AP Cálculo AB aborda limites e continuidade, diferenciação e suas aplicações, integração e acumulação de variação, equações diferenciais e aplicações da integração, incluindo áreas e volumes. Equivale aproximadamente a um semestre de cálculo universitário.
O exame valora o significado tanto quanto o método. Serão solicitadas explicações sobre o que uma derivada significa em contexto — com unidades — e para justificar um máximo ou ponto de inflexão pelo sinal da derivada, não por inspeção visual de um gráfico.
O Teorema Fundamental do Cálculo é a espinha dorsal do curso. Compreendê-lo como "a integral de uma taxa fornece a variação total" é o que torna as questões de acumulação compreensíveis.
As notas abordam cada unidade em ordem, com os teoremas enunciados da forma como são esperados no exame. Anteriores FRQs com diretrizes de pontuação estão na biblioteca — as notas de AB muitas vezes dependem da justificativa em palavras, portanto as soluções resolvidas explicitam o raciocínio em vez de parar apenas na resposta.
Introduzindo Cálculo: A Mudança Pode Ocorrer em um Instante?
Programa
Compreensão Duradoura (CHA-1): O cálculo nos permite generalizar o conhecimento sobre movimento para problemas diversos envolvendo mudança.
Objetivo de Aprendizagem CHA-1.A: Interpretar a taxa de mudança instantânea em termos de taxas médias de mudança sobre intervalos que contêm esse instante.
CHA-1.A.1 O cálculo usa limites para compreender e modelar mudança dinâmica.
CHA-1.A.2 Como uma taxa média de mudança divide a mudança em uma variável pela mudança em outra, a taxa média de mudança é indefinida em um ponto onde a mudança na variável independente seria zero.
CHA-1.A.3 O conceito de limite nos permite definir a taxa de mudança instantânea em termos de taxas médias de mudança.
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O cálculo é a matemática da mudança 变化 e da acumulação 累积. Ele responde a duas grandes perguntas: quão rápido algo está mudando agora, e quanto se acumulou até agora? A Unidade 1 constrói a única ferramenta na qual ambas as perguntas se baseiam – o limite 极限.
Comece com um enigma. O velocímetro de um carro marca $60$ km/h. O que isso significa em um único instante 瞬间? Velocidade é distância sobre tempo. Mas em um único instante nenhum tempo passa e nenhuma distância é coberta, então a fração parece ser $\tfrac{0}{0}$ – indefinido.
A taxa média de variação 平均变化率 usa um intervalo inteiro: a mudança em uma quantidade dividida pela mudança em outra. Divide-se por zero, tornando-se indefinida quando a mudança na entrada seria zero.
A taxa instantânea de variação 瞬时变化率 é o que queremos em um ponto. É o valor que a taxa média aproxima-se 趋近 conforme o intervalo diminui até comprimento zero.
A jogada inteligente não é inserir zero (indefinido), mas observar o que a taxa média aproxima-se conforme o intervalo fica menor e menor. Esse valor de aproximação é um limite. Assim, o cálculo nos permite descrever a mudança em um instante – como um limite de taxas médias sobre intervalos cada vez mais curtos. Essa única ideia impulsiona a derivada 导数 (Unidade 2) e, executada ao contrário, a integral 积分 (Unidade 6). Tudo o resto nesta unidade define limites cuidadosamente e os calcula de forma confiável.
Explorar
Explore a taxa de mudança em um instante
y = ax³ + bx² + cx + d
Deslize o ponto ao longo da curva. A linha tangente é o limite de taxas médias cada vez menores — sua inclinação é a taxa de mudança instantânea$\frac{dy}{dx}$ naquele ponto.
Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.
Objetivo de Aprendizagem LIM-1.A: Representar analiticamente limites usando notação correta.
LIM-1.A.1 Dada uma função $f$, o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $c$ é um número real $R$ se $f(x)$ puder ser feito arbitrariamente próximo de $R$ tomando-se $x$ suficientemente próximo de $c$ (mas não igual a $c$). Se o limite existir e for um número real, a notação comum é $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
Declaração de exclusão: A definição epsilon-delta de um limite não é cobrada na prova AP Calculus AB ou BC. No entanto, os professores podem incluir este tópico no curso se houver tempo disponível.
Objetivo de Aprendizagem LIM-1.B: Interpretar limites expressos em notação analítica.
LIM-1.B.1 Um limite pode ser expresso de várias maneiras, incluindo graficamente, numericamente e analiticamente.
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Uma curva de ponte suave: limites descrevem o valor que um gráfico se aproxima conforme damos zoom
Dada uma função $f$, o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $c$ é um número real $R$ se $f(x)$ puder ser tornado arbitrariamente 任意地 próximo de $R$ tomando $x$suficientemente 足够 próximo de $c$ – mas não igual a$c$. Escrevemos
$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$
e lemos: "o limite de $f(x)$, quando $x$ se aproxima de $c$, é igual a $R$."
As últimas palavras são o cerne de um limite: elas descrevem o comportamento 行为 de $f$perto de$c$, não o valor em$c$. A função pode estar indefinida em $c$, ou definida mas igual a outra coisa – o limite não se importa.
Um limite pode ser mostrado de três maneiras: graficamente 用图象, numericamente 用数值 (uma tabela) e analiticamente 用解析式 (álgebra). Aprender a transitar entre essas representações é uma habilidade central.
(Nota: a definição epsilon-delta de um limite não é testada no Exame AP, portanto este material não a utiliza.)
1.3
Estimando Valores de Limites a partir de Gráficos
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.
Objetivo de Aprendizagem LIM-1.C: Estimar limites de funções.
LIM-1.C.1 O conceito de limite inclui limites laterais.
LIM-1.C.2 Informações gráficas sobre uma função podem ser usadas para estimar limites.
LIM-1.C.3 Devido a questões de escala, representações gráficas de funções podem omitir comportamentos importantes da função.
LIM-1.C.4 Um limite pode não existir para algumas funções em valores específicos de $x$. Algumas maneiras pelas quais o limite pode não existir são se a função for ilimitada, se a função estiver oscilando perto desse valor, ou se o limite pela esquerda não for igual ao limite pela direita.
Exemplos ilustrativos para LIM-1.C.4:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ não existe.
$\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ não existe.
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ não existe.
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Um gráfico é frequentemente a maneira mais rápida de ler um limite. Para encontrar $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, passe o dedo ao longo da curva em direção a $x = c$ de cada lado e pergunte: para que altura a curva está indo?
Rastreie da esquerda (entradas menores que $c$): isso dá o limite lateral esquerdo 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Rastreie da direita (entradas maiores que $c$): isso dá o limite lateral direito 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
Estes são os limites laterais 单侧极限. Se ambos apontarem para a mesma altura $R$, então o limite bilateral existe e $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.
Crucialmente, ignore o próprio ponto. Os gráficos marcam a diferença entre o limite e o valor:
Um círculo aberto 空心圆 marca uma altura que a curva aproxima-se mas não alcança – um "buraco" 空洞.
Um círculo fechado 实心圆 marca o valor real $f(c)$.
Então uma curva pode aproximar-se de $R = 3$ de ambos os lados (limite é $3$) enquanto um ponto preenchido fica na altura $5$ (valor $f(c) = 5$). O limite é $3$; os dois não precisam coincidir.
O círculo aberto é a altura que a curva se aproxima (o limite); o ponto preenchido é o valor real $f(2)$ – eles não precisam concordar.
Um limite não existe (frequentemente escrito NEX) quando os dois lados discordam (um salto 跳跃), quando a função é ilimitada 无界 (cresce sem limite) ou quando oscila 振荡 para sempre perto de $c$. Por exemplo:
Observe a escala 比例 de um gráfico: uma imagem com zoom out pode esconder comportamento importante perto de um ponto, então confirme com álgebra quando possível.
Explorar
Leia um limite no gráfico
y = ax² + bx + c
O limite quando $x\to c$ é a altura para a qual a curva se dirige de ambos os lados — trata-se de para onde a função está indo, não seu valor em $c$. Siga a curva em direção a um $x$ e leia o $y$ que ela se aproxima.
Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.
Objetivo de Aprendizagem LIM-1.C: Estimar limites de funções.
LIM-1.C.5 Informações numéricas podem ser usadas para estimar limites.
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Quando você tem dados ou uma fórmula mas não tem imagem, uma tabela 表格 de valores estima um limite numericamente. Escolha entradas que se aproximem sorrateiramente de $c$ de ambos os lados e observe as saídas.
Por exemplo, para estimar $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (que é $\tfrac{0}{0}$ em $x=2$):
$x$
$1.9$
$1.99$
$1.999$
$\to 2 \leftarrow$
$2.001$
$2.01$
$2.1$
$f(x)$
$3.9$
$3.99$
$3.999$
?
$4.001$
$4.01$
$4.1$
Ambos os lados marcham em direção a $4$, então estimamos que o limite é $4$. Uma tabela apenas sugere um valor – é uma estimativa numérica, não uma prova.
1.5
Determinando Limites Usando Propriedades Algébricas de Limites
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.
Objetivo de Aprendizagem LIM-1.D: Determinar os limites de funções usando teoremas de limite.
LIM-1.D.1 Limites laterais podem ser determinados analiticamente ou graficamente.
LIM-1.D.2 Limites de somas, diferenças, produtos, quocientes e funções compostas podem ser encontrados usando teoremas de limite.
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A maioria dos limites é encontrada analiticamente usando teoremas de limite 极限定理. Se $\lim_{x\to c} f(x)$ e $\lim_{x\to c} g(x)$ ambos existem, o limite de uma combinação é a mesma combinação dos limites:
Quociente:$\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, desde que o limite inferior não seja $0$.
Composto 复合函数: se $g$ é contínuo em $\lim_{x\to c} f(x)$, então $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.
A regra prática: para uma função construída a partir de polinômios, raízes e semelhantes, tente primeiro a substituição direta 直接代入 – insira $x = c$. Se você obter um número real, esse é o limite. Os limites laterais obedecem aos mesmos teoremas, lidos apenas em uma direção.
1.6
Determinando Limites Usando Manipulação Algébrica
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.
Objetivo de Aprendizagem LIM-1.E: Determinar os limites de funções usando expressões equivalentes para a função ou o teorema do encaixe (teorema do sanduíche).
LIM-1.E.1 Pode ser necessário ou útil rearranjar expressões em formas equivalentes antes de avaliar limites.
Exemplos ilustrativos para LIM-1.E.1:
Fatoração e divisão de fatores comuns de funções racionais
Multiplicação por uma expressão envolvendo o conjugado de uma soma ou diferença para simplificar funções envolvendo radicais
Uso de formas alternativas de funções trigonométricas
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A substituição direta às vezes resulta na forma indeterminada 未定式$\tfrac{0}{0}$. Isso não significa que o limite falha – significa que você deve reescrever a função em uma forma equivalente 等价形式 que remova o problema, e então fazer a substituição. Três movimentos padrão:
Fatore e cancele 因式分解并约分 uma função racional 有理函数. Exemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
Multiplique pelo conjugado 共轭 para simplificar um radical 根式. Exemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Use formas alternativas de funções trigonométricas (identidades) para simplificar.
O fator cancelado é por isso que o gráfico original tinha um buraco: as duas funções concordam em todos os lugares exceto em $x=c$, portanto, elas compartilham o mesmo limite lá.
Selecionando Procedimentos para Determinar Limites
Programa
Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento apropriado para determinar limites. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à determinação de limites.
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Este é um tópico de habilidade, não novo conteúdo: escolha a ferramenta certa para o limite à sua frente.
Tente a substituição direta primeiro. Uma resposta real significa que você terminou.
Obtendo $\tfrac{0}{0}$? Reescreva – fatore e cancele, ou use o conjugado, ou uma identidade trigonométrica – e depois substitua.
Um número não-zero sobre $0$ (como $\tfrac{5}{0}$)? O limite é infinito ou não existe (DNE) – verifique o sinal de cada lado (veja assíntotas verticais abaixo).
