Integração e Acumulação de Mudanças

Cálculo AB do AP · Topic 6 · ⁨Tópico 6⁩

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6.1

Exploring Accumulations of Change · ⁨Explorando Acumulações de Mudança⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.A: Interpret the meaning of areas associated with the graph of a rate of change in context.

CHA-4.A.1 The area of the region between the graph of a rate of change function and the $x$ axis gives the accumulation of change.
CHA-4.A.2 In some cases, accumulation of change can be evaluated by using geometry.
CHA-4.A.3 If a rate of change is positive (negative) over an interval, then the accumulated change is positive (negative).
CHA-4.A.4 The unit for the area of a region defined by rate of change is the unit for the rate of change multiplied by the unit for the independent variable.

Português

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.A: Interpretar o significado das áreas associadas ao gráfico de uma taxa de mudança em contexto.

CHA-4.A.1 A área da região entre o gráfico de uma função taxa de mudança e o eixo $x$ fornece a acumulação de mudança.
CHA-4.A.2 Em alguns casos, a acumulação de mudança pode ser avaliada usando geometria.
CHA-4.A.3 Se uma taxa de mudança for positiva (negativa) sobre um intervalo, então a mudança acumulada será positiva (negativa).
CHA-4.A.4 A unidade para a área de uma região definida por uma taxa de mudança é a unidade da taxa de mudança multiplicada pela unidade da variável independente.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Differentiation found rates. Integration runs the idea in reverse: given a rate of change, it finds the accumulated change 累积变化. The key picture: the area between the graph of a rate function and the $x$-axis gives the total accumulation.

If the rate is positive over an interval, the accumulated change is positive; if negative, negative. Area below the axis counts as negative.
Simple regions (triangles, rectangles) can be found with geometry 几何.
Units: the area's unit is the rate's unit times the input's unit. A rate in vehicles-per-hour times hours gives vehicles.

Português

Um reservatório de água: a integração acumula mudança — volume total a partir de uma taxa de fluxo

A diferenciação encontrou taxas. A integração executa a ideia ao contrário: dada uma taxa de mudança, ela encontra a mudança acumulada 累积变化. A imagem chave: a área entre o gráfico de uma função taxa e o eixo-$x$ fornece a acumulação total.

Se a taxa é positiva sobre um intervalo, a mudança acumulada é positiva; se negativa, negativa. Área abaixo do eixo conta como negativa.
Regiões simples (triângulos, retângulos) podem ser encontradas com geometria 几何.
Unidades: a unidade da área é a unidade da taxa vezes a unidade da entrada. Uma taxa em veículos por hora vezes horas resulta em veículos.

6.2

Approximating Areas with Riemann Sums · ⁨Aproximando Áreas com Somas de Riemann⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.A: Approximate a definite integral using geometric and numerical methods.

LIM-5.A.1 Definite integrals can be approximated for functions that are represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
LIM-5.A.2 Definite integrals can be approximated using a left Riemann sum, a right Riemann sum, a midpoint Riemann sum, or a trapezoidal sum; approximations can be computed using either uniform or nonuniform partitions.
LIM-5.A.3 Definite integrals can be approximated using numerical methods, with or without technology.
LIM-5.A.4 Depending on the behavior of a function, it may be possible to determine whether an approximation for a definite integral is an underestimate or overestimate for the value of the definite integral.

Português

Compreensão Duradoura (LIM-5): Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos geométricos e numéricos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-5.A: Aproximar uma integral definida usando métodos geométricos e numéricos.

LIM-5.A.1 Integrais definidas podem ser aproximadas para funções que são representadas graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente.
LIM-5.A.2 Integrais definidas podem ser aproximadas usando uma soma de Riemann esquerda, uma soma de Riemann direita, uma soma de Riemann do ponto médio ou uma soma trapézio; as aproximações podem ser calculadas usando partições uniformes ou não uniformes.
LIM-5.A.3 Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos numéricos, com ou sem tecnologia.
LIM-5.A.4 Dependendo do comportamento de uma função, pode ser possível determinar se uma aproximação para uma integral definida é uma subestimação ou superestimação do valor da integral definida.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

When exact area is hard, approximate it with a Riemann sum 黎曼和 – split the interval into subintervals and add up rectangle (or trapezoid) areas. The four standard estimates:

Left Riemann sum – rectangle height from the left endpoint of each subinterval.
Right Riemann sum – height from the right endpoint.
Midpoint Riemann sum – height from the midpoint 中点.
Trapezoidal sum 梯形法 – average the two endpoint heights (a trapezoid).

