Статистический вывод для количественных данных: наклоны
Вот один класс на диаграмме рассеяния: часы подготовки внизу, балл за тест сбоку. Линия тренда идет вверх. Но это только один класс. Возьмите…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
9.1
Do Those Points Align? · Совпадают ли эти точки?
Syllabus · Программа
English
Enduring Understanding (VAR-1): Given that variation may be random or not, conclusions are uncertain.
Learning Objective VAR-1.K: Identify questions suggested by variation in scatter plots. [Skill 1.A]
VAR-1.K.1 Variation in points' positions relative to a theoretical line may be random or non-random.
Русский
Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.
Учебная цель VAR-1.K: Определять вопросы, возникающие в связи с вариацией на диаграммах рассеяния. [Навык 1.A]
VAR-1.K.1 Вариация положения точек относительно теоретической линии может быть случайной или неслучайной.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
A sample scatterplot 散点图 gives a sample slope 样本斜率$b$ for the least-squares regression 回归 line – but a different sample would give a slightly different slope. So $b$ is a statistic with sampling variability 抽样变异性, estimating the true (population) slope 总体斜率$\beta$. This unit does inference 推断 for $\beta$: is there a real linear 线性 relationship, and how strong is it?
Русский
Выборочная диаграмма рассеяния дает выборочный наклон$b$ для прямой наименьших квадратов регрессии, но другой выбор дал бы немного другой наклон. Следовательно, $b$ — это статистика с вариабельностью выборки, оценивающая истинный (популяционный) наклон$\beta$. В этом разделе рассматривается инференс для $\beta$: существует ли реальная линейная связь и насколько она сильна?
9.2
Confidence Interval for a Slope · Доверительный интервал для наклона
Syllabus · Программа
English
Enduring Understanding (UNC-4): An interval of values should be used to estimate parameters, in order to account for uncertainty.
Learning Objective UNC-4.AC: Identify an appropriate confidence interval procedure for a slope of a regression model. [Skill 1.D]
UNC-4.AC.1 Consider a response variable, $y$, that is linearly related to an explanatory variable, $x$. For a simple random sample of $n$ observations, the sample regression line, $\hat{y} = a + bx$, is an estimate of the population regression line $\mu_y = \alpha + \beta x$. For a particular observation, $(x_i, y_i)$, the residual from the sample regression line, $y_i - \hat{y}_i = y_i - (a + bx_i)$, is an estimate of $y_i - (\alpha + \beta x_i)$, the deviation of the response variable from the population regression line. For all points $(x, y)$ in the population, the standard deviation of all of the deviations of the response variable from the population regression line, $\sigma$, can be estimated by the standard deviation of the residuals from the sample regression line, $s = \sqrt{\dfrac{\sum\left(y_i - \hat{y}_i\right)^2}{n-2}}$. (Note: This formula uses $n-2$ in the denominator instead of $n-1$ because two parameters, $\alpha$ and $\beta$, must be estimated to obtain the predicted values from the least-squares regression line.)
UNC-4.AC.2 For a simple random sample of $n$ observations, let $b$ represent the slope of a sample regression line. Then the mean of the sampling distribution for $b$ equals the population slope: $\mu_b = \beta$. The standard deviation of the sampling distribution for $b$ is $\sigma_b = \dfrac{\sigma}{\sigma_x \sqrt{n}}$, where $\sigma_x = \sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n}}$.
UNC-4.AC.3 The appropriate confidence interval for the slope of a regression model is a $t$-interval for the slope.
Learning Objective UNC-4.AD: Verify the conditions to calculate confidence intervals for the slope of a regression model. [Skill 4.C]
UNC-4.AD.1 In order to calculate a confidence interval to estimate the slope of a regression line, we must check the following:
a. The true relationship between $x$ and $y$ is linear. Analysis of residuals may be used to verify linearity.
b. The standard deviation for $y$, $\sigma_y$, does not vary with $x$. Analysis of residuals may be used to check for approximately equal standard deviations for all $x$.
c. To check for independence:
i. Data should be collected using a random sample or a randomized experiment.
ii. When sampling without replacement, check that $n \le 10\% N$.
d. For a particular value of $x$, the responses ($y$-values) are approximately normally distributed. Analysis of graphical representations of residuals may be used to check for normality.
i. If the observed distribution is skewed, $n$ should be greater than 30.
