เอกสารฉบับนี้ครอบคลุมหัวข้อที่ 8 ความน่าจะเป็น ส่วนที่ระบุ (Extended) จะทดสอบเฉพาะในข้อสอบ Extended เท่านั้น ส่วนที่เหลือทดสอบสำหรับทั้งสองระดับ
ความน่าจะเป็น
Mathematics IGCSE · หัวข้อ 8
7:31
ความน่าจะเป็น
พรุ่งนี้ฝนตกไหม? รถบัสจะสายไหม? ลูกเต๋าจะออกหกหรือไม่? ในชีวิตแทบไม่มีอะไรแน่นอน และแทบไม่มีอะไรที่เป็นไปไม่ได้ สิ่งส่วนใหญ่อยู่…
การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ
8.1
สเกลของความน่าจะเป็น
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 เข้าใจและใช้สเกลความน่าจะเป็นตั้งแต่ 0 ถึง 1. | ไม่จำเป็นต้องใช้สัญลักษณ์ความน่าจะเป็น ควรแสดงความน่าจะเป็นในรูปเศษส่วน ทศนิยม หรือเปอร์เซ็นต์ ปัญหาอาจต้องใช้ข้อมูลจากตาราง กราฟ หรือแผนภาพเวนน์ (จำกัดไว้ที่สองเซต). |
| 2 คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียว. | |
| 3 เข้าใจว่า ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ไม่เกิดขึ้น = 1 – ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เกิดขึ้น. | เช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกเต๋าสีน้ำเงินคือ 0.8 ความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่สีน้ำเงินคืออะไร? |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 เข้าใจและใช้สเกลความน่าจะเป็นตั้งแต่ 0 ถึง 1. | $\text{P}(A)$ คือความน่าจะเป็นของ $A$ |
| 2 เข้าใจและใช้สัญลักษณ์ความน่าจะเป็น. | $\text{P}(A')$ คือความน่าจะเป็นที่ไม่เกิด $A$ |
| 3 คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียว. | ควรแสดงค่าความน่าจะเป็นในรูปเศษส่วน ทศนิยม หรือเปอร์เซ็นต์ โจทย์อาจต้องใช้ข้อมูลจากตาราง กราฟ หรือแผนภาพเวนน์. |
| 4 เข้าใจว่า ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ไม่เกิดขึ้น = 1 – ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เกิดขึ้น. | เช่น $\text{P}(B) = 0.8$, หา $\text{P}(B')$ |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
ความน่าจะเป็น วัดความน่าจะเป็นที่จะเกิด เหตุการณ์某事运行一个从$0$ (เป็นไปไม่ได้) ถึง $1$ (แน่นอน) บนสเกล และสามารถเขียนเป็นเศษส่วน ทศนิยม หรือเปอร์เซ็นต์ เราเขียน $\text{P}(A)$ แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$
สำหรับ ผลลัพธ์ ที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน
$$\text{P}(\text{event}) = \frac{\text{number of favourable outcomes}}{\text{total number of outcomes}}.$$
ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะ ไม่ เกิดขึ้นคือ
$$\text{P}(A') = 1 - \text{P}(A).$$
ตัวอย่างวิธีทำ. ถุงหนึ่งมีลูกปัดสีแดง $3$ ลูก และลูกปัดสีน้ำเงิน $5$ ลูก. จงหาความน่าจะเป็นที่จะ ไม่ ดึงลูกปัดสีแดง.
$$\text{P}(\text{red}) = \frac{3}{8}, \qquad \text{P}(\text{not red}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.$$
สำรวจ
สเกลของความน่าจะเป็น
เลื่อนมาร์คเกอร์จาก 0 (เป็นไปได้ยาก) ถึง 1 (แน่นอน) เพื่อวางเหตุการณ์บน สเกลความน่าจะเป็น
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | ความน่าจะเป็น |
| event/ɪˈvent/ | เหตุการณ์ |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | ผลลัพธ์ |
8.2
ความถี่สัมพัทธ์และความถี่ที่คาดหวัง
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 เข้าใจความถี่สัมพัทธ์ในฐานะตัวประมาณค่าความน่าจะเป็น. | เช่น ใช้ผลลัพธ์จากการทดลองหมุนลูกตุ้มเพื่อประมาณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่กำหนดให้. |
| 2 คำนวณความถี่ที่คาดไว้. | เช่น ใช้ความน่าจะเป็นเพื่อประมาณค่าที่คาดหวังจากประชากร รวมถึงความเข้าใจในความหมายของยุติธรรม (fair), มีอคติ (bias) และสุ่ม (random). |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 เข้าใจความถี่สัมพัทธ์ในฐานะตัวประมาณค่าความน่าจะเป็น. | เช่น ใช้ผลลัพธ์จากการทดลองหมุนลูกตุ้มเพื่อประมาณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่กำหนดให้. |
| 2 คำนวณความถี่ที่คาดหวัง. | เช่น ใช้ความน่าจะเป็นเพื่อประมาณค่าที่คาดหวังจากประชากร. |
| รวมถึงความเข้าใจในความหมายของยุติธรรม, ความลำเอียง และความสุ่ม. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
เมื่อผลลัพธ์มีความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน ให้ทำการทดลอง. ความถี่สัมพัทธ์ ใช้ประมาณค่าความน่าจะเป็น:
$$\text{relative frequency} = \frac{\text{number of times it happened}}{\text{total number of trials}}.$$
ยิ่ง多做หลายครั้ง การประมาณค่าก็ยิ่งดี. วัตถุที่ ยุติธรรม จะให้โอกาสเท่ากัน; วัตถุที่มี ความเบี่ยงเบน จะไม่ให้โอกาสเท่ากัน; สุ่ม หมายความว่าแต่ละผลลัพธ์เกิดขึ้นโดยบังเอิญ.