Quando $x\to\pm\infty$? Compare os termos dominantes 主导 (veja limites no infinito).
Preso entre duas funções? O teorema do confronto pode ser aplicado.
Determinando Limites Usando o Teorema do Confronto
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.
Objetivo de Aprendizagem LIM-1.E: Determinar os limites de funções usando expressões equivalentes para a função ou o teorema do encaixe (teorema do sanduíche).
LIM-1.E.2 O limite de uma função pode ser encontrado usando o teorema do encaixe (teorema do sanduíche).
Exemplos ilustrativos para LIM-1.E.2: O teorema do encaixe pode ser usado para mostrar $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ e $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.
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O teorema do confronto 夹逼定理 (também chamado de teorema do sanduíche) encontra um limite aprisionando a função entre outras duas. Se $g(x) \le f(x) \le h(x)$ perto de $c$, e
$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$
então $f$ é comprimido até o mesmo lugar: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.
Os dois resultados famosos provados dessa forma, ambos usados extensivamente no cálculo, são:
Este tópico tem como foco conectar representações. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados a limites e traduzir informações matemáticas de uma única representação ou através de múltiplas representações.
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Outro tópico de habilidade: o mesmo limite vive em um gráfico, uma tabela e uma forma algébrica, e você deve ser capaz de traduzir entre eles. Um gráfico mostra a forma e quaisquer buracos ou saltos; uma tabela fornece evidências numéricas; a álgebra dá um valor exato e uma razão. Respostas fortes usam uma representação para confirmar outra.
1.10
Explorando Tipos de Descontinuidades
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.
Objetivo de Aprendizagem LIM-2.A: Justificar conclusões sobre continuidade em um ponto usando a definição.
LIM-2.A.1 Os tipos de descontinuidades incluem descontinuidades removíveis, descontinuidades de salto e descontinuidades devido a assíntotas verticais.
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Uma função é descontínua 间断 at $c$ quando seu gráfico "quebra" ali. Existem três tipos:
Descontinuidade removível 可去间断 – um único buraco. O limite lateral existe, mas o ponto está ausente ou mal posicionado.
Descontinuidade de salto 跳跃间断 – os dois limites laterais existem, mas discordam, então a curva salta.
Descontinuidade infinita 无穷间断 – a função explode para $\pm\infty$ em uma assíntota vertical 垂直渐近线.
Três formas pelas quais um gráfico pode quebrar: um buraco removível, um salto e uma descontinuidade infinita (assíntota).
1.11
Definindo Continuidade em um Ponto
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.
Objetivo de Aprendizagem LIM-2.A: Justificar conclusões sobre continuidade em um ponto usando a definição.
LIM-2.A.2 Uma função $f$ é contínua em $x = c$ desde que $f(c)$ exista, $\lim_{x \to c} f(x)$ exista e $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.
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A continuidade é definida por um teste de três partes. Uma função $f$ é contínua 连续 at $x=c$ exatamente quando as três condições são atendidas:
Em palavras: o ponto está lá, o limite está lá, e os dois concordam. Se qualquer uma falhar, $f$ é descontínua em $c$. Este teste é a espinha dorsal de quase todas as questões de continuidade, então aprenda-o como uma lista de verificação.
1.12
Confirmando Continuidade sobre um Intervalo
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.
Objetivo de Aprendizagem LIM-2.B: Determinar intervalos sobre os quais uma função é contínua.
LIM-2.B.1 Uma função é contínua em um intervalo se a função for contínua em cada ponto do intervalo.
LIM-2.B.2 Funções polinomiais, racionais, potências, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas são contínuas em todos os pontos de seus domínios.
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Uma função é contínua em um intervalo 在区间上连续 se for contínua em cada ponto desse intervalo. Você raramente verifica ponto por ponto, porque famílias inteiras são contínuas em seus domínios:
Funções polinomiais, racionais, potências, exponenciais 指数, logarítmicas 对数 e trigonométricas 三角 são contínuas em cada ponto de seus domínios.
Assim, uma função racional é contínua em toda parte exceto onde seu denominador é zero; $\ln x$ é contínua para $x>0$; e assim por diante. Saber isso permite declarar a continuidade rapidamente e com precisão.
instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/
瞬时变化率
shùn shí biàn huà lǜ
approaches/əˈprəʊtʃɪz/
趋近
qū jìn
derivative/dɪˈrɪvətɪv/
导数
dǎo shù
1.13
Removendo Descontinuidades
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.
Objetivo de Aprendizagem LIM-2.C: Determinar valores de $x$ ou resolver parâmetros que tornem funções descontínuas contínuas, se possível.
LIM-2.C.1 Se o limite de uma função existe em uma descontinuidade em seu gráfico, é possível remover a descontinuidade definindo ou redefinindo o valor da função nesse ponto, de modo que ele seja igual ao valor do limite da função quando $x$ se aproxima desse ponto.
LIM-2.C.2 Para que uma função definida por partes seja contínua na fronteira da partição de seu domínio, o valor da expressão que define a função de um lado da fronteira deve ser igual ao valor da expressão que define o outro lado da fronteira, bem como ao valor da função no ponto de fronteira.
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Se o limite existe em um buraco, a descontinuidade é removível: redefina a função naquele único ponto para igualar o limite, e o gráfico será reparado. Formalmente, defina o valor ausente como $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.
Para uma função definida por partes 分段函数, a continuidade em uma fronteira $x=c$ exige que as duas partes se encontrem: o valor da peça à esquerda, o valor da peça à direita e $f(c)$ devem todos ser iguais. Esta é uma configuração comum de exame – você resolve para um parâmetro 参数 (uma constante desconhecida) que faz as partes combinarem:
Conectando Limites Infinitos e Assíntotas Verticais
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.
Objetivo de Aprendizagem LIM-2.D: Interpretar o comportamento de funções usando limites envolvendo infinito.
LIM-2.D.1 O conceito de limite pode ser estendido para incluir limites infinitos.
LIM-2.D.2 O comportamento assintótico e ilimitado de funções pode ser descrito e explicado usando limites.
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A ideia de limite estende-se a limites infinitos 无穷极限. Quando uma função cresce sem limite próximo a $x=c$, escrevemos $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Isso descreve uma assíntota vertical em $x=c$: o gráfico abraça a linha vertical $x=c$ e dispara em direção a $\pm\infty$.
Isso ocorre onde um número não-zero é dividido por algo que se aproxima de $0$, como em um zero de um denominador que não se cancela. Sempre verifique cada lado separadamente – os dois lados podem disparar em direções opostas (uma para $+\infty$, uma para $-\infty$).
Perto de uma assíntota vertical, o gráfico abraça a linha $x=c$. Aqui o lado esquerdo cai para $-\infty$ e o lado direito sobe para $+\infty$, então o limite lateral não existe.
Explorar
Explore limites infinitos e assíntotas verticais
y = a/(x − b) + c
Com $y=\dfrac{a}{x-b}+c$, observe a curva explodir para $\pm\infty$ perto de $x=b$. A assíntota vertical é a linha $x=b$ onde o limite infinito reside — os dois lados podem disparar em direções opostas.
Conectando Limites no Infinito e Assíntotas Horizontais
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.
Objetivo de Aprendizagem LIM-2.D: Interpretar o comportamento de funções usando limites envolvendo infinito.
LIM-2.D.3 O conceito de limite pode ser estendido para incluir limites no infinito.
LIM-2.D.4 Limites no infinito descrevem o comportamento final (end behavior).
LIM-2.D.5 As magnitudes relativas de funções e suas taxas de variação podem ser comparadas usando limites.
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Também podemos deixar a entrada crescer: limites no infinito 无穷远处的极限 descrevem o comportamento final 末端行为 de uma função conforme $x\to\pm\infty$. Se as saídas se estabilizam em direção a um valor finito $L$, então $y=L$ é uma assíntota horizontal 水平渐近线.
Conforme $x\to+\infty$, a curva se achata em direção à linha $y=L$. A assíntota horizontal registra esse comportamento final.
Para uma função racional, compare os graus 次数 do numerador e do denominador:
grau superior < grau inferior $\Rightarrow$ o limite é $0$ (assíntota $y=0$);
grau superior = grau inferior $\Rightarrow$ o limite é a razão dos coeficientes líderes 首项系数之比;
grau superior > grau inferior $\Rightarrow$ a função é ilimitada (sem assíntota horizontal).
De modo mais geral, comparamos as magnitudes relativas 相对大小 (taxas de crescimento relativas) das funções: longe, uma exponencial supera qualquer polinômio, e um polinômio supera qualquer logaritmo. No exame, "conforme $t\to\infty$, qual quantidade é maior/onde a taxa se estabiliza?" é respondido com um limite no infinito.
Explorar
Explore limites no infinito e assíntotas horizontais
y = a/(x − b) + c
Siga a curva bem longe para a direita e esquerda. À medida que $x\to\pm\infty$, as saídas se estabilizam em direção a $c$, então $y=c$ é uma assíntota horizontal — o valor finito do limite no infinito.
ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/
首项系数之比
shǒu xiàng xì shù zhī bǐ
relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/
相对大小
xiāng duì dà xiǎo
Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/
介值定理
jiè zhí dìng lǐ
existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/
存在性定理
cún zài xìng dìng lǐ
1.16
Trabalhando com o Teorema do Valor Intermediário (IVT)
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-1): Teoremas de existência permitem tirar conclusões sobre o comportamento de uma função em um intervalo sem localizar precisamente esse comportamento.
Objetivo de Aprendizagem FUN-1.A: Explicar o comportamento de uma função em um intervalo usando o Teorema do Valor Intermediário.
FUN-1.A.1 Se $f$ é uma função contínua no intervalo fechado $[a, b]$ e $d$ é um número entre $f(a)$ e $f(b)$, então o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um número $c$ entre $a$ e $b$, tal que $f(c) = d$.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
O Teorema do Valor Intermediário 介值定理 é um teorema de existência 存在性定理 – ele garante que um valor existe sem dizer onde:
Sinais opostos de f(a) e f(b) aprisionam uma raiz entre a e b
Se $f$ é contínua no intervalo fechado $[a,b]$, e $d$ é qualquer número entre$f(a)$ e $f(b)$, então existe pelo menos um número $c$ em $(a,b)$ tal que $f(c)=d$.
Uma curva ininterrupta não pode pular uma altura entre seus pontos finais – ela deve passar por todas elas.
Uma curva contínua de $(a,f(a))$ a $(b,f(b))$ deve cruzar todas as alturas $d$ intermediárias pelo menos uma vez.
Habilidade de exame – como justificar com o IVT. Essas questões aparecem quase todo ano (por exemplo, "Deve haver um valor $c$ tal que $R(c)=155$?" ou "Existe um momento em que $r'(t)=-6$?"). Uma justificativa com nota máxima tem três movimentos:
Declarar a continuidade. Diga que a função é contínua em $[a,b]$ (freqüentemente porque é diferenciável, ou dada como contínua).
Mostrar que $d$ está aprisionada. Calcule os valores nos dois pontos finais e mostre que o alvo $d$ está entre eles, p.ex. $f(a) < d < f(b)$.
Conclua pelo nome. "Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um $c$ em $(a,b)$ com $f(c)=d$."
Pular a declaração de continuidade, ou não mostrar que $d$ está entre os pontos finais, faz perder o ponto – o teorema exige ambas as condições.
Exemplo resolvido. Avalie $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$. A substituição direta resulta em $\tfrac{0}{0}$ (indeterminado), então fatorize: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ para $x\ne 3$. Então $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$. O gráfico tem uma descontinuidade removível (um buraco) em $x=3$ — o limite existe embora a função esteja indefinida ali.
Explorar
Por que uma curva contínua não pode pular um valor
y = ax³ + bx² + cx + d
O Teorema do Valor Intermediário: uma função contínua em $[a,b]$ assume todo $y$ entre $f(a)$ e $f(b)$ em algum ponto dentro do intervalo. Uma curva ininterrupta não pode saltar sobre uma altura — ela deve passar por ela.