Learning Objective UNC-4.AE: Determine the given margin of error for the slope of a regression model. [Skill 3.D]
UNC-4.AE.1 For the slope of a regression line, the margin of error is the critical value $\left(t^*\right)$ times the standard error ($SE$) of the slope.
UNC-4.AE.2 The standard error for the slope of a regression line with sample standard deviation, $s$, is $SE = \dfrac{s}{s_x \sqrt{n-1}}$, where $s$ is the estimate of $\sigma$ and $s_x$ is the sample standard deviation of the $x$ values.
Learning Objective UNC-4.AF: Calculate an appropriate confidence interval for the slope of a regression model. [Skill 3.D]
UNC-4.AF.1 The point estimate for the slope of a regression model is the slope of the line of best fit, $b$.
UNC-4.AF.2 For the slope of a regression model, the interval estimate is $b \pm t^* \left(SE_b\right)$.
Русский
Продолжающееся понимание (UNC-4): Доверительный интервал значений следует использовать для оценки параметров, чтобы учесть неопределенность.
Учебная цель UNC-4.AC: Выбрать соответствующую процедуру доверительного интервала для наклона регрессионной модели. [Навык 1.D]
UNC-4.AC.1 Рассмотрите переменную отклика $y$, которая линейно связана с объясняющей переменной $x$. Для простого случайного выборочного набора из $n$ наблюдений выборочная линия регрессии $\hat{y} = a + bx$ является оценкой генеральной линии регрессии $\mu_y = \alpha + \beta x$. Для конкретного наблюдения $(x_i, y_i)$ остаток от выборочной линии регрессии $y_i - \hat{y}_i = y_i - (a + bx_i)$ является оценкой $y_i - (\alpha + \beta x_i)$ — отклонения переменной отклика от генеральной линии регрессии. Для всех точек $(x, y)$ в генеральной совокупности стандартное отклонение всех отклонений переменной отклика от генеральной линии регрессии $\sigma$ может быть оценено стандартным отклонением остатков от выборочной линии регрессии $s = \sqrt{\dfrac{\sum\left(y_i - \hat{y}_i\right)^2}{n-2}}$. (Примечание: Эта формула использует $n-2$ в знаменателе вместо $n-1$, поскольку для получения предсказанных значений по методу наименьших квадратов необходимо оценить два параметра: $\alpha$ и $\beta$).
UNC-4.AC.2 Для простого случайного выборочного набора из $n$ наблюдений пусть $b$ представляет собой наклон выборочной линии регрессии. Тогда среднее значение выборочного распределения для $b$ равно генеральному наклону: $\mu_b = \beta$. Стандартное отклонение выборочного распределения для $b$ равно $\sigma_b = \dfrac{\sigma}{\sigma_x \sqrt{n}}$, где $\sigma_x = \sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n}}$.
UNC-4.AC.3 Подходящим доверительным интервалом для наклона модели регрессии является $t$-интервал для наклона.
Цель обучения UNC-4.AD: Проверить условия вычисления доверительных интервалов для наклона модели регрессии. [Навык 4.C]
UNC-4.AD.1 Чтобы вычислить доверительный интервал для оценки наклона линии регрессии, необходимо проверить следующее:
a. Истинная связь между $x$ и $y$ является линейной. Анализ остатков может быть использован для проверки линейности.
b. Стандартное отклонение для $y$, обозначаемое как $\sigma_y$, не изменяется вместе со $x$. Анализ остатков может быть использован для проверки приблизительно равных стандартных отклонений для всех $x$.
c. Для проверки независимости:
i. Данные следует собирать с использованием случайной выборки или рандомизированного эксперимента.
ii. При выборке без возвращения проверьте, что $n \le 10\% N$.
d. Для определенного значения $x$ ответы (значения $y$) приблизительно распределены нормально. Анализ графических представлений остатков может быть использован для проверки нормальности.
i. Если наблюдаемое распределение скошено, размер выборки $n$ должен быть больше 30.
