Distribuições Amostral

Estatística do AP · Tópico 5

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5.1

Why Two Samples Never Match: Sampling Variability

Programa

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.G: Identificar perguntas sugeridas pela variação nas estatísticas de amostras coletadas da mesma população. [Habilidade 1.A]

VAR-1.G.1 A variação nas estatísticas de amostras retiradas da mesma população pode ser aleatória ou não.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma estatística 统计量 (como uma média amostral $\bar{x}$ ou proporção amostral $\hat{p}$) é calculada a partir de uma amostra e varia de amostra para amostra – isso é variabilidade de amostragem 抽样变异. Um parâmetro 参数 ($\mu$ ou $p$) é a verdade fixa sobre a população. A distribuição de amostragem 抽样分布 é a distribuição de uma estatística sobre todas as amostras possíveis de um determinado tamanho – ela é a ponte de uma amostra para a inferência.

5.2

The Normal Curve as a Model for a Statistic

Programa

Compreensão Essencial (VAR-6): A distribuição normal pode ser usada para modelar variações.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.A: Calcular a probabilidade de que um valor particular esteja em um intervalo dado de uma distribuição normal. [Habilidade 3.A]

VAR-6.A.1 Uma variável aleatória contínua é uma variável que pode assumir qualquer valor dentro de um domínio especificado. Todo intervalo dentro do domínio tem uma probabilidade associada a ele.
VAR-6.A.2 Uma variável aleatória contínua com uma distribuição normal é comumente usada para descrever populações. A distribuição de uma variável aleatória normal pode ser descrita por uma curva normal ou "em forma de sino".
VAR-6.A.3 A área sob uma curva normal sobre um intervalo dado representa a probabilidade de que um valor particular esteja nesse intervalo.
- Exemplos ilustrativos para VAR-6.A: Variável aleatória contínua: Se olhar para um relógio em um momento aleatório, a probabilidade de o ponteiro dos minutos estar entre o 3 e o 6 é um quarto.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.B: Determinar o intervalo associado a uma área dada em uma distribuição normal. [Habilidade 3.A]

VAR-6.B.1 Os limites de um intervalo associado a uma determinada área em uma distribuição normal podem ser determinados usando escores-z $z$ ou tecnologia, como uma calculadora, uma tabela normal padrão ou saída gerada por computador.
VAR-6.B.2 Intervalos associados a uma área dada em uma distribuição normal podem ser determinados atribuindo desigualdades apropriadas aos limites dos intervalos:
- a. $P(X < x_a) = \dfrac{p}{100}$ significa que os menores $p\%$ de valores estão à esquerda de $x_a$.
- b. $P(x_a < X < x_b) = \dfrac{p}{100}$ significa que $p\%$ de valores estão entre $x_a$ e $x_b$.
- c. $P(X > x_b) = \dfrac{p}{100}$ significa que os maiores $p\%$ de valores estão à direita de $x_b$.
- d. Para determinar os valores mais extremos $p\%$ de valores, requer dividir a área associada a $p\%$ em duas áreas iguais nos extremos da distribuição: $P(X < x_a) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ e $P(X > x_b) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ significam que metade dos $p\%$ valores mais extremos está à esquerda de $x_a$ e metade dos $p\%$ valores mais extremos está à direita de $x_b$.

Objetivo de Aprendizagem VAR-6.C: Determinar a adequação do uso da distribuição normal para aproximar probabilidades para distribuições desconhecidas. [Habilidade 3.C]

VAR-6.C.1 As distribuições normais são simétricas e "em forma de sino." Como resultado, as distribuições normais podem ser usadas para aproximar distribuições com características semelhantes.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A distribuição normal

Para amostras grandes o suficientes, muitas distribuições de amostragem são aproximadamente normais. Isso nos permite descrever uma estatística por um centro (sua média), uma dispersão (seu erro padrão 标准误) e uma forma normal – e então calcular quão provável é um determinado resultado amostral.

Explorar

Usar a curva normal para encontrar uma proporção

O modelo normal converte uma faixa de valores em uma área = uma proporção. Sombree uma faixa para ler a fração de amostras que caem dentro dela (regra do 68-95-99.7).

