Inferência para Dados Quantitativos: Médias

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.I: Identificar perguntas sugeridas por probabilidades de erros em inferência estatística. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.I.1 A variação aleatória pode resultar em erros na inferência estatística.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.A: Descrever distribuições $t$. [Habilidade 3.C]

• VAR-7.A.1 Quando $s$ é usado em vez de $\sigma$ para calcular uma estatística de teste, a distribuição correspondente, conhecida como distribuição $t$, varia da distribuição normal na forma, pois mais da área é alocada nas caudas da curva de densidade do que em uma distribuição normal.
• VAR-7.A.2 À medida que os graus de liberdade aumentam, a área nas caudas de uma distribuição $t$ diminui.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.O: Identificar um procedimento de intervalo de confiança apropriado para uma média populacional, incluindo a diferença média entre valores em pares pareados. [Habilidade 1.D]

• UNC-4.O.1 Como $\sigma$ geralmente não é conhecido para distribuições de variáveis quantitativas, o procedimento de intervalo de confiança apropriado para estimar a média populacional de uma variável quantitativa para uma amostra é um intervalo $t$ de uma amostra para uma média.
• UNC-4.O.2 Para uma variável quantitativa, $X$, que segue uma distribuição normal, a distribuição de $t = \dfrac{(\overline{x} - \mu)}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ é uma distribuição $t$ com $n-1$ graus de liberdade.
• UNC-4.O.3 Pares pareados podem ser pensados como uma única amostra de pares. Uma vez que as diferenças entre os pares de valores são encontradas, a inferência para intervalos de confiança prossegue como para uma média populacional.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.P: Verificar as condições para o cálculo de intervalos de confiança para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 4.C]

• UNC-4.P.1 Para calcular intervalos de confiança para estimar uma média populacional, devemos verificar a independência e que a distribuição amostral é aproximadamente normal:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou um experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \leq 10\%N$, onde $N$ é o tamanho da população.
  • b. Para verificar que a distribuição amostral de $\overline{x}$ é aproximadamente normal (forma):
    • i. Se a distribuição observada for assimétrica, $n$ deve ser maior que 30.
    • ii. Se o tamanho da amostra for menor que 30, a distribuição dos dados da amostra deve estar livre de assimetria forte e outliers.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.Q: Determinar a margem de erro para um tamanho de amostra dado para um intervalo $t$ de uma amostra única. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.Q.1 O valor crítico $t^*$ com $n-1$ graus de liberdade pode ser encontrado usando uma tabela ou saída gerada por computador.
• UNC-4.Q.2 O erro padrão para uma média amostral é dado por $SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$, onde $s$ é o desvio padrão amostral.
• UNC-4.Q.3 Para um intervalo $t$ de uma amostra para uma média, a margem de erro é o valor crítico ($t^*$) vezes o erro padrão ($SE$), que é igual a $t^*\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.R: Calcular um intervalo de confiança adequado para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.R.1 A estimativa pontual para uma média populacional é a média amostral, $\overline{x}$.
• UNC-4.R.2 Para a média populacional de uma amostra com desvio padrão populacional desconhecido, o intervalo de confiança é $\overline{x} \pm t^* \dfrac{s}{\sqrt{n}}$.

Declaração de fronteira: As fórmulas para estimativas de intervalo não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas de Estatística AP fornecida no Exame de Estatística AP. No entanto, essas fórmulas não precisam ser decoradas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral do estatístico de teste e nas fórmulas relevantes de erro padrão que estão fornecidas na folha de fórmulas.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.S: Interpretar um intervalo de confiança para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 4.B]

• UNC-4.S.1 Um intervalo de confiança para uma média populacional contém a média populacional ou não, porque cada intervalo se baseia em dados de uma amostra aleatória, que varia de amostra para amostra.
• UNC-4.S.2 Estamos C% confiantes de que o intervalo de confiança para uma média populacional captura a média populacional.
• UNC-4.S.3 Uma interpretação de um intervalo de confiança para uma média populacional inclui uma referência à amostra coletada e detalhes sobre a população que ela representa.
  • Exemplos ilustrativos para UNC-4.S.3: Para interpretar um intervalo de confiança de 96% para o comprimento médio do pé em todas as pegadas encontradas em uma caverna, com base em uma amostra aleatória específica de pegadas na caverna: "Temos 96% de confiança de que o comprimento médio do pé em todas as pegadas encontradas na caverna está dentro do intervalo de confiança" (com base no 2000 FRQ 2).