Цель обучения UNC-4.AE: Определить заданную ошибку предельную для наклона модели регрессии. [Навык 3.D]
UNC-4.AE.1 Для наклона линии регрессии предельная ошибка равна критическому значению $\left(t^*\right)$, умноженному на стандартную ошибку ($SE$) наклона.
UNC-4.AE.2 Стандартная ошибка наклона линии регрессии с выборочным стандартным отклонением $s$ равна $SE = \dfrac{s}{s_x \sqrt{n-1}}$, где $s$ — оценка $\sigma$, а $s_x$ — выборочное стандартное отклонение значений $x$.
Цель обучения UNC-4.AF: Вычислить подходящий доверительный интервал для наклона модели регрессии. [Навык 3.D]
UNC-4.AF.1 Точечной оценкой для наклона модели регрессии является наклон линии наилучшего соответствия $b$.
UNC-4.AF.2 Для наклона модели регрессии интервальная оценка равна $b \pm t^* \left(SE_b\right)$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
A $t$ interval for the true slope $\beta$:
$$b\pm t^{*}\,SE_b,\qquad df=n-2,$$
where $b$ is the sample slope and $SE_b$ its standard error (read from computer output). Conditions (LINER): the true relationship is Linear, observations Independent, residuals Normal, and residuals have Equal spread (check the residual plot and a histogram of residuals), from Random data. Interpret the interval for $\beta$ in context, with units of $y$ per unit of $x$.
The residual plot 残差图 is where you check Linear and Equal-spread: you want a formless cloud around zero. A curve means the relationship is not linear; a fan (spread growing with $x$) means the residuals do not have equal spread – both break a condition.
Worked example. Regression output gives slope $b=2.5$ with $SE_b=0.8$ from $n=20$ points. For a $95\%$ interval, $df=18$ gives $t^*=2.101$:
$$2.5\pm2.101(0.8)=2.5\pm1.68=(0.82,\ 4.18).$$
Because $0$ is not in the interval, there is evidence of a positive linear relationship.
Русский
$t$ интервал для истинного наклона $\beta$:
$$b\pm t^{*}\,SE_b,\qquad df=n-2,$$
где $b$ — выборочный наклон, а $SE_b$ его стандартная ошибка (берется из вывода программы). Условия (LINER): истинная зависимость Линейная, наблюдения Независимые, остатки Нормальные, и остатки имеют Равную вариабельность (проверьте график остатков и гистограмму остатков), данные получены Случайным образом. Интерпретируйте интервал для $\beta$ в контексте, в единицах $y$ на единицу $x$.
Случайный, безрисковый график остатков подтверждает условия; кривая или ведро — нет
График остатков — это место, где вы проверяете Линейность и Равную вариабельность: вам нужно бесформенное облако вокруг нуля. Кривая означает, что зависимость не линейна; ведро (вариабельность растет вместе с $x$) означает, что остатки не имеют равной вариабельности — оба нарушают условие.
Разобранное решение. Вывод регрессии дает наклон $b=2.5$ со $SE_b=0.8$ на основе $n=20$ точек. Для $95\%$ интервала, $df=18$ дает $t^*=2.101$:
$$2.5\pm2.101(0.8)=2.5\pm1.68=(0.82,\ 4.18).$$
Поскольку $0$не входит в интервал, существует доказательство положительной линейной зависимости.
Инференс для наклона основан на прямой наименьших квадратов через точкиМетод наименьших квадратов: прямая, минимизирующая сумму квадратов остатков
Explore · Исследовать
Inference for a regression slope · Выводы о наклоне регрессии
The sample slope varies from sample to sample; a confidence interval and t-test ask whether the true slope could be zero (no linear relationship). · Выборочный наклон варьируется от выборки к выборке; доверительный интервал и t-тест спрашивают, может ли истинный наклон быть равен нулю (нет линейной зависимости).