5.3

O Teorema Central do Limite

Programa

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.H: Estimar distribuições de amostragem usando simulação. [Habilidade 3.C]

UNC-3.H.1 Uma distribuição de amostragem de uma estatística é a distribuição de valores para a estatística para todas as amostras possíveis de um tamanho dado de uma dada população.
UNC-3.H.2 O teorema central limite (TCL) afirma que quando o tamanho da amostra é suficientemente grande, uma distribuição de amostragem da média de uma variável aleatória será aproximadamente normalmente distribuída.
UNC-3.H.3 O teorema central limite exige que os valores da amostra sejam independentes uns dos outros e que $n$ seja suficientemente grande.
UNC-3.H.4 Uma distribuição de randomização é uma coleção de estatísticas geradas por simulação assumindo valores conhecidos para os parâmetros. Para um experimento aleatorizado, isso significa realocar/reatribuir repetidamente os valores da resposta aos grupos de tratamento de forma aleatória.
UNC-3.H.5 A distribuição amostral de uma estatística pode ser simulada gerando amostras aleatórias repetidas de uma população.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

O Teorema do Limite Central

O Teorema do Limite Central 中心极限定理 (CLT): para uma média amostral, se o tamanho da amostra $n$ for grande o suficiente (uma regra comum é $n\ge 30$), a distribuição de amostragem de $\bar{x}$ é aproximadamente normal, independentemente da forma da população. Quanto maior $n$, mais normal e mais apertada a distribuição.

A média amostral é quase normal independentemente da forma da população

Explorar

Observar uma distribuição amostral tornar-se normal

O Teorema do Limite Central: para uma amostra grande o suficiente, a distribuição da média amostral é aproximadamente normal, independentemente da forma da população.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
statistic/stəˈtɪstɪk/	统计量	tǒng jì liàng
sampling variability/ˈsæmplɪŋ ˌveərɪəˈbɪlɪti/	抽样变异	chōu yàng biàn yì
parameter/pəˈræmɪtə/	参数	cān shù
sampling distribution/ˈsæmplɪŋ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	抽样分布	chōu yàng fēn bù
standard error/ˈstændəd ˈerə/	标准误	biāo zhǔn wù

5.4

Good Guesses and Bad Guesses: Bias

Programa

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.I: Explicar por que um estimador é ou não viesado. [Habilidade 4.B]

UNC-3.I.1 Ao estimar um parâmetro populacional, um estimador é não viesado se, em média, o valor do estimador for igual ao parâmetro populacional.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.J: Calcular estimativas para um parâmetro populacional. [Habilidade 3.B]

UNC-3.J.1 Ao estimar um parâmetro populacional, um estimador exibe variabilidade que pode ser modelada usando probabilidade.
UNC-3.J.2 Uma estatística amostral é um estimador pontual do correspondente parâmetro populacional.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma estatística é não enviesada 无偏 se a média de sua distribuição de amostragem for igual ao parâmetro – ela está correta em média. Viés refere-se ao centro estar fora; variabilidade refere-se à dispersão. Um bom estimador é ambos não enviesado (centralizado corretamente) e de baixa variabilidade (preciso); amostras maiores reduzem a variabilidade, mas não corrigem o viés de uma amostragem ruim.

Quatro distribuições de amostragem cruzando viés com variabilidade, contra o parâmetro verdadeiro — Viés e variabilidade são falhas separadas. Apenas o estimador do canto superior esquerdo está tanto centrado em $\theta$ quanto compacto; o do canto inferior esquerdo é preciso, mas consistentemente errado, o que nenhuma quantidade extra de dados corrigirá.

5.5

The Sampling Distribution of a Sample Proportion

Programa

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.K: Determinar parâmetros de uma distribuição amostral para proporções amostrais. [Habilidade 3.B]

UNC-3.K.1 Para amostras independentes (amostragem com reposição) de uma variável categórica de uma população com proporção populacional $p$, a distribuição amostral da proporção amostral, $\hat{p}$, tem média $\mu_{\hat{p}} = p$ e desvio padrão $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
UNC-3.K.2 Se a amostragem for sem reposição, o desvio padrão da proporção amostral será menor do que aquele dado pela fórmula acima. Se o tamanho da amostra for inferior a 10% do tamanho da população, a diferença é desprezível.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.L: Determinar se uma distribuição amostral para uma proporção amostral pode ser descrita como aproximadamente normal. [Habilidade 3.C]

UNC-3.L.1 Para uma variável categórica, a distribuição amostral da proporção amostral, $\hat{p}$, terá uma distribuição aproximadamente normal, desde que o tamanho da amostra seja suficientemente grande: $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.M: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para proporções amostrais. [Habilidade 4.B]

UNC-3.M.1 Probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para proporções amostrais devem ser interpretados usando unidades apropriadas e dentro do contexto de uma população específica.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Para uma proporção amostral $\hat{p}$ de uma SRS: a média é $p$ (não tendenciosa), e o desvio padrão é

$$\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$

Essa dispersão tem dois nomes: é o desvio padrão da distribuição amostral, e é chamado de erro padrão quando você precisa estimá-lo a partir da amostra (substituindo $p$ por $\hat p$) — o que exatamente as unidades de inferência posteriores fazem. É aproximadamente normal quando $np\ge 10$ e $n(1-p)\ge 10$ (a condição Contagens Grandes), e a condição $10\%$ ($n\le 0.10N$) mantém as observações quase independentes.

Exemplo resolvido. Suponha que $40\%$ dos eleitores favoritem uma medida ($p=0.4$) e você amostre $n=100$. O erro padrão é $\sigma_{\hat p}=\sqrt{\dfrac{0.4(0.6)}{100}}=0.049$. A chance de uma amostra dar $\hat{p}>0.5$ é $z=\dfrac{0.5-0.4}{0.049}=2.04$, então $P(\hat p>0.5)\approx0.02$ – uma maioria na amostra seria surpreendente.

5.6

Comparando Dois Grupos: Diferença de Proporções Amostrais

Programa

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.N: Determinar parâmetros de uma distribuição amostral para uma diferença em proporções amostrais. [Habilidade 3.B]

UNC-3.N.1 Para uma variável categórica, ao realizar amostragem aleatória com reposição de duas populações independentes com proporções populacionais $p_1$ e $p_2$, a distribuição amostral da diferença em proporções amostrais $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ tem média $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ e desvio padrão $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
UNC-3.N.2 Se a amostragem for sem reposição, o desvio padrão da diferença em proporções amostrais será menor do que aquele dado pela fórmula acima. Se os tamanhos das amostras forem inferiores a 10% dos tamanhos das populações, a diferença é desprezível.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.O: Determinar se uma distribuição amostral para uma diferença de proporções amostrais pode ser descrita como aproximadamente normal. [Habilidade 3.C]

UNC-3.O.1 A distribuição amostral da diferença em proporções amostrais $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ terá uma distribuição aproximadamente normal, desde que os tamanhos das amostras sejam suficientemente grandes: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.P: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para diferenças em proporções. [Habilidade 4.B]

UNC-3.P.1 Parâmetros para uma distribuição amostral para diferenças em proporções devem ser interpretados usando unidades apropriadas e dentro do contexto de populações específicas.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Para $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ de duas amostras independentes: a média é $p_1-p_2$, e como as amostras são independentes, as variâncias somam:

$$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}.$$

É aproximadamente normal quando a condição Contagens Grandes se aplica em ambas as amostras.

5.7

A Distribuição Amostral da Média Amstral

Programa

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.Q: Determinar parâmetros para uma distribuição amostral para médias amostrais. [Habilidade 3.B]

UNC-3.Q.1 Para uma variável numérica, ao realizar amostragem aleatória com reposição de uma população com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$, a distribuição amostral da média amostral tem média $\mu_{\bar{x}} = \mu$ e desvio padrão $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
UNC-3.Q.2 Se a amostragem for sem reposição, o desvio padrão da média amostral será menor do que aquele dado pela fórmula acima. Se o tamanho da amostra for inferior a 10% do tamanho da população, a diferença é desprezível.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.R: Determinar se uma distribuição amostral de uma média amostral pode ser descrita como aproximadamente normal. [Habilidade 3.C]

UNC-3.R.1 Para uma variável numérica, se a distribuição populacional puder ser modelada com uma distribuição normal, a distribuição amostral da média amostral, $\bar{x}$, pode ser modelada com uma distribuição normal.
UNC-3.R.2 Para uma variável numérica, se a distribuição populacional não puder ser modelada com uma distribuição normal, a distribuição amostral da média amostral, $\bar{x}$, pode ser modelada aproximadamente por uma distribuição normal, desde que o tamanho da amostra seja suficientemente grande, ex.: maior ou igual a 30.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.S: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para médias amostrais. [Habilidade 4.B]

UNC-3.S.1 Probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para médias amostrais devem ser interpretados usando unidades apropriadas e dentro do contexto de uma população específica.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Para uma média amostral $\bar{x}$ de uma SRS: a média é $\mu$ (não tendenciosa), e o desvio padrão é

$$\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$

Sua forma é normal se a população for normal, ou aproximadamente normal para grandes $n$ pelo TCL. Note que a dispersão diminui proporcionalmente a $\sqrt{n}$ – quadruplicar a amostra reduz pela metade o erro padrão.

Exemplo resolvido. Uma população tem $\mu=70$ e $\sigma=12$. Para amostras de $n=36$, a distribuição amostral de $\bar{x}$ está centrada em $70$ com erro padrão $\dfrac{12}{\sqrt{36}}=2$. A chance de uma média amostral exceder $73$ é $z=\dfrac{73-70}{2}=1.5$, então $P(\bar x>73)\approx0.067$.

A distribuição amostral da média estreita e torna-se mais normal à medida que n aumenta — A população à esquerda é fortemente enviesada, porém toda distribuição amostral de $\bar{x}$ está centrada em $\mu$. Um maior $n$ encolhe o erro padrão $\sigma/\sqrt{n}$, então a curva fica mais alta e mais estreita – e também se alinha: ainda claramente enviesada em $n=2$, quase exatamente normal (tracejada) em $n=30$.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/	中心极限定理	zhōng xīn jí xiàn dìng lǐ
unbiased/ʌnˈbaɪəst/	无偏	wú piān

5.8

Comparando Dois Grupos: Diferença de Médias Amstrais

Programa

Compreensão Duradoura (UNC-3): O raciocínio probabilístico nos permite antecipar padrões nos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.T: Determinar parâmetros de uma distribuição amostral para uma diferença em médias amostrais. [Habilidade 3.B]

UNC-3.T.1 Para uma variável numérica, ao realizar amostragem aleatória com reposição de duas populações independentes com médias populacionais $\mu_1$ e $\mu_2$ e desvios padrões populacionais $\sigma_1$ e $\sigma_2$, a distribuição amostral da diferença em médias amostrais $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ tem média $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ e desvio padrão $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
UNC-3.T.2 Se a amostragem for sem reposição, o desvio padrão da diferença em médias amostrais será menor do que aquele dado pela fórmula acima. Se os tamanhos das amostras forem inferiores a 10% dos tamanhos das populações, a diferença é desprezível.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.U: Determinar se uma distribuição amostral de uma diferença em médias amostrais pode ser descrita como aproximadamente normal. [Habilidade 3.C]

UNC-3.U.1 A distribuição amostral da diferença em médias amostrais $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ pode ser modelada com uma distribuição normal se as duas distribuições populacionais puderem ser modeladas com uma distribuição normal.
UNC-3.U.2 A distribuição amostral da diferença em médias amostrais $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ pode ser modelada aproximadamente por uma distribuição normal se as duas distribuições populacionais não puderem ser modeladas com uma distribuição normal, mas ambos os tamanhos das amostras forem maiores ou iguais a 30.

Objetivo de Aprendizagem UNC-3.V: Interpretar probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para diferenças em médias amostrais. [Habilidade 4.B]

UNC-3.V.1 Probabilidades e parâmetros para uma distribuição amostral para diferenças em médias amostrais devem ser interpretados usando unidades apropriadas e dentro do contexto de populações específicas.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Para $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ de duas amostras independentes: a média é $\mu_1-\mu_2$, e (independentes, então variâncias somam)

$$\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.$$

Esta é a base para a inferência de duas amostras nas próximas unidades.

5.8

Dicas de prova

Uma distribuição amostral é a distribuição de uma estatística em muitas amostras, centrada no parâmetro verdadeiro.
O Teorema Central Limite: para uma amostra grande o suficiente, a média amostral é aproximadamente normal, mesmo que a população não seja.
Amostras maiores fornecem menos variabilidade (um erro padrão menor).
Verifique as condições (aleatório, independente/10%, grande o suficiente) antes de usar um modelo normal.
Mantenha claro o que varia – a estatística – versus o parâmetro fixo.

Aulas interativas sobre este tópico

Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.

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