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.T: Justificar uma afirmação baseada em um intervalo de confiança para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 4.D]

• UNC-4.T.1 Um intervalo de confiança para uma média populacional fornece um intervalo de valores que pode fornecer evidências suficientes para apoiar uma afirmação particular no contexto.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.U: Identificar as relações entre o tamanho da amostra, a largura de um intervalo de confiança, o nível de confiança e a margem de erro para uma média populacional. [Habilidade 4.A]

• UNC-4.U.1 Quando todas as outras coisas permanecem as mesmas, a largura de um intervalo de confiança para uma média populacional tende a diminuir à medida que o tamanho da amostra aumenta.
• UNC-4.U.2 Para uma média única, a largura do intervalo é proporcional a $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
• UNC-4.U.3 Para uma amostra dada, a largura do intervalo de confiança para uma média populacional aumenta à medida que o nível de confiança aumenta.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.B: Identificar um método de teste adequado para uma média populacional com $\sigma$ desconhecido, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 1.E]

• VAR-7.B.1 O teste apropriado para uma média populacional com $\sigma$ desconhecido é um teste $t$ de uma amostra para uma média populacional.
• VAR-7.B.2 Pares pareados podem ser pensados como uma única amostra de pares. Uma vez que as diferenças entre os pares de valores são encontradas, a inferência para testes de significância prossegue como para uma média populacional.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.C: Identificar as hipóteses nula e alternativa para uma média populacional com $\sigma$ desconhecido, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 1.F]

• VAR-7.C.1 A hipótese nula para um teste $t$ de uma amostra para uma média populacional é $H_0 : \mu = \mu_0$, onde $\mu_0$ é o valor hipotetizado. Dependendo da situação, a hipótese alternativa é $H_a : \mu < \mu_0$, ou $H_a : \mu > \mu_0$, ou $H_a : \mu \neq \mu_0$.
• VAR-7.C.2 Ao encontrar a média das diferenças, $\mu_d$, entre valores em um par pareado, é importante definir a ordem da subtração.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.D: Verificar as condições para o teste para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 4.C]

• VAR-7.D.1 Para fazer inferências estatísticas ao testar uma média populacional, devemos verificar a independência e que a distribuição amostral é aproximadamente normal:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou um experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \leq 10\%N$.
  • b. Para verificar que a distribuição amostral de $\overline{x}$ é aproximadamente normal (forma):
    • i. Se a distribuição observada for assimétrica, $n$ deve ser maior que 30.
    • ii. Se o tamanho da amostra for menor que 30, a distribuição dos dados da amostra deve estar livre de assimetria forte e outliers.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.E: Calcular um estatístico de teste adequado para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 3.E]

• VAR-7.E.1 Para uma única variável quantitativa quando a amostragem com reposição é feita de uma população que pode ser modelada com uma distribuição normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$, a distribuição amostral de $t = \dfrac{\overline{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ tem uma distribuição $t$ com $n - 1$ graus de liberdade.

Declaração de fronteira: As fórmulas para estatísticos de teste não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas de Estatística AP fornecida no Exame de Estatística AP. No entanto, essas fórmulas não precisam ser decoradas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral do estatístico de teste e nas fórmulas relevantes de erro padrão que estão fornecidas na folha de fórmulas.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de aprendizagem DAT-3.E: Interpretar o valor $p$ de um teste de significância para uma média populacional, incluindo a diferença média entre valores em pares emparelhados. [Habilidade 4.B]

• DAT-3.E.1 Uma interpretação do valor-p $p$ de um teste de significância para uma média populacional deve reconhecer que o valor-p $p$ é calculado assumindo que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, assumindo que a verdadeira média populacional é igual ao valor específico declarado na hipótese nula.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.F: Justificar uma afirmação sobre a população com base nos resultados de um teste de significância para uma média populacional. [Habilidade 4.E]

• DAT-3.F.1 Uma decisão formal compara explicitamente o valor $p$ ao nível de significância $\alpha$. Se o valor $p$ for menor ou igual a $\leq \alpha$, rejeite a hipótese nula, $H_0 : \mu = \mu_0$. Se o valor $p$ for maior que $> \alpha$, não rejeite a hipótese nula.
• DAT-3.F.2 Os resultados de um teste de significância para uma média populacional podem servir como raciocínio estatístico para suportar a resposta a uma pergunta de pesquisa sobre a população que foi amostrada.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.V: Identificar um procedimento de intervalo de confiança adequado para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 1.D]