Justifying a Claim About a Slope · Обоснование утверждения о наклоне
Syllabus · Программа
English
Enduring Understanding (UNC-4): An interval of values should be used to estimate parameters, in order to account for uncertainty.
Learning Objective UNC-4.AG: Interpret a confidence interval for the slope of a regression model. [Skill 4.B]
UNC-4.AG.1 In repeated random sampling with the same sample size, approximately C% of confidence intervals created will capture the slope of the regression model, i.e., the true slope of the population regression model.
UNC-4.AG.2 An interpretation for a confidence interval for the slope of a regression line should include a reference to the sample taken and details about the population it represents.
Learning Objective UNC-4.AH: Justify a claim based on a confidence interval for the slope of a regression model. [Skill 4.D]
UNC-4.AH.1 A confidence interval for the slope of a regression model provides an interval of values that may provide sufficient evidence to support a particular claim in context.
Learning Objective UNC-4.AI: Identify the effects of sample size on the width of a confidence interval for the slope of a regression model. [Skill 4.A]
UNC-4.AI.1 When all other things remain the same, the width of the confidence interval for the slope of a regression model tends to decrease as the sample size increases.
Русский
Продолжающееся понимание (UNC-4): Доверительный интервал значений следует использовать для оценки параметров, чтобы учесть неопределенность.
Цель обучения UNC-4.AG: Интерпретировать доверительный интервал для наклона модели регрессии. [Навык 4.B]
UNC-4.AG.1 При многократном повторении случайной выборки с тем же объемом выборки приблизительно C% созданных доверительных интервалов будут включать наклон модели регрессии, т. е. истинный наклон генеральной линии регрессии.
UNC-4.AG.2 Интерпретация доверительного интервала для наклона линии регрессии должна содержать ссылку на взятую выборку и детали, касающиеся представляемой ею генеральной совокупности.
Цель обучения UNC-4.AH: Обосновать утверждение на основе доверительного интервала для наклона модели регрессии. [Навык 4.D]
UNC-4.AH.1 Доверительный интервал для наклона модели регрессии предоставляет диапазон значений, который может служить достаточным доказательством для поддержки конкретного утверждения в контексте задачи.
Цель обучения UNC-4.AI: Определить влияние объема выборки на ширину доверительного интервала для наклона модели регрессии. [Навык 4.A]
UNC-4.AI.1 При неизменных остальных условиях ширина доверительного интервала для наклона модели регрессии имеет тенденцию уменьшаться по мере увеличения объема выборки.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
If the confidence interval for $\beta$ contains $0$, a slope of zero is plausible – no evidence of a linear relationship. If the interval is entirely positive or negative, there is evidence of a real (positive or negative) linear relationship. State the direction in context.
Русский
Если доверительный интервал для $\beta$ содержит $0$, наклон, равный нулю, возможен — нет доказательств линейной связи. Если интервал полностью положителен или отрицателен, есть доказательства реальной (положительной или отрицательной) линейной связи. Укажите направление в контексте.
9.4
Setting Up a Test for a Slope · Постановка теста для наклона
Syllabus · Программа
English
Enduring Understanding (VAR-7): The $t$-distribution may be used to model variation.
Learning Objective VAR-7.J: Identify the appropriate selection of a testing method for a slope of a regression model. [Skill 1.E]
VAR-7.J.1 The appropriate test for the slope of a regression model is a $t$-test for a slope.
Learning Objective VAR-7.K: Identify appropriate null and alternative hypotheses for a slope of a regression model. [Skill 1.F]
VAR-7.K.1 The null hypothesis for a $t$-test for a slope is: $H_0 : \beta = \beta_0$, where $\beta_0$ is the hypothesized value from the null hypothesis. The alternative hypothesis is $H_0 : \beta < \beta_0$ or $H_0 : \beta > \beta_0$, or $H_0 : \beta \neq \beta_0$.
Learning Objective VAR-7.L: Verify the conditions for the significance test for the slope of a regression model. [Skill 4.C]
VAR-7.L.1 In order to make statistical inferences when testing for the slope of a regression model, we must check the following:
a. The true relationship between $x$ and $y$ is linear. Analysis of residuals may be used to verify linearity.
b. The standard deviation for $y$, $\sigma_y$, does not vary with $x$. Analysis of residuals may be used to check for approximately equal standard deviations for all $x$.
c. To check for independence:
i. Data should be collected using a random sample or a randomized experiment.
ii. When sampling without replacement, check that $n \le 10\% N$.
d. For a particular value of $x$, the responses ($y$-values) are approximately normally distributed. Analysis of graphical representations of residuals may be used to check for normality.
i. If the observed distribution is skewed, $n$ should be greater than 30.
ii. If the sample size is less than 30, the distribution of the sample data should be free from strong skewness and outliers.
Русский
Долговременное понимание (VAR-7): Распределение $t$ может использоваться для моделирования вариативности.
Цель обучения VAR-7.J: Определить подходящую выборку метода тестирования для наклона модели регрессии. [Навык 1.E]
VAR-7.J.1 Подходящим тестом для наклона модели регрессии является $t$-тест для наклона.
Цель обучения VAR-7.K: Определить подходящие нулевую и альтернативную гипотезы для наклона модели регрессии. [Навык 1.F]
VAR-7.K.1 Нулевая гипотеза для $t$-теста для наклона: $H_0 : \beta = \beta_0$, где $\beta_0$ — предполагаемое значение из нулевой гипотезы. Альтернативная гипотеза: $H_0 : \beta < \beta_0$ или $H_0 : \beta > \beta_0$, или $H_0 : \beta \neq \beta_0$.
Цель обучения VAR-7.L: Проверить условия для теста значимости наклона модели регрессии. [Навык 4.C]
VAR-7.L.1 Для проведения статистического вывода при тестировании наклона модели регрессии необходимо проверить следующее:
a. Истинная связь между $x$ и $y$ является линейной. Анализ остатков может быть использован для проверки линейности.
b. Стандартное отклонение для $y$, обозначаемое как $\sigma_y$, не изменяется вместе со $x$. Анализ остатков может быть использован для проверки приблизительно равных стандартных отклонений для всех $x$.
c. Для проверки независимости:
i. Данные следует собирать с использованием случайной выборки или рандомизированного эксперимента.
ii. При выборке без возвращения проверьте, что $n \le 10\% N$.
d. Для определенного значения $x$ ответы (значения $y$) приблизительно распределены нормально. Анализ графических представлений остатков может быть использован для проверки нормальности.
i. Если наблюдаемое распределение скошено, размер выборки $n$ должен быть больше 30.
ii. Если размер выборки меньше 30, распределение выборочных данных должно быть свободным от сильной асимметрии и выбросов.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
The usual test asks whether there is any linear relationship:
$$H_0:\beta=0 \quad(\text{no linear relationship})\qquad H_a:\beta\neq 0 \ (\text{or } <,\,>).$$
Check the LINER conditions. This is a $t$-test on the slope.
Русский
Обычный тест спрашивает, существует ли какая-либо линейная связь:
$$H_0:\beta=0 \quad(\text{no linear relationship})\qquad H_a:\beta\neq 0 \ (\text{or } <,\,>).$$
Проверьте условия LINER. Это $t$-тест для наклона.
Проверяйте графики остатков перед тем, как доверять доверительному интервалу или тесту наклона
9.5
Carrying Out a Test for a Slope · Проведение теста для наклона
Syllabus · Программа
English
Enduring Understanding (VAR-7): The $t$-distribution may be used to model variation.
Learning Objective VAR-7.M: Calculate an appropriate test statistic for the slope of a regression model. [Skill 3.E]
VAR-7.M.1 The distribution of the slope of a regression model assuming all conditions are satisfied and the null hypothesis is true (null distribution) is a $t$-distribution.
VAR-7.M.2 For simple linear regression when random sampling from a population for the response that can be modeled with a normal distribution for each value of the explanatory variable, the sampling distribution of $t = \dfrac{b - \beta}{SE_b}$ has a $t$-distribution with degrees of freedom equal to $n - 2$. When testing the slope in a simple linear regression model with one parameter, the slope, the test for the slope has $df = n - 1$.
Enduring Understanding (DAT-3): Significance testing allows us to make decisions about hypotheses within a particular context.
Learning Objective DAT-3.M: Interpret the $p$-value of a significance test for the slope of a regression model. [Skill 4.B]
DAT-3.M.1 An interpretation of the $p$-value of a significance test for the slope of a regression model should recognize that the $p$-value is computed by assuming that the null hypothesis is true, i.e., by assuming that the true population slope is equal to the particular value stated in the null hypothesis.
Learning Objective DAT-3.N: Justify a claim about the population based on the results of a significance test for the slope of a regression model. [Skill 4.E]
DAT-3.N.1 A formal decision explicitly compares the $p$-value to the significance $\alpha$. If the $p$-value $\le \alpha$, then reject the null hypothesis, $H_0 : \beta = \beta_0$. If the $p$-value $> \alpha$, then fail to reject the null hypothesis.
DAT-3.N.2 The results of a significance test for the slope of a regression model can serve as the statistical reasoning to support the answer to a research question about that sample.
Русский
Долговременное понимание (VAR-7): Распределение $t$ может использоваться для моделирования вариативности.
Цель обучения VAR-7.M: Вычислить подходящий тестовый статистический показатель для наклона модели регрессии. [Навык 3.E]
VAR-7.M.1 Распределение наклона модели регрессии при выполнении всех условий и истинности нулевой гипотезы (нулевое распределение) представляет собой распределение $t$.
VAR-7.M.2 Для простой линейной регрессии, когда случайная выборка из популяции для отклика может быть смоделирована с помощью нормального распределения для каждого значения объясняющей переменной, выборочное распределение $t = \dfrac{b - \beta}{SE_b}$ имеет распределение $t$ со степенями свободы, равными $n - 2$. При проверке наклона в модели простой линейной регрессии с одним параметром наклон, тест для наклона имеет $df = n - 1$.
Продолжающееся понимание (DAT-3): Тестирование значимости позволяет нам принимать решения относительно гипотез в конкретном контексте.
Цель обучения DAT-3.M: Интерпретировать значение p $p$ значимости теста для наклона модели регрессии. [Навык 4.B]
DAT-3.M.1 Интерпретация значения p $p$ значимости теста для наклона модели регрессии должна учитывать, что значение p $p$ вычисляется при допущении истинности нулевой гипотезы, т. е. при допущении, что истинный наклон популяции равен конкретному значению, указанному в нулевой гипотезе.
Цель обучения DAT-3.N: Обосновывать утверждение о популяции на основе результатов значимости теста для наклона модели регрессии. [Навык 4.E]
DAT-3.N.1 Официальное решение явно сравнивает значение p $p$ с уровнем значимости $\alpha$. Если значение p $p$ ≤ $\le \alpha$, то отвергаем нулевую гипотезу, $H_0 : \beta = \beta_0$. Если значение p $p$ > $> \alpha$, то не отвергаем нулевую гипотезу.
DAT-3.N.2 Результаты значимости теста для наклона модели регрессии могут служить статистическим обоснованием для ответа на исследовательский вопрос об этой выборке.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
The slope $t$ statistic:
$$t=\frac{b-0}{SE_b},\qquad df=n-2.$$
Both $b$ and $SE_b$ come straight from the regression output. Find the $p$-value from the $t$-distribution, compare to $\alpha$, and conclude in context – evidence (or not) of a linear relationship between the two variables.
Watch the tails. Regression output always prints the two-tailed$p$-value (for $H_a:\beta\neq 0$). If your $H_a$ is one-tailed, halve it – and first check the sample slope really points the way $H_a$ claims; if it points the other way, the one-tailed $p$-value is above $0.5$ and you cannot reject $H_0$.
