Estatística do AP

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.A: Identificar perguntas a serem respondidas, baseando-se na variação em dados de uma variável. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.A.1 Números podem transmitir informações significativas quando colocados em contexto.

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.B: Identificar variáveis em um conjunto de dados. [Habilidade 2.A]

• VAR-1.B.1 Uma variável é uma característica que muda de um indivíduo para outro.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.C: Classificar tipos de variáveis. [Habilidade 2.A]

• VAR-1.C.1 Uma variável categórica assume valores que são nomes de categorias ou rótulos de grupos.
• VAR-1.C.2 Uma variável quantitativa é aquela que assume valores numéricos para uma quantidade medida ou contada.
  • Exemplos ilustrativos para VAR-1.C:
    • Variáveis categóricas:
      • Mão dominante
      • Faixa etária (jovem ou velho)
      • Grau mais alto obtido
    • Variáveis quantitativas:
      • Idade de uma estrutura
      • Altura de uma criança
      • Concentração de uma amostra

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.A: Representar dados categóricos usando tabelas de frequência ou frequência relativa. [Habilidade 2.B]

• UNC-1.A.1 Uma tabela de frequência fornece o número de casos que caem em cada categoria. Uma tabela de frequência relativa fornece a proporção de casos que caem em cada categoria.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.B: Descrever dados categóricos representados em tabelas de frequência ou relativas. [Habilidade 2.A]

• UNC-1.B.1 Porcentagens, frequências relativas e taxas fornecem as mesmas informações que proporções.
• UNC-1.B.2 Contagens e frequências relativas de dados categóricos revelam informações que podem ser usadas para justificar afirmações sobre os dados em contexto.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.C: Representar dados categóricos graficamente. [Habilidade 2.B]

• UNC-1.C.1 Gráficos de barras (ou diagramas de barras) são usados para exibir frequências (contagens) ou frequências relativas (proporções) para dados categóricos.
• UNC-1.C.2 A altura ou comprimento de cada barra em um gráfico de barras corresponde ao número ou proporção de observações que caem dentro de cada categoria.
• UNC-1.C.3 Existem muitas maneiras adicionais de representar frequências (contagens) ou frequências relativas (proporções) para dados categóricos.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.D: Descrever dados categóricos representados graficamente. [Habilidade 2.A]

• UNC-1.D.1 Representações gráficas de uma variável categórica revelam informações que podem ser usadas para justificar afirmações sobre os dados em contexto.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.E: Comparar vários conjuntos de dados categóricos. [Habilidade 2.D]

• UNC-1.E.1 Tabelas de frequência, gráficos de barras ou outras representações podem ser usadas para comparar dois ou mais conjuntos de dados em termos da mesma variável categórica.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.F: Classificar tipos de variáveis quantitativas. [Habilidade 2.A]

• UNC-1.F.1 Uma variável discreta pode assumir um número contável de valores. O número de valores pode ser finito ou infinitamente contável, como com os números naturais.
• UNC-1.F.2 Uma variável contínua pode assumir infinitos valores, mas esses valores não podem ser contados. Não importa quão pequeno seja o intervalo entre dois valores de uma variável contínua, sempre é possível determinar outro valor entre eles.
  • Exemplos ilustrativos para UNC-1.F:
    • Uma variável discreta:
      • Número de alunos em uma turma
    • Uma variável contínua:
      • Altura de uma criança

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.G: Representar dados quantitativos graficamente. [Habilidade 2.B]

• UNC-1.G.1 Em um histograma, a altura de cada barra mostra o número ou proporção de observações que caem dentro do intervalo correspondente àquela barra. Alterar as larguras dos intervalos pode mudar a aparência do histograma.
• UNC-1.G.2 Em um gráfico de talo e folha, cada valor de dado é dividido em um "talo" (o primeiro dígito ou dígitos) e uma "folha" (geralmente o último dígito).
• UNC-1.G.3 Um dotplot representa cada observação por um ponto, com a posição no eixo horizontal correspondendo ao valor de dado daquela observação, com valores quase idênticos empilhados uns sobre os outros.
• UNC-1.G.4 Um gráfico cumulativo representa o número ou proporção de um conjunto de dados menor ou igual a um número dado.
• UNC-1.G.5 Existem muitas maneiras adicionais de representar graficamente distribuições de dados quantitativos.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.H: Descrever as características das distribuições de dados quantitativos. [Habilidade 2.A]

• UNC-1.H.1 As descrições da distribuição de dados quantitativos incluem forma, centro e variabilidade (dispersão), bem como quaisquer características incomuns, como valores atípicos, lacunas, aglomerados ou múltiplos picos.
• UNC-1.H.2 Valores atípicos para dados de uma variável são pontos de dados incomummente pequenos ou grandes em relação ao restante dos dados.
• UNC-1.H.3 Uma distribuição é assimétrica à direita (assimetria positiva) se a cauda direita for mais longa que a esquerda. Uma distribuição é assimétrica à esquerda (assimetria negativa) se a cauda esquerda for mais longa que a direita. Uma distribuição é simétrica se a metade esquerda for a imagem espelhada da metade direita.
• UNC-1.H.4 Gráficos univariados com um único pico principal são conhecidos como unimodais. Gráficos com dois picos proeminentes são bimodais. Um gráfico onde a altura de cada barra é aproximadamente a mesma (sem picos proeminentes) é aproximadamente uniforme.
• UNC-1.H.5 Uma lacuna é uma região de uma distribuição entre dois valores de dados onde não há dados observados.
• UNC-1.H.6 Aglomerados são concentrações de dados geralmente separadas por lacunas.
• UNC-1.H.7 Estatística descritiva não atribui propriedades de um conjunto de dados a uma população maior, mas pode fornecer a base para conjecturas para testes subsequentes.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.I: Calcular medidas de centro e posição para dados quantitativos. [Habilidade 2.C]

• UNC-1.I.1 Uma estatística é um resumo numérico de dados amostrais.
• UNC-1.I.2 A média é a soma de todos os valores de dados dividida pelo número de valores. Para uma amostra, a média é denotada por $x$: $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$, onde $x_i$ representa o $i^{\text{th}}$ ponto de dados na amostra e $n$ representa o número de valores de dados na amostra.
• UNC-1.I.3 A mediana de um conjunto de dados é o valor central quando os dados estão ordenados. Quando o número de pontos de dados é par, a mediana pode assumir qualquer valor entre os dois valores centrais. Em Estatística AP, o valor mais comumente usado para a mediana de um conjunto de dados com um número par de valores é a média dos dois valores centrais.
• UNC-1.I.4 O primeiro quartil, Q1, é a mediana da metade do conjunto de dados ordenado do mínimo até a posição da mediana. O terceiro quartil, Q3, é a mediana da metade do conjunto de dados ordenado da posição da mediana até o máximo. Q1 e Q3 formam os limites para os 50% centrais de valores em um conjunto de dados ordenado.
• UNC-1.I.5 O $p^{\text{th}}$ percentil é interpretado como o valor que tem $p\%$ dos dados menores ou iguais a ele.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.J: Calcular medidas de variabilidade para dados quantitativos. [Habilidade 2.C]

• UNC-1.J.1 Três medidas de variabilidade (ou dispersão) comumente usadas em uma distribuição são a amplitude, a amplitude interquartil e o desvio padrão.
• UNC-1.J.2 A amplitude é definida como a diferença entre o valor máximo de dados e o valor mínimo de dados. A amplitude interquartil (AIQ) é definida como a diferença entre o terceiro e o primeiro quartis: $Q3 - Q1$. Tanto a amplitude quanto a amplitude interquartil são formas possíveis de medir a variabilidade da distribuição de uma variável quantitativa.
• UNC-1.J.3 O desvio padrão é uma maneira de medir a variabilidade da distribuição de uma variável quantitativa. Para uma amostra, o desvio padrão é denotado por $s$: $s_x = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2}$. O quadrado do desvio padrão da amostra, $s^2$, é chamado de variância da amostra.
• UNC-1.J.4 Alterar unidades de medida afeta os valores das estatísticas calculadas.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.K: Explicar a seleção de uma medida específica de centro e/ou variabilidade para descrever um conjunto de dados quantitativos. [Habilidade 4.B]

• UNC-1.K.1 Existem muitos métodos para determinar valores atípicos. Dois métodos frequentemente usados neste curso são:
  • UNC-1.K.1.i Um valor atípico é um valor maior que $1.5 \times \text{IQR}$ acima do terceiro quartil ou mais que $1.5 \times \text{IQR}$ abaixo do primeiro quartil.
  • UNC-1.K.1.ii Um valor atípico é um valor localizado a 2 ou mais desvios padrões acima, ou abaixo, da média.
• UNC-1.K.2 A média, o desvio padrão e a amplitude são considerados não resistentes (ou não robustos) porque são influenciados por valores atípicos. A mediana e a AIQ são consideradas resistentes (ou robustas), pois valores atípicos não afetam significativamente (se é que afetam) seu valor.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.L: Representar graficamente estatísticas resumidas para dados quantitativos. [Habilidade 2.B]

• UNC-1.L.1 Juntos, o valor mínimo de dados, o primeiro quartil (Q1), a mediana, o terceiro quartil (Q3) e o valor máximo de dados compõem o resumo de cinco números.
• UNC-1.L.2 Um diagrama de caixa é uma representação gráfica do resumo de cinco números (mínimo, primeiro quartil, mediana, terceiro quartil, máximo). A caixa representa os 50% centrais de dados, com uma linha na mediana e as extremidades da caixa correspondentes aos quartis. Linhas ("bigornas") estendem-se dos quartis até o ponto mais extremo que não é um valor atípico, e os valores atípicos são indicados por seu próprio símbolo além disso.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.M: Descrever estatísticas resumidas de dados quantitativos representados graficamente. [Habilidade 2.A]

• UNC-1.M.1 Estatísticas resumidas de dados quantitativos, ou de conjuntos de dados quantitativos, podem ser usadas para justificar afirmações sobre os dados no contexto.
• UNC-1.M.2 Se uma distribuição for relativamente simétrica, então a média e a mediana estarão relativamente próximas uma da outra. Se uma distribuição for assimétrica à direita, então a média geralmente estará à direita da mediana. Se a distribuição for assimétrica à esquerda, então a média geralmente estará à esquerda da mediana.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.N: Comparar representações gráficas para vários conjuntos de dados quantitativos. [Habilidade 2.D]

• UNC-1.N.1 Qualquer uma das representações gráficas, p. ex., histogramas, diagramas de caixa lado a lado, etc., pode ser usada para comparar duas ou mais amostras independentes em termos de centro, variabilidade, aglomerados, lacunas, valores atípicos e outras características.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.O: Comparar estatísticas resumidas para vários conjuntos de dados quantitativos. [Habilidade 2.D]

• UNC-1.O.1 Qualquer um dos resumos numéricos (p. ex., média, desvio padrão, frequência relativa, etc.) pode ser usado para comparar duas ou mais amostras independentes.

Compreensão Permanente (VAR-2): A distribuição normal pode ser usada para representar algumas distribuições populacionais.

Objetivo de Aprendizagem VAR-2.A: Comparar uma distribuição de dados ao modelo de distribuição normal. [Habilidade 2.D]

• VAR-2.A.1 Um parâmetro é um resumo numérico de uma população.
• VAR-2.A.2 Alguns conjuntos de dados podem ser descritos como aproximadamente normalmente distribuídos. Uma curva normal tem formato de montanha e é simétrica. Os parâmetros de uma distribuição normal são a média populacional, $\mu$, e o desvio padrão populacional, $\sigma$.
• VAR-2.A.3 Para uma distribuição normal, aproximadamente 68% das observações estão dentro de 1 desvio padrão da média, aproximadamente 95% das observações estão dentro de 2 desvios padrão da média e aproximadamente 99.7% das observações estão dentro de 3 desvios padrão da média. Isso é chamado de regra empírica.
• VAR-2.A.4 Muitas variáveis podem ser modeladas por uma distribuição normal.
  • Exemplos ilustrativos para VAR-2.A:
    • Variáveis que podem ser modeladas por uma distribuição normal:
      • Temperatura corporal
      • Peso de uma fatia de pão

Objetivo de Aprendizagem VAR-2.B: Determinar proporções e percentis a partir de uma distribuição normal. [Habilidade 3.A]

• VAR-2.B.1 Um escore padronizado para um valor de dado específico é calculado como (valor do dado − média)/(desvio padrão) e mede o número de desvios padrões que um valor de dado está acima ou abaixo da média.
• VAR-2.B.2 Um exemplo de escore padronizado é um escore $z$, que é calculado como $z\text{-score} = \left(\dfrac{x_i - \mu}{\sigma}\right)$. Um escore $z$ mede quantos desvios padrões um valor de dado está da média.
• VAR-2.B.3 Tecnologia, como uma calculadora, uma tabela normal padrão ou saída gerada por computador, pode ser usada para encontrar a proporção de valores de dados localizados em um intervalo dado de uma variável aleatória normalmente distribuída.
• VAR-2.B.4 Dada a área de uma região sob o gráfico da curva de distribuição normal, é possível usar tecnologia, como uma calculadora, uma tabela normal padrão ou saída gerada por computador, para estimar parâmetros para algumas populações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-2.C: Comparar medidas de posição relativa em conjuntos de dados. [Habilidade 2.D]

• VAR-2.C.1 Percentis e escores $z$ podem ser usados para comparar posições relativas de pontos dentro de um conjunto de dados ou entre conjuntos de dados.