ความถี่ที่คาดหวัง คือจำนวนครั้งที่เราคาดว่าจะเกิดเหตุการณ์ใน $n$ ครั้ง:
$$\text{expected frequency} = \text{P}(\text{event}) \times n.$$
ตัวอย่างทำแบบฝึกหัด. ความน่าจะเป็นที่จะออกเลขหกคือ $\tfrac{1}{6}$. จะคาดหวังว่าจะได้ออกเลขหกกี่ครั้งใน $300$ ครั้งโยนลูกเต๋า?
$$\frac{1}{6} \times 300 = 50.$$
สำรวจ
ความน่าจะเป็นของลูกเต๋าสองลูก
โยกลูกเต๋าสองลูกหลายครั้ง: แท่งกราฟเริ่มผันผวนแต่จะนิ่งลงเป็นสามเหลี่ยมทางทฤษฎีที่ยอดที่ 7 — ความน่าจะเป็นเชิงทดลองเข้าใกล้ทฤษฎี
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | ความถี่สัมพัทธ์ |
| fair/feə/ | fair (ยุติธรรม) |
| bias/ˈbaɪəs/ | อคติ |
| random/ˈrændəm/ | สุ่ม (random) |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | ความถี่ที่คาดหวัง |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | เหตุการณ์รวม |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | เหตุการณ์อิสระ (independent events) |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | ไม่อาจเกิดขึ้นพร้อมกัน |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | แผนภูมิพื้นที่ตัวอย่าง |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | แผนภาพเวนน์ |
8.3
เหตุการณ์รวม
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วม โดยใช้เมื่อเหมาะสม: •แผนภาพพื้นที่ตัวอย่าง •แผนภาพเวนน์ •แผนภาพต้นไม้. | เหตุการณ์ร่วมจะอยู่ภายใต้เงื่อนไขการแทนกลับ (with replacement) เท่านั้น. |
| แผนภาพเวนน์จะจำกัดไว้ที่สองเซตเท่านั้น. | |
| ในแผนภาพต้นไม้ ผลลัพธ์จะถูกเขียนที่ปลายกิ่ง และความน่าจะเป็นจะเขียนอยู่ข้างกิ่ง. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วม โดยใช้: • แผนภูมิพื้นที่ตัวอย่าง • แผนภาพเวนน์ (ตามความเหมาะสม) | เหตุการณ์ร่วมอาจมีหรือไม่มีสิ่งแทนที่. |
| สัญลักษณ์ $\text{P}(A \cap B)$ และ $\text{P}(A \cup B)$ อาจใช้ในบริบทของแผนภาพเวนน์. | |
| • ต้นไม้แสดงความน่าจะเป็น. | ในต้นไม้แสดงความน่าจะเป็น ผลลัพธ์จะเขียนไว้ที่ปลายกิ่ง และความน่าจะเป็นจะเขียนอยู่ข้างกิ่ง. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
สำหรับเหตุการณ์สองอย่างหรือมากกว่า (เหตุการณ์รวม), มีกฎสองข้อช่วย:
- AND (ทั้งสองเกิด): คูณ ความน่าจะเป็น — เมื่อเหตุการณ์它们是 อิสระต่อกัน (หนึ่งไม่ส่งผลต่ออีกหนึ่ง).
- OR (อย่างใดอย่างหนึ่งเกิด): บวก ความน่าจะเป็น — เมื่อเหตุการณ์它们是 แยกจากกัน (ไม่สามารถเกิดพร้อมกันได้).