• UNC-4.V.1 Considere uma amostra aleatória simples da população 1 de tamanho $n_1$, média $\mu_1$ e desvio padrão $\sigma_1$ e uma segunda amostra aleatória simples da população 2 de tamanho $n_2$, média $\mu_2$ e desvio padrão $\sigma_2$. Se as distribuições das populações 1 e 2 forem normais ou se ambos $n_1$ e $n_2$ forem maiores que 30, então a distribuição amostral da diferença de médias, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ também é normal. A média para a distribuição amostral de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ é $\mu_1 - \mu_2$. O desvio padrão de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ é $\sqrt{\dfrac{(\sigma_1)^2}{n_1} + \dfrac{(\sigma_2)^2}{n_2}}$.
• UNC-4.V.2 O procedimento de intervalo de confiança apropriado para uma variável quantitativa para duas amostras independentes é um intervalo $t$ de duas amostras para uma diferença entre médias populacionais.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.W: Verificar as condições para calcular intervalos de confiança para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 4.C]

• UNC-4.W.1 Para calcular intervalos de confiança para estimar a diferença de médias populacionais, devemos verificar a independência e que a distribuição amostral é aproximadamente normal:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando duas amostras aleatórias independentes ou um experimento aleatorizado.
    • ii. Quando a amostragem for sem reposição, verifique que $n_1 \leq 10\%N_1$ e $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Para verificar que a distribuição amostral de $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2)$ deve ser aproximadamente normal (forma):
    • i. Se as distribuições observadas forem assimétricas, tanto $n_1$ quanto $n_2$ devem ser maiores que 30.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.X: Determinar a margem de erro para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.X.1 Para a diferença de duas médias amostrais, a margem de erro é o valor crítico ($t^*$) vezes o erro padrão ($SE$) da diferença de duas médias.
• UNC-4.X.2 O erro padrão para a diferença em duas médias amostrais com desvios padrão amostrais, $s_1$ e $s_2$, é $\sqrt{\dfrac{(s_1)^2}{n_1} + \dfrac{(s_2)^2}{n_2}}$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.Y: Calcular um intervalo de confiança adequado para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.Y.1 A estimativa pontual para a diferença de duas médias populacionais é a diferença nas médias amostrais, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$.
• UNC-4.Y.2 Para uma diferença de duas médias populacionais onde os desvios padrão populacionais não são conhecidos, o intervalo de confiança é $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) \pm t^* \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}$ onde $\pm t^*$ são os valores críticos para o C% central de uma distribuição $t$ com os graus de liberdade apropriados que podem ser encontrados usando tecnologia.

Declaração de fronteira: As fórmulas para estimativas de intervalo não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas de Estatística AP fornecida no Exame de Estatística AP. No entanto, essas fórmulas não precisam ser decoradas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral do estatístico de teste e nas fórmulas relevantes de erro padrão que estão fornecidas na folha de fórmulas.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.Z: Interpretar um intervalo de confiança para a diferença de médias populacionais. [Habilidade 4.B]

• UNC-4.Z.1 Em amostragens aleatórias repetidas com o mesmo tamanho de amostra, aproximadamente C% dos intervalos de confiança criados capturarão a diferença das médias populacionais.
• UNC-4.Z.2 Uma interpretação para um intervalo de confiança para a diferença de duas médias populacionais deve incluir uma referência às amostras coletadas e detalhes sobre as populações que elas representam.
  • Exemplos ilustrativos para UNC-4.Z.2: Para interpretar um intervalo de confiança para a diferença entre os tempos médios de resposta de duas estações de bombeiros (norte - sul): "Com base nessas amostras, pode-se ter 95 por cento de confiança de que a diferença nas médias populacionais dos tempos de resposta (norte - sul) está entre -2.37 minutos e 0.37 minutos" (2009 FRQ 4).

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AA: Justificar uma afirmação baseada em um intervalo de confiança para a diferença de médias populacionais. [Habilidade 4.D]

• UNC-4.AA.1 Um intervalo de confiança para a diferença de médias populacionais fornece um intervalo de valores que pode fornecer evidências suficientes para apoiar uma afirmação particular no contexto.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AB: Identificar os efeitos do tamanho da amostra na largura de um intervalo de confiança para a diferença de duas médias. [Habilidade 4.A]

• UNC-4.AB.1 Quando todas as outras coisas permanecem as mesmas, a largura do intervalo de confiança para a diferença de duas médias tende a diminuir à medida que os tamanhos das amostras aumentam.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.F: Identificar uma seleção apropriada de método de teste para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 1.E]

• VAR-7.F.1 Para uma variável quantitativa, o teste apropriado para a diferença de duas médias populacionais é um teste t de duas amostras $t$ para a diferença de duas médias populacionais.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.G: Identificar as hipóteses nula e alternativa para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 1.F]