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.D: Identificar perguntas a serem respondidas sobre possíveis relações nos dados. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.D.1 Padrões e associações aparentes nos dados podem ser aleatórios ou não.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.P: Comparar representações numéricas e gráficas para duas variáveis categóricas. [Habilidade 2.D]

• UNC-1.P.1 Gráficos de barras lado a lado, gráficos de barras segmentados e mosaicos são exemplos de gráficos de barras para uma variável categórica, detalhados por categorias de outra variável categórica.
• UNC-1.P.2 Representações gráficas de duas variáveis categóricas podem ser usadas para comparar distribuições e/ou determinar se as variáveis estão associadas.
• UNC-1.P.3 Uma tabela de contingência, também chamada de tabela de dupla entrada, é usada para resumir duas variáveis categóricas. As entradas nas células podem ser contagens de frequência ou frequências relativas.
• UNC-1.P.4 Uma frequência relativa conjunta é a frequência de uma célula dividida pelo total de toda a tabela.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.Q: Calcular estatísticas para duas variáveis categóricas. [Habilidade 2.C]

• UNC-1.Q.1 As frequências relativas marginais são os totais das linhas e colunas em uma tabela de contingência divididos pelo total de toda a tabela.
• UNC-1.Q.2 Uma frequência relativa condicional é uma frequência relativa para uma parte específica da tabela de contingência (p. ex., frequências de células em uma linha divididas pelo total dessa linha).

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.R: Comparar estatísticas para duas variáveis categóricas. [Habilidade 2.D]

• UNC-1.R.1 Estatísticas resumidas para duas variáveis categóricas podem ser usadas para comparar distribuições e/ou determinar se as variáveis estão associadas.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.S: Representar dados bivariados quantitativos usando gráficos de dispersão. [Habilidade 2.B]

• UNC-1.S.1 Um conjunto de dados bivariados quantitativos consiste em observações de duas variáveis quantitativas diferentes feitas em indivíduos em uma amostra ou população.
• UNC-1.S.2 Um gráfico de dispersão mostra dois valores numéricos para cada observação, um correspondente ao valor no eixo $x$ e um correspondente ao valor no eixo $y$.
• UNC-1.S.3 Uma variável explicativa é uma variável cujos valores são usados para explicar ou prever valores correspondentes para a variável resposta.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.A: Descrever as características de um gráfico de dispersão. [Habilidade 2.A]

• DAT-1.A.1 Uma descrição de um gráfico de dispersão inclui forma, direção, intensidade e características incomuns.
• DAT-1.A.2 A direção da associação mostrada em um gráfico de dispersão, se houver, pode ser descrita como positiva ou negativa.
• DAT-1.A.3 Uma associação positiva significa que, à medida que os valores de uma variável aumentam, os valores da outra variável tendem a aumentar. Uma associação negativa significa que, à medida que os valores de uma variável aumentam, os valores da outra variável tendem a diminuir.
• DAT-1.A.4 A forma da associação mostrada em um gráfico de dispersão, se houver, pode ser descrita como linear ou não-linear em diversos graus.
• DAT-1.A.5 A intensidade da associação é quão de perto os pontos individuais seguem um padrão específico, p. ex., linear, e pode ser mostrada em um gráfico de dispersão. A intensidade pode ser descrita como forte, moderada ou fraca.
• DAT-1.A.6 Características incomuns de um gráfico de dispersão incluem aglomerados de pontos ou pontos com discrepâncias relativamente grandes entre o valor da variável resposta e um valor previsto para a variável resposta.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.B: Determinar a correlação para uma relação linear. [Habilidade 2.C]

• DAT-1.B.1 A correlação, $r$, fornece a direção e quantifica a força da associação linear entre duas variáveis quantitativas.
• DAT-1.B.2 O coeficiente de correlação pode ser calculado por: $r = \dfrac{1}{n-1} \sum \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)$. No entanto, a maneira mais comum de determinar $r$ é usando tecnologia.
• DAT-1.B.3 Um coeficiente de correlação próximo de 1 ou $-1$ não significa necessariamente que um modelo linear seja apropriado.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.C: Interpretar a correlação para uma relação linear. [Habilidade 4.B]

• DAT-1.C.1 A correlação, $r$, é adimensional (sem unidades) e está sempre entre $-1$ e 1, inclusive. Um valor de $r = 0$ indica que não há associação linear. Um valor de $r = 1$ ou $r = -1$ indica que há uma associação linear perfeita.
• DAT-1.C.2 Uma relação percebida ou real entre duas variáveis não significa que mudanças em uma variável causem mudanças na outra. Ou seja, correlação não implica necessariamente causalidade.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.D: Calcular um valor de resposta previsto usando um modelo de regressão linear. [Habilidade 2.C]

• DAT-1.D.1 Um modelo de regressão linear simples é uma equação que usa uma variável explicativa, $x$, para prever a variável resposta, $y$.
• DAT-1.D.2 O valor de resposta previsto, denotado por $\hat{y}$, é calculado como $\hat{y} = a + bx$, onde $a$ é o intercepto-$y$ e $b$ é a inclinação (coeficiente angular) da linha de regressão, e $x$ é o valor da variável explicativa.
• DAT-1.D.3 Extrapolação é prever um valor de resposta usando um valor para a variável explicativa que esteja além do intervalo de valores-$x$ usados para determinar a linha de regressão. O valor previsto é menos confiável como estimativa quanto maior for a extrapolação.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.E: Representar diferenças entre respostas medidas e previstas usando gráficos de resíduos. [Habilidade 2.B]

• DAT-1.E.1 O resíduo é a diferença entre o valor real e o valor previsto: $\text{residual} = y - \hat{y}$.
• DAT-1.E.2 Um gráfico de resíduos é um gráfico de resíduos versus valores da variável explicativa ou valores de resposta previstos.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.F: Descrever a forma de associação de dados bivariados usando gráficos de resíduos. [Habilidade 2.A]

• DAT-1.F.1 A aparente aleatoriedade em um gráfico de resíduos para um modelo linear é evidência de uma forma linear para a associação entre as variáveis.
• DAT-1.F.2 Gráficos de resíduos podem ser usados para investigar a adequação de um modelo selecionado.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.G: Estimar parâmetros para o modelo da linha de regressão dos mínimos quadrados. [Habilidade 2.C]

• DAT-1.G.1 O modelo de regressão dos mínimos quadrados minimiza a soma dos quadrados dos resíduos e contém o ponto $(\bar{x}, \bar{y})$.
• DAT-1.G.2 A inclinação, $b$, da linha de regressão pode ser calculada como $b = r \left( \dfrac{s_y}{s_x} \right)$ onde $r$ é a correlação entre $x$ e $y$, $s_y$ é o desvio padrão amostral da variável resposta, $y$, e $s_x$ é o desvio padrão amostral da variável explicativa, $x$.
• DAT-1.G.3 Às vezes, o intercepto-$y$ da linha não tem uma interpretação lógica no contexto.
• DAT-1.G.4 Na regressão linear simples, $r^2$ é o quadrado da correlação, $r$. É também chamado de coeficiente de determinação. $r^2$ é a proporção da variação na variável resposta que é explicada pela variável explicativa no modelo.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.H: Interpretar coeficientes para o modelo da linha de regressão dos mínimos quadrados. [Habilidade 4.B]

• DAT-1.H.1 Os coeficientes do modelo de regressão dos mínimos quadrados são a inclinação estimada e o intercepto-$y$.
• DAT-1.H.2 A inclinação é a quantidade pela qual o valor previsto-$y$ muda para cada aumento de uma unidade em $x$.
• DAT-1.H.3 O valor do intercepto-$y$ é o valor previsto da variável resposta quando a variável explicativa é igual a $0$. A fórmula para o intercepto-$y$, $a$, é $a = \bar{y} - b\bar{x}$.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.I: Identificar pontos influentes em regressão. [Habilidade 2.A]

• DAT-1.I.1 Um ponto atípico em regressão é um ponto que não segue a tendência geral mostrada no restante dos dados e possui um resíduo grande quando a Linha de Regressão dos Mínimos Quadrados (LSRL) é calculada.
• DAT-1.I.2 Um ponto de alta alavancagem em regressão possui um valor-$x$ substancialmente maior ou menor do que os outros observações possuem.
• DAT-1.I.3 Um ponto influente em regressão é qualquer ponto que, se removido, altere a relação substancialmente. Exemplos incluem inclinação muito diferente, intercepto-$y$ e/ou correlação. Pontos atípicos e pontos de alta alavancagem são frequentemente influentes.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.J: Calcular uma resposta prevista usando uma linha de regressão dos mínimos quadrados para um conjunto de dados transformados. [Habilidade 2.C]

• DAT-1.J.1 Transformações de variáveis, como avaliar o logaritmo natural de cada valor da variável resposta ou elevar ao quadrado cada valor da variável explicativa, podem ser usadas para criar conjuntos de dados transformados, que podem ter uma forma mais linear do que os dados não transformados.
• DAT-1.J.2 Maior aleatoriedade em gráficos de resíduos após a transformação de dados e/ou movimento de $r^2$ para um valor mais próximo de 1 oferece evidências de que a linha de regressão dos mínimos quadrados para os dados transformados é um modelo mais adequado para usar para prever respostas à variável explicativa do que a linha de regressão para os dados não transformados.

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.E: Identificar perguntas a serem respondidas sobre métodos de coleta de dados. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.E.1 Métodos para coleta de dados que não dependem do acaso resultam em conclusões não confiáveis.

Compreensão Duradoura (DAT-2): A forma como coletamos dados influencia o que podemos e não podemos dizer sobre uma população.

Objetivo de Aprendizagem DAT-2.A: Identificar o tipo de estudo. [Habilidade 1.C]

• DAT-2.A.1 Uma população consiste em todos os itens ou sujeitos de interesse.
• DAT-2.A.2 Uma amostra selecionada para estudo é um subconjunto da população.
• DAT-2.A.3 Em um estudo observacional, tratamentos não são impostos. Investigadores examinam dados de uma amostra de indivíduos (retrospectivo) ou seguem uma amostra de indivíduos para o futuro coletando dados (prospectivo) a fim de investigar um tópico de interesse sobre a população. Uma pesquisa amostral é um tipo de estudo observacional que coleta dados de uma amostra na tentativa de aprender sobre a população da qual a amostra foi retirada.
• DAT-2.A.4 Em um experimento, diferentes condições (tratamentos) são atribuídas às unidades experimentais (participantes ou sujeitos).

Objetivo de Aprendizagem DAT-2.B: Identificar generalizações e determinações apropriadas baseadas em estudos observacionais. [Habilidade 4.A]

• DAT-2.B.1 Somente é apropriado fazer generalizações sobre uma população com base em amostras que são selecionadas aleatoriamente ou que sejam representativas dessa população.
• DAT-2.B.2 Uma amostra só é generalizável para a população da qual a amostra foi selecionada.
• DAT-2.B.3 Não é possível determinar relações causais entre variáveis usando dados coletados em um estudo observacional.

Compreensão Duradoura (DAT-2): A forma como coletamos dados influencia o que podemos e não podemos dizer sobre uma população.

Objetivo de Aprendizagem DAT-2.C: Identificar um método de amostragem, dada uma descrição de um estudo. [Habilidade 1.C]

• DAT-2.C.1 Quando um item de uma população pode ser selecionado apenas uma vez, isso é chamado de amostragem sem reposição. Quando um item da população pode ser selecionado mais de uma vez, isso é chamado de amostragem com reposição.
• DAT-2.C.2 Uma amostra aleatória simples (SRS) é uma amostra na qual todo grupo de tamanho dado tem uma chance igual de ser escolhido. Este método é a base para muitos tipos de mecanismos de amostragem. Alguns exemplos de mecanismos usados para obter SRSs incluem numerar indivíduos e usar um gerador de números aleatórios para selecionar quais incluí-los na amostra, ignorando repetições, usando uma tabela de números aleatórios ou retirando uma carta de um baralho sem reposição.
• DAT-2.C.3 Uma amostra aleatória estratificada envolve a divisão de uma população em grupos separados, chamados estratos, com base em atributos ou características compartilhadas (agrupamento homogêneo). Dentro de cada estrato, uma amostra aleatória simples é selecionada, e as unidades selecionadas são combinadas para formar a amostra.
• DAT-2.C.4 Uma amostra de conglomerados envolve a divisão de uma população em grupos menores, chamados conglomerados. Idealmente, há heterogeneidade dentro de cada conglomerado, e conglomerados são semelhantes uns aos outros em sua composição. Uma amostra aleatória simples de conglomerados é selecionada da população para formar a amostra de conglomerados. Os dados são coletados de todas as observações nos conglomerados selecionados.
• DAT-2.C.5 Uma amostra aleatória sistemática é um método no qual membros da amostra de uma população são selecionados de acordo com um ponto inicial aleatório e um intervalo periódico fixo.
• DAT-2.C.6 Um censo seleciona todos os itens/sujeitos em uma população.

Objetivo de Aprendizagem DAT-2.D: Explicar por que um determinado método de amostragem é ou não é apropriado para uma situação dada. [Habilidade 1.C]

• DAT-2.D.1 Existem vantagens e desvantagens para cada método de amostragem dependendo da pergunta que deve ser respondida e da população da qual a amostra será extraída.

Compreensão Duradoura (DAT-2): A forma como coletamos dados influencia o que podemos e não podemos dizer sobre uma população.

Objetivo de Aprendizagem DAT-2.E: Identificar potenciais fontes de viés em métodos de amostragem. [Habilidade 1.C]

• DAT-2.E.1 Viés ocorre quando certas respostas são sistematicamente favorecidas em detrimento de outras.
• DAT-2.E.2 Quando uma amostra é composta inteiramente por voluntários ou pessoas que escolhem participar, a amostra tipicamente não será representativa da população (viés de resposta voluntária).
• DAT-2.E.3 Quando uma parte da população tem uma chance reduzida de ser incluída na amostra, a amostra tipicamente não será representativa da população (viés de subcobertura).
• DAT-2.E.4 Indivíduos selecionados para a amostra para os quais dados não podem ser obtidos (ou que se recusam a responder) podem diferir daqueles para os quais dados podem ser obtidos (viés de não-resposta).
• DAT-2.E.5 Problemas no instrumento ou processo de coleta de dados resultam em viés de resposta. Exemplos incluem perguntas confusas ou tendenciosas (viés de formulação de perguntas) e respostas autorreferidas.
• DAT-2.E.6 Métodos de amostragem não aleatória (por exemplo, amostras escolhidas por conveniência ou resposta voluntária) introduzem potencial para viés porque não usam o acaso para selecionar os indivíduos.

Compreensão Duradoura (VAR-3): Experimentos bem desenhados podem estabelecer evidências de relações causais.

Objetivo de Aprendizagem VAR-3.A: Identificar os componentes de um experimento. [Habilidade 1.C]

• VAR-3.A.1 As unidades experimentais são os indivíduos (que podem ser pessoas ou outros objetos de estudo) aos quais tratamentos são atribuídos. Quando as unidades experimentais consistem em pessoas, elas são às vezes referidas como participantes ou sujeitos.
• VAR-3.A.2 Uma variável explicativa (ou fator) em um experimento é uma variável cujos níveis são manipulados intencionalmente. Os níveis ou combinações de níveis da(s) variável(is) explicativa(s) são chamados de tratamentos.
• VAR-3.A.3 Uma variável de resposta em um experimento é um resultado das unidades experimentais que é medido após a administração dos tratamentos.
• VAR-3.A.4 Uma variável de confusão em um experimento é uma variável que está relacionada à variável explicativa e influencia a variável de resposta, podendo criar uma percepção falsa de associação entre as duas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-3.B: Descrever elementos de um experimento bem desenhado. [Habilidade 1.B]

• VAR-3.B.1 Um experimento bem desenhado deve incluir o seguinte:
  • a. Comparações de pelo menos dois grupos de tratamento, dos quais um pode ser um grupo controle.
  • b. Atribuição aleatória/atribuição de tratamentos às unidades experimentais.
  • c. Replicação (mais de uma unidade experimental em cada grupo de tratamento).
  • d. Controle de possíveis variáveis de confusão quando apropriado.

Objetivo de Aprendizagem VAR-3.C: Comparar desenhos experimentais e métodos. [Habilidade 1.C]

• VAR-3.C.1 Em um delineamento totalmente aleatório, os tratamentos são atribuídos às unidades experimentais completamente ao acaso. A atribuição aleatória tende a equilibrar os efeitos de variáveis não controladas (de confusão) para que diferenças nas respostas possam ser atribuídas aos tratamentos.
• VAR-3.C.2 Métodos para atribuir aleatoriamente tratamentos às unidades experimentais em um delineamento totalmente aleatório incluem o uso de gerador de números aleatórios, tabela de valores aleatórios, retirada de chips sem reposição, etc.
• VAR-3.C.3 Em um experimento com apenas um cego, os sujeitos não sabem qual tratamento estão recebendo, mas os membros da equipe de pesquisa sabem, ou vice-versa.
• VAR-3.C.4 Em um experimento duplo-cego, nem os sujeitos nem os membros da equipe de pesquisa que interagem com eles sabem qual tratamento um sujeito está recebendo.
• VAR-3.C.5 Um grupo controle é um conjunto de unidades experimentais que não recebem um tratamento de interesse ou recebem um tratamento com substância inerte (placebo) para determinar se o tratamento de interesse tem efeito.
• VAR-3.C.6 O efeito placebo ocorre quando as unidades experimentais têm uma resposta a um placebo.
• VAR-3.C.7 Para delineamentos de blocos completos aleatórios, os tratamentos são atribuídos completamente ao acaso dentro de cada bloco.
• VAR-3.C.8 O bloqueio garante que, no início do experimento, as unidades dentro de cada bloco sejam semelhantes entre si em relação a pelo menos uma variável de bloqueio. Um delineamento de blocos aleatórios ajuda a separar a variabilidade natural das diferenças devidas à variável de bloqueio.
• VAR-3.C.9 Um delineamento de pares pareados é um caso especial de delineamento de blocos aleatórios. Usando uma variável de bloqueio, os sujeitos (sejam pessoas ou não) são organizados em pares pareados em fatores relevantes. Pares pareados podem ser formados naturalmente ou pelo experimentador. Cada par recebe ambos os tratamentos atribuindo aleatoriamente um tratamento a um membro do par e subsequentemente atribuindo o tratamento restante ao segundo membro do par. Alternativamente, cada sujeito pode receber ambos os tratamentos.

Compreensão Duradoura (VAR-3): Experimentos bem desenhados podem estabelecer evidências de relações causais.

Objetivo de Aprendizagem VAR-3.D: Explicar por que um determinado desenho experimental é adequado. [Habilidade 1.C]

• VAR-3.D.1 Existem vantagens e desvantagens para cada desenho experimental dependendo da questão de interesse, dos recursos disponíveis e da natureza das unidades experimentais.

Compreensão Duradoura (VAR-3): Experimentos bem desenhados podem estabelecer evidências de relações causais.

Objetivo de Aprendizagem VAR-3.E: Interpretar os resultados de um experimento bem desenhado. [Habilidade 4.B]

• VAR-3.E.1 A inferência estatística atribui conclusões baseadas em dados à distribuição da qual os dados foram coletados.
• VAR-3.E.2 A atribuição aleatória de tratamentos às unidades experimentais permite aos pesquisadores concluir que algumas mudanças observadas são tão grandes que é improvável que tenham ocorrido por acaso. Tais mudanças são consideradas estatisticamente significativas.
• VAR-3.E.3 Diferenças estatisticamente significativas entre ou entre grupos de tratamento experimental são evidências de que os tratamentos causaram o efeito.
• VAR-3.E.4 Se as unidades experimentais usadas em um experimento forem representativas de um grupo maior de unidades, os resultados de um experimento podem ser generalizados para o grupo maior. A seleção aleatória das unidades experimentais oferece melhores chances de que as unidades sejam representativas.

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.F: Identificar perguntas sugeridas por padrões nos dados. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.F.1 Padrões nos dados não significam necessariamente que a variação não é aleatória.

Compreensão Duradoura (UNC-2): A simulação nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-2.A: Estimar probabilidades usando simulação. [Habilidade 3.A]

• UNC-2.A.1 Um processo aleatório gera resultados que são determinados pelo acaso.
• UNC-2.A.2 Um resultado é o produto de um ensaio de um processo aleatório.
• UNC-2.A.3 Um evento é um conjunto de resultados.
• UNC-2.A.4 Simulação é uma maneira de modelar eventos aleatórios, de modo que resultados simulados correspondam de perto a resultados do mundo real. Todos os resultados possíveis estão associados a um valor a ser determinado pelo acaso. Registre as contagens de resultados simulados e a contagem total.
• UNC-2.A.5 A frequência relativa de um resultado ou evento em dados simulados ou empíricos pode ser usada para estimar a probabilidade desse resultado ou evento.
• UNC-2.A.6 A lei dos grandes números afirma que probabilidades simuladas (empíricas) tendem a se aproximar da probabilidade verdadeira à medida que o número de ensaios aumenta.
  • Exemplos ilustrativos para UNC-2.A:
    • Um resultado: Lançar um valor específico em um dado de seis lados é um dos seis resultados possíveis.
    • Um evento: Ao lançar dois dados de seis faces, um evento seria a soma sete. A coleção correspondente de resultados seria $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$ e $(6, 1)$, onde os pares ordenados indicam (valor da face em um dado, valor da face no outro dado).

Compreensão Essencial (VAR-4): A probabilidade de um evento aleatório pode ser quantificada.

Objetivo de Aprendizagem VAR-4.A: Calcular probabilidades para eventos e seus complementos. [Habilidade 3.A]

• VAR-4.A.1 O espaço amostral de um processo aleatório é o conjunto de todos os resultados não sobrepostos possíveis.
• VAR-4.A.2 Se todos os resultados do espaço amostral forem igualmente prováveis, então a probabilidade de um evento E ocorrer é definida como a fração: $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
• VAR-4.A.3 A probabilidade de um evento é um número entre 0 e 1, inclusive.
• VAR-4.A.4 A probabilidade do complemento de um evento E, $E'$ ou $E^{C}$ (ou seja, não E), é igual a $1 - P(E)$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-4.B: Interpretar probabilidades para eventos. [Habilidade 4.B]

• VAR-4.B.1 As probabilidades de eventos em situações repetíveis podem ser interpretadas como a frequência relativa com que o evento ocorrerá a longo prazo.

Compreensão Essencial (VAR-4): A probabilidade de um evento aleatório pode ser quantificada.

Objetivo de Aprendizagem VAR-4.C: Explicar por que dois eventos são (ou não são) mutuamente exclusivos. [Habilidade 4.B]

• VAR-4.C.1 A probabilidade de que os eventos $A$ e $B$ ambos ocorrerem, às vezes chamada de probabilidade conjunta, é a probabilidade da interseção de $A$ e $B$, denotada $P(A \cap B)$.
• VAR-4.C.2 Dois eventos são mutuamente exclusivos ou disjuntos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo. Portanto, $P(A \cap B) = 0$.

Compreensão Essencial (VAR-4): A probabilidade de um evento aleatório pode ser quantificada.

Objetivo de Aprendizagem VAR-4.D: Calcular probabilidades condicionais. [Habilidade 3.A]

• VAR-4.D.1 A probabilidade de que o evento $A$ ocorrer dado que o evento $B$ ocorreu é chamada de probabilidade condicional e denotada $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• VAR-4.D.2 A regra da multiplicação afirma que a probabilidade de que os eventos $A$ e $B$ ocorram ambos é igual à probabilidade de que o evento $A$ ocorra multiplicada pela probabilidade de que o evento $B$ ocorra, dado que $A$ ocorreu. Isso é denotado $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Compreensão Essencial (VAR-4): A probabilidade de um evento aleatório pode ser quantificada.

Objetivo de Aprendizagem VAR-4.E: Calcular probabilidades para eventos independentes e para a união de dois eventos. [Habilidade 3.A]

• VAR-4.E.1 Os eventos $A$ e $B$ são independentes se, e somente se, saber se o evento $A$ ocorreu (ou ocorrerá) não altera a probabilidade de que o evento $B$ ocorrerá.
• VAR-4.E.2 Se, e somente se, os eventos $A$ e $B$ forem independentes, então $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$ e $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• VAR-4.E.3 A probabilidade de que o evento $A$ ou o evento $B$ (ou ambos) ocorrerem é a probabilidade da união de $A$ e $B$, denotada $P(A \cup B)$.
• VAR-4.E.4 A regra da adição afirma que a probabilidade de que o evento $A$ ou o evento $B$ ou ambos ocorrerão é igual à probabilidade de que o evento $A$ ocorrer mais a probabilidade de que o evento $B$ ocorrer menos a probabilidade de que ambos os eventos $A$ e $B$ ocorram. Isso é denotado $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Compreensão Essencial (VAR-5): As distribuições de probabilidade podem ser usadas para modelar variações em populações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.A: Representar a distribuição de probabilidade para uma variável aleatória discreta. [Habilidade 2.B]

• VAR-5.A.1 Os valores de uma variável aleatória são os resultados numéricos do comportamento aleatório.
• VAR-5.A.2 Uma variável aleatória discreta é uma variável que pode assumir apenas um número contável de valores. Cada valor tem uma probabilidade associada a ele. A soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis deve ser 1.
• VAR-5.A.3 Uma distribuição de probabilidade pode ser representada como um gráfico, tabela ou função mostrando as probabilidades associadas aos valores de uma variável aleatória.
• VAR-5.A.4 Uma distribuição de probabilidade acumulativa pode ser representada como uma tabela ou função mostrando a probabilidade de ser menor ou igual a cada valor da variável aleatória.
  • Exemplos ilustrativos para VAR-5.A: Resultados de ensaios de um processo aleatório:
    • A soma dos resultados ao lançar dois dados
    • O número de filhotes em uma ninhada selecionada aleatoriamente de uma certa raça de cachorro

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.B: Interpretar uma distribuição de probabilidade. [Habilidade 4.B]

• VAR-5.B.1 Uma interpretação de uma distribuição de probabilidade fornece informações sobre a forma, o centro e a dispersão de uma população e permite tirar conclusões sobre a população de interesse.

Compreensão Essencial (VAR-5): As distribuições de probabilidade podem ser usadas para modelar variações em populações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.C: Calcular parâmetros para uma variável aleatória discreta. [Habilidade 3.B]

• VAR-5.C.1 Um valor numérico que mede uma característica de uma população ou da distribuição de uma variável aleatória é conhecido como parâmetro, que é um valor único e fixo.
• VAR-5.C.2 A média, ou valor esperado, para uma variável aleatória discreta $X$ é $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
• VAR-5.C.3 O desvio padrão para uma variável aleatória discreta $X$ é $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.D: Interpretar parâmetros para uma variável aleatória discreta. [Habilidade 4.B]

• VAR-5.D.1 Parâmetros para uma variável aleatória discreta devem ser interpretados usando unidades apropriadas e dentro do contexto de uma população específica.

Compreensão Essencial (VAR-5): As distribuições de probabilidade podem ser usadas para modelar variações em populações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.E: Calcular parâmetros para combinações lineares de variáveis aleatórias. [Habilidade 3.B]

• VAR-5.E.1 Para variáveis aleatórias $X$ e $Y$ e números reais $a$ e $b$, a média de $aX + bY$ é $a\mu_x + b\mu_y$.
• VAR-5.E.2 Duas variáveis aleatórias são independentes se saber informações sobre uma delas não alterar a distribuição de probabilidade da outra.
• VAR-5.E.3 Para variáveis aleatórias independentes $X$ e $Y$ e números reais $a$ e $b$, a média de $aX + bY$ é $a\mu_x + b\mu_y$, e a variância de $aX + bY$ é $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-5.F: Descrever os efeitos de transformações lineares de parâmetros de variáveis aleatórias. [Habilidade 3.C]

• VAR-5.F.1 Para $Y = a + bX$, a distribuição de probabilidade da variável aleatória transformada, $Y$, tem a mesma forma que a distribuição de probabilidade para $X$, desde que $a > 0$ e $b > 0$. A média de $Y$ é $\mu_y = a + b\mu_x$. O desvio padrão de $Y$ é $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.A: Estimar probabilidades de variáveis aleatórias binomiais usando dados de uma simulação. [Habilidade 3.A]

• UNC-3.A.1 Uma distribuição de probabilidade pode ser construída usando as regras de probabilidade ou estimada com uma simulação usando geradores de números aleatórios.
• UNC-3.A.2 Uma variável aleatória binomial, $X$, conta o número de sucessos em $n$ ensaios independentes repetidos, cada ensaio tendo dois resultados possíveis (sucesso ou falha), com a probabilidade de sucesso $p$ e a probabilidade de falha $1 - p$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.B: Calcular probabilidades para uma distribuição binomial. [Habilidade 3.A]

• UNC-3.B.1 A probabilidade de que uma variável aleatória binomial, $X$, tenha exatamente $x$ sucessos para $n$ ensaios independentes, quando a probabilidade de sucesso é $p$, é calculada como $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. Esta é a função de probabilidade binomial.

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.C: Calcular parâmetros para uma distribuição binomial. [Habilidade 3.B]

• UNC-3.C.1 Se uma variável aleatória for binomial, sua média, $\mu_x$, é $np$ e seu desvio padrão, $\sigma_x$, é $\sqrt{np(1 - p)}$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.D: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição binomial. [Habilidade 4.B]

• UNC-3.D.1 Probabilidades e parâmetros para uma distribuição binomial devem ser interpretados usando unidades adequadas e dentro do contexto de uma população ou situação específica.

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.E: Calcular probabilidades para variáveis aleatórias geométricas. [Habilidade 3.A]

• UNC-3.E.1 Para uma sequência de ensaios independentes, uma variável aleatória geométrica, $X$, dá o número do ensaio no qual o primeiro sucesso ocorre. Cada ensaio tem dois resultados possíveis (sucesso ou falha) com a probabilidade de sucesso $p$ e a probabilidade de falha $1 - p$.
• UNC-3.E.2 A probabilidade de que o primeiro sucesso para ensaios independentes repetidos com probabilidade de sucesso $p$ ocorra no ensaio $x$ é calculada como $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. Esta é a função de probabilidade geométrica.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.F: Calcular parâmetros de uma distribuição geométrica. [Habilidade 3.B]

• UNC-3.F.1 Se uma variável aleatória for geométrica, sua média, $\mu_x$, é $\dfrac{1}{p}$ e seu desvio padrão, $\sigma_x$, é $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.G: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição geométrica. [Habilidade 4.B]

• UNC-3.G.1 Probabilidades e parâmetros para uma distribuição geométrica devem ser interpretados usando unidades adequadas e dentro do contexto de uma população ou situação específica.

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.G: Identificar perguntas sugeridas pela variação nas estatísticas de amostras coletadas da mesma população. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.G.1 A variação nas estatísticas de amostras retiradas da mesma população pode ser aleatória ou não.

Compreensão Essencial (VAR-6): A distribuição normal pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.A: Calcular a probabilidade de que um valor particular esteja em um intervalo dado de uma distribuição normal. [Habilidade 3.A]

• VAR-6.A.1 Uma variável aleatória contínua é uma variável que pode assumir qualquer valor dentro de um domínio especificado. Todo intervalo dentro do domínio tem uma probabilidade associada a ele.
• VAR-6.A.2 Uma variável aleatória contínua com uma distribuição normal é comumente usada para descrever populações. A distribuição de uma variável aleatória normal pode ser descrita por uma curva normal ou "em forma de sino".
• VAR-6.A.3 A área sob uma curva normal sobre um intervalo dado representa a probabilidade de que um valor particular esteja nesse intervalo.
  • Exemplos ilustrativos para VAR-6.A: Variável aleatória contínua: Se olhar para um relógio em um momento aleatório, a probabilidade de o ponteiro dos minutos estar entre o 3 e o 6 é um quarto.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.B: Determinar o intervalo associado a uma área dada em uma distribuição normal. [Habilidade 3.A]

• VAR-6.B.1 Os limites de um intervalo associado a uma determinada área em uma distribuição normal podem ser determinados usando escores-z $z$ ou tecnologia, como uma calculadora, uma tabela normal padrão ou saída gerada por computador.
• VAR-6.B.2 Intervalos associados a uma área dada em uma distribuição normal podem ser determinados atribuindo desigualdades apropriadas aos limites dos intervalos:
  • a. $P(X < x_a) = \dfrac{p}{100}$ significa que os menores $p\%$ de valores estão à esquerda de $x_a$.
  • b. $P(x_a < X < x_b) = \dfrac{p}{100}$ significa que $p\%$ de valores estão entre $x_a$ e $x_b$.
  • c. $P(X > x_b) = \dfrac{p}{100}$ significa que os maiores $p\%$ de valores estão à direita de $x_b$.
  • d. Para determinar os valores mais extremos $p\%$ de valores, requer dividir a área associada a $p\%$ em duas áreas iguais nos extremos da distribuição: $P(X < x_a) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ e $P(X > x_b) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ significam que metade dos $p\%$ valores mais extremos está à esquerda de $x_a$ e metade dos $p\%$ valores mais extremos está à direita de $x_b$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.C: Determinar a adequação do uso da distribuição normal para aproximar probabilidades para distribuições desconhecidas. [Habilidade 3.C]

• VAR-6.C.1 As distribuições normais são simétricas e "em forma de sino." Como resultado, as distribuições normais podem ser usadas para aproximar distribuições com características semelhantes.

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.H: Estimar distribuições de amostragem usando simulação. [Habilidade 3.C]

• UNC-3.H.1 Uma distribuição de amostragem de uma estatística é a distribuição de valores para a estatística para todas as amostras possíveis de um tamanho dado de uma dada população.
• UNC-3.H.2 O teorema central limite (TCL) afirma que quando o tamanho da amostra é suficientemente grande, uma distribuição de amostragem da média de uma variável aleatória será aproximadamente normalmente distribuída.
• UNC-3.H.3 O teorema central limite exige que os valores da amostra sejam independentes uns dos outros e que $n$ seja suficientemente grande.
• UNC-3.H.4 Uma distribuição de randomização é uma coleção de estatísticas geradas por simulação assumindo valores conhecidos para os parâmetros. Para um experimento aleatorizado, isso significa realocar/reatribuir repetidamente os valores da resposta aos grupos de tratamento de forma aleatória.
• UNC-3.H.5 A distribuição amostral de uma estatística pode ser simulada gerando amostras aleatórias repetidas de uma população.

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.I: Explicar por que um estimador é ou não viesado. [Habilidade 4.B]

• UNC-3.I.1 Ao estimar um parâmetro populacional, um estimador é não viesado se, em média, o valor do estimador for igual ao parâmetro populacional.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.J: Calcular estimativas para um parâmetro populacional. [Habilidade 3.B]

• UNC-3.J.1 Ao estimar um parâmetro populacional, um estimador exibe variabilidade que pode ser modelada usando probabilidade.
• UNC-3.J.2 Uma estatística amostral é um estimador pontual do correspondente parâmetro populacional.

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.K: Determinar parâmetros de uma distribuição amostral para proporções amostrais. [Habilidade 3.B]

• UNC-3.K.1 Para amostras independentes (amostragem com reposição) de uma variável categórica de uma população com proporção populacional $p$, a distribuição amostral da proporção amostral, $\hat{p}$, tem média $\mu_{\hat{p}} = p$ e desvio padrão $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
• UNC-3.K.2 Se a amostragem for sem reposição, o desvio padrão da proporção amostral será menor do que aquele dado pela fórmula acima. Se o tamanho da amostra for inferior a 10% do tamanho da população, a diferença é desprezível.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.L: Determinar se uma distribuição amostral para uma proporção amostral pode ser descrita como aproximadamente normal. [Habilidade 3.C]

• UNC-3.L.1 Para uma variável categórica, a distribuição amostral da proporção amostral, $\hat{p}$, terá uma distribuição aproximadamente normal, desde que o tamanho da amostra seja suficientemente grande: $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.M: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para proporções amostrais. [Habilidade 4.B]

• UNC-3.M.1 Probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para proporções amostrais devem ser interpretados usando unidades apropriadas e dentro do contexto de uma população específica.

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.N: Determinar parâmetros de uma distribuição amostral para uma diferença em proporções amostrais. [Habilidade 3.B]

• UNC-3.N.1 Para uma variável categórica, ao realizar amostragem aleatória com reposição de duas populações independentes com proporções populacionais $p_1$ e $p_2$, a distribuição amostral da diferença em proporções amostrais $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ tem média $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ e desvio padrão $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
• UNC-3.N.2 Se a amostragem for sem reposição, o desvio padrão da diferença em proporções amostrais será menor do que aquele dado pela fórmula acima. Se os tamanhos das amostras forem inferiores a 10% dos tamanhos das populações, a diferença é desprezível.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.O: Determinar se uma distribuição amostral para uma diferença de proporções amostrais pode ser descrita como aproximadamente normal. [Habilidade 3.C]

• UNC-3.O.1 A distribuição amostral da diferença em proporções amostrais $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ terá uma distribuição aproximadamente normal, desde que os tamanhos das amostras sejam suficientemente grandes: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.P: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para diferenças em proporções. [Habilidade 4.B]

• UNC-3.P.1 Parâmetros para uma distribuição amostral para diferenças em proporções devem ser interpretados usando unidades apropriadas e dentro do contexto de populações específicas.

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.Q: Determinar parâmetros para uma distribuição amostral para médias amostrais. [Habilidade 3.B]

• UNC-3.Q.1 Para uma variável numérica, ao realizar amostragem aleatória com reposição de uma população com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$, a distribuição amostral da média amostral tem média $\mu_{\bar{x}} = \mu$ e desvio padrão $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
• UNC-3.Q.2 Se a amostragem for sem reposição, o desvio padrão da média amostral será menor do que aquele dado pela fórmula acima. Se o tamanho da amostra for inferior a 10% do tamanho da população, a diferença é desprezível.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.R: Determinar se uma distribuição amostral de uma média amostral pode ser descrita como aproximadamente normal. [Habilidade 3.C]

• UNC-3.R.1 Para uma variável numérica, se a distribuição populacional puder ser modelada com uma distribuição normal, a distribuição amostral da média amostral, $\bar{x}$, pode ser modelada com uma distribuição normal.
• UNC-3.R.2 Para uma variável numérica, se a distribuição populacional não puder ser modelada com uma distribuição normal, a distribuição amostral da média amostral, $\bar{x}$, pode ser modelada aproximadamente por uma distribuição normal, desde que o tamanho da amostra seja suficientemente grande, ex.: maior ou igual a 30.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.S: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para médias amostrais. [Habilidade 4.B]

• UNC-3.S.1 Probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para médias amostrais devem ser interpretados usando unidades apropriadas e dentro do contexto de uma população específica.

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.T: Determinar parâmetros de uma distribuição amostral para uma diferença em médias amostrais. [Habilidade 3.B]

• UNC-3.T.1 Para uma variável numérica, ao realizar amostragem aleatória com reposição de duas populações independentes com médias populacionais $\mu_1$ e $\mu_2$ e desvios padrões populacionais $\sigma_1$ e $\sigma_2$, a distribuição amostral da diferença em médias amostrais $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ tem média $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ e desvio padrão $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
• UNC-3.T.2 Se a amostragem for sem reposição, o desvio padrão da diferença em médias amostrais será menor do que aquele dado pela fórmula acima. Se os tamanhos das amostras forem inferiores a 10% dos tamanhos das populações, a diferença é desprezível.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.U: Determinar se uma distribuição amostral de uma diferença em médias amostrais pode ser descrita como aproximadamente normal. [Habilidade 3.C]

• UNC-3.U.1 A distribuição amostral da diferença em médias amostrais $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ pode ser modelada com uma distribuição normal se as duas distribuições populacionais puderem ser modeladas com uma distribuição normal.
• UNC-3.U.2 A distribuição amostral da diferença em médias amostrais $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ pode ser modelada aproximadamente por uma distribuição normal se as duas distribuições populacionais não puderem ser modeladas com uma distribuição normal, mas ambos os tamanhos das amostras forem maiores ou iguais a 30.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.V: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para diferenças em médias amostrais. [Habilidade 4.B]

• UNC-3.V.1 Probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para diferenças em médias amostrais devem ser interpretados usando unidades apropriadas e dentro do contexto de populações específicas.

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.H: Identificar perguntas sugeridas pela variação nas formas das distribuições de amostras retiradas da mesma população. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.H.1 A variação nas formas das distribuições de dados pode ser aleatória ou não.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.A: Identificar um procedimento de intervalo de confiança adequado para uma proporção populacional. [Habilidade 1.D]

• UNC-4.A.1 O procedimento de intervalo de confiança apropriado para uma proporção de uma amostra para uma variável categórica é um intervalo-z $z$ de uma amostra para uma proporção.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.B: Verificar as condições para calcular intervalos de confiança para uma proporção populacional. [Habilidade 4.C]

• UNC-4.B.1 Para fazer as suposições necessárias para inferência sobre proporções populacionais, médias e coeficientes angulares, devemos verificar a independência nos métodos de coleta de dados e a seleção da distribuição de amostragem apropriada.
• UNC-4.B.2 Para calcular um intervalo de confiança para estimar uma proporção populacional, $p$, devemos verificar a independência e que a distribuição amostral é aproximadamente normal.
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou um experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \leq 10\%N$, onde $N$ é o tamanho da população.
  • b. Para verificar que a distribuição amostral de $\hat{p}$ é aproximadamente normal (forma):
    • i. Para variáveis categóricas, verifique que tanto o número de sucessos, $n\hat{p}$, quanto o número de fracassos, $n(1-\hat{p})$ sejam pelo menos 10, para que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para apoiar uma suposição de normalidade.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.C: Determinar a margem de erro para um tamanho de amostra dado e uma estimativa para o tamanho de amostra que resultará em uma dada margem de erro para uma proporção populacional. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.C.1 Com base em dados amostrais, o erro padrão de uma estatística é uma estimativa do desvio padrão dessa estatística. O erro padrão de $\hat{p}$ é $SE_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.
• UNC-4.C.2 Uma margem de erro indica o quanto o valor de uma estatística amostral tende a variar em relação ao valor do correspondente parâmetro populacional.
• UNC-4.C.3 Para variáveis categóricas, a margem de erro é o valor crítico ($z^*$) vezes o erro padrão (EP) da estatística relevante, que é igual a $z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ para uma proporção amostral única.
• UNC-4.C.4 A fórmula da margem de erro pode ser rearranjada para resolver $n$, o tamanho mínimo da amostra necessário para alcançar uma determinada margem de erro. Para esse fim, use um palpite para $\hat{p}$ ou use $\hat{p} = 0.5$ para encontrar um limite superior para o tamanho da amostra que resultará em uma determinada margem de erro.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.D: Calcular um intervalo de confiança adequado para uma proporção populacional. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.D.1 Em geral, uma estimativa por intervalo pode ser construída como estimativa pontual ± (margem de erro). Para uma proporção amostral única, a estimativa por intervalo é $\hat{p} \pm z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.
  • Declaração de esclarecimento: As fórmulas para estimativas de intervalo não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas da AP Statistics fornecida no AP Statistics Exam. No entanto, essas fórmulas não precisam ser decoradas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral da estatística de teste e nas fórmulas relevantes de erro padrão que estão fornecidas na folha de fórmulas.
• UNC-4.D.2 Valores críticos representam os limites que abrangem a parte central C% da distribuição normal padrão, onde C% é um nível de confiança aproximado para uma proporção.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.E: Calcular uma estimativa de intervalo baseada em um intervalo de confiança para uma proporção populacional. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.E.1 Intervalos de confiança para proporções populacionais podem ser usados para calcular estimativas de intervalo com unidades especificadas.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.F: Interpretar um intervalo de confiança para uma proporção populacional. [Habilidade 4.B]

• UNC-4.F.1 Um intervalo de confiança para uma proporção populacional contém a proporção populacional ou não, porque cada intervalo é baseado em dados de amostra aleatória, que variam de amostra para amostra.
• UNC-4.F.2 Estamos confiantes em C% de que o intervalo de confiança para uma proporção populacional captura a proporção populacional.
• UNC-4.F.3 Em amostragens aleatórias repetidas com o mesmo tamanho de amostra, aproximadamente C% dos intervalos de confiança criados capturarão a proporção populacional.
• UNC-4.F.4 Interpretar um intervalo de confiança para uma proporção de uma única amostra deve incluir uma referência à amostra retirada e detalhes sobre a população que ela representa.
  • Exemplos ilustrativos para UNC-4.F.4: Para interpretar um intervalo de confiança de 99% de (0.268, 0.292), com base na proporção de uma amostra nacionalmente representativa de estudantes do décimo segundo ano que responderam corretamente a uma questão específica de múltipla escolha: "Temos 99% de confiança de que o intervalo de 0.268 a 0.292 contém a proporção populacional de todos os estudantes do décimo segundo ano dos Estados Unidos que responderiam a essa questão corretamente" (2011 FRQ 6(a)).

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.G: Justificar uma afirmação baseada em um intervalo de confiança para uma proporção populacional. [Habilidade 4.D]

• UNC-4.G.1 Um intervalo de confiança para uma proporção populacional fornece um intervalo de valores que pode fornecer evidências suficientes para sustentar uma afirmação particular no contexto.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.H: Identificar as relações entre tamanho de amostra, largura de um intervalo de confiança, nível de confiança e margem de erro para uma proporção populacional. [Habilidade 4.A]

• UNC-4.H.1 Quando todas as outras coisas permanecem iguais, a largura do intervalo de confiança para uma proporção populacional tende a diminuir à medida que o tamanho da amostra aumenta. Para uma proporção populacional, a largura do intervalo é proporcional a $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
• UNC-4.H.2 Para uma amostra dada, a largura do intervalo de confiança para uma proporção populacional aumenta à medida que o nível de confiança aumenta.
• UNC-4.H.3 A largura de um intervalo de confiança para uma proporção populacional é exatamente duas vezes a margem de erro.

Compreensão Essencial (VAR-6): A distribuição normal pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.D: Identificar as hipóteses nula e alternativa para uma proporção populacional. [Habilidade 1.F]

• VAR-6.D.1 A hipótese nula é a situação que é assumida como correta a menos que evidências sugiram o contrário, e a hipótese alternativa é a situação para a qual evidências estão sendo coletadas.
• VAR-6.D.2 Para hipóteses sobre parâmetros, a hipótese nula contém uma referência de igualdade (=, ≥ ou ≤), enquanto a hipótese alternativa contém uma desigualdade estrita (<, > ou ≠). O tipo de desigualdade na hipótese alternativa baseia-se na questão de interesse. Hipóteses alternativas com < or > são chamadas unilaterais, e hipóteses alternativas com ≠ são chamadas bilaterais. Embora a hipótese nula para um teste unilateral possa incluir um símbolo de desigualdade, ela ainda é testada no limite de igualdade.
• VAR-6.D.3 A hipótese nula para uma proporção populacional é: $H_0 : p = p_0$, onde $p_0$ é o valor hipotetizado nulo para a proporção populacional.
• VAR-6.D.4 Uma hipótese alternativa unilateral para uma proporção é ou $H_a : p < p_0$ ou $H_a : p > p_0$. Uma hipótese alternativa bilateral é $H_a : p_1 \neq p_2$.
• VAR-6.D.5 Para um teste $z$ de uma amostra única para uma proporção populacional, a hipótese nula especifica um valor para a proporção populacional, geralmente um que indica nenhuma diferença ou efeito.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.E: Identificar um método de teste adequado para uma proporção populacional. [Habilidade 1.E]

• VAR-6.E.1 Para uma única variável categórica, o método de teste apropriado para uma proporção populacional é um teste $z$ de uma amostra única para uma proporção populacional.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.F: Verificar as condições para fazer inferências estatísticas ao testar uma proporção populacional. [Habilidade 4.C]

• VAR-6.F.1 Para fazer inferências estatísticas ao testar uma proporção populacional, devemos verificar a independência e que a distribuição de amostragem é aproximadamente normal:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou um experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \leq 10\%N$.
  • b. Para verificar que a distribuição amostral de $\hat{p}$ é aproximadamente normal (forma):
    • i. Assumindo que $H_0$ é verdadeiro $(p = p_0)$, verifique que tanto o número de sucessos, $np_0$, quanto o número de fracassos, $n(1-p_0)$, sejam pelo menos 10, para que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para suportar uma suposição de normalidade.

Compreensão Essencial (VAR-6): A distribuição normal pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.G: Calcular uma estatística de teste adequada e um valor $p$ para uma proporção populacional. [Habilidade 3.E]

• VAR-6.G.1 A distribuição da estatística de teste assumindo que a hipótese nula é verdadeira (distribuição nula) pode ser uma distribuição de randomização ou, quando um modelo probabilístico é assumido como verdadeiro, uma distribuição teórica ($z$).
• VAR-6.G.2 Ao usar um teste $z$, a estatística de teste padronizada pode ser escrita: $\text{test statistic} = \dfrac{\text{sample statistic} - \text{null value of the parameter}}{\text{standard deviation of the statistic}}$. Isso é chamado de estatística $z$ para proporções.
• VAR-6.G.3 A estatística de teste para uma proporção populacional é: $z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$.
  • Declaração de esclarecimento: As fórmulas para estatísticas de teste não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas da AP Statistics fornecida no AP Statistics Exam. No entanto, essas fórmulas não precisam ser decoradas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral da estatística de teste e nas fórmulas relevantes de erro padrão que estão fornecidas na folha de fórmulas.
• VAR-6.G.4 O valor-p ($p$) é a probabilidade de se obter uma estatística de teste tão extrema ou mais extrema do que a observada, quando a hipótese nula e o modelo probabilístico são assumidos como verdadeiros. O nível de significância pode ser fornecido ou determinado pelo pesquisador.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.A: Interpretar o valor-p $p$ de um teste de significância para uma proporção populacional. [Habilidade 4.B]

• DAT-3.A.1 A $p$-valor é a proporção de valores para a distribuição nula que são tão extremos ou mais extremos do que o valor observado da estatística de teste. Isso é:
  • a. A proporção igual ou superior ao valor observado do estatístico de teste, se a alternativa for >.
  • b. A proporção igual ou inferior ao valor observado do estatístico de teste, se a alternativa for <.
  • c. A proporção menor ou igual ao negativo do valor absoluto do estatístico de teste mais a proporção maior ou igual ao valor absoluto do estatístico de teste, se a alternativa for ≠.
• DAT-3.A.2 Uma interpretação do valor-p $p$ de um teste de significância para uma proporção amostral deve reconhecer que o valor-p $p$ é calculado assumindo que o modelo probabilístico e a hipótese nula são verdadeiros, ou seja, assumindo que a verdadeira proporção populacional é igual ao valor específico declarado na hipótese nula.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.B: Justificar uma afirmação sobre a população com base nos resultados de um teste de significância para uma proporção populacional. [Habilidade 4.E]

• DAT-3.B.1 O nível de significância, $\alpha$, é a probabilidade predeterminada de rejeitar a hipótese nula dado que ela é verdadeira.
• DAT-3.B.2 Uma decisão formal compara explicitamente o $p$-valor ao nível de significância, $\alpha$. Se o $p$-valor $\leq \alpha$, rejeite a hipótese nula. Se o $p$-valor $> \alpha$, não rejeite a hipótese nula.
• DAT-3.B.3 Rejeitar a hipótese nula significa que há evidência estatística suficiente para apoiar a hipótese alternativa. Não rejeitar a hipótese nula significa que há evidência estatística insuficiente para apoiar a hipótese alternativa.
• DAT-3.B.4 A conclusão sobre a hipótese alternativa deve ser expressa em contexto.
• DAT-3.B.5 Um teste de significância pode levar à rejeição ou à não rejeição da hipótese nula, mas nunca pode levar à conclusão ou prova de que a hipótese nula é verdadeira. A falta de evidência estatística para a hipótese alternativa não é a mesma coisa que evidência para a hipótese nula.
• DAT-3.B.6 Valores $p$ baixos indicam que o valor observado da estatística de teste seria incomum se a hipótese nula e o modelo probabilístico fossem verdadeiros, fornecendo assim evidências para a alternativa. Quanto menor o valor $p$, mais convincente é a evidência estatística para a hipótese alternativa.
• DAT-3.B.7 Valores-p $p$ que não são pequenos indicam que o valor observado da estatística de teste não seria incomum se a hipótese nula e o modelo probabilístico fossem verdadeiros, portanto, não fornecem evidência estatística convincente para a hipótese alternativa nem fornecem evidências de que a hipótese nula é verdadeira.
• DAT-3.B.8 Uma decisão formal compara explicitamente o $p$-valor ao nível de significância $\alpha$. Se o $p$-valor $\leq \alpha$, rejeite a hipótese nula, $H_0 : p = p_0$. Se o $p$-valor $> \alpha$, não rejeite a hipótese nula.
• DAT-3.B.9 Os resultados de um teste de significância para uma proporção populacional podem servir como raciocínio estatístico para supportar a resposta a uma questão de pesquisa sobre a população amostrada.

Compreensão Permanente (UNC-5): As probabilidades de erros Tipo I e Tipo II influenciam a inferência.

Objetivo de Aprendizagem UNC-5.A: Identificar erros Tipo I e Tipo II. [Habilidade 1.B]

• UNC-5.A.1 Um erro Tipo I ocorre quando a hipótese nula é verdadeira e é rejeitada (falso positivo).
• UNC-5.A.2 Um erro Tipo II ocorre quando a hipótese nula é falsa e não é rejeitada (falso negativo).
  • Tabela de Erros: Com o Valor Populacional Real no topo ($H_0$ verdadeiro; $H_a$ verdadeiro) e a Decisão na lateral (Rejeitar $H_0$; Não Rejeitar $H_0$): Rejeitar $H_0$ quando $H_0$ verdadeiro = Erro Tipo I; Rejeitar $H_0$ quando $H_a$ verdadeiro = Decisão Correta; Não Rejeitar $H_0$ quando $H_0$ verdadeiro = Decisão Correta; Não Rejeitar $H_0$ quando $H_a$ verdadeiro = Erro Tipo II.

Objetivo de Aprendizagem UNC-5.B: Calcular a probabilidade de erros Tipo I e Tipo II. [Habilidade 3.A]

• UNC-5.B.1 O nível de significância, $\alpha$, é a probabilidade de cometer um Erro Tipo I, se a hipótese nula for verdadeira.
• UNC-5.B.2 O poder de um teste é a probabilidade de que um teste rejeite corretamente uma hipótese nula falsa.
• UNC-5.B.3 A probabilidade de cometer um Erro Tipo II é $= 1 - power$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-5.C: Identificar fatores que afetam a probabilidade de erros em testes de significância. [Habilidade 4.A]

• UNC-5.C.1 A probabilidade de um erro Tipo II diminui quando qualquer um dos seguintes ocorre, desde que os outros não mudem:
  • i. O tamanho da amostra aumenta.
  • ii. O nível de significância ($\alpha$) de um teste aumenta.
  • iii. O erro padrão diminui.
  • iv. O valor real do parâmetro está mais longe da hipótese nula.

Objetivo de Aprendizagem UNC-5.D: Interpretar erros Tipo I e Tipo II. [Habilidade 4.B]

• UNC-5.D.1 Se um erro Tipo I ou Tipo II é mais consequente depende da situação.
• UNC-5.D.2 Como o nível de significância, $\alpha$, é a probabilidade de um Erro Tipo I, as consequências de um Erro Tipo I influenciam as decisões sobre um nível de significância.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.I: Identificar um procedimento de intervalo de confiança apropriado para uma comparação de proporções populacionais. [Habilidade 1.D]

• UNC-4.I.1 O procedimento de intervalo de confiança apropriado para uma comparação de duas amostras de proporções para uma variável categórica é um intervalo $z$ de duas amostras para uma diferença entre proporções populacionais.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.J: Verificar as condições para calcular intervalos de confiança para uma diferença entre proporções populacionais. [Habilidade 4.C]

• UNC-4.J.1 Para calcular intervalos de confiança para estimar uma diferença entre proporções, devemos verificar a independência e que a distribuição de amostragem é aproximadamente normal:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando duas amostras aleatórias independentes ou um experimento aleatorizado.
    • ii. Quando a amostragem for sem reposição, verifique que $n_1 \leq 10\%N_1$ e $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Para verificar que a distribuição amostral de $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ é aproximadamente normal (forma).
    • i. Para variáveis categóricas, verifique que $n_1\hat{p}_1$, $n_1(1-\hat{p}_1)$, $n_2\hat{p}_2$ e $n_2\left(1-\hat{p}_2\right)$ sejam todos maiores ou iguais a algum valor predeterminado, tipicamente 5 ou 10.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.K: Calcular um intervalo de confiança apropriado para uma comparação de proporções populacionais. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.K.1 Para uma comparação de proporções, a estimativa por intervalo é $(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \dfrac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$.
  • Declaração de esclarecimento: As fórmulas para estimativas de intervalo não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas da AP Statistics fornecida no AP Statistics Exam. No entanto, essas fórmulas não precisam ser decoradas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral da estatística de teste e nas fórmulas relevantes de erro padrão que estão fornecidas na folha de fórmulas.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.L: Calcular uma estimativa de intervalo com base em um intervalo de confiança para uma diferença de proporções. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.L.1 Intervalos de confiança para uma diferença em proporções podem ser usados para calcular estimativas de intervalo com unidades especificadas.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.M: Interpretar um intervalo de confiança para uma diferença de proporções. [Habilidade 4.B]

• UNC-4.M.1 Em amostragens aleatórias repetidas com o mesmo tamanho de amostra, aproximadamente C% dos intervalos de confiança criados capturarão a diferença nas proporções populacionais.
• UNC-4.M.2 Interpretar um intervalo de confiança para a diferença entre proporções populacionais deve incluir uma referência à amostra coletada e detalhes sobre a população que ela representa.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.N: Justificar uma afirmação com base em um intervalo de confiança para uma diferença de proporções. [Habilidade 4.D]

• UNC-4.N.1 Um intervalo de confiança para a diferença em proporções populacionais fornece um intervalo de valores que pode fornecer evidência suficiente para apoiar uma afirmação particular em contexto.

Compreensão Essencial (VAR-6): A distribuição normal pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.H: Identificar as hipóteses nula e alternativa para uma diferença de duas proporções populacionais. [Habilidade 1.F]

• VAR-6.H.1 Para um teste de duas amostras para uma diferença de duas proporções, a hipótese nula especifica um valor de $0$ para a diferença nas proporções populacionais, indicando nenhuma diferença ou efeito.
• VAR-6.H.2 A hipótese nula para uma diferença em proporções é: $H_0 : p_1 = p_2$, ou $H_0 : p_1 - p_2 = 0$.
• VAR-6.H.3 Uma hipótese alternativa unilateral para uma diferença em proporções é $H_a : p_1 < p_2$, ou, $H_a : p_1 > p_2$. Uma hipótese alternativa bilateral para uma diferença de proporções é $H_a : p_1 \neq p_2$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.I: Identificar um método de teste adequado para a diferença de duas proporções populacionais. [Habilidade 1.E]

• VAR-6.I.1 Para uma única variável categórica, o método de teste apropriado para a diferença de duas proporções populacionais é um teste-z $z$ de dois amostras para uma diferença entre duas proporções populacionais.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.J: Verificar as condições para fazer inferências estatísticas ao testar uma diferença de duas proporções populacionais. [Habilidade 4.C]

• VAR-6.J.1 Para fazer inferências estatísticas ao testar uma diferença entre proporções populacionais, devemos verificar a independência e que a distribuição amostral é aproximadamente normal:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando duas amostras aleatórias independentes ou um experimento aleatorizado.
    • ii. Quando a amostragem for sem reposição, verifique que $n_1 \leq 10\%N_1$ e $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Para verificar que a distribuição amostral de $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ é aproximadamente normal (forma):
    • i. Para a amostra combinada, defina a proporção combinada (ou agrupada), $\hat{p}_c = \dfrac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2}$. Assumindo que $H_0$ é verdadeira, $(p_1 - p_2 = 0$ ou $p_1 = p_2)$, verifique que $n_1\hat{p}_c$, $n_1\left(1-\hat{p}_c\right)$, $n_2\hat{p}_c$ e $n_2\left(1-\hat{p}_c\right)$ são todos maiores ou iguais a algum valor predeterminado, tipicamente 5 ou 10.

Compreensão Essencial (VAR-6): A distribuição normal pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.K: Calcular uma estatística de teste adequada para a diferença de duas proporções populacionais. [Habilidade 3.E]

• VAR-6.K.1 A estatística de teste para uma diferença em proporções é: $z = \dfrac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - 0}{\sqrt{\hat{p}_c(1-\hat{p}_c)}\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}$, onde $\hat{p}_c = \dfrac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2}$.
  • Declaração de esclarecimento: As fórmulas para estatísticas de teste não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas da AP Statistics fornecida no AP Statistics Exam. No entanto, essas fórmulas não precisam ser decoradas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral da estatística de teste e nas fórmulas do erro padrão para cada uma das estatísticas de teste relevantes que são fornecidas na folha de fórmulas.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.C: Interpretar o valor-p $p$ de um teste de significância para uma diferença de proporções populacionais. [Habilidade 4.B]

• DAT-3.C.1 Uma interpretação do valor-p $p$ de um teste de significância para uma diferença de duas proporções populacionais deve reconhecer que o valor-p $p$ é computado assumindo que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, assumindo que as verdadeiras proporções populacionais são iguais entre si.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.D: Justificar uma afirmação sobre a população com base nos resultados de um teste de significância para uma diferença de proporções populacionais. [Habilidade 4.E]

• DAT-3.D.1 Uma decisão formal compara explicitamente o valor-p $p$ ao nível de significância $\alpha$. Se o valor-p $p\text{-value} \leq \alpha$, então rejeite a hipótese nula, $H_0 : p_1 = p_2$, ou $H_0 : p_1 - p_2 = 0$. Se o valor-p $p$ for maior ou igual a $> \alpha$, então falhe em rejeitar a hipótese nula.
• DAT-3.D.2 Os resultados de um teste de significância para uma diferença entre duas proporções populacionais podem servir como raciocínio estatístico para sustentar a resposta a uma pergunta de pesquisa sobre as duas populações amostradas.

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.I: Identificar perguntas sugeridas por probabilidades de erros em inferência estatística. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.I.1 A variação aleatória pode resultar em erros na inferência estatística.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.A: Descrever distribuições $t$. [Habilidade 3.C]

• VAR-7.A.1 Quando $s$ é usado em vez de $\sigma$ para calcular uma estatística de teste, a distribuição correspondente, conhecida como distribuição $t$, varia da distribuição normal na forma, pois mais da área é alocada nas caudas da curva de densidade do que em uma distribuição normal.
• VAR-7.A.2 À medida que os graus de liberdade aumentam, a área nas caudas de uma distribuição $t$ diminui.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.O: Identificar um procedimento de intervalo de confiança apropriado para uma média populacional, incluindo a diferença média entre valores em pares pareados. [Habilidade 1.D]

• UNC-4.O.1 Como $\sigma$ geralmente não é conhecido para distribuições de variáveis quantitativas, o procedimento de intervalo de confiança apropriado para estimar a média populacional de uma variável quantitativa para uma amostra é um intervalo $t$ de uma amostra para uma média.
• UNC-4.O.2 Para uma variável quantitativa, $X$, que segue uma distribuição normal, a distribuição de $t = \dfrac{(\overline{x} - \mu)}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ é uma distribuição $t$ com $n-1$ graus de liberdade.
• UNC-4.O.3 Pares pareados podem ser pensados como uma única amostra de pares. Uma vez que as diferenças entre os pares de valores são encontradas, a inferência para intervalos de confiança prossegue como para uma média populacional.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.P: Verificar as condições para o cálculo de intervalos de confiança para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 4.C]

• UNC-4.P.1 Para calcular intervalos de confiança para estimar uma média populacional, devemos verificar a independência e que a distribuição amostral é aproximadamente normal:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou um experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \leq 10\%N$, onde $N$ é o tamanho da população.
  • b. Para verificar que a distribuição amostral de $\overline{x}$ é aproximadamente normal (forma):
    • i. Se a distribuição observada for assimétrica, $n$ deve ser maior que 30.
    • ii. Se o tamanho da amostra for menor que 30, a distribuição dos dados da amostra deve estar livre de assimetria forte e outliers.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.Q: Determinar a margem de erro para um tamanho de amostra dado para um intervalo $t$ de uma amostra única. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.Q.1 O valor crítico $t^*$ com $n-1$ graus de liberdade pode ser encontrado usando uma tabela ou saída gerada por computador.
• UNC-4.Q.2 O erro padrão para uma média amostral é dado por $SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$, onde $s$ é o desvio padrão amostral.
• UNC-4.Q.3 Para um intervalo $t$ de uma amostra para uma média, a margem de erro é o valor crítico ($t^*$) vezes o erro padrão ($SE$), que é igual a $t^*\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.R: Calcular um intervalo de confiança adequado para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.R.1 A estimativa pontual para uma média populacional é a média amostral, $\overline{x}$.
• UNC-4.R.2 Para a média populacional de uma amostra com desvio padrão populacional desconhecido, o intervalo de confiança é $\overline{x} \pm t^* \dfrac{s}{\sqrt{n}}$.

Declaração de fronteira: As fórmulas para estimativas de intervalo não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas de Estatística AP fornecida no Exame de Estatística AP. No entanto, essas fórmulas não precisam ser decoradas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral do estatístico de teste e nas fórmulas relevantes de erro padrão que estão fornecidas na folha de fórmulas.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.S: Interpretar um intervalo de confiança para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 4.B]

• UNC-4.S.1 Um intervalo de confiança para uma média populacional contém a média populacional ou não, porque cada intervalo se baseia em dados de uma amostra aleatória, que varia de amostra para amostra.
• UNC-4.S.2 Estamos C% confiantes de que o intervalo de confiança para uma média populacional captura a média populacional.
• UNC-4.S.3 Uma interpretação de um intervalo de confiança para uma média populacional inclui uma referência à amostra coletada e detalhes sobre a população que ela representa.
  • Exemplos ilustrativos para UNC-4.S.3: Para interpretar um intervalo de confiança de 96% para o comprimento médio do pé em todas as pegadas encontradas em uma caverna, com base em uma amostra aleatória específica de pegadas na caverna: "Temos 96% de confiança de que o comprimento médio do pé em todas as pegadas encontradas na caverna está dentro do intervalo de confiança" (com base no 2000 FRQ 2).

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.T: Justificar uma afirmação baseada em um intervalo de confiança para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 4.D]

• UNC-4.T.1 Um intervalo de confiança para uma média populacional fornece um intervalo de valores que pode fornecer evidências suficientes para apoiar uma afirmação particular no contexto.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.U: Identificar as relações entre o tamanho da amostra, a largura de um intervalo de confiança, o nível de confiança e a margem de erro para uma média populacional. [Habilidade 4.A]

• UNC-4.U.1 Quando todas as outras coisas permanecem as mesmas, a largura de um intervalo de confiança para uma média populacional tende a diminuir à medida que o tamanho da amostra aumenta.
• UNC-4.U.2 Para uma média única, a largura do intervalo é proporcional a $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
• UNC-4.U.3 Para uma amostra dada, a largura do intervalo de confiança para uma média populacional aumenta à medida que o nível de confiança aumenta.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.B: Identificar um método de teste adequado para uma média populacional com $\sigma$ desconhecido, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 1.E]

• VAR-7.B.1 O teste apropriado para uma média populacional com $\sigma$ desconhecido é um teste $t$ de uma amostra para uma média populacional.
• VAR-7.B.2 Pares pareados podem ser pensados como uma única amostra de pares. Uma vez que as diferenças entre os pares de valores são encontradas, a inferência para testes de significância prossegue como para uma média populacional.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.C: Identificar as hipóteses nula e alternativa para uma média populacional com $\sigma$ desconhecido, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 1.F]

• VAR-7.C.1 A hipótese nula para um teste $t$ de uma amostra para uma média populacional é $H_0 : \mu = \mu_0$, onde $\mu_0$ é o valor hipotetizado. Dependendo da situação, a hipótese alternativa é $H_a : \mu < \mu_0$, ou $H_a : \mu > \mu_0$, ou $H_a : \mu \neq \mu_0$.
• VAR-7.C.2 Ao encontrar a média das diferenças, $\mu_d$, entre valores em um par pareado, é importante definir a ordem da subtração.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.D: Verificar as condições para o teste para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 4.C]

• VAR-7.D.1 Para fazer inferências estatísticas ao testar uma média populacional, devemos verificar a independência e que a distribuição amostral é aproximadamente normal:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou um experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \leq 10\%N$.
  • b. Para verificar que a distribuição amostral de $\overline{x}$ é aproximadamente normal (forma):
    • i. Se a distribuição observada for assimétrica, $n$ deve ser maior que 30.
    • ii. Se o tamanho da amostra for menor que 30, a distribuição dos dados da amostra deve estar livre de assimetria forte e outliers.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.E: Calcular um estatístico de teste adequado para uma média populacional, incluindo a média das diferenças entre valores em pares pareados. [Habilidade 3.E]

• VAR-7.E.1 Para uma única variável quantitativa quando a amostragem com reposição é feita de uma população que pode ser modelada com uma distribuição normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$, a distribuição amostral de $t = \dfrac{\overline{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ tem uma distribuição $t$ com $n - 1$ graus de liberdade.

Declaração de fronteira: As fórmulas para estatísticos de teste não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas de Estatística AP fornecida no Exame de Estatística AP. No entanto, essas fórmulas não precisam ser decoradas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral do estatístico de teste e nas fórmulas relevantes de erro padrão que estão fornecidas na folha de fórmulas.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de aprendizagem DAT-3.E: Interpretar o valor $p$ de um teste de significância para uma média populacional, incluindo a diferença média entre valores em pares emparelhados. [Habilidade 4.B]

• DAT-3.E.1 Uma interpretação do valor-p $p$ de um teste de significância para uma média populacional deve reconhecer que o valor-p $p$ é calculado assumindo que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, assumindo que a verdadeira média populacional é igual ao valor específico declarado na hipótese nula.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.F: Justificar uma afirmação sobre a população com base nos resultados de um teste de significância para uma média populacional. [Habilidade 4.E]

• DAT-3.F.1 Uma decisão formal compara explicitamente o valor $p$ ao nível de significância $\alpha$. Se o valor $p$ for menor ou igual a $\leq \alpha$, rejeite a hipótese nula, $H_0 : \mu = \mu_0$. Se o valor $p$ for maior que $> \alpha$, não rejeite a hipótese nula.
• DAT-3.F.2 Os resultados de um teste de significância para uma média populacional podem servir como raciocínio estatístico para suportar a resposta a uma pergunta de pesquisa sobre a população que foi amostrada.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.V: Identificar um procedimento de intervalo de confiança adequado para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 1.D]

• UNC-4.V.1 Considere uma amostra aleatória simples da população 1 de tamanho $n_1$, média $\mu_1$ e desvio padrão $\sigma_1$ e uma segunda amostra aleatória simples da população 2 de tamanho $n_2$, média $\mu_2$ e desvio padrão $\sigma_2$. Se as distribuições das populações 1 e 2 forem normais ou se ambos $n_1$ e $n_2$ forem maiores que 30, então a distribuição amostral da diferença de médias, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ também é normal. A média para a distribuição amostral de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ é $\mu_1 - \mu_2$. O desvio padrão de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ é $\sqrt{\dfrac{(\sigma_1)^2}{n_1} + \dfrac{(\sigma_2)^2}{n_2}}$.
• UNC-4.V.2 O procedimento de intervalo de confiança apropriado para uma variável quantitativa para duas amostras independentes é um intervalo $t$ de duas amostras para uma diferença entre médias populacionais.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.W: Verificar as condições para calcular intervalos de confiança para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 4.C]

• UNC-4.W.1 Para calcular intervalos de confiança para estimar a diferença de médias populacionais, devemos verificar a independência e que a distribuição amostral é aproximadamente normal:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando duas amostras aleatórias independentes ou um experimento aleatorizado.
    • ii. Quando a amostragem for sem reposição, verifique que $n_1 \leq 10\%N_1$ e $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Para verificar que a distribuição amostral de $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2)$ deve ser aproximadamente normal (forma):
    • i. Se as distribuições observadas forem assimétricas, tanto $n_1$ quanto $n_2$ devem ser maiores que 30.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.X: Determinar a margem de erro para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.X.1 Para a diferença de duas médias amostrais, a margem de erro é o valor crítico ($t^*$) vezes o erro padrão ($SE$) da diferença de duas médias.
• UNC-4.X.2 O erro padrão para a diferença em duas médias amostrais com desvios padrão amostrais, $s_1$ e $s_2$, é $\sqrt{\dfrac{(s_1)^2}{n_1} + \dfrac{(s_2)^2}{n_2}}$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.Y: Calcular um intervalo de confiança adequado para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.Y.1 A estimativa pontual para a diferença de duas médias populacionais é a diferença nas médias amostrais, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$.
• UNC-4.Y.2 Para uma diferença de duas médias populacionais onde os desvios padrão populacionais não são conhecidos, o intervalo de confiança é $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) \pm t^* \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}$ onde $\pm t^*$ são os valores críticos para o C% central de uma distribuição $t$ com os graus de liberdade apropriados que podem ser encontrados usando tecnologia.

Declaração de fronteira: As fórmulas para estimativas de intervalo não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas de Estatística AP fornecida no Exame de Estatística AP. No entanto, essas fórmulas não precisam ser decoradas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral do estatístico de teste e nas fórmulas relevantes de erro padrão que estão fornecidas na folha de fórmulas.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.Z: Interpretar um intervalo de confiança para a diferença de médias populacionais. [Habilidade 4.B]

• UNC-4.Z.1 Em amostragens aleatórias repetidas com o mesmo tamanho de amostra, aproximadamente C% dos intervalos de confiança criados capturarão a diferença das médias populacionais.
• UNC-4.Z.2 Uma interpretação para um intervalo de confiança para a diferença de duas médias populacionais deve incluir uma referência às amostras coletadas e detalhes sobre as populações que elas representam.
  • Exemplos ilustrativos para UNC-4.Z.2: Para interpretar um intervalo de confiança para a diferença entre os tempos médios de resposta de duas estações de bombeiros (norte - sul): "Com base nessas amostras, pode-se ter 95 por cento de confiança de que a diferença nas médias populacionais dos tempos de resposta (norte - sul) está entre -2.37 minutos e 0.37 minutos" (2009 FRQ 4).

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AA: Justificar uma afirmação baseada em um intervalo de confiança para a diferença de médias populacionais. [Habilidade 4.D]

• UNC-4.AA.1 Um intervalo de confiança para a diferença de médias populacionais fornece um intervalo de valores que pode fornecer evidências suficientes para apoiar uma afirmação particular no contexto.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AB: Identificar os efeitos do tamanho da amostra na largura de um intervalo de confiança para a diferença de duas médias. [Habilidade 4.A]

• UNC-4.AB.1 Quando todas as outras coisas permanecem as mesmas, a largura do intervalo de confiança para a diferença de duas médias tende a diminuir à medida que os tamanhos das amostras aumentam.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.F: Identificar uma seleção apropriada de método de teste para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 1.E]

• VAR-7.F.1 Para uma variável quantitativa, o teste apropriado para a diferença de duas médias populacionais é um teste t de duas amostras $t$ para a diferença de duas médias populacionais.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.G: Identificar as hipóteses nula e alternativa para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 1.F]

• VAR-7.G.1 A hipótese nula para um teste t de duas amostras $t$ para a diferença de duas médias populacionais, $\mu_1$ e $\mu_2$, é: $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, ou $H_0 : \mu_1 = \mu_2$. A hipótese alternativa é $H_a : \mu_1 - \mu_2 < 0$, ou $H_a : \mu_1 - \mu_2 > 0$, ou $H_a : \mu_1 - \mu_2 \neq 0$, ou $H_a : \mu_1 > \mu_2$, ou $H_a : \mu_1 < \mu_2$, ou $H_a : \mu_1 \neq \mu_2$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.H: Verificar as condições para o teste de significância para a diferença de duas médias populacionais. [Habilidade 4.C]

• VAR-7.H.1 Para fazer inferências estatísticas ao testar uma diferença entre médias populacionais, devemos verificar a independência e que a distribuição amostral é aproximadamente normal:
  • a. As observações individuais devem ser independentes:
    • i. Os dados devem ser coletados usando amostras aleatórias simples ou um experimento randomizado.
    • ii. Quando a amostragem for sem reposição, verifique que $n_1 \leq 10\%N_1$ e $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. A distribuição amostral de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ deve ser aproximadamente normal (forma).
    • i. Se a distribuição observada for assimétrica, tanto $n_1$ quanto $n_2$ devem ser maiores que 30.
    • ii. Se o tamanho da amostra for menor que 30, a distribuição dos dados da amostra deve estar livre de assimetria forte e outliers. Isso deve ser verificado para AMOAS amostras.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.I: Calcular uma estatística de teste apropriada para a diferença de duas médias. [Habilidade 3.E]

• VAR-7.I.1 Para uma única variável quantitativa, dados coletados usando amostras aleatórias independentes ou um experimento randomizado de duas populações, cada uma das quais pode ser modelada com uma distribuição normal, a distribuição amostral de $t = \dfrac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$ é uma distribuição t aproximada $t$ com graus de liberdade que podem ser encontrados usando tecnologia. Os graus de liberdade ficam entre o menor de $n_1 - 1$ e $n_2 - 1$ e $n_1 + n_2 - 2$.
  • Exemplos ilustrativos para VAR-7.I.1: Em um estudo que comparava os tempos médios de recuperação para dois procedimentos cirúrgicos para reparar um ligamento cruzado anterior (LCA) rompido, o grupo que recebeu um procedimento tinha um tamanho amostral de 110, enquanto o grupo que recebeu o outro procedimento tinha um tamanho amostral de 100. Os graus de liberdade estão entre 100 (o menor de 110 e 100) e 208 (110 + 100 - 2). Os graus de liberdade podem ser determinados usando tecnologia. Se a estatística de teste para este estudo for $t \approx 7.13$, então o $p$-valor é a área maior que 7.13 para uma distribuição $t$-com $df = 207.18$ (2018 FRQ 4).

Declaração de limite: As fórmulas para estatísticas de teste não aparecem explicitamente na Folha de Fórmulas de Estatística AP fornecida no Exame de Estatística AP. No entanto, essas fórmulas não precisam ser memorizadas, pois podem ser construídas com base na fórmula geral da estatística de teste e nas fórmulas do erro padrão para cada uma das estatísticas de teste relevantes que são fornecidas na folha de fórmulas.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.G: Interpretar o valor p $p$ de um teste de significância para a diferença de médias populacionais. [Habilidade 4.B]

• DAT-3.G.1 Uma interpretação do valor p $p$ de um teste de significância para a diferença de duas médias populacionais deve reconhecer que o valor p $p$ é calculado assumindo que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, assumindo que as verdadeiras médias populacionais são iguais entre si.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.H: Justificar uma afirmação sobre a população com base nos resultados de um teste de significância para a diferença de duas médias populacionais no contexto. [Habilidade 4.E]

• DAT-3.H.1 Uma decisão formal compara explicitamente o valor p $p$ ao nível de significância $\alpha$. Se o valor p $p$ for ≤ $\leq \alpha$, então rejeite a hipótese nula, $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, ou $H_0 : \mu_1 = \mu_2$. Se o valor p $p$ for > $> \alpha$, então falhe em rejeitar a hipótese nula.
• DAT-3.H.2 Os resultados de um teste de significância para um teste de duas amostras para a diferença entre duas médias populacionais podem servir como raciocínio estatístico para supportar a resposta a uma questão de pesquisa sobre as populações que foram amostradas.

Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento de inferência apropriado, agora que os alunos têm uma gama de opções. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à inferência envolvendo proporções ou médias.

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.J: Identificar perguntas sugeridas pela variação entre contagens observadas e esperadas em dados categóricos. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.J.1 A variação entre o que encontramos e o que esperamos encontrar pode ser aleatória ou não.

Entendimento Duradouro (VAR-8): A distribuição qui-quadrada pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.A: Descrever distribuições qui-quadradas. [Habilidade 3.C]

• VAR-8.A.1 As contagens esperadas de dados categóricos são contagens consistentes com a hipótese nula. Em geral, uma contagem esperada é um tamanho de amostra vezes uma probabilidade.

  A estatística qui-quadrada mede a distância entre contagens observadas e esperadas em relação às contagens esperadas.

  As distribuições qui-quadrada têm valores positivos e são assimétricas à direita. Dentro de uma família de curvas de densidade, a assimetria se torna menos pronunciada com o aumento dos graus de liberdade.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.B: Identificar as hipóteses nula e alternativa em um teste para a distribuição de proporções em um conjunto de dados categóricos. [Habilidade 1.F]

• VAR-8.B.1 Para um teste qui-quadrado de ajuste de bondade, a hipótese nula especifica proporções nulas para cada categoria, e a hipótese alternativa é que pelo menos uma dessas proporções não seja conforme especificado na hipótese nula.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.C: Identificar um método de teste apropriado para a distribuição de proporções em um conjunto de dados categóricos. [Habilidade 1.E]

• VAR-8.C.1 Ao considerar uma distribuição de proporções para uma variável categórica, o teste apropriado é o teste qui-quadrado de ajuste de bondade.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.D: Calcular contagens esperadas para o teste qui-quadrado de ajuste de bondade. [Habilidade 3.A]

• VAR-8.D.1 As contagens esperadas para um teste qui-quadrado de ajuste de bondade são (tamanho da amostra)(proporção nula).

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.E: Verificar as condições para fazer inferências estatísticas ao testar o ajuste de bondade para uma distribuição qui-quadrada. [Habilidade 4.C]

• VAR-8.E.1 Para fazer inferências estatísticas para um teste qui-quadrado de ajuste de bondade, devemos verificar o seguinte:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \leq 10\%N$.
  • b. O teste qui-quadrado de ajuste de bondade torna-se mais preciso com mais observações, portanto, grandes contagens devem ser usadas (forma).
    • i. Uma verificação conservadora para grandes contagens é que todas as contagens esperadas devem ser maiores que 5.

Entendimento Duradouro (VAR-8): A distribuição qui-quadrada pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.F: Calcular a estatística apropriada para o teste qui-quadrado de ajuste de bondade. [Habilidade 3.E]

• VAR-8.F.1 A estatística de teste para o teste qui-quadrado de ajuste de bondade é
  • Equação: $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$, com $degrees\ of\ freedom = number\ of\ categories - 1$.
• VAR-8.F.2 A distribuição da estatística de teste assumindo que a hipótese nula é verdadeira (distribuição nula) pode ser uma distribuição de randomização ou, quando um modelo de probabilidade é assumido como verdadeiro, uma distribuição teórica (qui-quadrada).

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.G: Determinar o valor p $p$ para o teste qui-quadrado de ajuste de bondade. [Habilidade 3.E]

• VAR-8.G.1 O valor p $p$ para um teste qui-quadrado de ajuste de bondade para um número de graus de liberdade é encontrado usando a tabela apropriada ou saída gerada por computador.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.I: Interpretar o valor p $p$ para o teste qui-quadrado de ajuste de bondade. [Habilidade 4.B]

• DAT-3.I.1 Uma interpretação do valor p $p$ para o teste qui-quadrado de ajuste de bondade é a probabilidade, dado que a hipótese nula e o modelo de probabilidade são verdadeiros, de obter uma estatística de teste tão ou mais extrema que o valor observado.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.J: Justificar uma afirmação sobre a população com base nos resultados de um teste qui-quadrado de ajuste de bondade. [Habilidade 4.E]

• DAT-3.J.1 Uma decisão de rejeitar ou falhar em rejeitar a hipótese nula é baseada na comparação do valor p $p$ ao nível de significância, $\alpha$.
• DAT-3.J.2 Os resultados de um teste qui-quadrado de ajuste de bondade podem servir como raciocínio estatístico para supportar a resposta a uma questão de pesquisa sobre a população que foi amostrada.

Entendimento Duradouro (VAR-8): A distribuição qui-quadrada pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.H: Calcular contagens esperadas para tabelas de dupla entrada de dados categóricos. [Habilidade 3.A]

• VAR-8.H.1 A contagem esperada em uma célula específica de uma tabela de dupla entrada de dados categóricos pode ser calculada usando a fórmula:
  • Equação: $expected\ count = \dfrac{(row\ total)(column\ total)}{table\ total}$.

Entendimento Duradouro (VAR-8): A distribuição qui-quadrada pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.I: Identificar as hipóteses nula e alternativa para um teste qui-quadrado de homogeneidade ou independência. [Habilidade 1.F]

• VAR-8.I.1 As hipóteses adequadas para um teste qui-quadrado de homogeneidade são:

  $H_0$: Não há diferença nas distribuições de uma variável categórica entre populações ou tratamentos.

  $H_a$: Há diferença nas distribuições de uma variável categórica entre populações ou tratamentos.

• VAR-8.I.2 As hipóteses adequadas para um teste qui-quadrado de independência são:

  $H_0$: Não há associação entre duas variáveis categóricas em uma dada população, ou as duas variáveis categóricas são independentes.

  $H_a$: Duas variáveis categóricas em uma população estão associadas ou dependentes.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.J: Identificar um método de teste adequado para comparar distribuições em tabelas de dados categóricos de duas vias. [Habilidade 1.E]

• VAR-8.J.1 Ao comparar distribuições para determinar se as proporções em cada categoria para dados categóricos coletados de diferentes populações são as mesmas, o teste adequado é o teste qui-quadrado de homogeneidade.
• VAR-8.J.2 Para determinar se as variáveis de linha e coluna em uma tabela de duas vias de dados categóricos podem estar associadas na população da qual os dados foram amostrados, o teste adequado é o teste qui-quadrado de independência.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.K: Verificar as condições para fazer inferências estatísticas ao testar uma distribuição qui-quadrada de independência ou homogeneidade. [Habilidade 4.C]

• VAR-8.K.1 Para fazer inferências estatísticas para um teste qui-quadrado para tabelas de duas vias (homogeneidade ou independência), devemos verificar o seguinte:
  • a. Para verificar a independência:
    • i. Para um teste de independência: Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória simples.
    • ii. Para um teste de homogeneidade: Os dados devem ser coletados usando uma amostragem estratificada aleatória ou experimento randomizado.
    • iii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \leq 10\%N$.
  • b. Os testes qui-quadrado de independência e homogeneidade tornam-se mais precisos com mais observações, portanto, contagens grandes devem ser usadas (forma).
    • i. Uma verificação conservadora para grandes contagens é que todas as contagens esperadas devem ser maiores que 5.

Entendimento Duradouro (VAR-8): A distribuição qui-quadrada pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.L: Calcular a estatística adequada para um teste qui-quadrado de homogeneidade ou independência. [Habilidade 3.E]

• VAR-8.L.1 A estatística de teste adequada para um teste qui-quadrado de homogeneidade ou independência é a estatística qui-quadrada:
  • Equação: $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$, com graus de liberdade iguais a: $(number\ of\ rows - 1)(number\ of\ columns - 1)$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-8.M: Determinar o valor-p $p$ para um teste de significância qui-quadrado para independência ou homogeneidade. [Habilidade 3.E]

• VAR-8.M.1 O valor-p $p$ para um teste qui-quadrado para independência ou homogeneidade para um número de graus de liberdade é encontrado usando a tabela apropriada ou tecnologia.
• VAR-8.M.2 Para um teste de independência ou homogeneidade para uma tabela de contingência bidimensional, o valor-p $p$ é a proporção de valores em uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade apropriados que são iguais ou maiores do que a estatística de teste.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.K: Interpretar o valor-p $p$ para o teste qui-quadrado para homogeneidade ou independência. [Habilidade 4.B]

• DAT-3.K.1 Uma interpretação do valor-p $p$ para o teste qui-quadrado para homogeneidade ou independência é a probabilidade, dado que a hipótese nula e o modelo probabilístico são verdadeiros, de obter uma estatística de teste tão extrema ou mais extrema do que o valor observado.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.L: Justificar uma afirmação sobre a população com base nos resultados de um teste qui-quadrado de homogeneidade ou independência. [Habilidade 4.E]

• DAT-3.L.1 A decisão de rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula para um teste qui-quadrado para homogeneidade ou independência baseia-se na comparação do valor-p $p$ com o nível de significância, $\alpha$.
• DAT-3.L.2 Os resultados de um teste qui-quadrado de homogeneidade ou independência podem servir como raciocínio estatístico para apoiar a resposta a uma questão de pesquisa sobre a população que foi amostrada (independência) ou as populações que foram amostradas (homogeneidade).

Este tópico destina-se a focar na habilidade de selecionar um procedimento de inferência adequado agora que os alunos têm uma gama de opções. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à inferência para dados categóricos.

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.K: Identificar questões sugeridas pela variação em gráficos de dispersão. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.K.1 A variação nas posições dos pontos em relação a uma linha teórica pode ser aleatória ou não aleatória.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AC: Identificar um procedimento de intervalo de confiança adequado para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 1.D]

• UNC-4.AC.1 Considere uma variável de resposta, $y$, que está linearmente relacionada a uma variável explicativa, $x$. Para uma amostra aleatória simples de $n$ observações, a reta de regressão amostral, $\hat{y} = a + bx$, é uma estimativa da reta de regressão populacional $\mu_y = \alpha + \beta x$. Para uma observação particular, $(x_i, y_i)$, o resíduo da reta de regressão amostral, $y_i - \hat{y}_i = y_i - (a + bx_i)$, é uma estimativa de $y_i - (\alpha + \beta x_i)$, o desvio da variável de resposta da reta de regressão populacional. Para todos os pontos $(x, y)$ na população, o desvio padrão de todos os desvios da variável de resposta da reta de regressão populacional, $\sigma$, pode ser estimado pelo desvio padrão dos resíduos da reta de regressão amostral, $s = \sqrt{\dfrac{\sum\left(y_i - \hat{y}_i\right)^2}{n-2}}$. (Nota: Esta fórmula usa $n-2$ no denominador em vez de $n-1$ porque dois parâmetros, $\alpha$ e $\beta$, devem ser estimados para obter os valores previstos da reta de regressão de mínimos quadrados.)
• UNC-4.AC.2 Para uma amostra aleatória simples de $n$ observações, seja $b$ representando a inclinação de uma reta de regressão amostral. Então a média da distribuição de amostragem para $b$ é igual à inclinação populacional: $\mu_b = \beta$. O desvio padrão da distribuição de amostragem para $b$ é $\sigma_b = \dfrac{\sigma}{\sigma_x \sqrt{n}}$, onde $\sigma_x = \sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n}}$.
• UNC-4.AC.3 O intervalo de confiança apropriado para a inclinação de um modelo de regressão é um intervalo de confiança $t$ para a inclinação.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AD: Verificar as condições para calcular intervalos de confiança para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 4.C]

• UNC-4.AD.1 Para calcular um intervalo de confiança para estimar a inclinação de uma reta de regressão, devemos verificar o seguinte:
  • a. A verdadeira relação entre $x$ e $y$ é linear. A análise de resíduos pode ser usada para verificar a linearidade.
  • b. O desvio padrão para $y$, $\sigma_y$, não varia com $x$. A análise de resíduos pode ser usada para verificar desvios padrão aproximadamente iguais para todas as $x$.
  • c. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou um experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \le 10\% N$.
  • d. Para um valor particular de $x$, as respostas (valores de $y$) são aproximadamente normalmente distribuídas. A análise de representações gráficas de resíduos pode ser usada para verificar a normalidade.
    • i. Se a distribuição observada for assimétrica, $n$ deve ser maior que 30.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AE: Determinar a margem de erro dada para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.AE.1 Para a inclinação de uma reta de regressão, a margem de erro é o valor crítico $\left(t^*\right)$ vezes o erro padrão ($SE$) da inclinação.
• UNC-4.AE.2 O erro padrão para a inclinação de uma reta de regressão com desvio padrão amostral, $s$, é $SE = \dfrac{s}{s_x \sqrt{n-1}}$, onde $s$ é a estimativa de $\sigma$ e $s_x$ é o desvio padrão amostral dos valores de $x$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AF: Calcular um intervalo de confiança adequado para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 3.D]

• UNC-4.AF.1 A estimativa pontual para a inclinação de um modelo de regressão é a inclinação da reta de melhor ajuste, $b$.
• UNC-4.AF.2 Para a inclinação de um modelo de regressão, a estimativa de intervalo é $b \pm t^* \left(SE_b\right)$.

Compreensão Permanente (UNC-4): Um intervalo de valores deve ser usado para estimar parâmetros, a fim de levar em conta a incerteza.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AG: Interpretar um intervalo de confiança para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 4.B]

• UNC-4.AG.1 Em amostragens aleatórias repetidas com o mesmo tamanho de amostra, aproximadamente C% dos intervalos de confiança criados capturarão a inclinação do modelo de regressão, ou seja, a verdadeira inclinação da reta de regressão populacional.
• UNC-4.AG.2 Uma interpretação para um intervalo de confiança para a inclinação de uma reta de regressão deve incluir uma referência à amostra retirada e detalhes sobre a população que ela representa.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AH: Justificar uma afirmação com base em um intervalo de confiança para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 4.D]

• UNC-4.AH.1 Um intervalo de confiança para a inclinação de um modelo de regressão fornece um intervalo de valores que pode fornecer evidências suficientes para apoiar uma afirmação particular no contexto.

Objetivo de Aprendizagem UNC-4.AI: Identificar os efeitos do tamanho da amostra na largura de um intervalo de confiança para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 4.A]

• UNC-4.AI.1 Quando todas as outras coisas permanecem as mesmas, a largura do intervalo de confiança para a inclinação de um modelo de regressão tende a diminuir à medida que o tamanho da amostra aumenta.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.J: Identificar a seleção adequada de um método de teste para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 1.E]

• VAR-7.J.1 O teste apropriado para a inclinação de um modelo de regressão é um teste t $t$ para uma inclinação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.K: Identificar hipóteses nula e alternativa adequadas para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 1.F]

• VAR-7.K.1 A hipótese nula para um teste t $t$ para uma inclinação é: $H_0 : \beta = \beta_0$, onde $\beta_0$ é o valor hipotetizado da hipótese nula. A hipótese alternativa é $H_0 : \beta < \beta_0$ ou $H_0 : \beta > \beta_0$, ou $H_0 : \beta \neq \beta_0$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.L: Verificar as condições para o teste de significância para a inclinação de um modelo de regressão. [Habilidade 4.C]

• VAR-7.L.1 Para fazer inferências estatísticas ao testar a inclinação de um modelo de regressão, devemos verificar o seguinte:
  • a. A verdadeira relação entre $x$ e $y$ é linear. A análise de resíduos pode ser usada para verificar a linearidade.
  • b. O desvio padrão para $y$, $\sigma_y$, não varia com $x$. A análise de resíduos pode ser usada para verificar desvios padrão aproximadamente iguais para todas as $x$.
  • c. Para verificar a independência:
    • i. Os dados devem ser coletados usando uma amostra aleatória ou um experimento randomizado.
    • ii. Ao amostrar sem reposição, verifique que $n \le 10\% N$.
  • d. Para um valor particular de $x$, as respostas (valores de $y$) são aproximadamente normalmente distribuídas. A análise de representações gráficas de resíduos pode ser usada para verificar a normalidade.
    • i. Se a distribuição observada for assimétrica, $n$ deve ser maior que 30.
    • ii. Se o tamanho da amostra for menor que 30, a distribuição dos dados da amostra deve estar livre de assimetria forte e outliers.

Compreensão Duradoura (VAR-7): A distribuição $t$ pode ser usada para modelar a variação.

Objetivo de Aprendizagem VAR-7.M: Calcular uma estatística de teste apropriada para a pendente de um modelo de regressão. [Habilidade 3.E]

• VAR-7.M.1 A distribuição da pendente de um modelo de regressão assumindo que todas as condições estão satisfeitas e a hipótese nula é verdadeira (distribuição nula) é uma distribuição $t$.
• VAR-7.M.2 Para regressão linear simples quando há amostragem aleatória de uma população para a variável resposta que pode ser modelada com uma distribuição normal para cada valor da variável explicativa, a distribuição amostral de $t = \dfrac{b - \beta}{SE_b}$ tem uma distribuição $t$ com graus de liberdade iguais a $n - 2$. Ao testar a pendente em um modelo de regressão linear simples com um parâmetro, a pendente, o teste para a pendente tem $df = n - 1$.

Compreensão Duradoura (DAT-3): Os testes de significância nos permitem tomar decisões sobre hipóteses dentro de um contexto particular.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.M: Interpretar o valor $p$ de um teste de significância para a pendente de um modelo de regressão. [Habilidade 4.B]

• DAT-3.M.1 Uma interpretação do valor $p$ de um teste de significância para a pendente de um modelo de regressão deve reconhecer que o valor $p$ é calculado assumindo que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, assumindo que a verdadeira pendente populacional é igual ao valor particular declarado na hipótese nula.

Objetivo de Aprendizagem DAT-3.N: Justificar uma afirmação sobre a população com base nos resultados de um teste de significância para a pendente de um modelo de regressão. [Habilidade 4.E]

• DAT-3.N.1 Uma decisão formal compara explicitamente o valor $p$ à significância $\alpha$. Se o valor $p$ for $\le \alpha$, então rejeite a hipótese nula, $H_0 : \beta = \beta_0$. Se o valor $p$ for $> \alpha$, então não rejeite a hipótese nula.
• DAT-3.N.2 Os resultados de um teste de significância para a pendente de um modelo de regressão podem servir como raciocínio estatístico para apoiar a resposta a uma questão de pesquisa sobre essa amostra.

Este tópico destina-se a focar na habilidade de selecionar um procedimento de inferência adequado agora que os alunos têm uma gama de opções. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à inferência.