Subintervals may be uniform (equal width) or nonuniform – read widths from the table.

Over- or underestimate? Judge from the behavior of the function: for an increasing function, a left sum underestimates and a right sum overestimates; a trapezoidal sum overestimates when the function is concave up and underestimates when concave down. Exam parts ask you to state which and why.

Worked example. A table gives $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Estimate $\int_0^6 f(x)\,dx$ with a right Riemann sum of three equal subintervals ($\Delta x=2$). Use the right endpoint of each strip:

$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$

Since $f$ is increasing, this right sum is an overestimate; the left sum $2(3+5+8)=32$ would be an underestimate.

Português

A integral como área (somas de Riemann)

Somas trapézoidais aproximam a área

Quando a área exata é difícil, aproxime-a com uma soma de Riemann 黎曼和 – divida o intervalo em subintervalos e some as áreas de retângulos (ou trapézios). As quatro estimativas padrão:

Uma soma de Riemann: retângulos de largura dx aproximam a área sob uma curva — Cada retângulo tem área $f(x)\,\Delta x$; somá-los estima a área, e à medida que as tiras se estreitam, a soma se aproxima da integral definida.

Soma de Riemann à esquerda – altura do retângulo na extremidade esquerda de cada subintervalo.
Soma de Riemann à direita – altura na extremidade direita.
Soma de Riemann pelo ponto médio – altura no ponto médio 中点.
Soma trapézoidal 梯形法 – média das duas alturas das extremidades (um trapézio).

Subintervalos podem ser uniformes (largura igual) ou não uniformes – leia as larguras na tabela.

Super ou subestimação? Julgue pelo comportamento da função: para uma função crescente, uma soma à esquerda subestima e uma à direita superestima; uma soma trapézoidal superestima quando a função é côncava para cima e subestima quando côncava para baixo. Partes do exame pedem para você dizer qual e por quê.

Exemplo resolvido. Uma tabela dá $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Estime $\int_0^6 f(x)\,dx$ com uma soma de Riemann à direita de três subintervalos iguais ($\Delta x=2$). Use a extremidade direita de cada tira:

$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$

Como $f$ está crescendo, esta soma à direita é uma superestima; a soma à esquerda $2(3+5+8)=32$ seria uma subestima.

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Aproxime a área com retângulos

y = ax³ + bx² + cx + d

Uma soma de Riemann aproxima a área sob uma curva com retângulos. Adicione mais retângulos, mais finos, e a estimativa converge para a integral definida exata.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
accumulated change/əˈkjuːmjʊleɪtɪd tʃeɪndʒ/	累积变化	lěi jī biàn huà
geometry/dʒiˈɒmətri/	几何	jǐ hé
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	黎曼和	lí màn hé
midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/	中点	zhōng diǎn
Trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	梯形法	tī xíng fǎ
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	定积分	dìng jī fēn

6.3

Riemann Sums and Integral Notation · ⁨Somas de Riemann e Notação Integral⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.B: Interpret the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.B.1 The limit of an approximating Riemann sum can be interpreted as a definite integral.
LIM-5.B.2 A Riemann sum, which requires a partition of an interval $I$, is the sum of products, each of which is the value of the function at a point in a subinterval multiplied by the length of that subinterval of the partition.

Learning Objective LIM-5.C: Represent the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.C.1 The definite integral of a continuous function $f$ over the interval $[a, b]$, denoted by $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, is the limit of Riemann sums as the widths of the subintervals approach 0. That is, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$, where $n$ is the number of subintervals, $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval, and $x_i^{*}$ is a value in the $i$th subinterval.
LIM-5.C.2 A definite integral can be translated into the limit of a related Riemann sum, and the limit of a Riemann sum can be written as a definite integral.

Português

Compreensão Duradoura (LIM-5): Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos geométricos e numéricos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-5.B: Interpretar o caso limite da soma de Riemann como uma integral definida.

LIM-5.B.1 O limite de uma soma de Riemann aproximante pode ser interpretado como uma integral definida.
LIM-5.B.2 Uma soma de Riemann, que requer uma partição de um intervalo $I$, é a soma de produtos, cada um sendo o valor da função em um ponto de um subintervalo multiplicado pelo comprimento desse subintervalo da partição.

Objetivo de Aprendizagem LIM-5.C: Representar o caso limite da soma de Riemann como uma integral definida.