• VAR-7.G.1 A hipótese nula para um teste t de duas amostras $t$ para a diferença de duas médias populacionais, $\mu_1$ e $\mu_2$, é: $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, ou $H_0 : \mu_1 = \mu_2$. A hipótese alternativa é $H_a : \mu_1 - \mu_2 < 0$, ou $H_a : \mu_1 - \mu_2 > 0$, ou $H_a : \mu_1 - \mu_2 \neq 0$, ou $H_a : \mu_1 > \mu_2$, ou $H_a : \mu_1 < \mu_2$, ou $H_a : \mu_1 \neq \mu_2$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.H: Verificar as condições para o teste de significância para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 4.C]

• VAR-7.H.1 Para fazer inferências estatísticas ao testar uma diferença entre médias populacionais, devemos verificar a independência e que a distribuição amostral é aproximadamente normal:
  • a. As observações individuais devem ser independentes:
    • i. Os dados devem ser coletados usando amostras aleatórias simples ou um experimento randomizado.
    • ii. Quando a amostragem for sem reposição, verifique que $n_1 \leq 10\%N_1$ e $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. A distribuição amostral de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ deve ser aproximadamente normal (forma).
    • i. Se a distribuição observada for assimétrica, tanto $n_1$ quanto $n_2$ devem ser maiores que 30.
    • ii. Se o tamanho da amostra for menor que 30, a distribuição dos dados da amostra deve estar livre de assimetria forte e outliers. Isso deve ser verificado para AMOAS amostras.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.I: Calcular uma estatística de teste apropriada para a diferença de duas médias. [Habilidade 3.E]

• VAR-7.I.1 Para uma única variável quantitativa, dados coletados usando amostras aleatórias independentes ou um experimento randomizado de duas populações, cada uma das quais pode ser modelada com uma distribuição normal, a distribuição amostral de $t = \dfrac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$ é uma distribuição t aproximada $t$ com graus de liberdade que podem ser encontrados usando tecnologia. Os graus de liberdade ficam entre o menor de $n_1 - 1$ e $n_2 - 1$ e $n_1 + n_2 - 2$.
  • Exemplos ilustrativos para VAR-7.I.1: Em um estudo que comparava os tempos médios de recuperação para dois procedimentos cirúrgicos para reparar um ligamento cruzado anterior (LCA) rompido, o grupo que recebeu um procedimento tinha um tamanho amostral de 110, enquanto o grupo que recebeu o outro procedimento tinha um tamanho amostral de 100. Os graus de liberdade estão entre 100 (o menor de 110 e 100) e 208 (110 + 100 - 2). Os graus de liberdade podem ser determinados usando tecnologia. Se a estatística de teste para este estudo for $t \approx 7.13$, então o $p$-valor é a área maior que 7.13 para uma distribuição $t$-com $df = 207.18$ (2018 FRQ 4).

Declaração de limite: As fórmulas para estatísticas de teste não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas de Estatística AP fornecida no Exame de Estatística AP. No entanto, essas fórmulas não precisam ser memorizadas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral da estatística de teste e nas fórmulas do erro padrão para cada uma das estatísticas de teste relevantes que são fornecidas na folha de fórmulas.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.G: Interpretar o valor p $p$ de um teste de significância para a diferença de médias populacionais. [Habilidade 4.B]

• DAT-3.G.1 Uma interpretação do valor p $p$ de um teste de significância para a diferença de duas médias populacionais deve reconhecer que o valor p $p$ é calculado assumindo que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, assumindo que as verdadeiras médias populacionais são iguais entre si.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.H: Justificar uma afirmação sobre a população com base nos resultados de um teste de significância para a diferença de duas médias populacionais no contexto. [Habilidade 4.E]

• DAT-3.H.1 Uma decisão formal compara explicitamente o valor p $p$ ao nível de significância $\alpha$. Se o valor p $p$ for ≤ $\leq \alpha$, então rejeite a hipótese nula, $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, ou $H_0 : \mu_1 = \mu_2$. Se o valor p $p$ for > $> \alpha$, então falhe em rejeitar a hipótese nula.
• DAT-3.H.2 Os resultados de um teste de significância para um teste de duas amostras para a diferença entre duas médias populacionais podem servir como raciocínio estatístico para supportar a resposta a uma questão de pesquisa sobre as populações que foram amostradas.

Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento de inferência apropriado, agora que os alunos têm uma gama de opções. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à inferência envolvendo proporções ou médias.