Um limite descreve o que $f(x)$aproxima-se, o que não precisa ser igual a $f(a)$ — o limite lateral existe apenas se ambos os lados concordarem.
Tente a substituição direta primeiro; para uma forma de $\tfrac00$, fatore e cancele ou racionalize antes de substituir.
Uma função é contínua em $a$ quando o limite existe, $f(a)$ está definido e eles são iguais.
Use o Teorema do Valor Intermediário para garantir uma raiz: uma função contínua que muda de sinal em $[a,b]$ assume todos os valores entre.
Leia as assíntotas horizontais pelo comportamento final (limites em $\pm\infty$) e as assíntotas verticais onde o denominador (não o numerador) é zero.
2
Diferenciação: Definição e Propriedades Fundamentais
Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.
Objetivo de Aprendizagem CHA-2.A: Determinar taxas de variação médias usando quocientes de diferença.
CHA-2.A.1 Os quocientes de diferença $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ e $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expressam a taxa de variação média de uma função sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-2.B: Representar a derivada de uma função como o limite de um quociente de diferença.
CHA-2.B.1 A taxa de variação instantânea de uma função em $x=a$ pode ser expressa por $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ou $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, desde que o limite exista. Estas são formas equivalentes da definição da derivada e são denotadas $f'(a)$.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Um parque de diversões numa colina de subida: a derivada mede a taxa instantânea de variação da posiçãoA derivada pelos primeiros princípios
A Unidade 1 construiu o limite. A Unidade 2 o usa para definir a derivada 导数 – a taxa exata de variação em um ponto.
A taxa instantânea de variação é a inclinação da tangente em um ponto
Sobre um intervalo, a taxa média de variação é um quociente de diferenças 差商. Duas formas equivalentes aparecem:
A primeira usa um passo de tamanho $h$ partindo de $a$; a segunda usa dois pontos $x$ e $a$. Ambas calculam $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ sobre o intervalo.
A taxa instantânea 瞬时 de variação em $x=a$ é o que o quociente de diferenças se aproxima à medida que o intervalo diminui até zero. Este limite é a derivada em $a$, escrita $f'(a)$:
Deslize o ponto: a secante através de dois pontos próximos inclina-se em direção à tangente à medida que eles se fundem. A inclinação da tangente é a derivada — a taxa de mudança instantânea.
Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.
Objetivo de Aprendizagem CHA-2.B: Representar a derivada de uma função como o limite de um quociente de diferença.
CHA-2.B.2 A derivada de $f$ é a função cujo valor em $x$ é $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, desde que este limite exista.
CHA-2.B.3 Para $y=f(x)$, as notações para a derivada incluem $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ e $y'$.
CHA-2.B.4 A derivada pode ser representada graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente.
Objetivo de Aprendizagem CHA-2.C: Determinar a equação de uma reta tangente a uma curva em um ponto dado.
CHA-2.C.1 A derivada de uma função em um ponto é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto.
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Deixe o ponto $a$ variar e a derivada torna-se uma nova função:
$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Esta é a definição da derivada (às vezes chamada de "derivar pelos primeiros princípios" 用定义求导). Seu valor em cada $x$ é a taxa instantânea de variação ali.
As notações 记号 comuns para a derivada de $y=f(x)$ são:
$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$
A derivada pode ser representada graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente – esteja preparado para transitar entre elas.
Significado geométrico. A derivada em um ponto é a inclinação 斜率 da linha tangente 切线 ao gráfico ali. Assim, a linha tangente em $x=a$ passa por $\big(a, f(a)\big)$ com inclinação $f'(a)$:
$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$
Escrever esta linha é uma tarefa rotineira de exame, então mantenha a forma ponto-inclinação pronta.
Conforme $Q$ desliza em direção a $P$, a inclinação de cada secante (uma taxa média) se aproxima da inclinação da tangente – a derivada $f'(a)$.
2.3
Estimando uma Derivada em um Ponto
Programa
Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.
Objetivo de Aprendizagem CHA-2.D: Estimar derivadas.
CHA-2.D.1 A derivada em um ponto pode ser estimada a partir de informações fornecidas em tabelas ou gráficos.
CHA-2.D.2 Tecnologia pode ser usada para calcular ou estimar o valor da derivada de uma função em um ponto.
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Você nem sempre tem uma fórmula. Quando uma função é dada por uma tabela 表格 ou um gráfico, estime a derivada $f'(a)$ com um quociente de diferença sobre um pequeno intervalo em torno de $a$. Uma tabela com valores de ambos os lados de $a$ fornece a melhor estimativa:
$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$
Tecnologia (uma calculadora) também pode estimar uma derivada em um ponto.
Habilidade de prova (aparece quase todos os anos). Questões como "Aproxime $M'(7.5)$ usando a taxa média de variação de $M$ no intervalo $5 \le t \le 10$" pedem exatamente este quociente de diferença. Mostre o ajuste:
$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$
Nota completa exige os números substituídos e as unidades corretas 单位 (unidades de saída por unidade de entrada), pois vêm de modelos do mundo real.
Compreensão Duradoura (FUN-2): Reconhecer que a derivada de uma função também pode ser uma função nos permite desenvolver conhecimento sobre os comportamentos correlacionados de ambas.
Objetivo de Aprendizagem FUN-2.A: Explicar a relação entre diferenciabilidade e continuidade.
FUN-2.A.1 Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto. Em particular, se um ponto não está no domínio de $f$, então ele não está no domínio de $f'$.
FUN-2.A.2 Uma função contínua pode falhar em ser diferenciável em um ponto de seu domínio.
Exemplos ilustrativos para FUN-2.A.2:
Os limites lateral esquerdo e lateral direito do quociente de diferença não são iguais, como em $f(x)=|x|$ em $x=0$.
A reta tangente é vertical e não possui inclinação, como em $f(x)=\sqrt[3]{x}$ em $x=0$.
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Diferenciabilidade é mais forte que continuidade. A relação chave:
Se $f$ for diferenciável 可导 em um ponto, então $f$ é contínua 连续 naquele ponto.
Então diferenciabilidade implica continuidade. O inverso é falso: uma função contínua pode falhar em ser diferenciável. Duas maneiras disso acontecer:
Um ponto anguloso 尖点: os limites dos quocientes de diferença à esquerda e à direita discordam, como com $f(x)=|x|$ em $x=0$.
Uma tangente vertical 垂直切线: a inclinação é infinita (nenhum número real), como com $f(x)=\sqrt[3]{x}$ em $x=0$.
Duas maneiras de uma função contínua não ser diferenciável: um ponto anguloso e uma tangente vertical
Além disso, um ponto fora do domínio de $f$ não pode estar no domínio de $f'$. Use a contrapositiva na prova: se $f$ não é contínua em $a$, então $f$ não é diferenciável em $a$.
2.5
A Regra da Potência
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.
FUN-3.A.1 A aplicação direta da definição da derivada e regras específicas pode ser usada para calcular a derivada de funções da forma $f(x)=x^{r}$.
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Daqui usamos regras em vez da definição de limite cada vez. A regra da potência 幂法则 lida com qualquer potência de $x$:
$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$
Ela funciona para potências inteiras, potências negativas ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) e raízes ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – reescreva como uma potência primeiro, depois aplique a regra.
Explorar
Uma função potência e sua inclinação acelerada
y = ax³ + bx² + cx + d
A regra da potência$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ abaixa o expoente como um fator. Para $x^3$, a inclinação cresce rapidamente à medida que $x$ sai de 0 — a curva se torna mais íngreme.
2.6
Regras da Constante, Soma, Diferença e Múltiplo Constante
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.
FUN-3.A.2 Somas, diferenças e múltiplos constantes de funções podem ser diferenciadas usando regras de derivada.
FUN-3.A.3 A regra da potência combinada com propriedades de soma, diferença e múltiplo constante pode ser usada para encontrar as derivadas de funções polinomiais.
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Essas regras permitem diferenciar termo a termo:
Constante:$\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (uma constante não muda).
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.
FUN-3.A.4 Regras específicas podem ser usadas para encontrar as derivadas de funções seno, cosseno, exponencial e logarítmica.
Compreensão Duradoura (LIM-3): O raciocínio com definições, teoremas e propriedades pode ser usado para determinar um limite.
Objetivo de Aprendizagem LIM-3.A: Interpretar um limite como uma definição de derivada.
LIM-3.A.1 Em alguns casos, reconhecer uma expressão para a definição da derivada de uma função cuja derivada é conhecida oferece uma estratégia para determinar um limite.
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Aprenda estas quatro derivadas base de coração:
$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$
$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$
Note o sinal negativo na derivada do cosseno, e que $e^{x}$ é sua própria derivada.
Um limite que é realmente uma derivada (LIM-3.A.1). Às vezes um limite é secretamente a definição de uma derivada conhecida. Se você reconhecer
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
para uma função $f$ cuja derivada você conhece, basta avaliar $f'(a)$. Por exemplo, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.
Explorar
A forma de sin x (cuja inclinação é cos x)
y = asen(bx + c) + d
A derivada de $\sin x$ é $\cos x$: a inclinação da curva seno é maior onde o seno cruza zero e zero em seus picos. Observe a curva para sentir onde sua inclinação é íngreme ou plana.
2.8
A Regra do Produto
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.
FUN-3.B.1 As derivadas de produtos de funções diferenciáveis podem ser encontradas usando a regra do produto.
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A regra do produto como um retângulo crescendo
O produto de duas funções não é diferenciado multiplicando as derivadas. Use a regra do produto 乘积法则:
$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$
"Derivada do primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo." Exemplo:
As questões de exame frequentemente constroem uma nova função a partir de peças dadas, por exemplo, $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, e pedem para combinar regras enquanto lê valores de uma tabela.
"Base vezes a derivada do numerador, menos numerador vezes a derivada da base, tudo sobre a base ao quadrado." A ordem importa devido ao sinal negativo, então escreva o numerador cuidadosamente. Exemplo:
$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$
2.10
Derivadas de tan x, cot x, sec x e csc x
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.
FUN-3.B.3 Rearranjar funções tangente, cotangente, secante e cossecante usando identidades permite a diferenciação usando regras de derivada.
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A regra do quociente: diferenciando uma fração
As derivadas trigonométricas restantes não são decoradas separadamente – você as reescreve com identidades 恒等式 e aplica a regra do quociente (ou produto). Por exemplo, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, então a regra do quociente dá
$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$
O mesmo método (escrevendo $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) dá $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ e $-\csc x\cot x$.
Derivadas de ordem superior. Diferenciar $f'$ novamente gera a segunda derivada 二阶导数$f''(x)$ (ou $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – a taxa de variação da taxa de variação. Uma parte de prova como "Encontre $k''(3)$" significa apenas diferenciar duas vezes e substituir. Você também pode estimar uma segunda derivada a partir de uma tabela aplicando o método da taxa média de variação aos valores de $f'$.
Exemplo resolvido. Diferencie $f(x)=x^2\sin x$ com a regra do produto$(uv)'=u'v+uv'$: pegue $u=x^2$ ($u'=2x$) e $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), resultando em $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Sempre leia a estrutura primeiro – um produto precisa da regra do produto, não da regra da potência aplicada separadamente a cada fator.
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.C: Calcular derivadas de composições de funções diferenciáveis.
FUN-3.C.1 A regra da cadeia fornece um meio de diferenciar funções compostas.
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A regra da cadeia
Unidade 2 diferenciou funções simples. Unidade 3 diferencia funções construídas dentro de outras funções. A regra da cadeia 链式法则 diferencia uma função composta 复合函数$f\big(g(x)\big)$:
"Derivada da função externa (deixando a interna sozinha), vezes a derivada da interna." A derivada interna $g'(x)$ é a parte que os alunos esquecem, então sempre pergunte "qual é a interna e qual é sua derivada?" Exemplo:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
Na notação de Leibniz, com $y=f(u)$ e $u=g(x)$, a regra lê-se $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – o intermediário $du$ parece se "cancelar". Questões de prova frequentemente dão uma tabela para $f$, $g$, $f'$, $g'$ e pedem $h'(a)$ onde $h(x)=f\big(g(x)\big)$; avalie $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ lendo valores.
