Diferenciação: Funções Compostas, Implícitas e Inversas

Cálculo AB do AP · Tópico 3

Videoaula para este tópico Abrir a página do vídeo

3.1

A Regra da Cadeia

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.C: Calcular derivadas de composições de funções diferenciáveis.

FUN-3.C.1 A regra da cadeia fornece um meio de diferenciar funções compostas.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A regra da cadeia

Unidade 2 diferenciou funções simples. Unidade 3 diferencia funções construídas dentro de outras funções. A regra da cadeia 链式法则 diferencia uma função composta 复合函数 $f\big(g(x)\big)$:

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"Derivada da função externa (deixando a interna sozinha), vezes a derivada da interna." A derivada interna $g'(x)$ é a parte que os alunos esquecem, então sempre pergunte "qual é a interna e qual é sua derivada?" Exemplo:

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

Na notação de Leibniz, com $y=f(u)$ e $u=g(x)$, a regra lê-se $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – o intermediário $du$ parece se "cancelar". Questões de prova frequentemente dão uma tabela para $f$, $g$, $f'$, $g'$ e pedem $h'(a)$ onde $h(x)=f\big(g(x)\big)$; avalie $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ lendo valores.

Exemplo resolvido. Diferencie $h(x)=(2x^2+1)^5$. A função externa é "(algo)$^5$", a interna é $2x^2+1$:

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot\frac{d}{dx}(2x^2+1)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

Bonecas matrioskas: a regra da cadeia diferencia funções aninhadas camada por camada – externo primeiro, depois o próximo interno

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
chain rule/tʃeɪn ruːl/	链式法则	liàn shì fǎ zé
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	复合函数	fù hé hán shù
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	隐函数求导	yǐn hán shù qiú dǎo
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	反函数	fǎn hán shù
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	倒数	dào shǔ
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	反三角函数	fǎn sān jiǎo hán shù
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù
concavity/kənˈkævɪti/	凹凸性	āo tū xìng

3.2

Diferenciação Implícita

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.D: Calcular derivadas de funções definidas implicitamente.

FUN-3.D.1 A regra da cadeia é a base para a diferenciação implícita.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Algumas curvas são definidas implicitamente – por uma equação em $x$ e $y$ que não está resolvida para $y$, como $x^2+y^2=25$. Diferenciação implícita 隐函数求id encontra $\dfrac{dy}{dx}$ sem resolver para $y$ primeiro. É apenas a regra da cadeia, tratando $y$ como uma função de $x$.

O método: diferencie ambos os lados em relação a $x$; toda vez que diferenciar um termo de $y$, multiplique por $\dfrac{dy}{dx}$ (a regra da cadeia); depois resolva algebricamente para $\dfrac{dy}{dx}$. Para $x^2+y^2=25$:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Exemplo resolvido. Encontre a reta tangente ao círculo $x^2+y^2=25$ no ponto $(3,4)$. De cima, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ ali, então a tangente é

$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$

Observe que a tangente é perpendicular ao raio, como a geometria promete – uma boa verificação de consistência.

Diferenciação implícita dá a tangente a um círculo, perpendicular ao raio

Habilidade de prova – "Mostre que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Este prompt exato aparece nos últimos anos (p.ex. "Mostre que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Como o alvo é dado, você deve mostrar cada passo algébrico limpo: diferencie ambos os lados, use as regras do produto/cadeia em termos mistos de $xy$, agrupe todos os termos de $\dfrac{dy}{dx}$ de um lado, fatore e divida. Uma linha final correta que pula a álgebra ganha pouco. Partes seguintes pedem então uma reta tangente, ou onde a tangente é horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, então o numerador é $0$) ou vertical (o denominador é $0$).

3.3

Diferenciando Funções Inversas

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.E: Calcular derivadas de funções inversas e trigonométricas inversas.

FUN-3.E.1 A regra da cadeia e a definição de uma função inversa podem ser usadas para encontrar a derivada de uma função inversa, desde que a derivada exista.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Se $g$ é a função inversa 反函数 de $f$ (portanto $f(g(x))=x$), a regra da cadeia liga suas derivadas:

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

Em palavras: a derivada da inversa em um ponto é o recíproco 倒数 da derivada da função original no ponto correspondente. Um setup comum de prova dá uma tabela e um ponto $(a,b)$ em $f$ (portanto $(b,a)$ está em $g$), e pede $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

A função inversa é a imagem espelhada da função na linha y = x

Exemplo resolvido. Suponha $f(2)=5$ e $f'(2)=3$, e $g$ seja a inversa de $f$. Como $(2,5)$ está em $f$, o ponto $(5,2)$ está em $g$, e

$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$

Os gráficos de $f$ e $g$ são imagens espelhadas através de $y=x$, então suas inclinações em pontos correspondentes são recíprocas.

Explorar

Uma exponencial e seu inverso, o logaritmo

y = a·e^(bx) + c

Funções inversas são imagens espelhadas através de $y=x$, e suas inclinações são recíprocas: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Onde uma é íngreme, sua inversa é rasa.

3.4

Diferenciando Funções Trigonométricas Inversas

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.E: Calcular derivadas de funções inversas e trigonométricas inversas.

FUN-3.E.2 A regra da cadeia aplicada com a definição de uma função inversa, ou a fórmula para a derivada de uma função inversa, pode ser usada para encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A mesma ideia dá as derivadas das funções trigonométricas inversas 反三角函数. As três que você deve saber:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

Combine essas com a regra da cadeia quando a entrada for ela mesma uma função, p.ex. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

3.5

Selecionando Procedimentos para Calcular Derivadas

Programa

Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento adequado para calcular derivadas. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados ao cálculo de derivadas.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Tópico de habilidade: derivadas reais misturam várias regras, então leia a estrutura da expressão primeiro, de fora para dentro.

É uma soma? Diferencie termo a termo.
Um produto ou quociente? Aplique essa regra, e espere usar a regra da cadeia internamente.
Uma composta (algo dentro de algo)? Regra da cadeia.
Dado implicitamente? Derivação implícita.

Nomeie a operação mais externa, aplique sua regra e recursione para dentro. Limpeza evita erros de sinal e de registro que custam pontos.

3.6

Calculando Derivadas de Ordem Superior

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.F: Determinar derivadas de ordem superior de uma função.

FUN-3.F.1 Diferenciar $f'$ produz a segunda derivada $f''$, desde que a derivada de $f'$ exista; repetir esse processo produz derivadas de ordem superior de $f$.
FUN-3.F.2 Derivadas de ordem superior são representadas por uma variedade de notações. Para $y = f(x)$, as notações para a segunda derivada incluem $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ e $y''$. Derivadas de ordem superior podem ser denotadas $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ ou $f^{(n)}(x)$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Derivar $f'$ produz a segunda derivada 二阶导数 $f''$; repetir dá derivadas de ordem superior. As notações:

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

A segunda derivada mede como a inclinação está mudando; ela impulsiona a curvatura 凹凸性 e aceleração em unidades futuras. Para encontrar $f''$ implicitamente, diferencie a expressão para $\dfrac{dy}{dx}$ novamente (com as regras do quociente e da cadeia), depois substitua $\dfrac{dy}{dx}$ de volta.

Explorar

Inclinação da inclinação: a segunda derivada

y = ax³ + bx² + cx + d

Diferenciar novamente dá a segunda derivada — a taxa na qual a inclinação muda. Onde a inclinação da tangente está aumentando, a curva dobra para cima (côncava para cima).

3.6

Dicas de prova

Use a regra da cadeia para funções compostas – diferencie a parte externa, depois multiplique pela derivada da interna (o fator mais esquecido).
Para diferenciação implícita, diferencie ambos os lados em relação a $x$ e acople $\tfrac{dy}{dx}$ cada vez que $y$ for diferenciado, depois resolva.
Encontre a segunda derivada diferenciando duas vezes (velocidade → aceleração).
Combine as regras com cuidado em expressões aninhadas (regra da cadeia dentro do produto, etc.).
O gráfico da função inversa é o reflexo em $y=x$; sua inclinação é o recíproco da original no ponto correspondente.

Aulas interativas sobre este tópico

Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.

Provas Anteriores

Mais tópicos em Cálculo AB do AP