รูปภาพสามภาพช่วยให้จัดระเบียบงานได้
แผนภูมิพื้นที่ตัวอย่าง
แผนภูมิพื้นที่ตัวอย่าง คือตารางหรือตาราง列举every possible outcome — มีประโยชน์สำหรับลูกเต๋าสองลูกหรือ spinner สองตัว. นับผลลัพธ์ที่ต้องการจากทั้งหมด.
แผนภูมิเวนน์
แผนภูมิเวนน์ แยกผลลัพธ์ออกเป็นเซตที่ซ้อนทับกัน. จากนี้สามารถอ่านค่า $\text{P}(A \cap B)$ (อยู่ในทั้งสอง) และ $\text{P}(A \cup B)$ (อยู่ในอย่างใดอย่างหนึ่ง).
แผนภูมิต้นไม้
แผนภูมิต้นไม้ แสดงแต่ละขั้นเป็นชุดกิ่งก้าน. เขียนความน่าจะเป็นบนแต่ละกิ่งและผลลัพธ์ที่ปลาย. คูณตาม กิ่ง แล้ว บวก เส้นทางที่เราต้องการ.
ตัวอย่างวิธีทำ (แบบมีคืน). จากถุง ($3$ สีแดง, $5$ สีน้ำเงิน) ดึงลูกปัดมาหนึ่งลูก คืนเข้าถุง แล้วดึงลูกที่สองมา. นี่คือ แบบมีคืน ดังนั้นโอกาสไม่เปลี่ยน. จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้สีแดงสองลูก.
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}.$$
ตัวอย่างวิธีทำ (แบบไม่มีคืน, ขยาย). ตอนนี้ลูกปัดแรก ไม่ ถูกคืน — การดึง แบบไม่มีคืน. หลังดึงสีแดงออกไปหนึ่งลูก จะเหลือ $2$ สีแดง จาก $7$ ลูก:
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}.$$
สำรวจ
ต้นไม้ความน่าจะเป็น
คูณความน่าจะเป็นตามกิ่งแต่ละเส้น; ผลลัพธ์สี่อย่างรวมกันได้ 1 เสมอ
สำรวจ
เหตุการณ์ร่วม
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
รวมสองเหตุการณ์: โมเดลพื้นที่ แสดง AND (ทับซ้อน) เทียบกับ OR ( unión )
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | แผนภาพต้นไม้ |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | ด้วยการนำกลับมาใช้ใหม่ |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | โดยไม่มีการนำกลับมาใช้ใหม่ |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข |
8.4
ความน่าจะเป็นเงื่อนไข (ขยาย)
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| คำนวณความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไขโดยใช้แผนภาพเวนน์ ต้นไม้แสดงความน่าจะเป็น และตาราง. | ไม่จำเป็นต้องรู้สัญลักษณ์ $\text{P}(A|B)$ และสูตรที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
ความน่าจะเป็นเงื่อนไข คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่ง เมื่อทราบว่ามี อื่นๆ เกิดขึ้นก่อนแล้ว. อ่านได้จากแผนภูมิเวนน์ ตารางสองทาง หรือแผนภูมิต้นไม้โดยการดูเฉพาะส่วนที่ตรงกับเงื่อนไขเท่านั้น.
ตัวอย่างวิธีทำ. ในชั้นเรียน $30$ คน, $18$ เรียนภาษาฝรั่งเศส และในจำนวนนั้น $7$ ยังเรียนภาษาเยอรมันด้วย. สุ่มเลือกนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส. จงหาความน่าจะเป็นที่เขา/เธอก็เรียนภาษาเยอรมันด้วย.
ดูเฉพาะ $18$ นักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส:
$$\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \frac{7}{18}.$$
สำรวจ
ต้นไม้ความน่าจะเป็น
เปลี่ยนความน่าจะเป็นในแต่ละกิ่งและอ่านความน่าจะเป็นร่วมและความน่าจะเป็นเงื่อนไขจาก ต้นไม้
8.4
ข้อแนะนำสำหรับการสอบ
- ทุกความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง $0$ และ $1$, และความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ทั้งหมดบวกกันได้ $1$.
- สำหรับ "and" (เหตุการณ์ทั้งสอง) คูณ ความน่าจะเป็น; สำหรับ "or" (เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่ง) บวก它们. บนแผนภูมิต้นไม้ คูณตามกิ่ง.
- ระวัง แบบไม่มีคืน: ความน่าจะเป็นครั้งที่สองเปลี่ยนไปเพราะมีไอเทมหนึ่งถูกนำออกไปแล้ว.
- ความถี่ที่คาดหวัง = ความน่าจะเป็น × จำนวนครั้งทดสอบ.
บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที