Explorando Dados de Duas Variáveis

Compreensão Permanente (VAR-1): Dado que a variação pode ser aleatória ou não, as conclusões são incertas.

Objetivo de Aprendizagem VAR-1.D: Identificar perguntas a serem respondidas sobre possíveis relações nos dados. [Habilidade 1.A]

• VAR-1.D.1 Padrões e associações aparentes nos dados podem ser aleatórios ou não.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.P: Comparar representações numéricas e gráficas para duas variáveis categóricas. [Habilidade 2.D]

• UNC-1.P.1 Gráficos de barras lado a lado, gráficos de barras segmentados e mosaicos são exemplos de gráficos de barras para uma variável categórica, detalhados por categorias de outra variável categórica.
• UNC-1.P.2 Representações gráficas de duas variáveis categóricas podem ser usadas para comparar distribuições e/ou determinar se as variáveis estão associadas.
• UNC-1.P.3 Uma tabela de contingência, também chamada de tabela de dupla entrada, é usada para resumir duas variáveis categóricas. As entradas nas células podem ser contagens de frequência ou frequências relativas.
• UNC-1.P.4 Uma frequência relativa conjunta é a frequência de uma célula dividida pelo total de toda a tabela.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.Q: Calcular estatísticas para duas variáveis categóricas. [Habilidade 2.C]

• UNC-1.Q.1 As frequências relativas marginais são os totais das linhas e colunas em uma tabela de contingência divididos pelo total de toda a tabela.
• UNC-1.Q.2 Uma frequência relativa condicional é uma frequência relativa para uma parte específica da tabela de contingência (p. ex., frequências de células em uma linha divididas pelo total dessa linha).

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.R: Comparar estatísticas para duas variáveis categóricas. [Habilidade 2.D]

• UNC-1.R.1 Estatísticas resumidas para duas variáveis categóricas podem ser usadas para comparar distribuições e/ou determinar se as variáveis estão associadas.

Compreensão Permanente (UNC-1): Representações gráficas e estatísticas nos permitem identificar e representar características-chave dos dados.

Objetivo de Aprendizagem UNC-1.S: Representar dados bivariados quantitativos usando gráficos de dispersão. [Habilidade 2.B]

• UNC-1.S.1 Um conjunto de dados bivariados quantitativos consiste em observações de duas variáveis quantitativas diferentes feitas em indivíduos em uma amostra ou população.
• UNC-1.S.2 Um gráfico de dispersão mostra dois valores numéricos para cada observação, um correspondente ao valor no eixo $x$ e um correspondente ao valor no eixo $y$.
• UNC-1.S.3 Uma variável explicativa é uma variável cujos valores são usados para explicar ou prever valores correspondentes para a variável resposta.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.A: Descrever as características de um gráfico de dispersão. [Habilidade 2.A]

• DAT-1.A.1 Uma descrição de um gráfico de dispersão inclui forma, direção, intensidade e características incomuns.
• DAT-1.A.2 A direção da associação mostrada em um gráfico de dispersão, se houver, pode ser descrita como positiva ou negativa.
• DAT-1.A.3 Uma associação positiva significa que, à medida que os valores de uma variável aumentam, os valores da outra variável tendem a aumentar. Uma associação negativa significa que, à medida que os valores de uma variável aumentam, os valores da outra variável tendem a diminuir.
• DAT-1.A.4 A forma da associação mostrada em um gráfico de dispersão, se houver, pode ser descrita como linear ou não-linear em diversos graus.
• DAT-1.A.5 A intensidade da associação é quão de perto os pontos individuais seguem um padrão específico, p. ex., linear, e pode ser mostrada em um gráfico de dispersão. A intensidade pode ser descrita como forte, moderada ou fraca.
• DAT-1.A.6 Características incomuns de um gráfico de dispersão incluem aglomerados de pontos ou pontos com discrepâncias relativamente grandes entre o valor da variável resposta e um valor previsto para a variável resposta.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.B: Determinar a correlação para uma relação linear. [Habilidade 2.C]

• DAT-1.B.1 A correlação, $r$, fornece a direção e quantifica a força da associação linear entre duas variáveis quantitativas.
• DAT-1.B.2 O coeficiente de correlação pode ser calculado por: $r = \dfrac{1}{n-1} \sum \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)$. No entanto, a maneira mais comum de determinar $r$ é usando tecnologia.
• DAT-1.B.3 Um coeficiente de correlação próximo de 1 ou $-1$ não significa necessariamente que um modelo linear seja apropriado.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.C: Interpretar a correlação para uma relação linear. [Habilidade 4.B]

• DAT-1.C.1 A correlação, $r$, é adimensional (sem unidades) e está sempre entre $-1$ e 1, inclusive. Um valor de $r = 0$ indica que não há associação linear. Um valor de $r = 1$ ou $r = -1$ indica que há uma associação linear perfeita.
• DAT-1.C.2 Uma relação percebida ou real entre duas variáveis não significa que mudanças em uma variável causem mudanças na outra. Ou seja, correlação não implica necessariamente causalidade.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.D: Calcular um valor de resposta previsto usando um modelo de regressão linear. [Habilidade 2.C]