Exemplo resolvido. Diferencie $h(x)=(2x^2+1)^5$. A função externa é "(algo)$^5$", a interna é $2x^2+1$:
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.D: Calcular derivadas de funções definidas implicitamente.
FUN-3.D.1 A regra da cadeia é a base para a diferenciação implícita.
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Algumas curvas são definidas implicitamente – por uma equação em $x$ e $y$ que não está resolvida para $y$, como $x^2+y^2=25$. Diferenciação implícita 隐函数求id encontra $\dfrac{dy}{dx}$ sem resolver para $y$ primeiro. É apenas a regra da cadeia, tratando $y$ como uma função de $x$.
O método: diferencie ambos os lados em relação a $x$; toda vez que diferenciar um termo de $y$, multiplique por $\dfrac{dy}{dx}$ (a regra da cadeia); depois resolva algebricamente para $\dfrac{dy}{dx}$. Para $x^2+y^2=25$:
Exemplo resolvido. Encontre a reta tangente ao círculo $x^2+y^2=25$ no ponto $(3,4)$. De cima, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ ali, então a tangente é
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
Observe que a tangente é perpendicular ao raio, como a geometria promete – uma boa verificação de consistência.
Diferenciação implícita dá a tangente a um círculo, perpendicular ao raio
Habilidade de prova – "Mostre que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Este prompt exato aparece nos últimos anos (p.ex. "Mostre que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Como o alvo é dado, você deve mostrar cada passo algébrico limpo: diferencie ambos os lados, use as regras do produto/cadeia em termos mistos de $xy$, agrupe todos os termos de $\dfrac{dy}{dx}$ de um lado, fatore e divida. Uma linha final correta que pula a álgebra ganha pouco. Partes seguintes pedem então uma reta tangente, ou onde a tangente é horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, então o numerador é $0$) ou vertical (o denominador é $0$).
3.3
Diferenciando Funções Inversas
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.E: Calcular derivadas de funções inversas e trigonométricas inversas.
FUN-3.E.1 A regra da cadeia e a definição de uma função inversa podem ser usadas para encontrar a derivada de uma função inversa, desde que a derivada exista.
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Se $g$ é a função inversa 反函数 de $f$ (portanto $f(g(x))=x$), a regra da cadeia liga suas derivadas:
Em palavras: a derivada da inversa em um ponto é o recíproco 倒数 da derivada da função original no ponto correspondente. Um setup comum de prova dá uma tabela e um ponto $(a,b)$ em $f$ (portanto $(b,a)$ está em $g$), e pede $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
A função inversa é a imagem espelhada da função na linha y = x
Exemplo resolvido. Suponha $f(2)=5$ e $f'(2)=3$, e $g$ seja a inversa de $f$. Como $(2,5)$ está em $f$, o ponto $(5,2)$ está em $g$, e
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
Os gráficos de $f$ e $g$ são imagens espelhadas através de $y=x$, então suas inclinações em pontos correspondentes são recíprocas.
Explorar
Uma exponencial e seu inverso, o logaritmo
y = a·e^(bx) + c
Funções inversas são imagens espelhadas através de $y=x$, e suas inclinações são recíprocas: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Onde uma é íngreme, sua inversa é rasa.
3.4
Diferenciando Funções Trigonométricas Inversas
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.E: Calcular derivadas de funções inversas e trigonométricas inversas.
FUN-3.E.2 A regra da cadeia aplicada com a definição de uma função inversa, ou a fórmula para a derivada de uma função inversa, pode ser usada para encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
A mesma ideia dá as derivadas das funções trigonométricas inversas 反三角函数. As três que você deve saber:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combine essas com a regra da cadeia quando a entrada for ela mesma uma função, p.ex. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
Selecionando Procedimentos para Calcular Derivadas
Programa
Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento adequado para calcular derivadas. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados ao cálculo de derivadas.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Tópico de habilidade: derivadas reais misturam várias regras, então leia a estrutura da expressão primeiro, de fora para dentro.
É uma soma? Diferencie termo a termo.
Um produto ou quociente? Aplique essa regra, e espere usar a regra da cadeia internamente.
Uma composta (algo dentro de algo)? Regra da cadeia.
Dado implicitamente? Derivação implícita.
Nomeie a operação mais externa, aplique sua regra e recursione para dentro. Limpeza evita erros de sinal e de registro que custam pontos.
3.6
Calculando Derivadas de Ordem Superior
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.F: Determinar derivadas de ordem superior de uma função.
FUN-3.F.1 Diferenciar $f'$ produz a segunda derivada $f''$, desde que a derivada de $f'$ exista; repetir esse processo produz derivadas de ordem superior de $f$.
FUN-3.F.2 Derivadas de ordem superior são representadas por uma variedade de notações. Para $y = f(x)$, as notações para a segunda derivada incluem $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ e $y''$. Derivadas de ordem superior podem ser denotadas $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ ou $f^{(n)}(x)$.
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Derivar $f'$ produz a segunda derivada 二阶导数$f''$; repetir dá derivadas de ordem superior. As notações:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
A segunda derivada mede como a inclinação está mudando; ela impulsiona a curvatura 凹凸性 e aceleração em unidades futuras. Para encontrar $f''$ implicitamente, diferencie a expressão para $\dfrac{dy}{dx}$ novamente (com as regras do quociente e da cadeia), depois substitua $\dfrac{dy}{dx}$ de volta.
Explorar
Inclinação da inclinação: a segunda derivada
y = ax³ + bx² + cx + d
Diferenciar novamente dá a segunda derivada — a taxa na qual a inclinação muda. Onde a inclinação da tangente está aumentando, a curva dobra para cima (côncava para cima).
3.6
Dicas de prova
Use a regra da cadeia para funções compostas – diferencie a parte externa, depois multiplique pela derivada da interna (o fator mais esquecido).
Para diferenciação implícita, diferencie ambos os lados em relação a $x$ e acople $\tfrac{dy}{dx}$ cada vez que $y$ for diferenciado, depois resolva.
Encontre a segunda derivada diferenciando duas vezes (velocidade → aceleração).
Combine as regras com cuidado em expressões aninhadas (regra da cadeia dentro do produto, etc.).
O gráfico da função inversa é o reflexo em $y=x$; sua inclinação é o recíproco da original no ponto correspondente.
Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.
Objetivo de Aprendizagem CHA-3.A: Interpretar o significado de uma derivada em contexto.
CHA-3.A.1 A derivada de uma função pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea em relação à sua variável independente.
CHA-3.A.2 A derivada pode ser usada para expressar informações sobre taxas de variação em contextos aplicados.
CHA-3.A.3 A unidade para $f'(x)$ é a unidade para $f$ dividida pela unidade para $x$.
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Assim que você consegue calcular derivadas, usa-as para descrever o mundo real. A derivada $f'(x)$é a taxa de variação instantânea de $f$ em relação à sua entrada. Ler e relatar essa taxa corretamente é uma habilidade avaliada.
As unidades importam. A unidade de $f'(x)$ é a unidade de $f$ dividida pela unidade de $x$. Se $C(t)$ é um número de acres e $t$ está em semanas, então $C'(t)$ está em acres por semana. Na prova, "Usando as unidades corretas, interprete o significado de $g'(140)$" pede uma frase completa: o valor, a quantidade, a palavra de taxa "por", e o momento. Por exemplo: "$g'(140)=2.3$ significa que em $x=140$, a quantidade está aumentando a cerca de $2.3$ unidades por unidade de $x$."
4.2
Movimento em Linha Reta: Posição, Velocidade e Aceleração
Programa
Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.
Objetivo de Aprendizagem CHA-3.B: Calcular taxas de variação em contextos aplicados.
CHA-3.B.1 A derivada pode ser usada para resolver problemas de movimento retilíneo envolvendo posição, velocidade escalar, velocidade vetorial e aceleração.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Para uma partícula movendo-se em uma linha, três funções do tempo estão ligadas por diferenciação:
Em um gráfico velocidade-tempo, a área é o deslocamento e a inclinação é a aceleração
posição 位置$s(t)$;
velocidade 速度$v(t)=s'(t)$ – com sinal; seu sinal indica a direção;
aceleração 加速度$a(t)=v'(t)=s''(t)$.
Leituras-chave (partes frequentes de exames):
A partícula está em repouso 静止 quando $v(t)=0$.
Ela se move para a direita/cima quando $v(t)>0$ e para a esquerda/baixo quando $v(t)<0$; ela muda de direção onde $v$ muda de sinal.
Velocidade escalar 速率 é $|v(t)|$. A velocidade escalar aumenta quando $v$ e $a$ têm o mesmo sinal (a partícula está acelerando), e diminui quando têm sinais opostos.
Exemplo resolvido. Uma partícula move-se com $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Então $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, portanto está em repouso em $t=1$ e $t=3$, e muda de direção em cada uma. Em $t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (movendo-se para a esquerda) e $a(2)=6(2)-12=0$; logo após, $a>0$ enquanto $v<0$, então está desacelerando ali. Diferencie cuidadosamente entre velocidade (tem direção) e velocidade escalar (não tem) – a prova testa exatamente essa diferença.
Um monte-russo é cálculo que você pode sentir: velocidade é a derivada da posição, e aceleração é a derivada da velocidade
Explorar
Velocidade é a inclinação da posição
y = ax³ + bx² + cx + d
Para movimento em linha reta, a velocidade é a derivada (inclinação) da posição e a aceleração é a derivada da velocidade. Deslize o ponto para ler a velocidade instantânea.
Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.
Objetivo de Aprendizagem CHA-3.C: Interpretar taxas de variação em contextos aplicados.
CHA-3.C.1 A derivada pode ser usada para resolver problemas envolvendo taxas de variação em contextos aplicados.
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A mesma ideia de derivada modela qualquer quantidade que muda: um tanque esvaziando, uma população se espalhando, uma xícara esfriando. Sempre que um problema diz "a taxa na qual...", ele está descrevendo uma derivada. Leia as unidades para saber a taxa de qual quantidade você tem, depois interprete no contexto.
4.4
Introdução a Taxas Relacionadas
Programa
Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.
Objetivo de Aprendizagem CHA-3.D: Calcular taxas relacionadas em contextos aplicados.
CHA-3.D.1 A regra da cadeia é a base para diferenciar variáveis em um problema de taxas relacionadas em relação à mesma variável independente.
CHA-3.D.2 Outras regras de diferenciação, como a regra do produto e a regra do quociente, também podem ser necessárias para diferenciar todas as variáveis em relação à mesma variável independente.
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Taxas relacionadas: uma escada deslizante
Em um problema de taxas relacionadas 相关变化率, várias quantidades mudam juntas ao longo do tempo, e você conhece algumas taxas mas quer outra. O motor é a regra da cadeia: diferencie uma relação em relação ao tempo $t$. Cada variável torna-se uma função de $t$, então cada derivada pega um fator "$\,/\,dt$". Regras do produto e do quociente também podem ser necessárias.
Um balão subindo: taxas relacionadas ligam como raio, volume e altura mudam juntos
Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.
Objetivo de Aprendizagem CHA-3.E: Interpretar taxas relacionadas em contextos aplicados.
CHA-3.E.1 A derivada pode ser usada para resolver problemas de taxas relacionadas; isto é, encontrar uma taxa na qual uma quantidade está mudando relacionando-a a outras quantidades cujas taxas de variação são conhecidas.
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Um procedimento confiável – e um modelo completo para nota máxima na prova:
Nomeie as variáveis e escreva as taxas dadas e a taxa desconhecida (ex: "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/dia, encontre $\dfrac{dV}{dt}$").
Escreva uma equação relacionando as quantidades (muitas vezes uma fórmula geométrica ou de volume).
Diferencie ambos os lados em relação a $t$ (regra da cadeia) – antes de substituir números.
Substitua os valores conhecidos no instante de interesse e resolva para a taxa desconhecida.
Apresente a resposta com unidades e o sinal correto (uma quantidade decrescente tem uma taxa negativa).
Exemplo resolvido. Ar é bombeado para dentro de um balão esférico de modo que seu volume cresce a $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. Com que rapidez o raio está crescendo quando $r=5\ \text{cm}$? Comece de $V=\tfrac43\pi r^3$ e diferencie em relação a $t$primeiro:
Substituir $r=5$demais cedo é o erro clássico – diferencie a relação geral, depois insira os valores.
Um balão se enchendo liga dV/dt e dr/dt através da regra da cadeia
4.6
Linearidade Local e Linearização
Programa
Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.
Objetivo de Aprendizagem CHA-3.F: Aproximar um valor em uma curva usando a equação de uma reta tangente.
CHA-3.F.1 A reta tangente é o gráfico de uma aproximação linear local da função próxima ao ponto de tangência.
CHA-3.F.2 Para uma aproximação por reta tangente, o comportamento da função próximo ao ponto de tangência pode determinar se um valor da reta tangente é uma subestimação ou superestimação do valor correspondente da função.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Linearidade local e linearização
Perto de um ponto de tangência, uma curva suave parece sua reta tangente – isso é linearidade local 局部线性. Assim, a reta tangente fornece uma aproximação linear 线性近似 (linearização) da função perto desse ponto:
$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$
Use-a para estimar $f$ em um $x$ próximo a $a$.
A reta tangente é a melhor aproximação linear para a curva perto do ponto de tangência
Exemplo resolvido. Estime $\sqrt{4.1}$. Escolha $f(x)=\sqrt{x}$ e $a=4$: $f(4)=2$ e $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ então $f'(4)=\dfrac14$. Então $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (o valor verdadeiro é $2.0248\ldots$). Como $\sqrt{x}$ é ** côncava para baixo**, a reta tangente fica acima da curva, então esta é uma leve superestimação 高估 – justifique super/subestimativa com o sinal de $f''$.
Explorar
Aproxime uma curva com sua linha tangente
y = ax³ + bx² + cx + d
Linearidade local: perto de um ponto, uma curva suave parece ser sua linha tangente, então a tangente fornece uma boa aproximação linear dos valores próximos.
4.7
Regra de L'Hospital para Formas Indeterminadas
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-4): A Regra de L'Hospital nos permite determinar os limites de algumas formas indeterminadas.
Objetivo de Aprendizagem LIM-4.A: Determinar limites de funções que resultam em formas indeterminadas.
LIM-4.A.1 Quando a razão de duas funções tende a $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ no limite, tais formas são ditas indeterminadas.
Declaração de exclusão: Existem muitas outras formas indeterminadas, como $\infty - \infty$, por exemplo, mas estas não serão avaliadas nem no Exame AP Calculus AB nem no BC. No entanto, os professores podem incluir esses tópicos, se houver tempo disponível.
LIM-4.A.2 Limites das formas indeterminadas $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ podem ser avaliados usando a Regra de L'Hospital.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Quando a substituição direta em um quociente de limites resulta na forma indeterminada 未定式$\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$, você pode usar a Regra de L'Hospital 洛必达法则:
desde que o limite à direita exista. Diferencie o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente), depois tente o limite novamente. Primeiro confirme se a forma realmente é $\tfrac{0}{0}$ ou $\tfrac{\infty}{\infty}$ – aplicar a regra a qualquer outra forma é um erro.
Exemplo resolvido. Avalie $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. Substituindo dá $\tfrac00$, então diferencie numerador e denominador: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – confirmando o famoso limite da Unidade 1.
4.7
Dicas de prova
Em problemas de movimento: velocidade é a derivada da posição, aceleração é a derivada da velocidade; a velocidade escalar aumenta quando velocidade e aceleração compartilham um sinal.
Para taxas relacionadas, diferencie a equação relacionadora em relação ao tempo, depois substitua os valores dados por último.
Use a reta tangente para uma aproximação linear perto de um ponto conhecido; ela é precisa apenas nas proximidades.
Leia o sinal de uma taxa: positivo significa que as quantidades se movem juntas, negativo significa oposto.
Sempre declare as unidades e interprete a resposta no contexto.
Compreensão Duradoura (FUN-1): Teoremas de existência permitem tirar conclusões sobre o comportamento de uma função em um intervalo sem localizar precisamente esse comportamento.
Objetivo de Aprendizagem FUN-1.B: Justificar conclusões sobre funções aplicando o Teorema do Valor Médio em um intervalo.
FUN-1.B.1 Se uma função $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável no intervalo $(a, b)$, então o Teorema do Valor Médio garante um ponto dentro desse intervalo aberto onde a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média sobre o intervalo.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
O Teorema do Valor Médio
O Teorema do Valor Médio 中值定理 (MVT) liga a taxa média de variação a uma instantânea:
Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$, então existe pelo menos um ponto $c$ em $(a,b)$ onde
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
Em palavras: em algum lugar dentro do intervalo, a taxa instantânea é igual à taxa média. Geometricamente, alguma reta tangente é paralela à reta que une as extremidades.
O Teorema do Valor Médio: alguma tangente é paralela à secante sobre o intervalo
Habilidade de prova. Assim como o TVC, o TVM é um teorema de existência, e questões pedem que você justifique. Nota máxima exige: (1) declare que $f$ é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$; (2) calcule a taxa média $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) conclua "pelo TVM existe um $c$ em $(a,b)$ com $f'(c)$ igual a esse valor." Ambas as hipóteses devem ser citadas.
Exemplo resolvido. Verifique o TVM para $f(x)=x^2$ em $[1,3]$. É um polinômio, então contínuo e diferenciável em todos os lugares. A taxa média é $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. Igualando $f'(c)=2c=4$ dá $c=2$, que de fato está em $(1,3)$ – o ponto garantido.
Explorar
O Teorema do Valor Médio
y = ax³ + bx² + cx + d
O TVI garante um ponto onde a tangente é paralela à secante — a taxa instantânea é igual à taxa média em algum lugar dentro do intervalo.
Compreensão Duradoura (FUN-1): Teoremas de existência permitem tirar conclusões sobre o comportamento de uma função em um intervalo sem localizar precisamente esse comportamento.
Objetivo de Aprendizagem FUN-1.C: Justificar conclusões sobre funções aplicando o Teorema do Valor Extremo.
FUN-1.C.1 Se uma função $f$ for contínua no intervalo $(a, b)$, então o Teorema do Valor Extimo garante que $f$ tenha pelo menos um valor mínimo e pelo menos um valor máximo em $[a, b]$.
FUN-1.C.2 Um ponto em uma função onde a primeira derivada é igual a zero ou falha em existir é um ponto crítico da função.
FUN-1.C.3 Todos os extremos locais (relativos) ocorrem em pontos críticos de uma função, embora nem todos os pontos críticos sejam extremos locais.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Um pico de montanha refletido em um lago: extremos e pontos críticos marcam valores máximos e mínimos
O Teorema do Valor Extremo 极值定理 (EVT) garante a existência de extremos: uma função contínua em um intervalo fechado $[a,b]$ atinge ambos um máximo absoluto e um mínimo absoluto nele.
Em um máximo ou mínimo a derivada é zero
Um ponto crítico 临界点是 interior onde $f'(x)=0$ou$f'(x)$ não existe. Todos os extremos locais (relativos) 局部极值 ocorrem em pontos críticos – mas nem todo ponto crítico é um extremo. Portanto, pontos críticos são os candidatos; você deve testar cada um.
5.3
Intervalos Crescentes e Decrescentes
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.
FUN-4.A.1 A primeira derivada de uma função pode fornecer informações sobre a função e seu gráfico, incluindo intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
A primeira derivada diz onde $f$ sobe ou desce:
$f'(x) > 0$ em um intervalo $\Rightarrow$$f$ é crescente 递增 ali;
$f'(x) < 0$$\Rightarrow$$f$ é decrescente 递减.
No exame, "encontre os intervalos onde $f$ está crescendo" significa: encontre os pontos críticos, teste então o sinal de $f'$ entre eles, e justifique com o sinal de $f'$ (uma razão declarada, não apenas um intervalo).
5.4
Teste da Primeira Derivada
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.
FUN-4.A.2 A primeira derivada de uma função pode determinar a localização de extremos relativos (locais) da função.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Para classificar um ponto crítico $x=c$ como máximo local, mínimo local ou nenhum, verifique como $f'$ muda de sinal ali:
$f'$ muda de $+$ para $-$ em $c$$\Rightarrow$máximo local 极大值;
$f'$ muda de $-$ para $+$ em $c$$\Rightarrow$mínimo local 极小值;
$f'$não muda de sinal $\Rightarrow$ nem nenhum.
Sempre declare a mudança de sinal como sua justificativa.
Exemplo resolvido. Classifique os pontos críticos de $f(x)=x^3-3x^2$. Aqui $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, zero em $x=0$ e $x=2$. Testando sinais: $f'>0$ para $x<0$, $f'<0$ em $(0,2)$, e $f'>0$ para $x>2$. Portanto, $f'$ muda de $+\to-$ em $x=0$ (um máximo local, $f(0)=0$) e $-\to+$ em $x=2$ (um mínimo local, $f(2)=-4$).
Onde $f' > 0$ o gráfico sobe e onde $f' < 0$ ele desce; um máximo local ocorre quando $f'$ muda de $+$ para $-$, um mínimo local quando muda de $-$ para $+$.
5.5
O Teste dos Candidatos para Extremos Absolutos
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.
FUN-4.A.3 Extremos absolutos (globais) de uma função em um intervalo fechado só podem ocorrer em pontos críticos ou nas extremidades.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Em um intervalo fechado, extremos absolutos (globais) ocorrem apenas em pontos críticos ou extremidades. O teste dos candidatos:
Liste todos os pontos críticos em $[a,b]$e as duas extremidades.
Avalie $f$ em cada candidato.
A maior saída é o máximo absoluto; a menor é o mínimo absoluto.
Mostre a tabela de valores – a comparação é o argumento.
5.6
Concavidade e Pontos de Inflexão
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.
FUN-4.A.4 O gráfico de uma função é côncavo para cima (para baixo) em um intervalo aberto se a derivada da função for crescente (decrescente) naquele intervalo.
FUN-4.A.5 A segunda derivada de uma função fornece informações sobre a função e seu gráfico, incluindo intervalos de concavidade para cima ou para baixo.
FUN-4.A.6 A segunda derivada de uma função pode ser usada para localizar pontos de inflexão para o gráfico da função original.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
A derivada segunda descreve a curvatura:
$f'' > 0$$\Rightarrow$$f$ é côncava para cima 上凹 (curvada como uma taça; $f'$ está aumentando);
$f'' < 0$$\Rightarrow$$f$ é côncava para baixo 下凹 ($f'$ está diminuindo).
Um ponto de inflexão 拐点 é onde a concavidade muda, isto é, onde $f''$ muda de sinal (não meramente onde $f''=0$). Relate sua coordenada-$x$ e justifique com a mudança de sinal de $f''$.
A concavidade vem do sinal da derivada segunda; ela inverte em um ponto de inflexão
Explorar
Onde a concavidade muda
y = ax³ + bx² + cx + d
Concavidade é o sinal de $f''$: côncava para cima retém água, côncava para baixo a derrama. Um ponto de inflexão é onde ela muda.
5.7
O Teste da Derivada Segunda
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.
FUN-4.A.7 A segunda derivada de uma função pode determinar se um ponto crítico é a localização de um máximo (local) ou mínimo relativo.
