Aplicações Contextualizadas da Diferenciação

Assim que você consegue calcular derivadas, usa-as para descrever o mundo real. A derivada $f'(x)$ é a taxa de variação instantânea de $f$ em relação à sua entrada. Ler e relatar essa taxa corretamente é uma habilidade avaliada.

As unidades importam. A unidade de $f'(x)$ é a unidade de $f$ dividida pela unidade de $x$. Se $C(t)$ é um número de acres e $t$ está em semanas, então $C'(t)$ está em acres por semana. Na prova, "Usando as unidades corretas, interprete o significado de $g'(140)$" pede uma frase completa: o valor, a quantidade, a palavra de taxa "por", e o momento. Por exemplo: "$g'(140)=2.3$ significa que em $x=140$, a quantidade está aumentando a cerca de $2.3$ unidades por unidade de $x$."

Para uma partícula movendo-se em uma linha, três funções do tempo estão ligadas por diferenciação:

• posição 位置 $s(t)$;
• velocidade 速度 $v(t)=s'(t)$ – com sinal; seu sinal indica a direção;
• aceleração 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Leituras-chave (partes frequentes de exames):

• A partícula está em repouso 静止 quando $v(t)=0$.
• Ela se move para a direita/cima quando $v(t)>0$ e para a esquerda/baixo quando $v(t)<0$; ela muda de direção onde $v$ muda de sinal.
• Velocidade escalar 速率 é $|v(t)|$. A velocidade escalar aumenta quando $v$ e $a$ têm o mesmo sinal (a partícula está acelerando), e diminui quando têm sinais opostos.

Exemplo resolvido. Uma partícula move-se com $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Então $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, portanto está em repouso em $t=1$ e $t=3$, e muda de direção em cada uma. Em $t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (movendo-se para a esquerda) e $a(2)=6(2)-12=0$; logo após, $a>0$ enquanto $v<0$, então está desacelerando ali. Diferencie cuidadosamente entre velocidade (tem direção) e velocidade escalar (não tem) – a prova testa exatamente essa diferença.

A mesma ideia de derivada modela qualquer quantidade que muda: um tanque esvaziando, uma população se espalhando, uma xícara esfriando. Sempre que um problema diz "a taxa na qual...", ele está descrevendo uma derivada. Leia as unidades para saber a taxa de qual quantidade você tem, depois interprete no contexto.

Em um problema de taxas relacionadas 相关变化率, várias quantidades mudam juntas ao longo do tempo, e você conhece algumas taxas mas quer outra. O motor é a regra da cadeia: diferencie uma relação em relação ao tempo $t$. Cada variável torna-se uma função de $t$, então cada derivada pega um fator "$\,/\,dt$". Regras do produto e do quociente também podem ser necessárias.

Um procedimento confiável – e um modelo completo para nota máxima na prova:

1. Nomeie as variáveis e escreva as taxas dadas e a taxa desconhecida (ex: "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/dia, encontre $\dfrac{dV}{dt}$").
2. Escreva uma equação relacionando as quantidades (muitas vezes uma fórmula geométrica ou de volume).
3. Diferencie ambos os lados em relação a $t$ (regra da cadeia) – antes de substituir números.
4. Substitua os valores conhecidos no instante de interesse e resolva para a taxa desconhecida.
5. Apresente a resposta com unidades e o sinal correto (uma quantidade decrescente tem uma taxa negativa).

Exemplo resolvido. Ar é bombeado para dentro de um balão esférico de modo que seu volume cresce a $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. Com que rapidez o raio está crescendo quando $r=5\ \text{cm}$? Comece de $V=\tfrac43\pi r^3$ e diferencie em relação a $t$ primeiro:

Substituir $r=5$ demais cedo é o erro clássico – diferencie a relação geral, depois insira os valores.

Perto de um ponto de tangência, uma curva suave parece sua reta tangente – isso é linearidade local 局部线性. Assim, a reta tangente fornece uma aproximação linear 线性近似 (linearização) da função perto desse ponto:

Use-a para estimar $f$ em um $x$ próximo a $a$.

Exemplo resolvido. Estime $\sqrt{4.1}$. Escolha $f(x)=\sqrt{x}$ e $a=4$: $f(4)=2$ e $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ então $f'(4)=\dfrac14$. Então $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (o valor verdadeiro é $2.0248\ldots$). Como $\sqrt{x}$ é ** côncava para baixo**, a reta tangente fica acima da curva, então esta é uma leve superestimação 高估 – justifique super/subestimativa com o sinal de $f''$.

Quando a substituição direta em um quociente de limites resulta na forma indeterminada 未定式 $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$, você pode usar a Regra de L'Hospital 洛必达法则:

desde que o limite à direita exista. Diferencie o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente), depois tente o limite novamente. Primeiro confirme se a forma realmente é $\tfrac{0}{0}$ ou $\tfrac{\infty}{\infty}$ – aplicar a regra a qualquer outra forma é um erro.

Exemplo resolvido. Avalie $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. Substituindo dá $\tfrac00$, então diferencie numerador e denominador: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – confirmando o famoso limite da Unidade 1.

• Em problemas de movimento: velocidade é a derivada da posição, aceleração é a derivada da velocidade; a velocidade escalar aumenta quando velocidade e aceleração compartilham um sinal.
• Para taxas relacionadas, diferencie a equação relacionadora em relação ao tempo, depois substitua os valores dados por último.
• Use a reta tangente para uma aproximação linear perto de um ponto conhecido; ela é precisa apenas nas proximidades.
• Leia o sinal de uma taxa: positivo significa que as quantidades se movem juntas, negativo significa oposto.
• Sempre declare as unidades e interprete a resposta no contexto.