LIM-5.C.1 A integral definida de uma função contínua $f$ sobre o intervalo $[a, b]$, denotada por $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, é o limite das somas de Riemann conforme as larguras dos subintervalos se aproximam de 0. Ou seja, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$, onde $n$ é o número de subintervalos, $\Delta x_i$ é a largura do $i$-ésimo subintervalo e $x_i^{*}$ é um valor no $i$-ésimo subintervalo.
LIM-5.C.2 Uma integral definida pode ser traduzida no limite de uma soma de Riemann relacionada, e o limite de uma soma de Riemann pode ser escrito como uma integral definida.

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English

As the subinterval widths shrink to zero, the Riemann sum approaches an exact value – the definite integral 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\,\Delta x_i.$$

Here $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval and $x_i^{*}$ a point inside it. So a definite integral is the limit of a Riemann sum, and you should be able to translate each into the other.

Português

À medida que as larguras dos subintervalos encolhem para zero, a soma de Riemann se aproxima de um valor exato – a integral definida 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\,\Delta x_i.$$

Aqui $\Delta x_i$ é a largura do $i$º subintervalo e $x_i^{*}$ um ponto dentro dele. Assim, uma integral definida é o limite de uma soma de Riemann, e você deve ser capaz de traduzir uma na outra.

6.4

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · ⁨O Teorema Fundamental do Cálculo e Funções de Acumulação⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.1 The definite integral can be used to define new functions.
- Illustrative examples for FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 If $f$ is a continuous function on an interval containing $a$, then $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, where $x$ is in the interval.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-5): O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a derivação e a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-5.A: Representar funções de acumulação usando integrais definidas.

FUN-5.A.1 A integral definida pode ser usada para definir novas funções.
- Exemplos ilustrativos para FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Se $f$ é uma função contínua em um intervalo contendo $a$, então $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, onde $x$ está no intervalo.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The Fundamental Theorem of Calculus

A definite integral with a variable upper limit defines a new accumulation function 累积函数. The Fundamental Theorem of Calculus 微积分基本定理 (first part) says differentiation undoes this accumulation: if $f$ is continuous, then

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$

So if $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, then $g'(x)=f(x)$ and $g''(x)=f'(x)$. This is the engine behind the very common "let $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$" questions.

Português

O Teorema Fundamental do Cálculo

Uma integral definida com um limite superior variável define uma nova função de acumulação 累积函数. O Teorema Fundamental do Cálculo 微积分基本定理 (primeira parte) diz que a diferenciação desfaz essa acumulação: se $f$ é contínua, então

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$

Assim, se $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, então $g'(x)=f(x)$ e $g''(x)=f'(x)$. Este é o motor por trás das questões muito comuns "seja $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$".

A função de acumulação adiciona área com sinal; o TFC diz que sua derivada é f

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Acumule área como uma integral

y = ax³ + bx² + cx + d

Uma função de acumulação $\int_a^x f(t)\,dt$ constrói área assinada à medida que $x$ se move. O Teorema Fundamental diz que sua derivada é apenas $f(x)$.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	累积函数	lěi jī hán shù
Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	微积分基本定理	wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	原函数	yuán hán shù
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	不定积分	bù dìng jī fēn
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/	积分常数	jī fēn cháng shù
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	换元积分法	huàn yuán jī fēn fǎ
polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/	多项式长除法	duō xiàng shì zhǎng chú fǎ
completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/	配方法	pèi fāng fǎ

6.5

Behavior of Accumulation Functions · ⁨Comportamento de Funções de Acumulação⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.3 Graphical, numerical, analytical, and verbal representations of a function $f$ provide information about the function $g$ defined as $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-5): O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a derivação e a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-5.A: Representar funções de acumulação usando integrais definidas.

FUN-5.A.3 Representações gráficas, numéricas, analíticas e verbais de uma função $f$ fornecem informações sobre a função $g$ definida como $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

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English

Because $g'(x)=f(x)$, everything from Unit 5 applies to an accumulation function using the graph of $f$:

$g$ is increasing where $f>0$ and decreasing where $f<0$;
$g$ has a local extremum where $f$ crosses zero (with a sign change);
$g$ is concave up where $f$ is increasing; inflection points of $g$ occur where $f$ has a local extremum.

To get a value of $g$, compute the signed area: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, adding areas above the axis and subtracting areas below.

Português

Como $g'(x)=f(x)$, tudo da Unidade 5 se aplica a uma função de acumulação usando o gráfico de $f$:

$g$ está crescendo onde $f>0$ e diminuindo onde $f<0$;
$g$ tem um extremo local onde $f$ cruza zero (com mudança de sinal);
$g$ é côncava para cima onde $f$ está crescendo; pontos de inflexão de $g$ ocorrem onde $f$ tem um extremo local.

