يعطي المتغير العشوائي الهندسي $X$ رقم المحاولة التي يحدث فيها أول نجاح. كل محاولة لها نتيجتان محتملتان (نجاح أو فشل) باحتمالية نجاح $p$ واحتمالية فشل $1 - p$.
• UNC-3.E.2 احتمال أن يحدث أول نجاح لمحاولات مستقلة متكررة باحتمالية نجاح $p$ في المحاولة $x$ يُحسب كما يلي $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. هذا هو دالة الاحتمال الهندسي.

هدف التعلم UNC-3.F: احسب معايير التوزيع الهندسي. [مهارة 3.B]

• UNC-3.F.1 إذا كان المتغير العشوائي هندسيًا، فإن متوسطه $\mu_x$ يساوي $\dfrac{1}{p}$ وانحرافه المعياري $\sigma_x$ يساوي $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

هدف التعلم UNC-3.G: فسر احتمالات ومعايير التوزيع الهندسي. [مهارة 4.B]

• UNC-3.G.1 يجب تفسير احتمالات ومعايير التوزيع الهندسي باستخدام وحدات مناسبة وفي سياق مجتمعة معينة أو موقف محدد.