FUN-4.A.8 Quando uma função contínua possui apenas um ponto crítico em um intervalo de seu domínio e esse ponto crítico corresponde a um extremo (local) relativo da função no intervalo, então esse ponto crítico também corresponde ao extremo (global) absoluto da função no intervalo.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Uma alternativa para classificar um ponto crítico $c$ onde $f'(c)=0$:
$f''(c) > 0$$\Rightarrow$ côncava para cima $\Rightarrow$mínimo local;
$f''(c) < 0$$\Rightarrow$ côncava para baixo $\Rightarrow$máximo local;
$f''(c) = 0$$\Rightarrow$ o teste é inconclusivo – recorra ao teste da derivada primeira.
Caso especial: se uma função contínua tem apenas um ponto crítico em um intervalo e ele é um extremo local, esse ponto também é o extremo absoluto ali.
5.8
Esboçando uma Função e Suas Derivadas
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.
FUN-4.A.9 As características principais de funções e suas derivadas podem ser identificadas e relacionadas às suas representações gráfica, numérica e analítica.
FUN-4.A.10 Informações gráficas, numéricas e analíticas de $f'$ e $f''$ podem ser usadas para prever e explicar o comportamento de $f$.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Características-chave de $f$, $f'$ e $f''$ espelham-se mutuamente. Para esboçar ou ler gráficos:
$f$ crescente $\Leftrightarrow$$f'$ acima do eixo; $f$ tem um máximo local $\Leftrightarrow$$f'$ cruza de $+$ para $-$.
$f$ côncava para cima $\Leftrightarrow$$f'$ crescente $\Leftrightarrow$$f''$ acima do eixo; $f$ tem um ponto de inflexão $\Leftrightarrow$$f'$ tem um extremo local $\Leftrightarrow$$f''$ cruza zero.
5.9
Conectando f, f-prime e f-double-prime
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.
FUN-4.A.11 As características principais dos gráficos de $f$, $f'$ e $f''$ estão relacionadas entre si.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Esta é a habilidade de ler um gráfico para descrever outro. Um setup de exame muito comum dá o gráfico de $f'$ e pergunta sobre $f$: onde está $f$ crescendo (onde $f'>0$), onde estão os extremos de $f$ (onde $f'$ cruza zero, com mudança de sinal), onde está $f$ côncava para cima (onde $f'$ está aumentando). Responda perguntas sobre $f$ usando a altura e inclinação do gráfico de $f'$.
Explorar
Inclinação e curvatura a partir do gráfico
y = ax³ + bx² + cx + d
Onde $f'>0$ a função sobe; onde $f''>0$ ela se dobra para cima. Deslize a tangente para vincular a forma de $f$ aos sinais de suas derivadas.
5.10
Introdução à Otimização
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.B: Calcular valores mínimos e máximos em contextos aplicados ou análise de funções.
FUN-4.B.1 A derivada pode ser usada para resolver problemas de otimização; isto é, encontrar um valor mínimo ou máximo de uma função em um intervalo dado.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Otimização: a melhor caixa
Otimização 最优化 usa a derivada para encontrar o valor maior ou menor de uma quantidade em um intervalo. É a maquinaria de candidatos/teste de derivada aplicada a um objetivo real.
Encerramentos com cerca: otimização encontra as dimensões que maximizam a área para um comprimento fixo de cerca
Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.C: Interpretar valores mínimos e máximos calculados em contextos aplicados.
FUN-4.C.1 Valores mínimos e máximos de uma função assumem significados específicos em contextos aplicados.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Um procedimento confiável:
Escreva a quantidade a ser otimizada como uma função de uma variável (use uma equação de restrição para eliminar extras).
Defina o intervalo de entradas permitidas.
Encontre pontos críticos ($f'=0$ ou indefinido) e teste-os (teste da derivada primeira ou segunda, ou teste dos candidatos se o intervalo for fechado).
Responda à pergunta feita, com unidades e interpretação no contexto – a área máxima, o custo mínimo, etc.
Exemplo resolvido. Um fazendeiro tem $100\ \text{m}$ de cerca para um curral retangular contra uma parede, então apenas três lados precisam de cerca. Maximize a área. Deixe as duas extremidades serem $x$ e o lado paralelo à parede seja $y$; a restrição é $2x+y=100$, então $y=100-2x$. A área é
Como $A''=-4<0$ este é um máximo, resultando em $y=50$ e $A=25\times50=1250\ \text{m}^2$.
5.12
Comportamentos de Relações Implícitas
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.D: Determinar pontos críticos de relações implícitas.
FUN-4.D.1 Um ponto em uma relação implícita onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe é um ponto crítico da função.
Objetivo de Aprendizagem FUN-4.E: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função definida implicitamente com base em evidências de suas derivadas.
FUN-4.E.1 Aplicações de derivadas podem ser estendidas a funções definidas implicitamente.
FUN-4.E.2 Derivadas segundas envolvendo diferenciação implícita podem ser relações de $x$, $y$ e $\dfrac{dy}{dx}$.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Tudo isso se estende a relações implicitamente definidas. Um ponto crítico de uma relação implícita é onde $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangente horizontal) ou é indefinido (tangente vertical). Como $\dfrac{dy}{dx}$ geralmente é uma relação em $x$e$y$, e a derivada segunda envolve $x$, $y$ e $\dfrac{dy}{dx}$, substitua sua expressão de derivada primeira novamente ao encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, então raciocine sobre a concavidade a partir de seu sinal.
5.12
Dicas de prova
$f'>0$ significa aumento, $f'<0$ diminuição; candidatos para extremos são onde $f'=0$ ou é indefinido.
Classifique um ponto crítico com a mudança de sinal da derivada primeira ou o teste da derivada segunda ($f''>0$ mínimo, $f''<0$ máximo).
$f''>0$ é côncava para cima, $f''<0$ côncava para baixo; um ponto de inflexão é onde a concavidade muda ($f''$ muda de sinal).
Para um extremo absoluto em um intervalo fechado, também verifique as extremidades.
Justifique toda conclusão citando o sinal de $f'$ ou $f''$ – o exame exige o raciocínio, não apenas a resposta.
Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-4.A: Interpretar o significado das áreas associadas ao gráfico de uma taxa de mudança em contexto.
CHA-4.A.1 A área da região entre o gráfico de uma função taxa de mudança e o eixo $x$ fornece a acumulação de mudança.
CHA-4.A.2 Em alguns casos, a acumulação de mudança pode ser avaliada usando geometria.
CHA-4.A.3 Se uma taxa de mudança for positiva (negativa) sobre um intervalo, então a mudança acumulada será positiva (negativa).
CHA-4.A.4 A unidade para a área de uma região definida por uma taxa de mudança é a unidade da taxa de mudança multiplicada pela unidade da variável independente.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Um reservatório de água: a integração acumula mudança — volume total a partir de uma taxa de fluxo
A diferenciação encontrou taxas. A integração executa a ideia ao contrário: dada uma taxa de mudança, ela encontra a mudança acumulada 累积变化. A imagem chave: a área entre o gráfico de uma função taxa e o eixo-$x$ fornece a acumulação total.
Se a taxa é positiva sobre um intervalo, a mudança acumulada é positiva; se negativa, negativa. Área abaixo do eixo conta como negativa.
Regiões simples (triângulos, retângulos) podem ser encontradas com geometria 几何.
Unidades: a unidade da área é a unidade da taxa vezes a unidade da entrada. Uma taxa em veículos por hora vezes horas resulta em veículos.
6.2
Aproximando Áreas com Somas de Riemann
Programa
Compreensão Duradoura (LIM-5): Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos geométricos e numéricos.
Objetivo de Aprendizagem LIM-5.A: Aproximar uma integral definida usando métodos geométricos e numéricos.
LIM-5.A.1 Integrais definidas podem ser aproximadas para funções que são representadas graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente.
LIM-5.A.2 Integrais definidas podem ser aproximadas usando uma soma de Riemann esquerda, uma soma de Riemann direita, uma soma de Riemann do ponto médio ou uma soma trapézio; as aproximações podem ser calculadas usando partições uniformes ou não uniformes.
LIM-5.A.3 Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos numéricos, com ou sem tecnologia.
LIM-5.A.4 Dependendo do comportamento de uma função, pode ser possível determinar se uma aproximação para uma integral definida é uma subestimação ou superestimação do valor da integral definida.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
A integral como área (somas de Riemann)Somas trapézoidais aproximam a área
Quando a área exata é difícil, aproxime-a com uma soma de Riemann 黎曼和 – divida o intervalo em subintervalos e some as áreas de retângulos (ou trapézios). As quatro estimativas padrão:
Cada retângulo tem área $f(x)\,\Delta x$; somá-los estima a área, e à medida que as tiras se estreitam, a soma se aproxima da integral definida.
Soma de Riemann à esquerda – altura do retângulo na extremidade esquerda de cada subintervalo.
Soma de Riemann à direita – altura na extremidade direita.
Soma de Riemann pelo ponto médio – altura no ponto médio 中点.
Soma trapézoidal 梯形法 – média das duas alturas das extremidades (um trapézio).
Subintervalos podem ser uniformes (largura igual) ou não uniformes – leia as larguras na tabela.
Super ou subestimação? Julgue pelo comportamento da função: para uma função crescente, uma soma à esquerda subestima e uma à direita superestima; uma soma trapézoidal superestima quando a função é côncava para cima e subestima quando côncava para baixo. Partes do exame pedem para você dizer qual e por quê.
Exemplo resolvido. Uma tabela dá $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Estime $\int_0^6 f(x)\,dx$ com uma soma de Riemann à direita de três subintervalos iguais ($\Delta x=2$). Use a extremidade direita de cada tira:
$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$
Como $f$ está crescendo, esta soma à direita é uma superestima; a soma à esquerda $2(3+5+8)=32$ seria uma subestima.
Explorar
Aproxime a área com retângulos
y = ax³ + bx² + cx + d
Uma soma de Riemann aproxima a área sob uma curva com retângulos. Adicione mais retângulos, mais finos, e a estimativa converge para a integral definida exata.
Compreensão Duradoura (LIM-5): Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos geométricos e numéricos.
Objetivo de Aprendizagem LIM-5.B: Interpretar o caso limite da soma de Riemann como uma integral definida.
LIM-5.B.1 O limite de uma soma de Riemann aproximante pode ser interpretado como uma integral definida.
LIM-5.B.2 Uma soma de Riemann, que requer uma partição de um intervalo $I$, é a soma de produtos, cada um sendo o valor da função em um ponto de um subintervalo multiplicado pelo comprimento desse subintervalo da partição.
Objetivo de Aprendizagem LIM-5.C: Representar o caso limite da soma de Riemann como uma integral definida.
LIM-5.C.1 A integral definida de uma função contínua $f$ sobre o intervalo $[a, b]$, denotada por $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, é o limite das somas de Riemann conforme as larguras dos subintervalos se aproximam de 0. Ou seja, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$, onde $n$ é o número de subintervalos, $\Delta x_i$ é a largura do $i$-ésimo subintervalo e $x_i^{*}$ é um valor no $i$-ésimo subintervalo.
LIM-5.C.2 Uma integral definida pode ser traduzida no limite de uma soma de Riemann relacionada, e o limite de uma soma de Riemann pode ser escrito como uma integral definida.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
À medida que as larguras dos subintervalos encolhem para zero, a soma de Riemann se aproxima de um valor exato – a integral definida 定积分:
Aqui $\Delta x_i$ é a largura do $i$º subintervalo e $x_i^{*}$ um ponto dentro dele. Assim, uma integral definida é o limite de uma soma de Riemann, e você deve ser capaz de traduzir uma na outra.
6.4
O Teorema Fundamental do Cálculo e Funções de Acumulação
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-5): O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a derivação e a integração.
Objetivo de Aprendizagem FUN-5.A: Representar funções de acumulação usando integrais definidas.
FUN-5.A.1 A integral definida pode ser usada para definir novas funções.