Para obter um valor de $g$, calcule a área com sinal: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, somando áreas acima do eixo e subtraindo áreas abaixo.

6.6

Properties of Definite Integrals · ⁨Propriedades das Integrais Definidas⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.A: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.

FUN-6.A.1 In some cases, a definite integral can be evaluated by using geometry and the connection between the definite integral and area.
FUN-6.A.2 Properties of definite integrals include the integral of a constant times a function, the integral of the sum of two functions, reversal of limits of integration, and the integral of a function over adjacent intervals.
FUN-6.A.3 The definition of the definite integral may be extended to functions with removable or jump discontinuities.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.A: Calcular uma integral definida usando áreas e propriedades de integrais definidas.

FUN-6.A.1 Em alguns casos, uma integral definida pode ser avaliada usando geometria e a conexão entre a integral definida e a área.
FUN-6.A.2 Propriedades de integrais definidas incluem a integral de uma constante vezes uma função, a integral da soma de duas funções, a inversão dos limites de integração e a integral de uma função sobre intervalos adjacentes.
FUN-6.A.3 A definição da integral definida pode ser estendida para funções com descontinuidades removíveis ou de salto.

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English

These properties simplify computation and appear constantly:

$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$

$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$

The last (splitting at an interior point $c$) lets you build a total integral from pieces read off a graph.

Português

Essas propriedades simplificam o cálculo e aparecem constantemente:

$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$

$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$

A última (dividir em um ponto interno $c$) permite construir uma integral total a partir de pedaços lidos em um gráfico.

6.7

The Fundamental Theorem and Evaluating Integrals · ⁨O Teorema Fundamental e a Avaliação de Integrais⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.B: Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.

FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$.
FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval.
FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.B: Avaliar integrais definidas analiticamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

FUN-6.B.1 Uma primitiva de uma função $f$ é uma função $g$ cuja derivada é $f$.
FUN-6.B.2 Se uma função $f$ é contínua em um intervalo contendo $a$, a função definida por $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ é uma primitiva de $f$ para $x$ no intervalo.
FUN-6.B.3 Se $f$ é contínua no intervalo $[a, b]$ e $F$ é uma primitiva de $f$, então $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The second part of the Fundamental Theorem evaluates a definite integral using an antiderivative 原函数. If $F'=f$, then

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

So: find any antiderivative $F$, then subtract its values at the two limits. This is how most exact integrals are computed. It also gives the net change view: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, so a starting value plus accumulated change gives a later value, e.g. $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.

Worked example. Evaluate $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. An antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so

$$\int_1^3(2x+1)\,dx=F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10.$$

Português

A segunda parte do Teorema Fundamental avalia uma integral definida usando uma primitiva 原函数. Se $F'=f$, então

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

Assim: encontre qualquer primitiva $F$, depois subtraia seus valores nos dois limites. É assim que a maioria das integrais exatas é calculada. Isso também oferece a visão de mudança líquida: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, portanto um valor inicial mais a mudança acumulada dá um valor posterior, p.ex., $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.

Exemplo resolvido. Avalie $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. Uma primitiva é $F(x)=x^2+x$, logo

$$\int_1^3(2x+1)\,dx=F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10.$$

Uma integral definida é a área assinada entre a curva e o eixo x

6.8

Antiderivatives and Indefinite Integrals · ⁨Primitivas e Integrais Indefinidas⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.C: Determine antiderivatives of functions and indefinite integrals, using knowledge of derivatives.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ is an indefinite integral of the function $f$ and can be expressed as $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, where $F'(x) = f(x)$ and $C$ is any constant.
FUN-6.C.2 Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.
FUN-6.C.3 Many functions do not have closed-form antiderivatives.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.C: Determinar primitivas de funções e integrais indefinidas, usando conhecimento de derivadas.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ é uma integral indefinida da função $f$ e pode ser expressa como $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, onde $F'(x) = f(x)$ e $C$ é qualquer constante.
FUN-6.C.2 Regras de derivação fornecem a base para encontrar primitivas.
FUN-6.C.3 Muitas funções não possuem primitivas de forma fechada.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

An indefinite integral 不定积分 is the family of all antiderivatives, written with a constant of integration 积分常数:

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$

Reverse each derivative rule to build the basic antiderivatives:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1),\quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx = e^x+C,$$

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$

Português

Uma integral indefinida 不定积分 é o conjunto de todas as primitivas, escrito com uma constante de integração 积分常数:

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$

Inverta cada regra de derivação para construir as primitivas básicas:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1),\quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx = e^x+C,$$

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$

6.9

Integrating Using Substitution · ⁨Integrando Usando Substituição⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.1 Substitution of variables is a technique for finding antiderivatives.
FUN-6.D.2 For a definite integral, substitution of variables requires corresponding changes to the limits of integration.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.D: Para integrandos que requerem substituição ou reorganizações em formas equivalentes: (a) Determinar integrais indefinidas. (b) Avaliar integrais definidas.

FUN-6.D.1 A substituição de variáveis é uma técnica para encontrar primitivas.
FUN-6.D.2 Para uma integral definida, a substituição de variáveis requer mudanças correspondentes nos limites de integração.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

$u$-substitution 换元积分法 reverses the chain rule. Choose an inside function $u=g(x)$, so $du=g'(x)\,dx$, and rewrite the integral entirely in $u$:

$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

Look for a function and its derivative both present. For a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ before substituting the original limits.

Worked example. Evaluate $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. The inside function is $u=x^2$, whose derivative $2x\,dx=du$ is present, so

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$

Spotting that $2x$ is exactly $\dfrac{du}{dx}$ is the whole trick.

Português

Substituição $u$ 换元积分法 inverte a regra da cadeia. Escolha uma função interna $u=g(x)$, de modo que $du=g'(x)\,dx$, e reescreva a integral inteiramente em $u$:

$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

Procure por uma função e sua derivada ambas presentes. Para uma integral definida, mude os limites para valores de $u$ ou convierta de volta para $x$ antes de substituir os limites originais.

Exemplo resolvido. Avalie $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. A função interna é $u=x^2$, cuja derivada $2x\,dx=du$ está presente, logo

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$

Identificar que $2x$ é exatamente $\dfrac{du}{dx}$ é todo o truque.

6.10

Long Division and Completing the Square · ⁨Divisão Longa e Completar Quadrados⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.3 Techniques for finding antiderivatives include rearrangements into equivalent forms, such as long division and completing the square.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.D: Para integrandos que requerem substituição ou reorganizações em formas equivalentes: (a) Determinar integrais indefinidas. (b) Avaliar integrais definidas.

FUN-6.D.3 Técnicas para encontrar primitivas incluem reorganizações em formas equivalentes, como divisão longa e completando o quadrado.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Two algebraic set-up moves let more integrals fit the basic forms: polynomial long division 多项式长除法 when the top degree is $\ge$ the bottom degree of a rational function, and completing the square 配方法 to turn a quadratic denominator into a form that integrates to an arctangent or logarithm.

Português

Dois movimentos algébricos prévia permitem que mais integrais se encaixem nas formas básicas: divisão polinomial longa 多项式长除法 quando o grau superior é $\ge$ o grau inferior de uma função racional, e completar quadrados 配方法 para transformar um denominador quadrático em uma forma que integra para arctangente ou logaritmo.

6.14

Selecting Techniques for Antidifferentiation · ⁨Selecionando Técnicas para Antiderivação⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for antidifferentiation. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to antidifferentiation.

Português

Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento adequado para antiderivação. Os estudantes devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à antiderivação.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

A skill topic: match the integral to a method. Try a basic antiderivative first; look for a $u$-substitution (an inside function whose derivative is also present); use algebra (division, completing the square, splitting a fraction) to reshape the integrand into a standard form. Naming the structure first prevents wasted effort.

Português

Um tópico de habilidade: corresponda a integral a um método. Tente uma primitiva básica primeiro; procure uma substituição de $u$ (uma função interna cuja derivada também esteja presente); use álgebra (divisão, completar quadrados, separação de frações) para remodelar o integrando em uma forma padrão. Nomear a estrutura primeiro evita esforço desperdiçado.

6.14

Exam tips · ⁨Dicas de prova⁩

English

Integration is antidifferentiation; use the power rule $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.

Português

Integração é antiderivação; use a regra da potência $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ e não esqueça a $+C$.
O Teorema Fundamental conecta os dois: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, e $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Aproxime uma integral definida com somas de Riemann ou a regra dos trapézios a partir de uma tabela de valores.
Uma integral definida é uma área assinada (abaixo do eixo conta negativo); divida em mudanças de sinal para área total.
Use substituição u e lembre-se de alterar os limites (ou retro-substituir) adequadamente.

Interactive lessons on this topic · ⁨Aulas interativas sobre este tópico⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.⁩

Past Papers · ⁨Provas Anteriores⁩

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