• DAT-1.D.1 Um modelo de regressão linear simples é uma equação que usa uma variável explicativa, $x$, para prever a variável resposta, $y$.
• DAT-1.D.2 O valor de resposta previsto, denotado por $\hat{y}$, é calculado como $\hat{y} = a + bx$, onde $a$ é o intercepto-$y$ e $b$ é a inclinação (coeficiente angular) da linha de regressão, e $x$ é o valor da variável explicativa.
• DAT-1.D.3 Extrapolação é prever um valor de resposta usando um valor para a variável explicativa que esteja além do intervalo de valores-$x$ usados para determinar a linha de regressão. O valor previsto é menos confiável como estimativa quanto maior for a extrapolação.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.E: Representar diferenças entre respostas medidas e previstas usando gráficos de resíduos. [Habilidade 2.B]

• DAT-1.E.1 O resíduo é a diferença entre o valor real e o valor previsto: $\text{residual} = y - \hat{y}$.
• DAT-1.E.2 Um gráfico de resíduos é um gráfico de resíduos versus valores da variável explicativa ou valores de resposta previstos.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.F: Descrever a forma de associação de dados bivariados usando gráficos de resíduos. [Habilidade 2.A]

• DAT-1.F.1 A aparente aleatoriedade em um gráfico de resíduos para um modelo linear é evidência de uma forma linear para a associação entre as variáveis.
• DAT-1.F.2 Gráficos de resíduos podem ser usados para investigar a adequação de um modelo selecionado.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.G: Estimar parâmetros para o modelo da linha de regressão dos mínimos quadrados. [Habilidade 2.C]

• DAT-1.G.1 O modelo de regressão dos mínimos quadrados minimiza a soma dos quadrados dos resíduos e contém o ponto $(\bar{x}, \bar{y})$.
• DAT-1.G.2 A inclinação, $b$, da linha de regressão pode ser calculada como $b = r \left( \dfrac{s_y}{s_x} \right)$ onde $r$ é a correlação entre $x$ e $y$, $s_y$ é o desvio padrão amostral da variável resposta, $y$, e $s_x$ é o desvio padrão amostral da variável explicativa, $x$.
• DAT-1.G.3 Às vezes, o intercepto-$y$ da linha não tem uma interpretação lógica no contexto.
• DAT-1.G.4 Na regressão linear simples, $r^2$ é o quadrado da correlação, $r$. É também chamado de coeficiente de determinação. $r^2$ é a proporção da variação na variável resposta que é explicada pela variável explicativa no modelo.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.H: Interpretar coeficientes para o modelo da linha de regressão dos mínimos quadrados. [Habilidade 4.B]

• DAT-1.H.1 Os coeficientes do modelo de regressão dos mínimos quadrados são a inclinação estimada e o intercepto-$y$.
• DAT-1.H.2 A inclinação é a quantidade pela qual o valor previsto-$y$ muda para cada aumento de uma unidade em $x$.
• DAT-1.H.3 O valor do intercepto-$y$ é o valor previsto da variável resposta quando a variável explicativa é igual a $0$. A fórmula para o intercepto-$y$, $a$, é $a = \bar{y} - b\bar{x}$.

Compreensão Duradoura (DAT-1): Modelos de regressão podem nos permitir prever respostas a mudanças em uma variável explicativa.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.I: Identificar pontos influentes em regressão. [Habilidade 2.A]

• DAT-1.I.1 Um ponto atípico em regressão é um ponto que não segue a tendência geral mostrada no restante dos dados e possui um resíduo grande quando a Linha de Regressão dos Mínimos Quadrados (LSRL) é calculada.
• DAT-1.I.2 Um ponto de alta alavancagem em regressão possui um valor-$x$ substancialmente maior ou menor do que os outros observações possuem.
• DAT-1.I.3 Um ponto influente em regressão é qualquer ponto que, se removido, altere a relação substancialmente. Exemplos incluem inclinação muito diferente, intercepto-$y$ e/ou correlação. Pontos atípicos e pontos de alta alavancagem são frequentemente influentes.

Objetivo de Aprendizagem DAT-1.J: Calcular uma resposta prevista usando uma linha de regressão dos mínimos quadrados para um conjunto de dados transformados. [Habilidade 2.C]

• DAT-1.J.1 Transformações de variáveis, como avaliar o logaritmo natural de cada valor da variável resposta ou elevar ao quadrado cada valor da variável explicativa, podem ser usadas para criar conjuntos de dados transformados, que podem ter uma forma mais linear do que os dados não transformados.
• DAT-1.J.2 Maior aleatoriedade em gráficos de resíduos após a transformação de dados e/ou movimento de $r^2$ para um valor mais próximo de 1 oferece evidências de que a linha de regressão dos mínimos quadrados para os dados transformados é um modelo mais adequado para usar para prever respostas à variável explicativa do que a linha de regressão para os dados não transformados.