Worked example. For the same output ($b=2.5$, $SE_b=0.8$, $n=20$), test $H_0:\beta=0$:
$$t=\frac{2.5-0}{0.8}=3.13,\qquad df=18,$$
a small $p$-value ($<0.01$), so reject $H_0$ – convincing evidence of a linear relationship. This matches the interval, which excluded $0$.
Русский
Статистика наклона $t$:
$$t=\frac{b-0}{SE_b},\qquad df=n-2.$$
И $b$, и $SE_b$ берутся напрямую из вывода регрессии. Найдите $p$-значение из распределения $t$, сравните с $\alpha$ и сделайте вывод в контексте — доказательства (или их отсутствие) линейной связи между двумя переменными.
Следите за хвостами. Вывод регрессии всегда печатает двустороннее$p$-значение (для $H_a:\beta\neq 0$). Если ваш $H_a$ односторонний, разделите его пополам — и сначала проверьте, действительно ли выборочный наклон указывает туда, куда утверждает $H_a$; если он указывает в другую сторону, одностороннее $p$-значение выше $0.5$, и вы не можете отвергнуть $H_0$.
Разобранный пример. Для тех же данных ($b=2.5$, $SE_b=0.8$, $n=20$) проверьте гипотезу $H_0:\beta=0$:
$$t=\frac{2.5-0}{0.8}=3.13,\qquad df=18,$$
маленькое $p$-значение ($<0.01$), поэтому отвергаем $H_0$ — убедительные доказательства линейной зависимости. Это согласуется с интервалом, который исключал $0$.
9.6
Selecting the Right Procedure · Выбор правильной процедуры
Syllabus · Программа
English
This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate inference procedure now that students have a range of options. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to inference.
Русский
Эта тема направлена на развитие навыка выбора подходящей процедуры вывода после того, как у студентов появился набор вариантов. Студентам следует предоставить возможность практиковать, когда и как применять все цели обучения, связанные с выводом.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Across all of inference, identify: what is estimated or claimed (a proportion, a mean, a difference, a distribution of counts, or a slope), how many samples, and which design (independent or paired; sample or experiment). Then name the procedure, verify its conditions, carry it out, and communicate the conclusion with the statistic, the $p$-value or interval, and a plain-language answer in context. This selecting-and-communicating skill is what the investigative-task question rewards most.
Русский
На всем протяжении инференса определите: что оценивается или утверждается (доля, среднее, разница, распределение частот или наклон), сколько выборок и какой дизайн (независимый или парный; выборочное исследование или эксперимент). Затем назовите процедуру, проверьте её условия, проведите анализ и сообщите результат со статистикой, $p$-значением или интервалом и ответом простым языком в контексте. Этот навык выбора и коммуникации наиболее высоко оценивается в вопросах исследовательских задач.
9.6
Exam tips · Советы для экзамена
English
Inference for a slope tests whether the true slope is $0$ (no linear relationship).
If a slope's confidence interval includes 0, you cannot conclude a real linear relationship – the variables may still be related in a curved way.
Read the slope, standard error, t-statistic, and p-value straight from computer output – but the printed p-value is two-tailed, so halve it for a one-tailed $H_a$.
Check the regression conditions (linearity, independence, roughly normal residuals, equal spread) via the residual plot.
Interpret the interval and test in context, tied to the true slope.
Русский
Инференс для наклона проверяет, равен ли истинный наклон $0$ (нет линейной связи).
Если доверительный интервал наклона включает 0, вы не можете сделать вывод о реальной линейной связи — переменные могут все еще быть связаны криволинейно.
Считайте наклон, стандартную ошибку, t-статистику и p-значение напрямую из вывода программы, но напечатанное p-значение является двусторонним, поэтому разделите его пополам для одностороннего $H_a$.
Проверьте условия регрессии (линейность, независимость, приблизительно нормальные остатки, равная вариабельность) по графику остатков.
Интерпретируйте интервал и тест в контексте, привязываясь к истинному наклону.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