Exemplos ilustrativos para FUN-5.A.1:$f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Se $f$ é uma função contínua em um intervalo contendo $a$, então $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, onde $x$ está no intervalo.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
O Teorema Fundamental do Cálculo
Uma integral definida com um limite superior variável define uma nova função de acumulação 累积函数. O Teorema Fundamental do Cálculo 微积分基本定理 (primeira parte) diz que a diferenciação desfaz essa acumulação: se $f$ é contínua, então
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$
Assim, se $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, então $g'(x)=f(x)$ e $g''(x)=f'(x)$. Este é o motor por trás das questões muito comuns "seja $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$".
A função de acumulação adiciona área com sinal; o TFC diz que sua derivada é f
Explorar
Acumule área como uma integral
y = ax³ + bx² + cx + d
Uma função de acumulação$\int_a^x f(t)\,dt$ constrói área assinada à medida que $x$ se move. O Teorema Fundamental diz que sua derivada é apenas $f(x)$.
Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/
微积分基本定理
wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/
原函数
yuán hán shù
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/
不定积分
bù dìng jī fēn
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/
积分常数
jī fēn cháng shù
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/
换元积分法
huàn yuán jī fēn fǎ
polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/
多项式长除法
duō xiàng shì zhǎng chú fǎ
completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/
配方法
pèi fāng fǎ
6.5
Comportamento de Funções de Acumulação
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-5): O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a derivação e a integração.
Objetivo de Aprendizagem FUN-5.A: Representar funções de acumulação usando integrais definidas.
FUN-5.A.3 Representações gráficas, numéricas, analíticas e verbais de uma função $f$ fornecem informações sobre a função $g$ definida como $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Como $g'(x)=f(x)$, tudo da Unidade 5 se aplica a uma função de acumulação usando o gráfico de $f$:
$g$ está crescendo onde $f>0$ e diminuindo onde $f<0$;
$g$ tem um extremo local onde $f$cruza zero (com mudança de sinal);
$g$ é côncava para cima onde $f$ está crescendo; pontos de inflexão de $g$ ocorrem onde $f$ tem um extremo local.
Para obter um valor de $g$, calcule a área com sinal: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, somando áreas acima do eixo e subtraindo áreas abaixo.
6.6
Propriedades das Integrais Definidas
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.
Objetivo de Aprendizagem FUN-6.A: Calcular uma integral definida usando áreas e propriedades de integrais definidas.
FUN-6.A.1 Em alguns casos, uma integral definida pode ser avaliada usando geometria e a conexão entre a integral definida e a área.
FUN-6.A.2 Propriedades de integrais definidas incluem a integral de uma constante vezes uma função, a integral da soma de duas funções, a inversão dos limites de integração e a integral de uma função sobre intervalos adjacentes.
FUN-6.A.3 A definição da integral definida pode ser estendida para funções com descontinuidades removíveis ou de salto.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Essas propriedades simplificam o cálculo e aparecem constantemente:
$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$
$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$
A última (dividir em um ponto interno $c$) permite construir uma integral total a partir de pedaços lidos em um gráfico.
6.7
O Teorema Fundamental e a Avaliação de Integrais
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.
Objetivo de Aprendizagem FUN-6.B: Avaliar integrais definidas analiticamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
FUN-6.B.1 Uma primitiva de uma função $f$ é uma função $g$ cuja derivada é $f$.
FUN-6.B.2 Se uma função $f$ é contínua em um intervalo contendo $a$, a função definida por $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ é uma primitiva de $f$ para $x$ no intervalo.
FUN-6.B.3 Se $f$ é contínua no intervalo $[a, b]$ e $F$ é uma primitiva de $f$, então $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
A segunda parte do Teorema Fundamental avalia uma integral definida usando uma primitiva 原函数. Se $F'=f$, então
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$
Assim: encontre qualquer primitiva $F$, depois subtraia seus valores nos dois limites. É assim que a maioria das integrais exatas é calculada. Isso também oferece a visão de mudança líquida: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, portanto um valor inicial mais a mudança acumulada dá um valor posterior, p.ex., $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.
Exemplo resolvido. Avalie $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. Uma primitiva é $F(x)=x^2+x$, logo
Uma integral definida é a área assinada entre a curva e o eixo x
6.8
Primitivas e Integrais Indefinidas
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.
Objetivo de Aprendizagem FUN-6.C: Determinar primitivas de funções e integrais indefinidas, usando conhecimento de derivadas.
FUN-6.C.1$\int f(x)\,dx$ é uma integral indefinida da função $f$ e pode ser expressa como $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, onde $F'(x) = f(x)$ e $C$ é qualquer constante.
FUN-6.C.2 Regras de derivação fornecem a base para encontrar primitivas.
FUN-6.C.3 Muitas funções não possuem primitivas de forma fechada.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Uma integral indefinida 不定积分 é o conjunto de todas as primitivas, escrito com uma constante de integração 积分常数:
$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$
Inverta cada regra de derivação para construir as primitivas básicas:
$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$
6.9
Integrando Usando Substituição
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.
Objetivo de Aprendizagem FUN-6.D: Para integrandos que requerem substituição ou reorganizações em formas equivalentes: (a) Determinar integrais indefinidas. (b) Avaliar integrais definidas.
FUN-6.D.1 A substituição de variáveis é uma técnica para encontrar primitivas.
FUN-6.D.2 Para uma integral definida, a substituição de variáveis requer mudanças correspondentes nos limites de integração.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Substituição $u$ 换元积分法 inverte a regra da cadeia. Escolha uma função interna $u=g(x)$, de modo que $du=g'(x)\,dx$, e reescreva a integral inteiramente em $u$:
Procure por uma função e sua derivada ambas presentes. Para uma integral definida, mude os limites para valores de $u$ ou convierta de volta para $x$ antes de substituir os limites originais.
Exemplo resolvido. Avalie $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. A função interna é $u=x^2$, cuja derivada $2x\,dx=du$ está presente, logo
$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$
Identificar que $2x$ é exatamente $\dfrac{du}{dx}$ é todo o truque.
6.10
Divisão Longa e Completar Quadrados
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.
Objetivo de Aprendizagem FUN-6.D: Para integrandos que requerem substituição ou reorganizações em formas equivalentes: (a) Determinar integrais indefinidas. (b) Avaliar integrais definidas.
FUN-6.D.3 Técnicas para encontrar primitivas incluem reorganizações em formas equivalentes, como divisão longa e completando o quadrado.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Dois movimentos algébricos prévia permitem que mais integrais se encaixem nas formas básicas: divisão polinomial longa 多项式长除法 quando o grau superior é $\ge$ o grau inferior de uma função racional, e completar quadrados 配方法 para transformar um denominador quadrático em uma forma que integra para arctangente ou logaritmo.
6.14
Selecionando Técnicas para Antiderivação
Programa
Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento adequado para antiderivação. Os estudantes devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à antiderivação.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Um tópico de habilidade: corresponda a integral a um método. Tente uma primitiva básica primeiro; procure uma substituição de $u$ (uma função interna cuja derivada também esteja presente); use álgebra (divisão, completar quadrados, separação de frações) para remodelar o integrando em uma forma padrão. Nomear a estrutura primeiro evita esforço desperdiçado.
6.14
Dicas de prova
Integração é antiderivação; use a regra da potência$\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ e não esqueça a $+C$.
O Teorema Fundamental conecta os dois: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, e $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Aproxime uma integral definida com somas de Riemann ou a regra dos trapézios a partir de uma tabela de valores.
Uma integral definida é uma área assinada (abaixo do eixo conta negativo); divida em mudanças de sinal para área total.
Use substituição u e lembre-se de alterar os limites (ou retro-substituir) adequadamente.
Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.
Objetivo de Aprendizagem FUN-7.A: Interpretar afirmações verbais de problemas como equações diferenciais envolvendo uma expressão de derivada.
FUN-7.A.1 Equações diferenciais relacionam uma função de uma variável independente e as derivadas dessa função.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Uma equação diferencial 微分方程 é uma equação que relaciona uma função às suas próprias derivadas. Ela descreve uma situação através da sua taxa de variação. Por exemplo, "a taxa de variação de uma quantidade é proporcional ao seu tamanho" torna-se
$$\frac{dy}{dt} = ky.$$
Aprender a traduzir uma frase sobre uma taxa em uma equação diferencial é a primeira habilidade desta unidade.
7.2
Verificando Soluções para Equações Diferenciais
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.
Objetivo de Aprendizagem FUN-7.B: Verificar soluções para equações diferenciais.
FUN-7.B.1 Derivadas podem ser usadas para verificar se uma função é uma solução para uma dada equação diferencial.
FUN-7.B.2 Pode haver infinitas soluções gerais para uma equação diferencial.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Uma solução 解 de uma equação diferencial é uma função que a torna verdadeira. Você pode verificar uma solução proposta diferenciando-a e substituindo na equação: se ambos os lados correspondem, é uma solução. Note que uma equação diferencial geralmente tem infinitas soluções – uma família inteira – diferindo por uma constante.
7.3
Esboçando Campos de Inclinação
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.
Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.
FUN-7.C.1 Um campo de inclinação é uma representação gráfica de uma equação diferencial em um conjunto finito de pontos no plano.
FUN-7.C.2 Campos de inclinação fornecem informações sobre o comportamento de soluções para equações diferenciais de primeira ordem.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Campos de inclinação e curvas solução
Um campo de inclinação 斜率场 desenha a equação diferencial como uma grade de pequenos segmentos: em cada ponto $(x,y)$ o segmento tem inclinação $\dfrac{dy}{dx}$ avaliada ali. Para esboçar um, substitua vários pontos no lado direito e desenhe um pequeno segmento com essa inclinação em cada um. A imagem mostra a forma das curvas solução sem resolver.
Cada segmento curto tem a inclinação $\dfrac{dy}{dx}$ naquele ponto; uma curva solução passa por ele, mantendo-se tangente ao campo.
Habilidade de exame. Uma parte comum fornece uma porção de um campo de inclinação e pede para você esboçar a solução particular por um ponto dado – comece no ponto e siga os segmentos, mantendo-se tangentes a eles.
Explorar
Leia uma equação diferencial como um campo de inclinações
Um campo de inclinações desenha a inclinação $dy/dx$ em cada ponto. Uma curva solução passa por ele, sempre tangente aos pequenos segmentos — você pode esboçá-la seguindo o fluxo.
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/
分离变量法
fēn lí biàn liàng fǎ
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/
通解
tōng jiě
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/
初始条件
chū shǐ tiáo jiàn
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/
特解
tè jiě
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/
定义域限制
dìng yì yù xiàn zhì
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/
指数增长与衰减
zhǐ shù zēng zhǎng yǔ shuāi jiǎn
7.4
Raciocínio Usando Campos de Inclinação
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.
Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.
FUN-7.C.3 Soluções para equações diferenciais são funções ou famílias de funções.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Soluções de uma equação diferencial são funções ou famílias de funções. Leia um campo de inclinação para raciocinar sobre o comportamento: onde os segmentos são planos ($\tfrac{dy}{dx}=0$) a solução está momentaneamente nivelada; onde eles se tornam íngremes a solução sobe ou desce mais rápido; fileiras horizontais de inclinação igual sugerem que a taxa depende apenas de $y$ (ou apenas de $x$).
7.6
Encontrando Soluções Gerais Usando Separação de Variáveis
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.
Objetivo de Aprendizagem FUN-7.D: Determinar soluções gerais para equações diferenciais.
FUN-7.D.1 Algumas equações diferenciais podem ser resolvidas por separação de variáveis.
FUN-7.D.2 A antiderivação pode ser usada para encontrar soluções gerais para equações diferenciais.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Muitas equações diferenciais de exames são resolvidas por separação de variáveis 分离变量法. Se $\dfrac{dy}{dx}$ fatorar em uma função de $x$ vezes uma função de $y$, mova todos os $y$ para um lado e todos os $x$ para o outro, então integre ambos os lados:
Aplicar $y(0)=2$ dá $A=2$, logo a solução particular é $y=2e^{x^2/2}$.
7.7
Encontrando Soluções Particulares Usando Condições Iniciais e Separação de Variáveis
Programa
Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.
Objetivo de Aprendizagem FUN-7.E: Determinar soluções particulares para equações diferenciais.
FUN-7.E.1 Uma solução geral pode descrever infinitas soluções para uma equação diferencial. Existe apenas uma solução particular que passa por um dado ponto.
FUN-7.E.2 A função $F$ definida por $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ é uma solução particular para a equação diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfazendo $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Soluções para equações diferenciais podem estar sujeitas a restrições de domínio.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Uma condição inicial 初始条件 – um ponto conhecido $(x_0,y_0)$ – fixa uma curva da família. Substitua-a para resolver pela constante $C$; o resultado é a solução particular 特解. Existe exatamente uma solução através de um dado ponto. Atenção para restrições de domínio 定义域限制: mantenha o ramo que contém o ponto inicial (por exemplo, o sinal correto de uma raiz quadrada).
A constante dá uma família de curvas; uma condição inicial seleciona uma
Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.
Objetivo de Aprendizagem FUN-7.F: Interpretar o significado de uma equação diferencial e suas variáveis em contexto.
FUN-7.F.1 Aplicações específicas do encontrar soluções gerais e particulares para equações diferenciais incluem o movimento ao longo de uma linha e o crescimento e decaimento exponencial.
FUN-7.F.2 O modelo para crescimento e decaimento exponencial que surge da afirmação "A taxa de variação de uma quantidade é proporcional ao tamanho da quantidade" é $\dfrac{dy}{dt} = ky$.
Objetivo de Aprendizagem FUN-7.G: Determinar soluções gerais e particulares para problemas envolvendo equações diferenciais em contexto.
FUN-7.G.1 O modelo de crescimento e decaimento exponencial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, com condição inicial $y = y_0$ quando $t = 0$, tem soluções da forma $y = y_0 e^{kt}$.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
E. coli sob microscópio: equações diferenciais modelam crescimento exponencial de populações
O modelo mais importante é crescimento e decaimento exponencial 指数增长与衰减. A equação $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (taxa proporcional ao tamanho) tem a solução:
$$y = y_0\,e^{kt},$$
onde $y_0$ é o valor em $t=0$. Aqui $k>0$ dá crescimento e $k<0$ dá decaimento. Você pode derivar isso por separação de variáveis ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), e modela processos como crescimento populacional, decaimento radioativo e lei do resfriamento de Newton. Uma parte subsequente pode pedir $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: diferencie $\dfrac{dy}{dt}=ky$ novamente (usando $\dfrac{dy}{dt}=ky$) para expressá-la em termos de $y$.
Exemplo resolvido. Uma amostra decai por $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (em anos) de $y_0=50\ \text{g}$. A solução é $y=50e^{-0.10t}$, logo após $10$ anos $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Sua meia-vida resolve $25=50e^{-0.10t}$, ou seja, $e^{-0.10t}=\tfrac12$, dando $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – independente da quantidade inicial.
Uma xícara de café esfriando: a lei do resfriamento de Newton é um modelo clássico de equação diferencial
Explorar
Um modelo de crescimento/decadência exponencial
y = a·e^(bx) + c
A equação $dy/dt=ky$ tem soluções exponenciais: a quantidade muda a uma taxa proporcional a si mesma, dando crescimento ilimitado ($k>0$) ou decadência para zero ($k<0$).
7.8
Dicas de prova
Resolva uma equação separável colocando todos os $y$ de um lado e todos os $x$ do outro, então integre ambos os lados (adicione $+C$ uma vez).
Use a condição inicial para encontrar $C$ (uma solução particular).
Esboce ou leia um campo de inclinação: os pequenos segmentos mostram $\tfrac{dy}{dx}$ em cada ponto, e uma curva solução os segue.
É a altura constante de um retângulo em $[a,b]$ com a mesma área que sob $f$. Não confunda com a taxa média de variação (que divide mudança em $f$ pelo intervalo), nem com uma média de somas de Riemann de poucos valores – o exame distingue esses cuidadosamente. Relate unidades no contexto (p.ex., a taxa média "em veículos por hora").
Exemplo resolvido. O valor médio de $f(x)=x^2$ em $[0,3]$ é
O valor médio de $f$ em $[a,b]$ é sua integral dividida pela largura — a altura constante cujo retângulo tem a mesma área que sob a curva.
8.2
Posição, Velocidade e Aceleração Usando Integrais
Programa
Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-4.C: Determinar valores para posições e taxas de variação usando integrais definidas em problemas envolvendo movimento retilíneo.
CHA-4.C.1 Para uma partícula em movimento retilíneo sobre um intervalo de tempo, a integral definida da velocidade representa o deslocamento da partícula sobre o intervalo de tempo, e a integral definida da rapidez representa a distância total percorrida pela partícula sobre o intervalo de tempo.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
A integral inverte os links de movimento da Unidade 4. Para uma partícula em movimento retilíneo sobre $[t_1,t_2]$:
Deslocamento 位移 (mudança líquida na posição) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Distância total percorrida 总路程$= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integre a velocidade escalar, para que mudanças de direção se somem em vez de cancelarem.
Posição em um tempo futuro $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocidade a partir da aceleração $= v(t_1)+\int a$.
A distinção entre deslocamento e distância (com o valor absoluto) é um ponto clássico avaliado.
8.3
Funções de Acumulação e Integrais Definidas em Contextos Aplicados
Programa
Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-4.D: Interpretar o significado de uma integral definida em problemas de acumulação.
CHA-4.D.1 Uma função definida como uma integral representa uma acumulação de uma taxa de variação.
CHA-4.D.2 A integral definida da taxa de variação de uma quantidade sobre um intervalo dá a mudança líquida dessa quantidade sobre esse intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-4.E: Determinar a mudança líquida usando integrais definidas em contextos aplicados.
CHA-4.E.1 A integral definida pode ser usada para expressar informações sobre acumulação e mudança líquida em muitos contextos aplicados.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Uma função definida como uma integral acumula uma taxa de variação. O teorema de mudança líquida 净变化 é a ferramenta cotidiana: a integral definida de uma taxa sobre um intervalo dá a mudança líquida da quantidade:
Então "quanto água há no tanque em $t=5$" = quantidade inicial + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Cuidado com sinais (entrada menos saída) e unidades. Muitas questões dissertativas de múltiplas partes são construídas inteiramente sobre essa ideia – frequentemente combinadas com "escreva, mas não avalie, uma expressão integral que dê a total...".
8.4
Encontrando a Área Entre Curvas (Funções de x)
Programa
Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.
CHA-5.A.1 Áreas de regiões no plano podem ser calculadas com integrais definidas.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
A área entre duas curvas $y=f(x)$ (topo) e $y=g(x)$ (base) em $[a,b]$ é:
A região sombreada vai de uma interseção $a$ à próxima $b$; sua área é $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.
8.5
Encontrando a Área Entre Curvas (Funções de y)
Programa
Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.
CHA-5.A.2 Áreas de regiões no plano podem ser calculadas usando funções de $x$ ou $y$.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Algumas regiões são mais fáceis descritas com fatias horizontais – integre em relação a $y$:
Escolha fatias $x$- ou $y$-para manter um único par superior/inferior (ou direito/esquerdo) sobre toda a região.
8.6
Área Entre Curvas com Mais de Duas Interseções
Programa
Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.
CHA-5.A.3 Áreas de certas regiões no plano podem ser calculadas usando uma soma de duas ou mais integrais definidas ou por avaliar uma integral definida do valor absoluto da diferença de duas funções.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Se as curvas se cruzam mais de duas vezes, uma função está por cima em parte da região e a outra por cima em outro lugar. Divida em uma soma de integrais em cada ponto de interseção, ou integre o valor absoluto da diferença:
$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$
Determine qual curva está mais alta em cada subintervalo antes de escrever as integrais.
8.7
Volumes com Secções Transversais: Quadrados e Retângulos
Programa
Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-5.B: Calcular volumes de sólidos com secções transversais conhecidas usando integrais definidas.
CHA-5.B.1 Volumes de sólidos com secções transversais quadradas e retangulares podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Um oleiro modelando um vaso: sólidos de revolução são volumes formados pela rotação de uma região plana
Se um sólido tem uma secção transversal 横截面 conhecida perpendicular a um eixo, seu volume é a integral da área da secção transversal:
$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$
Para secções transversais quadradas com lado igual à altura da região $s(x)=f(x)-g(x)$, use $A(x)=[s(x)]^2$; para um retângulo de altura $k\cdot s(x)$, use $A(x)=k\,[s(x)]^2$. A frase do exame "a base de um sólido... as secções transversais são quadrados/retângulos" sinaliza exatamente isso.
8.8
Volumes com Secções Transversais: Triângulos e Semicírculos
Programa
Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-5.B: Calcular volumes de sólidos com secções transversais conhecidas usando integrais definidas.
CHA-5.B.2 Volumes de sólidos com secções transversais triangulares podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
CHA-5.B.3 Volumes de sólidos com secções transversais semicirculares e outras definidas geometricamente podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
Exemplos ilustrativos para CHA-5.B.3:
O volume de um funil cujas seções transversais são círculos pode ser encontrado usando a fórmula da área do círculo e integrais definidas (consulte 2016 FRQ do Exame AP #5(b)).
O volume de um sólido cuja área da seção transversal é definida por uma função pode ser encontrado usando a função de área conhecida e uma integral definida (consulte 2009 FRQ do Exame AB #4(c)).
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Mesmo método, fórmula de área diferente: para um triângulo 三角形 equilátero de lado $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; para um semicírculo 半圆 de diâmetro $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Iguale o comprimento-chave da forma ao comprimento da fatia da região $s(x)$, e integre $A(x)$.
8.9
Volume com o Método dos Discos (Eixos x ou y)
Programa
Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.
CHA-5.C.1 Volumes de sólidos de revolução em torno do eixo $x$ ou $y$ podem ser encontrados usando integrais definidas com o método do disco.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Sólidos de revolução: o método dos discos
Girar uma região em torno de um eixo cria um sólido de revolução 旋转体. Se a região toca o eixo, cada fatia é um disco 圆盘 de raio $r$ = o valor da função:
$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$
Em torno do eixo $x$, $r=f(x)$ e integre em $x$; em torno do eixo $y$, expresse $x$ como função de $y$ e integre em $y$.
O método dos discos: girar y=f(x) em torno do eixo varre discos de raio f(x)
Exemplo resolvido. Revolva a região sob $y=\sqrt{x}$ de $x=0$ para $x=4$ em torno do eixo $x$. Cada disco tem raio $r=\sqrt{x}$, então
Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.
CHA-5.C.2 Volumes de sólidos de revolução em torno de qualquer linha horizontal ou vertical no plano podem ser encontrados usando integrais definidas com o método dos discos.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Em torno de qualquer linha horizontal ou vertical $y=k$ ou $x=k$, o raio é a distância da curva até essa linha, por exemplo, $r(x)=|f(x)-k|$. Configure o raio cuidadosamente, e então use $V=\pi\int r^2$.
8.11 8.12
Volume com o Método das Arandelas
Programa
Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.
CHA-5.C.3 Volumes de sólidos de revolução em torno do eixo $x$ ou $y$ cujas secções transversais têm forma de anel podem ser encontrados usando integrais definidas com o método do anel.
Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.
Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.
CHA-5.C.4 Volumes de sólidos de revolução em torno de qualquer linha horizontal ou vertical cujas secções transversais são em forma de anel podem ser encontrados usando integrais definidas com o método das anéis.
Fonte: College Board AP Course and Exam Description
Volume pelo método das arandelas
Quando a região não toca o eixo, cada fatia é uma arandela 垫圈 (um anel) com raio externo $R$ e raio interno $r$:
$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$
$R$ é a distância do eixo ao limite mais distante e $r$ ao mais próximo. Em torno de uma linha que não é um eixo, ambos os raios são medidos como distâncias até essa linha – uma variação muito comum em exames (por exemplo, girando em torno de $y=-2$).
